ज्यामिति, क्षेत्रमिति, बीजगणित एवं प्रायिकता

दो कोण पूरक (complementary) हैं यदि उनका योग 90° हो, और संपूरक (supplementary) हैं यदि योग 180° हो। अतः 35° का पूरक है 90 − 35 = 55°, और उसका संपूरक है 180 − 35 = 145°। सरल रेखा पर बने कोण (रैखिक युग्म) 180° जोड़ते हैं; किसी बिंदु के चारों ओर के कोण 360°; और दो रेखाएँ काटने पर शीर्षाभिमुख कोण बराबर होते हैं।

• हल उदाहरण 1. दो पूरक कोण 2 : 3 के अनुपात में हैं। कुल भाग = 2 + 3 = 5 और कुल कोण = 90°, अतः एक भाग = 90 ÷ 5 = 18°। कोण हैं 2 × 18 = 36° व 3 × 18 = 54°। जाँच: 36 + 54 = 90 ✓
• हल उदाहरण 2. एक कोण अपने संपूरक से 30° अधिक है। कोण x मानें, तो संपूरक x − 30। तब x + (x − 30) = 180 → 2x = 210 → x = 105°, और संपूरक 75°। जाँच: 105 + 75 = 180 ✓ तथा 105 − 75 = 30 ✓
• हल उदाहरण 3. एक बिंदु पर तीन कोण 3 : 4 : 5 के अनुपात में हैं। भाग = 3 + 4 + 5 = 12, कुल = 360°, अतः एक भाग = 360 ÷ 12 = 30°। कोण हैं 90°, 120°, 150°। जाँच: 90 + 120 + 150 = 360 ✓

अब दो समांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है। आठ कोण बनते हैं, पर वास्तव में केवल दो भिन्न मान होते हैं, और वे संपूरक हैं। अतः जैसे ही एक कोण ज्ञात हुआ, आठों ज्ञात हो गए। मान लें एक कोण 70° है — तो आठों में प्रत्येक 70° या 110° ही होगा।

कोण योग गुण: किसी भी त्रिभुज के तीन कोणों का योग 180° होता है। यदि कोण 2 : 3 : 4 के अनुपात में हों, तो भाग = 2 + 3 + 4 = 9 और एक भाग = 180 ÷ 9 = 20°। कोण हैं 2 × 20 = 40°, 3 × 20 = 60° व 4 × 20 = 80°। जाँच: 40 + 60 + 80 = 180 ✓ — यह न्यूनकोण त्रिभुज है, क्योंकि सबसे बड़ा कोण 80° भी 90° से कम है। दूसरा कोण-नियम एक चरण बचाता है: त्रिभुज का बहिष्कोण उसके दो सम्मुख अंतःकोणों के योग के बराबर होता है। उदाहरण: दो अंतःकोण 50° व 60° हैं, अतः तीसरे शीर्ष पर बहिष्कोण = 50 + 60 = 110°। लंबे तरीके से जाँच — तीसरा अंतःकोण = 180 − 50 − 60 = 70°, और 70° अपने बहिष्कोण के साथ रैखिक युग्म बनाता है, अतः वह कोण = 180 − 70 = 110° ✓ वही उत्तर, दो चरणों के बदले एक।

• भुजाओं के आधार पर: विषमबाहु (तीनों भुजाएँ भिन्न), समद्विबाहु (दो भुजाएँ बराबर, और उनके सम्मुख कोण बराबर), समबाहु (तीनों भुजाएँ बराबर, अतः प्रत्येक कोण = 180 ÷ 3 = 60°)।
• कोणों के आधार पर: न्यूनकोण (सभी कोण < 90°), समकोण (एक कोण = 90°), अधिककोण (एक कोण > 90°)। किसी त्रिभुज में 90° या उससे बड़ा कोण अधिकतम एक ही हो सकता है — दो समकोण ही पूरे 180° खा जाएँगे।
• समद्विबाहु हल उदाहरण: शीर्ष कोण 80° है, और दोनों आधार कोण बराबर हैं, अतः प्रत्येक = (180 − 80) ÷ 2 = 100 ÷ 2 = 50°। जाँच: 80 + 50 + 50 = 180 ✓

सर्वांगसमता (समान आकार और समान माप) SSS, SAS, ASA, AAS से तथा केवल समकोण त्रिभुजों में RHS से सिद्ध होती है। ध्यान दें कि AAA सर्वांगसमता की कसौटी नहीं है — यह केवल समरूपता देती है (समान आकार, माप भिन्न हो सकती है)। समरूपता की कसौटियाँ: AA (या AAA), SSS (भुजाएँ समानुपाती), SAS (दो भुजाएँ समानुपाती व अंतर्गत कोण बराबर)। समरूप त्रिभुजों में क्षेत्रफलों का अनुपात = संगत भुजाओं के अनुपात का वर्ग। हल उदाहरण: यदि संगत भुजाएँ 3 : 5 के अनुपात में हों, तो क्षेत्रफल 3² : 5² = 9 : 25 के अनुपात में। अतः यदि छोटे त्रिभुज का क्षेत्रफल 36 सेमी² है, तो बड़े का 36 × 25 ÷ 9 = 100 सेमी²।

पाइथागोरस प्रमेय: समकोण त्रिभुज में (कर्ण)² = (आधार)² + (लंब)²। हल उदाहरण: आधार 9, लंब 12 → कर्ण² = 81 + 144 = 225 → कर्ण = 15। परीक्षा के चार त्रिक कंठस्थ करें — 3-4-5 (9 + 16 = 25), 5-12-13 (25 + 144 = 169), 8-15-17 (64 + 225 = 289) व 7-24-25 (49 + 576 = 625) — तथा उनके गुणज जैसे 6-8-10, 9-12-15, 10-24-26। हल उदाहरण: 25 मी लंबी सीढ़ी दीवार से टिकी है, पाद 7 मी दूर है। पहुँची ऊँचाई = √(25² − 7²) = √(625 − 49) = √576 = 24 मी — 7-24-25 त्रिक, तुरंत पहचान में आया।

माध्यिका किसी शीर्ष को सम्मुख भुजा के मध्यबिंदु से जोड़ती है। तीनों माध्यिकाएँ केंद्रक पर मिलती हैं, जो प्रत्येक माध्यिका को शीर्ष से नापते हुए 2 : 1 के अनुपात में बाँटता है। हल उदाहरण: एक माध्यिका 18 सेमी लंबी है। तब शीर्ष-से-केंद्रक भाग = (2/3) × 18 = 12 सेमी और केंद्रक-से-मध्यबिंदु भाग = (1/3) × 18 = 6 सेमी। जाँच: 12 + 6 = 18 ✓ तथा 12 : 6 = 2 : 1 ✓

चतुर्भुज की चार भुजाएँ होती हैं, और उसके चारों कोणों का योग सदैव 360° होता है (एक विकर्ण उसे दो त्रिभुजों में बाँट देता है: 2 × 180 = 360)। हल उदाहरण: किसी चतुर्भुज के तीन कोण 70°, 85° व 110° हैं। चौथा = 360 − (70 + 85 + 110) = 360 − 265 = 95°। जाँच: 70 + 85 + 110 + 95 = 360 ✓

n भुजाओं वाले बहुभुज के लिए: अंतःकोणों का योग = (n − 2) × 180°, और बाह्यकोणों का योग सदैव 360° होता है, n कुछ भी हो। सम बहुभुज में प्रत्येक बाह्यकोण = 360/n व प्रत्येक अंतःकोण = (n − 2) × 180 / n। हल उदाहरण (षट्भुज, n = 6): अंतःकोणों का योग = (6 − 2) × 180 = 4 × 180 = 720°, अतः प्रत्येक अंतःकोण = 720 ÷ 6 = 120°, और प्रत्येक बाह्यकोण = 360 ÷ 6 = 60°। जाँच: 120 + 60 = 180 ✓ हल उदाहरण (पंचभुज, n = 5): योग = 3 × 180 = 540°, प्रत्येक अंतःकोण = 540 ÷ 5 = 108°, प्रत्येक बाह्यकोण = 360 ÷ 5 = 72°। जाँच: 108 + 72 = 180 ✓

n भुजाओं वाले बहुभुज के विकर्णों की संख्या n(n − 3)/2 है — प्रत्येक शीर्ष स्वयं व अपने दो पड़ोसियों को छोड़कर सब शीर्षों से जुड़ता है, और हम 2 से भाग देते हैं क्योंकि प्रत्येक विकर्ण दो बार गिना जाता है। हल: चतुर्भुज, n = 4 → 4 × 1 ÷ 2 = 2; षट्भुज, n = 6 → 6 × 3 ÷ 2 = 9; अष्टभुज, n = 8 → 8 × 5 ÷ 2 = 20; दशभुज, n = 10 → 10 × 7 ÷ 2 = 35। उल्टा प्रश्न: किसी सम बहुभुज का प्रत्येक अंतःकोण 144° है, n ज्ञात करें। प्रत्येक बाह्यकोण = 180 − 144 = 36°, अतः n = 360 ÷ 36 = 10 भुजाएँ। जाँच: अंतःकोणों का योग = 8 × 180 = 1440, और 1440 ÷ 10 = 144 ✓

पहले शब्दावली पक्की करें। त्रिज्या (r) केंद्र को वृत्त से जोड़ती है; व्यास = 2r सबसे लंबी जीवा है; जीवा वृत्त के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ती है; छेदक रेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है; स्पर्श रेखा उसे ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है; चाप परिधि का एक टुकड़ा है; त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं व एक चाप से घिरा पिज़्ज़ा-स्लाइस है; वृत्तखंड जीवा द्वारा काटा गया भाग है।

• अर्धवृत्त में बना कोण 90° होता है। अतः यदि AB व्यास है और C वृत्त पर कोई अन्य बिंदु है, तो ∠ACB = 90° — और यदि अन्य दो कोणों में से एक 55° है, तो तीसरा = 180 − 90 − 55 = 35°।
• एक ही चाप पर केंद्र पर बना कोण परिधि पर बने कोण का दुगुना होता है। हल: यदि चाप केंद्र पर 80° बनाता है, तो शेष परिधि के किसी बिंदु पर 80 ÷ 2 = 40° बनाएगा। उल्टा पढ़ें: परिधि पर 35° का कोण अर्थात् केंद्र पर 2 × 35 = 70°।
• चक्रीय चतुर्भुज (चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर) में सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। हल: यदि ∠A = 70° तो ∠C = 180 − 70 = 110°; यदि ∠B = 85° तो ∠D = 95°। साथ ही बहिष्कोण अंतः सम्मुख कोण के बराबर होता है — यहाँ A पर बहिष्कोण 110° है।
• बराबर जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं, और विलोमतः केंद्र से समान दूरी की जीवाएँ बराबर होती हैं। केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है — जीवा से जुड़ा यही सबसे उपयोगी तथ्य है।
• स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है, और बाह्य बिंदु से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।

हल जीवा प्रश्न। 13 सेमी त्रिज्या के वृत्त में 24 सेमी लंबी जीवा है — वह केंद्र से कितनी दूर है? केंद्र से लंब डालें; वह जीवा को समद्विभाजित करता है, अतः अर्ध-जीवा = 24 ÷ 2 = 12 सेमी। अब त्रिज्या, अर्ध-जीवा व दूरी एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं जिसमें त्रिज्या कर्ण है: दूरी = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5 सेमी (5-12-13 त्रिक)। उल्टा करें: 17 सेमी त्रिज्या के वृत्त के केंद्र से 8 सेमी दूर जीवा की अर्ध-लंबाई = √(289 − 64) = √225 = 15, अतः जीवा = 30 सेमी।

हल स्पर्श रेखा प्रश्न। 8 सेमी त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र से 17 सेमी दूर बिंदु से स्पर्श रेखा खींची गई। चूँकि स्पर्श रेखा त्रिज्या से 90° पर मिलती है, त्रिज्या, स्पर्श रेखा व केंद्र तक की रेखा एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं जिसमें 17 सेमी वाली रेखा कर्ण है: स्पर्श रेखा की लंबाई = √(17² − 8²) = √(289 − 64) = √225 = 15 सेमी (8-15-17 त्रिक)।

चाप व त्रिज्यखंड। केंद्रीय कोण θ के लिए: चाप की लंबाई = (θ/360) × 2πr तथा त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल = (θ/360) × πr²। हल उदाहरण: r = 21 सेमी, θ = 60°, π = 22/7। परिधि = 2 × (22/7) × 21 = 2 × 22 × 3 = 132 सेमी, अतः चाप = (60/360) × 132 = 132 ÷ 6 = 22 सेमी। पूरे वृत्त का क्षेत्रफल = (22/7) × 21 × 21 = 22 × 63 = 1386 सेमी², अतः त्रिज्यखंड = 1386 ÷ 6 = 231 सेमी²। शॉर्टकट से जाँच: त्रिज्यखंड = ½ × चाप × r = ½ × 22 × 21 = 231 सेमी² ✓

द्विविमीय हल उदाहरण, पूरी गणना सहित। (1) हीरोन: भुजाएँ 13, 14, 15 → s = (13 + 14 + 15)/2 = 42/2 = 21; s − a = 8, s − b = 7, s − c = 6; गुणनफल = 21 × 8 × 7 × 6 = 168 × 42 = 7056; क्षेत्रफल = √7056 = 84 सेमी²। (2) समबाहु, a = 8: क्षेत्रफल = (√3/4) × 64 = 16√3 सेमी² ≈ 27.7 सेमी²; ऊँचाई = (√3/2) × 8 = 4√3 सेमी। (3) वृत्त, r = 7, π = 22/7: क्षेत्रफल = (22/7) × 49 = 22 × 7 = 154 सेमी²; परिधि = 2 × (22/7) × 7 = 44 सेमी। (4) अर्धवृत्त, r = 7: क्षेत्रफल = 154 ÷ 2 = 77 सेमी²; परिमाप = 22 + 14 = 36 सेमी। (5) समलंब, समांतर भुजाएँ 12 सेमी व 8 सेमी, ऊँचाई 5 सेमी: क्षेत्रफल = ½ × (12 + 8) × 5 = ½ × 100 = 50 सेमी²। (6) वलय, R = 14, r = 7: क्षेत्रफल = (22/7) × (196 − 49) = (22/7) × 147 = 22 × 21 = 462 सेमी²।

घन व घनाभ हल। 6 सेमी कोर वाला घन: आयतन = 6³ = 216 सेमी³, संपूर्ण पृष्ठ = 6 × 36 = 216 सेमी², पार्श्व पृष्ठ = 4 × 36 = 144 सेमी², विकर्ण = 6√3 सेमी। घनाभ 10 × 8 × 6 सेमी: आयतन = 480 सेमी³; संपूर्ण पृष्ठ = 2(10×8 + 8×6 + 6×10) = 2(80 + 48 + 60) = 2 × 188 = 376 सेमी²; पार्श्व पृष्ठ = 2 × 6 × (10 + 8) = 12 × 18 = 216 सेमी²; विकर्ण = √(100 + 64 + 36) = √200 = 10√2 सेमी।

वक्र ठोसों के हल, π = 22/7। बेलन r = 7, h = 10: आयतन = (22/7) × 49 × 10 = 22 × 7 × 10 = 1540 सेमी³; वक्र पृष्ठ = 2 × (22/7) × 7 × 10 = 440 सेमी²; संपूर्ण पृष्ठ = 440 + 2 × 154 = 748 सेमी²। शंकु r = 7, h = 24: पहले l = √(49 + 576) = √625 = 25 सेमी; आयतन = (1/3) × (22/7) × 49 × 24 = (1/3) × 22 × 7 × 24 = 22 × 7 × 8 = 1232 सेमी³; वक्र पृष्ठ = (22/7) × 7 × 25 = 550 सेमी²; संपूर्ण पृष्ठ = 550 + 154 = 704 सेमी²। गोला r = 21: आयतन = (4/3) × (22/7) × 9261 = (4/3) × 22 × 1323 = 4 × 22 × 441 = 38,808 सेमी³; पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4 × (22/7) × 441 = 4 × 22 × 63 = 5544 सेमी²। अर्धगोला r = 21: आयतन = 38,808 ÷ 2 = 19,404 सेमी³; वक्र पृष्ठ = 2 × (22/7) × 441 = 2772 सेमी²; संपूर्ण पृष्ठ = 3 × (22/7) × 441 = 3 × 1386 = 4158 सेमी²।

गलाना व ढालना — एक ही नियम: आयतन कभी नहीं बदलता। "पुराना आयतन = नया आयतन" लिखें और π को निर्दयता से काट दें। (1) 6 सेमी त्रिज्या का ठोस गोला गलाकर 2 सेमी त्रिज्या के छोटे गोले बनाए गए — कितने? संख्या = 6³/2³ = 216/8 = 27। (2) 6 सेमी त्रिज्या व 15 सेमी ऊँचाई का बेलन 3 सेमी त्रिज्या व 5 सेमी ऊँचाई के शंकुओं में ढाला गया। बेलन = π × 36 × 15 = 540π; एक शंकु = ⅓ × π × 9 × 5 = 15π; संख्या = 540π ÷ 15π = 36 शंकु। (3) 6 सेमी त्रिज्या का गोला गलाकर 4 सेमी त्रिज्या का बेलन बनाया — उसकी ऊँचाई ज्ञात करें। गोला = (4/3)π × 216 = 288π; बेलन = π × 16 × h; अतः 16h = 288 → h = 18 सेमी। (4) 12 सेमी कोर वाला घन गलाकर 3 सेमी कोर के घन बनाए गए। संख्या = 12³/3³ = 1728/27 = 64।

सर्वसमिकाएँ सजावट नहीं हैं — वे कठिन गणना को दो पंक्तियों में बदल देती हैं। किसी गोल संख्या के निकट वर्ग: 103² = (100 + 3)² = 10000 + 600 + 9 = 10609 तथा 98² = (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604। किसी गोल संख्या से समान दूरी पर स्थित युग्म का गुणा: 97 × 103 = 100² − 3² = 9991, और 48 × 52 = 50² − 2² = 2500 − 4 = 2496। पैटर्न देखें: सदैव मध्य-बिंदु और अंतर ढूँढ़ें।

रैखिक समीकरण। एक चर: 3x + 7 = 25 → 3x = 25 − 7 = 18 → x = 6। जाँच: 3(6) + 7 = 25 ✓ दो चर (प्रतिस्थापन विधि): 2x + 3y = 13 व 4x − y = 5 हल करें। दूसरे से y = 4x − 5। प्रतिस्थापित करें: 2x + 3(4x − 5) = 13 → 2x + 12x − 15 = 13 → 14x = 28 → x = 2, फिर y = 4(2) − 5 = 3। दोनों की जाँच: 2(2) + 3(3) = 4 + 9 = 13 ✓ तथा 4(2) − 3 = 5 ✓

द्विघात समीकरण। ax² + bx + c = 0 के मूल x = (−b ± √D)/2a होते हैं, जहाँ विविक्तकर D = b² − 4ac। यदि D > 0 तो दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 तो दोनों मूल वास्तविक व बराबर, और D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं। साथ ही मूलों का योग = −b/a व मूलों का गुणनफल = c/a। हल: x² − 7x + 12 = 0 → D = 49 − 48 = 1 > 0 → x = (7 ± 1)/2 = 4 व 3; योग 4 + 3 = 7 = −(−7)/1 ✓, गुणनफल 4 × 3 = 12 = c/a ✓। हल: 2x² − 7x + 3 = 0 → D = 49 − 24 = 25 → x = (7 ± 5)/4 = 3 व ½; योग = 3½ = 7/2 ✓, गुणनफल = 3/2 ✓। हल: x² − 6x + 9 = 0 → D = 36 − 36 = 0 → बराबर मूल x = 3, 3। हल: x² + x + 1 = 0 → D = 1 − 4 = −3 < 0 → कोई वास्तविक मूल नहीं। हल: किस k के लिए x² + kx + 16 = 0 के मूल बराबर होंगे? D = k² − 64 = 0 → k = ±8।

शब्दों को समीकरण में बदलना। वाक्यांश-दर-वाक्यांश अनुवाद करें: "है" → =, "का" → ×, "से अधिक" → +, "से कम" → −, "दुगुना" → 2×, "n वर्ष बाद" → प्रत्येक आयु में n जोड़ें। (1) एक पिता अपने पुत्र से 3 गुना बड़ा है; 12 वर्ष बाद वह दुगुना होगा। वर्तमान आयु ज्ञात करें। पुत्र x मानें, तो पिता 3x। तब 3x + 12 = 2(x + 12) → 3x + 12 = 2x + 24 → x = 12, पिता = 36। जाँच: 12 वर्ष बाद 48 व 24, और 48 = 2 × 24 ✓ (2) दो संख्याओं का योग 15 व गुणनफल 56 है। तब x² − 15x + 56 = 0 → D = 225 − 224 = 1 → x = (15 ± 1)/2 = 8 व 7। जाँच: 8 + 7 = 15 ✓, 8 × 7 = 56 ✓ (3) एक आयत का परिमाप 44 सेमी है और उसकी लंबाई चौड़ाई से 4 सेमी अधिक है। तब l + b = 22 व l = b + 4 → 2b + 4 = 22 → b = 9 सेमी, l = 13 सेमी, क्षेत्रफल = 117 सेमी²। जाँच: 2(13 + 9) = 44 ✓

यहाँ सब कुछ गणना के मूल सिद्धांत पर आधारित है: यदि एक कार्य m तरीकों से और स्वतंत्र रूप से दूसरा n तरीकों से हो सकता है, तो दोनों मिलकर m × n तरीकों से होंगे। 3 कमीज़ व 4 पतलून से 3 × 4 = 12 पोशाकें; 2 जोड़ी जूते जोड़ें तो 3 × 4 × 2 = 24। दूसरा उपकरण है क्रमगुणित: n! = n × (n − 1) × … × 1, और परिभाषा से 0! = 1। अतः 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040। उपयोगी आदत: क्रमगुणित को फैलाने के बदले काटें — 7!/5! = 7 × 6 = 42।

क्रमचय = व्यवस्थापन, जिसमें क्रम महत्वपूर्ण है: nPr = n!/(n − r)!। संचय = चयन, जिसमें क्रम महत्वपूर्ण नहीं: nCr = n!/[r!(n − r)!]। दोनों nPr = nCr × r! से जुड़े हैं। हल: 5P3 = 5!/2! = 120/2 = 60; 5C3 = 5!/(3!·2!) = 120/12 = 10; जाँच 10 × 3! = 10 × 6 = 60 ✓ मुख्य शॉर्टकट: nCr = nC(n − r), अतः 5C3 = 5C2 = (5 × 4)/2 = 10 तथा 20C18 = 20C2 = (20 × 19)/2 = 190 — 20! कभी न फैलाएँ। साथ ही nC0 = nCn = 1 व nC1 = n। और अभ्यास: 10C2 = 45, 8C3 = (8 × 7 × 6)/6 = 56, 7P2 = 7 × 6 = 42।

दोहराव वाले अक्षरों का व्यवस्थापन। यदि n अक्षरों के शब्द में एक अक्षर p बार, दूसरा q बार दोहराया गया हो, तो भिन्न व्यवस्थाओं की संख्या n!/(p! × q! × …) है। हल: PATNA में 5 अक्षर, A दो बार → 5!/2! = 120/2 = 60। BANANA में 6 अक्षर, A तीन बार व N दो बार → 6!/(3! × 2!) = 720/(6 × 2) = 60। LEVEL में 5 अक्षर, L दो बार व E दो बार → 5!/(2! × 2!) = 120/4 = 30। BIHAR में 5 भिन्न अक्षर → 5! = 120। और गोल मेज़ पर एक स्थान संदर्भ हेतु स्थिर मान लिया जाता है, अतः n व्यक्ति (n − 1)! तरीकों से बैठते हैं: 5 व्यक्ति → 4! = 24।

समिति का चयन। 6 पुरुष व 4 महिलाओं से 3 सदस्यों की समिति बनानी है। कुल तरीके = 10C3 = (10 × 9 × 8)/6 = 120। ठीक 1 महिला = 4C1 × 6C2 = 4 × 15 = 60। ठीक 2 महिलाएँ = 4C2 × 6C1 = 6 × 6 = 36। तीनों महिलाएँ = 4C3 = 4। कोई महिला नहीं = 6C3 = 20। जाँचें कि सभी स्थितियाँ पूरी हुईं: 20 + 60 + 36 + 4 = 120 ✓ और कम से कम एक महिला = 120 − 20 = 100 — पूरक निकालना 60 + 36 + 4 जोड़ने से बहुत तेज़ है।

प्रायिकता = अनुकूल परिणाम ÷ कुल परिणाम, जो सदैव 0 (असंभव) व 1 (निश्चित) के बीच होती है, और P(E नहीं) = 1 − P(E)। दो पासों से हल (36 परिणाम): योग = 7 इस प्रकार आता है 1-6, 2-5, 3-4, 4-3, 5-2, 6-1 → 6 स्थितियाँ → 6/36 = 1/6; योग = 8 आता है 2-6, 3-5, 4-4, 5-3, 6-2 → 5/36; योग ≥ 10 अर्थात् 10 (3 तरीके), 11 (2 तरीके), 12 (1 तरीका) = 6 स्थितियाँ → 1/6। तीन सिक्कों से हल (8 परिणाम): ठीक दो चित = चिचिप, चिपचि, पचिचि → 3/8; कम से कम एक चित = 1 − P(कोई चित नहीं) = 1 − 1/8 = 7/8 — पूरक सात स्थितियाँ लिखने से बचा देता है। 52 पत्तों से हल: P(लाल) = 26/52 = 1/2, P(इक्का) = 4/52 = 1/13, P(इक्का या बादशाह) = 8/52 = 2/13।

प्रतिस्थापन के बिना निकालना, तथा दो "या/और" नियम। एक थैले में 5 लाल व 3 काली गेंदें हैं और 2 गेंदें एक साथ निकाली जाती हैं। कुल तरीके = 8C2 = 28। P(दोनों लाल) = 5C2/8C2 = 10/28 = 5/14; P(एक-एक) = (5 × 3)/28 = 15/28; P(दोनों काली) = 3C2/28 = 3/28। जाँच: 10 + 15 + 3 = 28 ✓ चरण-दर-चरण वही उत्तर: 5/8 × 4/7 = 20/56 = 5/14 — हर 8 से 7 हो जाता है ठीक इसीलिए कि पहली गेंद वापस नहीं रखी गई। अब नियम: परस्पर अपवर्जी घटनाएँ साथ नहीं हो सकतीं, अतः P(A या B) = P(A) + P(B) — पासे पर 2 या 5 आना = 1/6 + 1/6 = 1/3। स्वतंत्र घटनाएँ एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करतीं, अतः P(A और B) = P(A) × P(B) — दोनों पासों पर 6 आना = 1/6 × 1/6 = 1/36।