अशाब्दिक एवं दृश्य तर्कशक्ति

अशाब्दिक तर्कशक्ति में आपको शब्दों के बजाय आकृतियों में सोचना होता है — दर्पण प्रतिबिम्ब, मुड़ा हुआ कागज़, पासा, रंगा हुआ घन, छिपी आकृतियाँ। वास्तविक प्रश्नपत्र में ये चित्रों के रूप में आते हैं। यह अध्याय चित्र नहीं छाप सकता, अतः वह इससे अधिक उपयोगी कार्य करता है: वह हर प्रकार के पीछे का नियम सिखाता है — अक्षरों और अंकों (जिनकी आकृति आप पहले से जानते हैं), अंकित पासों, तथा शब्दों में ठीक-ठीक वर्णित आकृतियों की सहायता से। नियम यहाँ सीख लीजिए, फिर परीक्षक कोई भी चित्र दे — आप हल कर लेंगे।

दर्पण प्रतिबिम्ब

ℹ️ यह अध्याय कैसे पढ़ें

नीचे का हर उदाहरण केवल शब्दों से हल हो जाता है। जहाँ किसी विषय के लिए चित्र वास्तव में आवश्यक है — जैसे आकृति-श्रेणी या अंतर्निहित आकृति — वहाँ यह अध्याय नकली चित्र नहीं गढ़ता। वह आपको जाँच का नियम देता है, जिससे परीक्षा-कक्ष में आप जानें कि पहले क्या देखना है। छात्र वास्तव में यही भाग गलत करते हैं।

दर्पण ऊर्ध्वाधर अक्ष पर खड़ा होता है — सामान्यतः वस्तु के दाएँ या बाएँ। अतः वह बाएँ-दाएँ को बदल देता है, और ऊपर-नीचे को जैसा था वैसा ही छोड़ देता है। कुछ भी उल्टा नहीं होता। यही एक वाक्य अधिकांश दर्पण-प्रतिबिम्ब प्रश्न हल कर देता है।

ऊर्ध्वाधर अक्ष पर सममित बड़े अक्षर व अंक — दर्पण में ये अपरिवर्तित दिखते हैं
वर्ग	सदस्य	कारण
बड़े अक्षर (11)	A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y	इनका बायाँ आधा भाग दाएँ आधे का दर्पण है
अंक (2)	0, 8	दोनों बाएँ-दाएँ संतुलित बंद वृत्तों से बने हैं
शेष सब	B, C, D, E, F, G, J, K, L, N, P, Q, R, S, Z तथा 1–7, 9	बाएँ-दाएँ पलटता है, अतः पार्श्व-उल्टा दिखता है

🧠 याद रखने की ट्रिक

ग्यारह बिखरे अक्षर रटिए नहीं। पैटर्न देखिए: A, H, I, M, O और फिर अटूट पूँछ T, U, V, W, X, Y। इसे "AHIMO + TUVWXY" बोलिए। अंकों में 0 और 8 जोड़ दें। दर्पण में पूर्णतः पठनीय रहने वाले छह शब्द: MOM, WOW, TOOT, MUM, TOT, HAH — सभी पैलिंड्रोम, केवल AHIMO-TUVWXY अक्षरों से बने।

पूरे शब्द में दो बातें साथ होती हैं, और छात्र सामान्यतः एक ही याद रखते हैं। पहली, अक्षरों का क्रम उलट जाता है (अंतिम अक्षर अब दर्पण के सबसे निकट)। दूसरी, प्रत्येक अक्षर पार्श्व-उल्टा हो जाता है — बशर्ते वह ऊपर दिए सममित अक्षरों में न हो। दोनों प्रभाव एक साथ लगते हैं।

MOM → क्रम उलटिए: M-O-M, फिर भी MOM (यह पैलिंड्रोम है)। प्रत्येक अक्षर M, O, M सममित है। अतः दर्पण प्रतिबिम्ब MOM, पूर्णतः अपरिवर्तित पढ़ा जाता है।
BOOK → क्रम उलटिए: K-O-O-B। अब हर अक्षर जाँचिए: K और B सममित नहीं हैं, अतः दोनों पार्श्व-उल्टे दिखते हैं; दोनों O अपरिवर्तित। अतः दर्पण में अक्षर K, O, O, B के क्रम में दिखते हैं, जिनमें K और B पलटे हुए हैं।
MAXIMUM → प्रत्येक अक्षर (M, A, X, I, M, U, M) सममित है, अतः किसी अक्षर की आकृति नहीं बदलती; परंतु क्रम तो उलटेगा, अतः दर्पण में MUMIXAM पढ़ा जाता है। यही आधे अंक का प्रसिद्ध जाल है।
HIT 108 → सब उलटिए: 801 TIH। H, I, T, 0, 8 सभी सममित हैं; केवल 1 पलटता है। अतः आकृतियाँ लगभग नहीं बदलतीं, पर पढ़ने का क्रम पूरा उलट जाता है।

जल प्रतिबिम्ब

जल प्रतिबिम्ब वह परछाईं है जो शांत तालाब में दिखती है। दर्पण अब क्षैतिज अक्ष पर, वस्तु के नीचे है। अतः वह ऊपर-नीचे बदल देता है, और बाएँ-दाएँ जैसा था वैसा ही छोड़ देता है। महत्वपूर्ण बात: अक्षरों का क्रम नहीं उलटता — शब्द अब भी बाएँ से दाएँ ही पढ़ा जाता है।

क्षैतिज अक्ष पर सममित बड़े अक्षर व अंक — जल में ये अपरिवर्तित दिखते हैं
वर्ग	सदस्य	कारण
बड़े अक्षर (9)	B, C, D, E, H, I, K, O, X	इनका ऊपरी आधा भाग निचले आधे का दर्पण है
अंक (4)	0, 1, 3, 8	मध्य रेखा के ऊपर-नीचे संतुलित
दर्पण-सूची से तुलना	केवल H, I, O (तथा 0, 8) दोनों सूचियों में हैं	ये कुछ ही दर्पण प्रतिबिम्ब तथा जल प्रतिबिम्ब — दोनों में टिकते हैं

🧠 याद रखने की ट्रिक

जल-सूची का भी अपना पैटर्न है: वर्णमाला के आरंभ की लड़ी B, C, D, E, फिर H, I, K, O, X। बोलिए "BCDE + HIKOX"। अंक: 0, 1, 3, 8। और अध्यारोहण याद रखिए — H, I, O, 0, 8 ही दोनों प्रकार के प्रतिबिम्बों के सच्चे विजेता हैं।

BOOK → क्रम B-O-O-K ही रहता है। अब जल-सूची से हर अक्षर जाँचिए: B ✓, O ✓, O ✓, K ✓ — चारों क्षैतिज अक्ष पर सममित हैं। अतः BOOK का जल प्रतिबिम्ब BOOK, पूर्णतः अपरिवर्तित है।
HIDE → H, I, D, E सभी जल-सूची में हैं, क्रम अपरिवर्तित, अतः जल प्रतिबिम्ब HIDE ही पढ़ा जाता है। परंतु इसका दर्पण प्रतिबिम्ब EDIH पढ़ा जाता है, जिसमें E और D पलटे रहते हैं।
1308 → चारों अंक (1, 3, 0, 8) जल-सूची में हैं, अतः जल प्रतिबिम्ब 1308 ही रहता है। परंतु दर्पण प्रतिबिम्ब क्रम उलटकर 8031 कर देता है, जिसमें 1 और 3 पलटे रहते हैं।
MOM → उल्टा मामला। दर्पण में MOM अपरिवर्तित है, परंतु जल में M क्षैतिज अक्ष पर सममित नहीं है, अतः हर M, W जैसी आकृति बन जाता है: जल प्रतिबिम्ब WOW जैसा दिखता है, MOM नहीं।

⚠️ दर्पण बनाम जल — एक ही शब्द, दो भिन्न उत्तर

BOOK लीजिए। इसका जल प्रतिबिम्ब BOOK है (अपरिवर्तित — B, O, O, K सभी क्षैतिज सममित और क्रम बना रहता है)। इसका दर्पण प्रतिबिम्ब K, O, O, B है (क्रम उलटा, K व B पार्श्व-उल्टे)। एक ही शब्द, विपरीत उत्तर। अतः विकल्पों को छूने से पहले प्रश्न दोबारा पढ़कर एक बात तय कीजिए: प्रतिबिम्ब ऊर्ध्वाधर अक्ष पर है (दर्पण → क्रम उलटिए) या क्षैतिज अक्ष पर (जल → क्रम वही रखिए)? यह चरण छोड़ने वाले छात्र दोनों अक्षर-सूचियाँ जानते हुए भी अंक खो देते हैं।

कागज़ मोड़ना, छेदना व काटना

कागज़ के सभी प्रश्न एक ही विचार पर टिके हैं: छेद उन सभी परतों को काटता है जिनसे वह गुजरता है, अतः छेदों की संख्या बिंधी परतों की संख्या के बराबर होती है। उत्तर पाने हेतु पूरी शीट एक ही छलाँग में कल्पना न कीजिए। पीछे की ओर चलिए, एक-एक चरण खोलिए, और हर खोलने पर उस मोड़-रेखा के आर-पार प्रतिबिम्ब बनाकर छेद दुगुने कीजिए।

चूँकि प्रत्येक मोड़ परतें दुगुनी करता है, n मोड़ एक ही छेद को 2ⁿ छेदों में बदल देते हैं — बशर्ते छेद किसी मोड़-रेखा पर न पड़े। अतः 1 मोड़ → 2 छेद, 2 मोड़ → 4 छेद, 3 मोड़ → 8 छेद। 2 मोड़ों के साथ दो छेद करने पर 4 + 4 = 8 छेद।

हल किया उदाहरण 1 — एक मोड़। एक वर्गाकार शीट लीजिए और उसे चार चतुर्थांशों में सोचिए: ऊपर-बाएँ, ऊपर-दाएँ, नीचे-बाएँ, नीचे-दाएँ। दाएँ आधे को ठीक बाएँ आधे पर मोड़िए, जिससे मोड़ ऊर्ध्वाधर केंद्र-रेखा पर बने और पुलिंदा दो परत मोटा हो। अब पुलिंदे के ऊपरी भाग के मध्य में, मोड़ से स्पष्ट दूर, एक छेद कीजिए।
उदाहरण 1 का उत्तर: 2 परतें बिंधीं → 2 छेद (= 2¹)। खोलिए और ऊर्ध्वाधर केंद्र-रेखा के आर-पार प्रतिबिम्ब बनाइए: एक छेद ऊपर-बाएँ चतुर्थांश में और उसका जोड़ा ऊपर-दाएँ चतुर्थांश में, दोनों ऊपरी किनारे से समान ऊँचाई पर तथा केंद्र-रेखा से समान दूरी पर।
हल किया उदाहरण 2 — दो मोड़। वर्ग से फिर आरंभ कीजिए। मोड़ 1: दायाँ आधा बाएँ आधे पर (केंद्र पर ऊर्ध्वाधर मोड़)। मोड़ 2: निचला आधा ऊपरी आधे पर (केंद्र पर क्षैतिज मोड़)। पुलिंदा अब एक चतुर्थांश है — मानिए ऊपर-बायाँ — और चार परत मोटा है। उस चतुर्थांश के मध्य के पास, किसी मोड़ पर नहीं, एक छेद कीजिए।
उदाहरण 2 का उत्तर: 4 परतें बिंधीं → 4 छेद (= 2²)। पहले क्षैतिज मोड़ खोलिए: ऊपर-बाएँ चतुर्थांश का छेद नीचे-बाएँ चतुर्थांश में जोड़ा पा लेता है। अब ऊर्ध्वाधर मोड़ खोलिए: वे दोनों ऊपर-दाएँ व नीचे-दाएँ चतुर्थांशों में प्रतिबिम्बित हो जाते हैं। अंतिम चित्र: चारों चतुर्थांशों में एक-एक छेद, सभी ऊर्ध्वाधर केंद्र-रेखा से समान दूरी पर तथा क्षैतिज केंद्र-रेखा से समान दूरी पर — चारों छेद शीट के मध्य पर केंद्रित एक आयत के कोने हैं।

⚠️ मोड़-रेखा पर पड़ा छेद दुगुना नहीं होता

2ⁿ नियम यह मानता है कि छेद हर मोड़ से दूर है। यदि छेद किसी मोड़-रेखा पर पड़ता है, तो उस मोड़ को खोलने पर मोड़ के आर-पार फैला एक बड़ा छेद बनता है, दो अलग छेद नहीं। उदाहरण: उदाहरण 2 की भाँति दो बार मोड़िए, परंतु छेद ठीक दूसरे (क्षैतिज) मोड़ पर कीजिए। मोड़ 2 खोलने पर क्षैतिज केंद्र-रेखा पर फैला एक छेद मिलता है; फिर मोड़ 1 खोलने पर वह दुगुना होता है। कुल = 2 छेद, 4 नहीं। गुणा करने से पहले छेद की स्थिति मोड़ों के सापेक्ष अवश्य जाँचिए।

कागज़ काटना उसी तर्क पर चलता है, केवल कहाँ काटा गया — इसका एक अतिरिक्त नियम जुड़ता है। मोड़-रेखा को छूने वाला कट खुलने पर मोड़ पर फैली एक सममित आकृति बनाता है। खुले किनारे पर (मोड़ से दूर) किया गया कट खुलने पर दो दर्पण-प्रतिबिम्ब कटान बनाता है। बच्चे कागज़ के बर्फ-फूल ठीक इसी प्रकार बनाते हैं।

हल किया कटान उदाहरण। वर्ग के दाएँ आधे को बाएँ आधे पर मोड़िए। पुलिंदे का दायाँ किनारा मोड़ है; उसका बायाँ किनारा शीट के मूल बाएँ व दाएँ किनारों को एक-दूसरे पर रखे हुए है। मोड़ की आधी ऊँचाई पर, एक छोटा त्रिभुज काट दीजिए जिसका आधार मोड़ के साथ हो।
खोलिए: त्रिभुज मोड़ के आर-पार दुगुना होता है, अतः दोनों आधे जुड़कर ठीक ऊर्ध्वाधर केंद्र-रेखा पर बैठा एक हीरे-आकार (समचतुर्भुज) का छिद्र बनाते हैं, शीट की आधी ऊँचाई पर। एक कट, एक छिद्र — दो नहीं।
अब केवल स्थान बदलिए। वही त्रिभुज पुलिंदे के बाएँ किनारे से काटिए। खोलने पर दो अलग त्रिभुजाकार कटान मिलते हैं — एक शीट के बाएँ किनारे पर व एक दाएँ किनारे पर, समान ऊँचाई पर, एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिम्ब।
दो मोड़, केंद्र-कोने पर एक कट। वर्ग को दो बार मोड़िए (ऊर्ध्वाधर, फिर क्षैतिज)। पुलिंदे का वह कोना जहाँ दोनों मोड़ मिलते हैं, शीट का केंद्र है। उस कोने को काटकर खोलिए: आपको ठीक केंद्र पर एक ही छिद्र मिलता है, जो दोनों केंद्र-रेखाओं पर सममित है — कट के चार चतुर्थांश जुड़कर एक आकृति बन जाते हैं।

घन व पासा — सम्मुख फलक ज्ञात करना

घन में 6 फलक, 12 किनारे व 8 कोने होते हैं। घन के किसी एक दृश्य में अधिकतम तीन फलक दिख सकते हैं, और वे तीनों एक कोने पर मिलते हैं — अतः वे परस्पर संलग्न हैं। इससे स्वर्ण-नियम निकलता है: एक ही दृश्य में साथ दिखे कोई भी दो अंक कभी एक-दूसरे के सम्मुख नहीं हो सकते। हर पासा-प्रश्न पड़ोसियों को हटाते-हटाते हल होता है, जब तक एक ही उम्मीदवार बचे।

दो-दृश्य उदाहरण: दो फलक समान हैं
स्थिति	दिखते फलक
स्थिति I	2, 3, 5
स्थिति II	2, 3, 6

यहाँ 2 व 3 दोनों दृश्यों में समान हैं, और केवल तीसरा फलक बदलता है (पहले 5, फिर 6)। तर्क कीजिए: फलक 2 व 3 एक किनारा साझा करते हैं, और उस किनारे के दो सिरे हैं। एक सिरे पर तीसरा फलक 5 है; दूसरे सिरे पर वह 5 के सम्मुख फलक होना चाहिए। चूँकि दूसरा दृश्य उस कोने पर 6 दिखाता है, अतः 6, 5 के सम्मुख है। सामान्य परिणाम: जब दो दृश्यों में दो फलक समान हों, तो दोनों भिन्न फलक एक-दूसरे के सम्मुख होते हैं — और दोनों समान फलक उन दोनों से संलग्न होते हैं।

तीन-दृश्य उदाहरण: उस अंक को खोजिए जो चार अन्य से मिलता है
स्थिति	दिखते फलक	यह क्या सिद्ध करता है
स्थिति I	1, 2, 3	1, 2 व 3 से संलग्न है
स्थिति II	1, 3, 4	1, 4 से भी संलग्न है
स्थिति III	1, 4, 5	1, 5 से भी संलग्न है

अंक 1 अब 2, 3, 4 व 5 के साथ दिख चुका है — यानी चार भिन्न पड़ोसी, और किसी फलक के ठीक चार पड़ोसी होते हैं। अतः शेष एकमात्र अंक 6, 1 के सम्मुख है। पासा पूरा कीजिए: 3, 2 के साथ तथा 4 के साथ दिखा है, अतः 3 इनमें से किसी के सम्मुख नहीं हो सकता — इसलिए 3, 5 के सम्मुख है, और अंतिम जोड़ा 2 सम्मुख 4 है। पूर्ण उत्तर: 1–6, 2–4, 3–5। विधि देखिए: पहले उस अंक को खोजिए जिसके चारों पड़ोसी ज्ञात हैं; शेष विलोपन से निकल आता है।

साधारण (मानक) पासे की परिपाटी: सम्मुख फलकों का योग 7
फलक	सम्मुख फलक	योग
1	6	7
2	5	7
3	4	7

⚠️ दो पासा-जाल जो सरल अंक छीन लेते हैं

(1) संलग्न का अर्थ सम्मुख नहीं। यदि किसी दृश्य में 2 व 5 साथ दिखें, तो उस घन पर 2 व 5 पड़ोसी हैं — अतः वह साधारण पासा नहीं है और योग-7 की शॉर्टकट लागू नहीं होती। उसके स्थान पर समान-फलक विधि प्रयोग कीजिए। (2) "योग = 7" केवल तब प्रयोग कीजिए जब प्रश्न कहे कि पासा साधारण या मानक है। जब प्रश्नपत्र केवल अंकों वाले घन के दृश्य दे, तो जोड़े दृश्यों से निकालिए; 7 का नियम बाहर से न थोपिए। यह भी याद रखिए: घन के दृश्य में अधिकतम तीन फलक दिख सकते हैं, अतः चार फलक दिखने का दावा करने वाला कोई भी विकल्प मूलतः ही गलत है।

रंगा हुआ घन

n इकाई भुजा वाले एक घन को छहों फलकों पर रंगा जाता है और फिर n³ इकाई घनों में काटा जाता है। कितने छोटे घनों के 3, 2, 1 या 0 फलक रंगे हैं? गिनिए नहीं — सोचिए कि छोटा घन बड़े घन में कहाँ बैठा है। उसकी स्थिति ही तय करती है कि उसके कितने फलक बाहर थे।

🧠 घन स्वयं सूत्र बता देता है

चार सूत्र रटिए नहीं — घन से पढ़ लीजिए। घन में 8 कोने, 12 किनारे, 6 फलक होते हैं। कोने का छोटा घन 3 फलक रंगा रखता है → सदैव 8। किनारे के मध्य का छोटा घन 2 फलक रंगा रखता है, और हर किनारे पर (n−2) मध्य-घन होते हैं → 12(n−2)। फलक के मध्य का छोटा घन 1 फलक रंगा रखता है, और हर फलक पर (n−2)² मध्य-घन होते हैं → 6(n−2)²। भीतर छिपा सब 0 फलक रंगा रखता है, और भीतर का भाग स्वयं (n−2) भुजा का घन है → (n−2)³। अतः: 8, 12×, 6×, भीतर — कोना-किनारा-फलक-अंतःभाग की कहानी।

रंगे घन के सूत्र, n = 4 व n = 5 सहित हल
रंगे फलक	स्थान	सूत्र	n = 4 (64 घन)	n = 5 (125 घन)
3 फलक	कोने पर	8 (सदैव)	8	8
2 फलक	किनारे के मध्य	12(n−2)	12 × 2 = 24	12 × 3 = 36
1 फलक	फलक के मध्य	6(n−2)²	6 × 4 = 24	6 × 9 = 54
0 फलक	भीतर छिपा	(n−2)³	2³ = 8	3³ = 27
कुल जाँच	सभी छोटे घन	n³	8+24+24+8 = 64 ✓	8+36+54+27 = 125 ✓

कुल जाँच सदैव कीजिए। चारों गणनाओं का योग n³ होना चाहिए, क्योंकि हर छोटा घन या कोना, या किनारे का मध्य, या फलक का मध्य, या अंतःभाग का घन है। n = 4 के लिए: 8 + 24 + 24 + 8 = 64 = 4³ ✓। n = 5 के लिए: 8 + 36 + 54 + 27 = 125 = 5³ ✓। यदि आपके चार अंकों का योग n³ न हो, तो गणना में चूक हुई है — विकल्प चुनने से पहले सुधारिए।
"कम-से-कम एक फलक रंगा" = n³ − (n−2)³ (छिपे अंतःभाग को छोड़कर सब)। n = 4 के लिए: 64 − 8 = 56। n = 5 के लिए: 125 − 27 = 98। प्रश्न ध्यान से पढ़िए: ठीक एक फलक वाले 6(n−2)² हैं, जबकि कम-से-कम एक वाले यह बहुत बड़ी संख्या है।
सबसे छोटा मामला, n = 3 (27 घन): 3 फलक वाले 8 कोने, 2 फलक वाले 12 × 1 = 12, 1 फलक वाले 6 × 1 = 6, तथा बिना रंग वाला 1³ = 1 — ठीक हृदय पर बैठा एकमात्र घन। 8 + 12 + 6 + 1 = 27 ✓। यदि n = 2 हो, तो अंतःभाग ही नहीं होता: सभी 8 छोटे घनों के 3 फलक रंगे होते हैं।

आकृतियाँ गिनना — एक भी छूटे नहीं

गिनती के प्रश्न कठिनाई से नहीं, असावधानी से छूटते हैं। आकृति देखकर अनुमान कभी न लगाइए। हर बार एक निश्चित क्रम अपनाइए: पहले सबसे छोटी इकाइयाँ गिनिए, फिर दो इकाइयों से बनी आकृतियाँ, फिर तीन, और इसी प्रकार, अंत में पूरी आकृति। समूहों को अंत में जोड़ दीजिए। त्रिभुजों के लिए दूसरी, अचूक जाँच: तीन अंकित बिंदुओं का हर समूह लिखिए और केवल वे रखिए जिनकी तीनों मिलाने वाली रेखाएँ वास्तव में खींची गई हैं।

उदाहरण A — एक माध्यिका। त्रिभुज ABC लीजिए। D को BC का मध्यबिंदु मानिए, और माध्यिका AD खींचिए। सबसे छोटे त्रिभुज: ABD व ACD = 2। दो इकाइयों से बने: पूरा त्रिभुज ABC = 1। कुल = 2 + 1 = 3 त्रिभुज।
उदाहरण B — दो माध्यिकाएँ। उसी त्रिभुज ABC में, D को BC का मध्यबिंदु व E को AC का मध्यबिंदु मानिए। दोनों माध्यिकाएँ AD व BE खींचिए; वे केंद्रक G पर काटती हैं। दोनों माध्यिकाएँ त्रिभुज को चार क्षेत्रों में बाँटती हैं: तीन त्रिभुज (ABG, BDG, AEG) व एक चतुर्भुज (GDCE)।
उदाहरण B को समूहों में गिनिए। 1 क्षेत्र से बने: ABG, BDG, AEG = 3। 2 क्षेत्रों से बने: ABD (=ABG+BDG), ABE (=ABG+AEG), ACD (=AEG+GDCE), BCE (=BDG+GDCE) = 4। 4 क्षेत्रों से बना: ABC = 1। ठीक 3 क्षेत्रों से कोई नहीं बनता। कुल = 3 + 4 + 1 = 8 त्रिभुज।
बिंदु-विधि से सत्यापन। आठ त्रिभुज ठीक ये हैं: ABC, ABD, ABE, ABG, ACD, AEG, BCE, BDG। A-C-E या B-G-E जैसे समूह इसलिए विफल हैं कि वे तीन बिंदु संरेख हैं; A-D-E या C-D-G जैसे समूह इसलिए विफल हैं कि मिलाने वाली रेखा (DE, या CG) कभी खींची ही नहीं गई। दो विधियाँ, एक ही उत्तर — परीक्षा में आत्मविश्वास इसी से आता है।

3 × 3 जालक में वर्ग (9 छोटी कोष्ठिकाएँ) — आकार के अनुसार गणना
वर्ग का आकार	कितनी स्थितियाँ	संख्या
1 × 1	हर कोष्ठिका: 3 आड़े × 3 खड़े	3² = 9
2 × 2	ऊपर-बायाँ कोना 2 स्तंभ × 2 पंक्ति में बैठ सकता है	2² = 4
3 × 3	केवल पूरा जालक	1² = 1
कुल	9 + 4 + 1	14 वर्ग

यह पैटर्न सामान्यीकृत होता है। n × n जालक में n² + (n−1)² + … + 2² + 1² वर्ग होते हैं, जो पहले n वर्ग-अंकों का योग है, अर्थात् n(n+1)(2n+1) / 6। जाँचिए: n = 3 के लिए, 3 × 4 × 7 / 6 = 84 / 6 = 14 ✓, जो तालिका से मेल खाता है। n = 4 के लिए: 16 + 9 + 4 + 1 = 30, और 4 × 5 × 9 / 6 = 180 / 6 = 30 ✓। शतरंज-पट के लिए, n = 8: 64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204, और 8 × 9 × 17 / 6 = 1224 / 6 = 204 ✓।

🎯 यह क्यों ज़रूरी है

जब गिन ही सकते हैं तो सूत्र की क्या आवश्यकता? क्योंकि परीक्षा-कक्ष में प्रति प्रश्न लगभग 40 सेकंड हैं और दोबारा गिनने का समय नहीं। एक याद किया परिणाम (एक माध्यिका पर 3, दो माध्यिकाओं पर 8, 3 × 3 जालक पर 14, शतरंज-पट पर 204) दो मिनट की गिनती को क्षण भर के निशान में बदल देता है — और आपका मस्तिष्क उन प्रश्नों के लिए मुक्त कर देता है जिनमें वास्तव में सोचना है।

आकृति-श्रेणी, सादृश्य व छिपी आकृतियाँ

ये वही प्रश्न-प्रकार हैं जिनमें चित्र वास्तव में आवश्यक है, अतः स्पष्ट कह दें: यह पृष्ठ आपके लिए श्रेणी नहीं बना सकता। परंतु वह जो कर सकता है, वह है परीक्षक का औज़ार-बक्सा आपको देना। प्रत्येक आकृति-श्रेणी व आकृति-सादृश्य रूपांतरणों के एक छोटे, निश्चित समूह से ही बनता है। आपका कार्य उत्तर "देख लेना" नहीं है — आपका कार्य उस नियम की पहचान है जो एक आकृति को अगली में बदलता है, और फिर उसी नियम को एक बार और लगाना। रूपांतरणों को निश्चित क्रम में जाँचिए और नियम सेकंडों में मिल जाएगा।

परीक्षक के रूपांतरण, और प्रत्येक को पहचानने का तरीका
रूपांतरण	कैसे पहचानें	पाठ में जाँचा जा सकने वाला उदाहरण
90° घूर्णन दक्षिणावर्त	दाएँ चौथाई घुमाव: जो ऊपर था वह दाएँ चला जाता है; ऊर्ध्वाधर रेखाएँ क्षैतिज बन जाती हैं	N को चौथाई घुमाने पर Z जैसा दिखता है
90° घूर्णन वामावर्त	बाएँ चौथाई घुमाव: जो ऊपर था वह बाएँ चला जाता है	दो वामावर्त चौथाई घुमाव = एक 180° घुमाव
180° घूर्णन	उलटा: ऊपर↔नीचे तथा बाएँ↔दाएँ, दोनों साथ बदलते हैं	W → M, 6 → 9, b → q
परावर्तन (दर्पण)	केवल बाएँ↔दाएँ बदलते हैं; ऊपर, ऊपर ही रहता है। कितना भी घुमाने से इसकी नकल नहीं होती	b → d व p → q दर्पण हैं; b → q घूर्णन है
तत्व का जोड़ना / हटाना	श्रेणी की हर आकृति के भाग गिनिए; प्रति चरण एक की नियमित वृद्धि या कमी इसे खोल देती है	2 रेखाएँ → 3 रेखाएँ → 4 रेखाएँ → उत्तर में 5
बिंदु / छोटे चिह्न का संचरण	रूपरेखा छोड़िए; केवल चिह्न पर नज़र रखिए। उसका कदम व दिशा नोट कीजिए	बिंदु एक कोना दक्षिणावर्त बढ़ता है: ऊपर-बाएँ → ऊपर-दाएँ → नीचे-दाएँ → नीचे-बाएँ
भुजाओं की संख्या में वृद्धि	हर चरण में मुख्य आकृति की भुजाएँ गिनिए	त्रिभुज (3) → वर्ग (4) → पंचभुज (5) → षट्भुज (6)
छायांकन का परिवर्तन	छायांकित भाग अगली स्थिति में चला जाता है, या छायांकन एक-एक चरण छोड़कर आता-जाता है	छायांकित, सादा, छायांकित, सादा → अगला छायांकित

इस क्रम में जाँचिए। (1) रूपरेखा वही आकृति है पर घुमी हुई? → घूर्णन। (2) घुमी लगती है पर घुमाने से बात नहीं बनती? → परावर्तन। (3) भागों की संख्या बदली? → जोड़ना या हटाना। (4) कोई छोटा चिह्न हिला? → केवल चिह्न पर नज़र रखिए। (5) छायांकन हिला? (6) भुजाओं की संख्या बदली? पहले ऐसे नियम पर रुकिए जो हर चरण समझाए, केवल पहला चरण नहीं।
नियम को हर चरण पर बैठना चाहिए। नए विद्यार्थी आकृति 1 → आकृति 2 समझाने वाला नियम पाकर विकल्पों पर कूद पड़ते हैं। उसे आकृति 2 → आकृति 3 पर भी अवश्य जाँचिए। यदि वहाँ विफल हो, तो नियम गलत है, चाहे कितना सुंदर लगा हो।
सादृश्य वही कौशल है, संक्षिप्त रूप में। A : B :: C : ? में, A से B तक का एकमात्र परिवर्तन खोजिए और ठीक वही C पर लगाइए। अक्षरों पर यह समान रूप से चलता है: AZ : BY :: CX : ? — पहला अक्षर एक आगे बढ़ता है, दूसरा एक पीछे, अतः उत्तर DW है। दी गई जोड़ी से नियम निकालिए; विकल्पों से अनुमान कभी न लगाइए।

अंतर्निहित (छिपी) आकृति के प्रश्न में आपको एक छोटी आकृति X तथा चार बड़े विकल्प दिए जाते हैं, और ठीक एक विकल्प में X पूरी व अपरिवर्तित छिपी होती है। वह घुमी हो सकती है, परंतु कभी खींची, सिकोड़ी या मोड़ी नहीं जाती। अंधाधुंध खोज एक मिनट खा जाती है; जाँच का क्रम उसे पंद्रह सेकंड में पा लेता है।

पहले सबसे विशिष्ट लक्षण खोजिए — कोई असामान्य कोण, सीधी रेखाओं के बीच एकमात्र वक्र, कोई तीखी नोक, कोई बहुत छोटा खंड। चारों विकल्पों में केवल उस लक्षण को देखिए। जिनमें वह नहीं है, वे बिना कोई रेखा खींचे तुरंत बाहर।
X के रेखा-खंड गिनिए। सही विकल्प में उतने खंड उसी व्यवस्था में होने ही चाहिए। यदि किसी उम्मीदवार के उस भाग में X की आवश्यकता से कम रेखाएँ हैं, तो वह बाहर।
अनुपात सत्यापित कीजिए। X अपना ठीक-ठीक आकार व आकृति बनाए रखती है। यदि किसी उम्मीदवार में X को लंबा खींचना, दबाकर छोटा करना या उसका कोण चौड़ा करना पड़े, तो उसे अस्वीकार कीजिए — परीक्षक छिपी आकृति का माप कभी नहीं बदलता।
पेंसिल की नोक से रेखांकित कीजिए। बचे विकल्प पर X की रूपरेखा का अनुसरण कीजिए। यदि पेंसिल उठानी पड़े, या कोई अमुद्रित रेखा गढ़नी पड़े, तो X वहाँ नहीं है। एक साफ़, अटूट रेखांकन = उत्तर।

ℹ️ बिंदु स्थिति: बिंदु का पता लिखिए

बिंदु स्थिति में कई अतिव्यापी आकृतियाँ और किसी एक क्षेत्र में रखा एक बिंदु दिखाया जाता है; आपको वह विकल्प खोजना है जिसका क्षेत्र मेल खाता हो। पूरी युक्ति यह है कि चित्र देखना बंद कीजिए और उसके स्थान पर बिंदु का "पता" भीतर/बाहर की सूची के रूप में लिखिए। उदाहरण: आकृतियाँ हैं एक त्रिभुज, एक वृत्त व एक वर्ग, और बिंदु त्रिभुज के भीतर, वृत्त के भीतर, वर्ग के बाहर है। वह पता — भीतर, भीतर, बाहर — आकृति के ठीक एक क्षेत्र का है, और केवल एक ही विकल्प में हो सकता है। चित्रों की नहीं, पतों की तुलना कीजिए, और प्रश्न यांत्रिक हो जाता है। (इस प्रकार में मुद्रित चित्र आवश्यक है; पता-विधि उसे तेज़ बना देती है।)

मुख्य बिंदु

दर्पण = ऊर्ध्वाधर अक्ष: बाएँ↔दाएँ बदलते हैं, ऊपर वही; शब्द का क्रम उलटता है। अपरिवर्तित अक्षर: A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y व अंक 0, 8।
जल = क्षैतिज अक्ष: ऊपर↔नीचे बदलते हैं, क्रम वही। अपरिवर्तित अक्षर: B, C, D, E, H, I, K, O, X व अंक 0, 1, 3, 8। अतः BOOK जल में अपरिवर्तित है पर दर्पण में K-O-O-B पढ़ा जाता है।
कागज़ छेदना: छेद = बिंधी परतें, अतः n मोड़ → 2ⁿ छेद (1 मोड़ = 2, 2 मोड़ = 4, 3 मोड़ = 8) — परंतु मोड़-रेखा पर पड़ा छेद उस मोड़ के लिए दुगुना नहीं होता।
कागज़ काटना: मोड़ को छूने वाला कट खुलकर मोड़ पर फैली एक सममित आकृति बनाता है; खुले किनारे का कट खुलकर दो दर्पण-प्रतिबिम्ब कटान बनाता है।
पासा: साथ दिखे फलक संलग्न हैं, अतः कभी सम्मुख नहीं। यदि दो दृश्यों में दो फलक समान हों, तो दोनों भिन्न फलक सम्मुख होते हैं। साधारण पासे पर सम्मुख फलकों का योग 7 होता है (1–6, 2–5, 3–4) — इसे केवल तब प्रयोग कीजिए जब प्रश्न पासे को साधारण कहे।
n भुजा के रंगे घन को n³ इकाइयों में काटने पर: 3 फलक = 8 (कोने), 2 फलक = 12(n−2) (किनारे), 1 फलक = 6(n−2)² (फलक), 0 फलक = (n−2)³ (अंतःभाग)। n = 4 के लिए: 8, 24, 24, 8 (कुल 64)। n = 5 के लिए: 8, 36, 54, 27 (कुल 125)।
गिनती: सबसे छोटी इकाइयाँ → जोड़े → तीन-तीन → पूरी आकृति के क्रम से चलिए। एक माध्यिका वाले त्रिभुज में 3 त्रिभुज, दो माध्यिकाओं वाले में 8 त्रिभुज; n × n जालक में n² + (n−1)² + … + 1² वर्ग होते हैं, अतः 3 × 3 जालक में 14 और शतरंज-पट में 204।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

निम्नलिखित में से कौन-सा बड़ा अक्षर अपने दर्पण प्रतिबिम्ब में ठीक वैसा ही दिखता है (दर्पण ऊर्ध्वाधर अक्ष पर)?
1. B
2. H
3. J
4. P
उत्तर देखें
उत्तर: B — H
ऊर्ध्वाधर-अक्ष का दर्पण बाएँ-दाएँ बदलता है, अतः केवल वे अक्षर टिकते हैं जिनका बायाँ आधा भाग दाएँ आधे का दर्पण हो: A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y। H इस सूची में है। B, J व P बाएँ-दाएँ असंतुलित हैं, अतः वे पार्श्व-उल्टे दिखते हैं। (हाँ, B जल प्रतिबिम्ब में अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि वह ऊपर-नीचे सममित है।)
ऊर्ध्वाधर अक्ष पर रखे दर्पण में MAXIMUM शब्द के अक्षर किस क्रम में दिखते हैं?
1. MAXIMUM
2. MUMIXAM
3. MIXAMUM
4. MUXIMAM
उत्तर देखें
उत्तर: B — MUMIXAM
MAXIMUM का प्रत्येक अक्षर (M, A, X, I, M, U, M) ऊर्ध्वाधर अक्ष पर सममित है, अतः किसी अक्षर की आकृति नहीं बदलती। परंतु दर्पण बाएँ-दाएँ तो उलटता ही है, अतः अक्षरों का क्रम उलट जाता है: M-A-X-I-M-U-M को उल्टा पढ़ने पर MUMIXAM। क्रम उलटना भूल जाना इस प्रकार की सबसे आम भूल है।
निम्न कथनों पर विचार करें:
1. MOM शब्द अपने दर्पण प्रतिबिम्ब (ऊर्ध्वाधर अक्ष) में अपरिवर्तित दिखता है।
2. BOOK शब्द अपने जल प्रतिबिम्ब (क्षैतिज अक्ष) में अपरिवर्तित दिखता है।
कौन-सा/से सही है/हैं?
1. केवल 1
2. केवल 2
3. 1 और 2 दोनों
4. न 1, न 2
उत्तर देखें
उत्तर: C — 1 और 2 दोनों
दोनों सही हैं, पर दो भिन्न कारणों से। MOM पैलिंड्रोम है, अतः क्रम उलटने पर भी MOM ही मिलता है, और M व O दोनों ऊर्ध्वाधर अक्ष पर सममित हैं — इसलिए दर्पण में अपरिवर्तित। BOOK पैलिंड्रोम नहीं है, परंतु जल प्रतिबिम्ब क्रम उलटता ही नहीं; वह केवल ऊपर-नीचे पलटता है, और B, O, O, K सभी क्षैतिज अक्ष पर सममित हैं — इसलिए जल में अपरिवर्तित। अंतर देखिए: दर्पण में BOOK, K-O-O-B पढ़ा जाता है, और जल में MOM, WOW जैसा दिखता है।
एक वर्गाकार कागज़ को दो बार मोड़ा जाता है — पहले दायाँ आधा ठीक बाएँ आधे पर, फिर निचला आधा ठीक ऊपरी आधे पर। तत्पश्चात सभी परतों से होकर एक ही छेद ऐसे बिंदु पर किया जाता है जो किसी भी मोड़-रेखा पर नहीं है। कागज़ पूरा खोलने पर कितने छेद दिखेंगे?
1. 2
2. 4
3. 6
4. 8
उत्तर देखें
उत्तर: B — 4
प्रत्येक मोड़ परतें दुगुनी करता है, अतः दो मोड़ से 2 × 2 = 4 परतें बनती हैं। छेद चारों परतों को बींधता है, और छेदों की संख्या बिंधी परतों के बराबर होती है, अतः 2² = 4 छेद। खोलने पर स्थितियाँ पुष्ट होती हैं: चारों चतुर्थांशों में एक-एक छेद, सभी ऊर्ध्वाधर केंद्र-रेखा से समान दूरी पर तथा क्षैतिज केंद्र-रेखा से समान दूरी पर। (यदि छेद मोड़-रेखा पर होता, तो वह मोड़ उसे दुगुना न करता और उत्तर 2 होता।)
नीचे एक ही घन की दो स्थितियाँ दी गई हैं, जिसके फलक 1 से 6 तक अंकित हैं।
स्थिति I: फलक 2, 3 व 5 दिख रहे हैं।
स्थिति II: फलक 2, 3 व 6 दिख रहे हैं।
5 के सम्मुख फलक पर कौन-सा अंक है?
1. 6
2. 3
3. 2
4. 1
उत्तर देखें
उत्तर: A — 6
दोनों दृश्यों में ठीक दो फलक समान हैं, 2 व 3, अतः दोनों भिन्न फलक एक-दूसरे के सम्मुख हैं: 6, 5 के सम्मुख है। तर्क: फलक 2 व 3 एक किनारे पर मिलते हैं, और उस किनारे के दो सिरे हैं। एक सिरे पर तीसरा दिखता फलक 5 है; दूसरे सिरे पर वह 5 के सम्मुख फलक होना चाहिए — और स्थिति II वहाँ 6 दिखाती है। विकल्प 2 व 3 तुरंत बाहर हो जाते हैं क्योंकि वे स्थिति I में 5 के साथ दिखते हैं, और साथ दिखे फलक संलग्न होते हैं, कभी सम्मुख नहीं।
4 सेमी भुजा वाले एक घन को छहों फलकों पर रंगकर 1 सेमी भुजा वाले 64 इकाई घनों में काटा जाता है। इनमें से कितने इकाई घनों के ठीक दो फलक रंगे हैं?
1. 12
2. 16
3. 20
4. 24
उत्तर देखें
उत्तर: D — 24
ठीक दो रंगे फलक वाले इकाई घन किसी किनारे के मध्य में बैठते हैं। घन में 12 किनारे होते हैं, और हर किनारे पर (n − 2) मध्य-घन होते हैं, अतः संख्या 12(n − 2) है। n = 4 के लिए यह 12 × 2 = 24 है। पूरे घन की जाँच: 3 फलक वाले 8 कोने-घन, 2 फलक वाले 24 किनारे-घन, 1 फलक वाले 6 × 2² = 24 फलक-घन, तथा बिना रंग के 2³ = 8 अंतःभाग घन — कुल 8 + 24 + 24 + 8 = 64 = 4³, जो उत्तर की पुष्टि करता है।
5 सेमी भुजा वाले एक घन को छहों फलकों पर रंगकर 1 सेमी भुजा वाले 125 इकाई घनों में काटा जाता है। निम्न कथनों पर विचार करें:
1. ठीक 27 इकाई घनों का कोई फलक रंगा नहीं है।
2. ठीक 8 इकाई घनों के तीन फलक रंगे हैं।
कौन-सा/से सही है/हैं?
1. केवल 1
2. केवल 2
3. 1 और 2 दोनों
4. न 1, न 2
उत्तर देखें
उत्तर: C — 1 और 2 दोनों
दोनों सही हैं। बिना रंग वाले घन छिपा अंतःभाग बनाते हैं, जो स्वयं (n − 2) = 3 भुजा का घन है, अतः उनकी संख्या 3³ = 27 है। तीन रंगे फलक वाले घन ठीक कोने-घन ही हैं, और घन में n कुछ भी हो, कोने सदैव 8 होते हैं — अतः 8। n = 5 की पूर्ण जाँच: 8 (तीन फलक) + 12 × 3 = 36 (दो फलक) + 6 × 3² = 54 (एक फलक) + 27 (कोई नहीं) = 125 = 5³।
त्रिभुज ABC में, D, BC का मध्यबिंदु है और E, AC का मध्यबिंदु है। दोनों माध्यिकाएँ AD व BE खींची जाती हैं और वे G पर मिलती हैं। सभी आकारों को गिनते हुए, इस आकृति में कितने त्रिभुज हैं?
1. 5
2. 6
3. 7
4. 8
उत्तर देखें
उत्तर: D — 8
समूहों में गिनिए। दोनों माध्यिकाएँ त्रिभुज को चार क्षेत्रों में बाँटती हैं: तीन त्रिभुज ABG, BDG, AEG व एक चतुर्भुज GDCE। 1 क्षेत्र से बने: ABG, BDG, AEG = 3। 2 क्षेत्रों से बने: ABD (ABG + BDG), ABE (ABG + AEG), ACD (AEG + GDCE), BCE (BDG + GDCE) = 4। 4 क्षेत्रों से बना: ABC = 1। ठीक 3 क्षेत्रों वाला कोई त्रिभुज नहीं। कुल = 3 + 4 + 1 = 8, अर्थात् ABC, ABD, ABE, ABG, ACD, AEG, BCE, BDG। (केवल एक माध्यिका खींची हो तो संख्या केवल 3 होगी।)