चाल, समय, दूरी, रेलगाड़ी, नाव एवं कैलेंडर
एक ही संबंध, और इकाइयों का जाल
चाल = दूरी ÷ समय। पुनर्व्यवस्थित रूप: दूरी = चाल × समय और समय = दूरी ÷ चाल। जिसकी आवश्यकता हो उसे लिख लें, अनुमान कभी न लगाएँ।
हल किया उदाहरण 1. एक बस 4 घंटे में 300 किमी चलती है। चाल = 300 ÷ 4 = 75 किमी/घंटा। अब उलट दें — उसी चाल से 6 घंटे में कितनी दूर? दूरी = 75 × 6 = 450 किमी। और 525 किमी में कितना समय? समय = 525 ÷ 75 = 7 घंटे। ध्यान दें, तीनों प्रश्नों में वही एक तथ्य लगा; केवल अज्ञात राशि बदली।
अब इकाई-रूपांतरण, क्योंकि लगभग हर रेलगाड़ी-प्रश्न किमी/घंटा को मीटर और सेकंड के साथ मिला देता है। चूँकि 1 किमी = 1000 मी और 1 घंटा = 3600 से, अतः एक किमी/घंटा = 1000 ÷ 3600 = 5/18 मी/से। इसलिए: किमी/घंटा → मी/से: 5/18 से गुणा। मी/से → किमी/घंटा: 18/5 से गुणा।
हल किया उदाहरण 2. 72 किमी/घंटा = 72 × 5/18 = 360/18 = 20 मी/से। वापस: 20 × 18/5 = 360/5 = 72 किमी/घंटा। आगे-पीछे जाकर वही संख्या मिली — यही आपकी जाँच है कि गुणा सही दिशा में हुआ।
| किमी/घंटा | × 5/18 → मी/से | वापस: मी/से × 18/5 |
|---|---|---|
| 18 | 18 × 5/18 = 5 | 5 × 18/5 = 18 ✓ |
| 36 | 36 × 5/18 = 10 | 10 × 18/5 = 36 ✓ |
| 54 | 54 × 5/18 = 15 | 15 × 18/5 = 54 ✓ |
| 72 | 72 × 5/18 = 20 | 20 × 18/5 = 72 ✓ |
| 90 | 90 × 5/18 = 25 | 25 × 18/5 = 90 ✓ |
| 108 | 108 × 5/18 = 30 | 30 × 18/5 = 108 ✓ |
| 60 (18 का गुणज नहीं) | 60 × 5/18 = 300/18 = 50/3 ≈ 16.67 | 50/3 ही रखें, जल्दी सन्निकटन न करें |
नियत दूरी पर चाल × समय अचर रहता है, अतः चाल और समय व्युत्क्रमानुपाती हैं। इससे अध्याय का सर्वाधिक उपयोगी शॉर्टकट मिलता है: यदि चाल मूल की a/b हो जाए, तो समय मूल का b/a हो जाता है।
हल किया उदाहरण 3. एक व्यक्ति सामान्यतः कोई मार्ग 60 किमी/घंटा से 5 घंटे में तय करता है (दूरी = 60 × 5 = 300 किमी)। अब वह उस चाल की 3/4 चाल से चलता है। नई चाल = 60 × 3/4 = 45 किमी/घंटा। शॉर्टकट से, नया समय = 4/3 × 5 = 20/3 = 6 घंटे 40 मिनट। सीधी जाँच: 300 ÷ 45 = 6.666… घंटे = 6 घं 40 मि ✓ — शॉर्टकट और लंबा रास्ता, दोनों सहमत हैं।
हल किया उदाहरण 4 — शॉर्टकट उलटा, जब दूरी दी ही न हो। अपनी सामान्य चाल की 3/4 चाल से चलकर एक व्यक्ति कार्यालय 20 मिनट देर से पहुँचता है। उसका सामान्य समय ज्ञात करें।
चाल 3/4 हुई, अतः समय सामान्य का 4/3 हुआ। अतिरिक्त समय = 4/3 − 1 = सामान्य समय का 1/3, और यही अतिरिक्त वे 20 मिनट हैं जितना वह देर से आया। अतः (1/3) × सामान्य = 20 → सामान्य समय = 60 मिनट। जाँच: सामान्य 60 मि, नया समय = 4/3 × 60 = 80 मि, जो 20 मिनट अधिक है ✓। ध्यान दें, हमें दूरी या चाल की आवश्यकता ही नहीं पड़ी — केवल अनुपात की।
हल किया उदाहरण 5 — शास्त्रीय देर/जल्दी प्रश्न। 5 किमी/घंटा की चाल से चलकर एक व्यक्ति गंतव्य पर 10 मिनट देर से पहुँचता है; 6 किमी/घंटा से चलकर 5 मिनट पहले। दूरी ज्ञात करें।
मान लें दूरी d किमी है। दोनों यात्राओं के समय में अंतर = 10 + 5 = 15 मिनट = 1/4 घंटा (देर और जल्दी, दोनों जुड़ते हैं — घटते नहीं)। अतः:
d/5 − d/6 = 1/4 → (6d − 5d)/30 = 1/4 → d/30 = 1/4 → d = 30/4 = 7.5 किमी।
जाँच: 7.5 ÷ 5 = 1.5 घं = 90 मि; 7.5 ÷ 6 = 1.25 घं = 75 मि; अंतर = 15 मि ✓। निर्धारित समय अवश्य 90 − 10 = 80 मि होगा, और 75 मि वास्तव में 80 से 5 मि पहले है ✓।
औसत चाल: कभी जोड़कर आधा न करें
परिभाषा एक ही है, और उस पर कोई मोल-भाव नहीं: औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय। चालों का औसत कभी नहीं निकाला जाता; केवल दूरियाँ और समय जोड़े जाते हैं।
हल किया उदाहरण 6. एक कार 30 किमी/घंटा से 60 किमी और अगले 60 किमी 60 किमी/घंटा से चलती है। कुल दूरी = 60 + 60 = 120 किमी। पहले चरण का समय = 60 ÷ 30 = 2 घं; दूसरे का = 60 ÷ 60 = 1 घं; कुल = 3 घं। औसत चाल = 120 ÷ 3 = 40 किमी/घंटा — 45 नहीं। कार ने रेंगने में गति करने से दुगुना समय बिताया, अतः धीमी चाल को दुगुना भार मिलता है।
चूँकि वह पैटर्न — दो चालों पर समान दूरियाँ — लगभग हर प्रश्नपत्र में आता है, अतः उसका एक सूत्र बनता है। मान लें प्रत्येक चरण d है, चालें x और y। कुल दूरी = 2d; कुल समय = d/x + d/y = d(x + y)/xy। भाग देने पर d कट जाता है और हरात्मक माध्य मिलता है:
औसत चाल = 2xy / (x + y)
उदाहरण 6 की पुनः जाँच: 2 × 30 × 60 ÷ (30 + 60) = 3600 ÷ 90 = 40 किमी/घंटा ✓। ध्यान दें d कट गया — अतः यह उत्तर इस पर निर्भर नहीं कि चरण कितने लंबे थे, केवल इस पर कि वे समान थे।
तीन चालों पर तीन समान खंड उसी विचार का विस्तार हैं: औसत चाल = 3xyz / (xy + yz + zx)।
हल किया उदाहरण 7. एक रेलगाड़ी तीन समान खंड 20, 30 व 60 किमी/घंटा से तय करती है। अंश = 3 × 20 × 30 × 60। चरणों में: 20 × 30 = 600; 600 × 60 = 36,000; × 3 = 1,08,000। हर = (20 × 30) + (30 × 60) + (60 × 20) = 600 + 1800 + 1200 = 3600। औसत = 1,08,000 ÷ 3600 = 30 किमी/घंटा।
लंबी जाँच, प्रत्येक खंड 60 किमी मानकर: समय हैं 60/20 = 3 घं, 60/30 = 2 घं, 60/60 = 1 घं → 6 घं में 180 किमी → 180 ÷ 6 = 30 किमी/घंटा ✓।
अब दर्पण-स्थिति, जहाँ सामान्य औसत सही है: दो चालों पर समान समय।
हल किया उदाहरण 8. एक व्यक्ति 2 घंटे 40 किमी/घंटा से और फिर 2 घंटे 60 किमी/घंटा से चलता है। दूरियाँ = 40 × 2 = 80 किमी व 60 × 2 = 120 किमी, कुल 200 किमी में 4 घंटे → 200 ÷ 4 = 50 किमी/घंटा, जो ठीक समांतर माध्य (40 + 60)/2 है। यह इसलिए चलता है कि समान समय प्रत्येक चाल को समान भार देते हैं। अतः निर्णायक प्रश्न सूत्र कभी नहीं है — वह है "दूरी समान थी, या समय समान था?"
सापेक्ष चाल एवं रेलगाड़ियाँ
हल किया उदाहरण 9 — एक ही दिशा (घटाएँ)। दो कारें एक ही बिंदु से साथ चलकर एक ही दिशा में 40 किमी/घंटा व 55 किमी/घंटा से जाती हैं। 4 घंटे बाद वे कितनी दूर होंगी? सापेक्ष चाल = 55 − 40 = 15 किमी/घंटा, अतः अंतर = 15 × 4 = 60 किमी। लंबे रास्ते से जाँच: उन्होंने 40 × 4 = 160 किमी व 55 × 4 = 220 किमी तय किया, और 220 − 160 = 60 किमी ✓।
हल किया उदाहरण 10 — विपरीत दिशाएँ (जोड़ें)। दो व्यक्ति 90 किमी दूर दो नगरों से एक-दूसरे की ओर 4 किमी/घंटा व 5 किमी/घंटा से चलते हैं। वे कब मिलेंगे? सापेक्ष चाल = 4 + 5 = 9 किमी/घंटा, अतः समय = 90 ÷ 9 = 10 घंटे। जाँच: 10 घंटों में वे 40 किमी व 50 किमी चलते हैं, और 40 + 50 = 90 किमी ✓ — वे पहले नगर से 40 किमी दूर मिलते हैं।
रेलगाड़ियाँ ठीक एक नया विचार जोड़ती हैं: रेलगाड़ी बिंदु नहीं है, उसकी लंबाई होती है। किसी वस्तु को "पार करने" का अर्थ है इंजन उस तक पहुँचे और अंतिम डिब्बा उसे छोड़ दे। अतः दूरी गाड़ी के अगले सिरे से पिछले सिरे तक नापी जाती है।
हल किया उदाहरण 11 — खंभा या खड़े व्यक्ति को पार करना। 180 मी लंबी रेलगाड़ी 54 किमी/घंटा से चलती है। तार के खंभे को पार करने में कितना समय? खंभे की लंबाई नहीं होती, अतः गाड़ी को केवल अपनी 180 मी तय करनी है। चाल = 54 × 5/18 = 15 मी/से। समय = 180 ÷ 15 = 12 सेकंड। वही 12 सेकंड खड़े व्यक्ति, सिग्नल-खंभे या पेड़ पर भी लागू है — सभी बिंदु हैं।
हल किया उदाहरण 12 — प्लेटफ़ॉर्म, पुल या सुरंग पार करना। वही 180 मी की गाड़ी 54 किमी/घंटा (= 15 मी/से) से 270 मी लंबा प्लेटफ़ॉर्म पार करती है। अब अगले सिरे को पूरा प्लेटफ़ॉर्म चलना है और पूरी गाड़ी को उससे बाहर निकालना है, अतः दूरी = 180 + 270 = 450 मी। समय = 450 ÷ 15 = 30 सेकंड।
पुल और सुरंग बिल्कुल वैसे ही चलते हैं — शब्द बदलता है, गणित नहीं। प्रश्न को उलटा भी पढ़ें: यदि वही गाड़ी प्लेटफ़ॉर्म 30 से में पार करती है, तो प्लेटफ़ॉर्म = (15 × 30) − 180 = 450 − 180 = 270 मी ✓।
हल किया उदाहरण 13 — दो गाड़ियाँ एक-दूसरे को पार करना। 140 मी व 160 मी लंबी गाड़ियाँ 60 किमी/घंटा व 48 किमी/घंटा से चलती हैं। पार करने योग्य कुल लंबाई = 140 + 160 = 300 मी, दोनों स्थितियों में; केवल चाल बदलती है।
विपरीत दिशाएँ: सापेक्ष चाल = 60 + 48 = 108 किमी/घंटा = 108 × 5/18 = 30 मी/से। समय = 300 ÷ 30 = 10 सेकंड।
एक ही दिशा: सापेक्ष चाल = 60 − 48 = 12 किमी/घंटा = 12 × 5/18 = 10/3 मी/से। समय = 300 ÷ (10/3) = 300 × 3/10 = 90 सेकंड।
दस सेकंड बनाम नब्बे — वही दो गाड़ियाँ, नौ गुना अंतर। कैलकुलेटर छूने से पहले दिशा अवश्य पढ़ें।
हल किया उदाहरण 14 — गाड़ी किसी व्यक्ति को पार करना। 150 मी लंबी गाड़ी 45 किमी/घंटा से चलती है। एक साइकिल-सवार 9 किमी/घंटा से। व्यक्ति बिंदु है, अतः दूरी सदा केवल गाड़ी की 150 मी है।
साइकिल-सवार उसी दिशा में (गाड़ी उसे पीछे छोड़ती है): सापेक्ष चाल = 45 − 9 = 36 किमी/घंटा = 10 मी/से। समय = 150 ÷ 10 = 15 सेकंड।
साइकिल-सवार गाड़ी की ओर आ रहा है: सापेक्ष चाल = 45 + 9 = 54 किमी/घंटा = 15 मी/से। समय = 150 ÷ 15 = 10 सेकंड।
गाड़ी के विरुद्ध चलने पर वह 10 से में पार हो जाता है; साथ चलने पर 15 से तक गाड़ी के बराबर रहता है। वही अतिरिक्त 5 सेकंड "साथ या विरुद्ध" का मूल्य है।
| स्थिति | तय करने योग्य दूरी | प्रयुक्त चाल |
|---|---|---|
| खंभा, पेड़, सिग्नल-खंभा, खड़ा व्यक्ति | केवल गाड़ी की लंबाई | गाड़ी की अपनी चाल |
| प्लेटफ़ॉर्म, पुल, सुरंग, दूसरी खड़ी गाड़ी | गाड़ी + प्लेटफ़ॉर्म (योग) | गाड़ी की अपनी चाल |
| व्यक्ति/साइकिल-सवार उसी दिशा में | केवल गाड़ी की लंबाई | गाड़ी − व्यक्ति (अंतर) |
| व्यक्ति/साइकिल-सवार विपरीत दिशा से | केवल गाड़ी की लंबाई | गाड़ी + व्यक्ति (योग) |
| दो चलती गाड़ियाँ, विपरीत दिशाएँ | दोनों लंबाइयों का योग | चालों का योग |
| दो चलती गाड़ियाँ, एक ही दिशा | दोनों लंबाइयों का योग | चालों का अंतर |
नाव एवं धारा
नाव वह रेलगाड़ी है जिसके पक्ष में हवा है। मान लें u नाव की स्थिर जल में चाल है और v धारा की चाल। धारा के अनुकूल (downstream) धारा मदद करती है: चाल = u + v। धारा के प्रतिकूल (upstream) वह रोकती है: चाल = u − v।
हल किया उदाहरण 15. एक नाव स्थिर जल में 10 किमी/घंटा चलती है, धारा 2 किमी/घंटा बहती है। अनुकूल चाल = 10 + 2 = 12 किमी/घंटा; प्रतिकूल चाल = 10 − 2 = 8 किमी/घंटा। 36 किमी अनुकूल जाने में 36 ÷ 12 = 3 घंटे; वही 36 किमी प्रतिकूल में 36 ÷ 8 = 4.5 घंटे। नदी ने उसे डेढ़ घंटा दे दिया।
परीक्षाएँ आमतौर पर दो यात्रा चालें देती हैं और दो छिपी चालें पूछती हैं। उन्हें D (अनुकूल) व U (प्रतिकूल) कहें। चूँकि D = u + v और U = u − v, दोनों समीकरण जोड़ने पर v मिट जाता है और घटाने पर u:
u = (D + U) / 2 तथा v = (D − U) / 2
हल किया उदाहरण 16. एक नाव अनुकूल 15 किमी/घंटा और प्रतिकूल 9 किमी/घंटा चलती है। तब u = (15 + 9)/2 = 24/2 = 12 किमी/घंटा स्थिर जल में, और v = (15 − 9)/2 = 6/2 = 3 किमी/घंटा धारा की। दोनों तरह जाँच: 12 + 3 = 15 ✓ और 12 − 3 = 9 ✓। शब्दों में — नाव दोनों का औसत है, धारा उनके अंतर की आधी।
| क्या पूछा गया | सूत्र | u = 12, v = 3 लेकर |
|---|---|---|
| अनुकूल चाल D | u + v | 12 + 3 = 15 किमी/घंटा |
| प्रतिकूल चाल U | u − v | 12 − 3 = 9 किमी/घंटा |
| स्थिर जल में नाव u | (D + U) / 2 | (15 + 9)/2 = 12 किमी/घंटा |
| धारा v | (D − U) / 2 | (15 − 9)/2 = 3 किमी/घंटा |
| आना-जाना औसत चाल | 2DU/(D + U), या (u² − v²)/u | 2×15×9/24 = 11.25 किमी/घंटा |
| यदि प्रतिकूल समय = n × अनुकूल समय | u : v = (n + 1) : (n − 1) | n = 3 → u : v = 4 : 2 = 2 : 1 |
हल किया उदाहरण 17 — आने-जाने की औसत चाल। उदाहरण 15 की नाव (D = 12, U = 8) 24 किमी अनुकूल जाकर लौटती है। जाने का समय = 24 ÷ 12 = 2 घं; लौटने का = 24 ÷ 8 = 3 घं; कुल 5 घं में 48 किमी। औसत = 48 ÷ 5 = 9.6 किमी/घंटा।
यह फिर वही हरात्मक माध्य है: 2 × 12 × 8 ÷ (12 + 8) = 192 ÷ 20 = 9.6 ✓। u व v से सीधा एक सुंदर शॉर्टकट भी है: (u² − v²)/u = (10² − 2²)/10 = (100 − 4)/10 = 96/10 = 9.6 ✓। और ध्यान दें यह स्थिर-जल चाल 10 से कम है — नदी पर आना-जाना सदा समय गँवाता है, चाहे आप किसी भी दिशा से आरंभ करें।
हल किया उदाहरण 18 — "n गुना" प्रकार। एक नाव समान दूरी पर प्रतिकूल जाने में अनुकूल आने से तीन गुना समय लेती है। यदि नाव स्थिर जल में 12 किमी/घंटा चलती है, तो धारा की चाल ज्ञात करें।
दूरी समान है, अतः समय चाल के व्युत्क्रमानुपाती है। प्रतिकूल समय = 3 × अनुकूल समय का अर्थ है अनुकूल चाल = 3 × प्रतिकूल चाल:
u + v = 3(u − v) → u + v = 3u − 3v → 4v = 2u → v = u/2 = 12/2 = 6 किमी/घंटा।
जाँच: अनुकूल = 12 + 6 = 18 किमी/घंटा, प्रतिकूल = 12 − 6 = 6 किमी/घंटा, और 18 = 3 × 6 ✓ — अतः 36 किमी का चरण अनुकूल 2 घं व प्रतिकूल 6 घं लेता है, ठीक तीन गुना। सामान्य परिणाम है u : v = (n + 1) : (n − 1); यहाँ n = 3 से 4 : 2 = 2 : 1 ✓।
हल किया उदाहरण 19 — "किसी स्थान तक और वापस"। एक व्यक्ति स्थिर जल में 6 किमी/घंटा नाव चलाता है; नदी 2 किमी/घंटा बहती है। वह किसी स्थान तक जाकर 3 घंटे में लौट आता है। वह स्थान कितनी दूर है?
अनुकूल = 6 + 2 = 8 किमी/घंटा, प्रतिकूल = 6 − 2 = 4 किमी/घंटा। दूरी d मानें:
d/8 + d/4 = 3 → d/8 + 2d/8 = 3 → 3d/8 = 3 → d = 8 किमी।
जाँच: अनुकूल 8 ÷ 8 = 1 घं, प्रतिकूल 8 ÷ 4 = 2 घं, कुल 3 घं ✓।
दौड़ एवं वृत्ताकार पथ
एक वाक्य हर दौड़-प्रश्न खोल देता है: "100 मी की दौड़ में A, B को 20 मी से हराता है" का अर्थ है कि जिस क्षण A 100 मी पूरा करता है, B केवल 80 मी दौड़ा है। दोनों समान समय तक दौड़े, अतः उनकी चालें दूरियों के अनुपात में हैं, 100 : 80 = 5 : 4।
हल किया उदाहरण 20. 100 मी की दौड़ में A, B को 20 मी से हराता है, और 100 मी की दौड़ में B, C को 25 मी से। 100 मी की दौड़ में A, C को कितने से हराएगा?
जब A 100 दौड़ता है, B दौड़ता है 80। जब B 100 दौड़ता है, C दौड़ता है 75। अतः जब B केवल 80 दौड़ता है, C दौड़ता है 75 × (80/100) = 60 मी। इसलिए जब A 100 मी पूरा करता है, C 60 मी पर है: A, C को 40 मी से हराता है। (अनुपात-जाँच: A : B = 100 : 80 व B : C = 100 : 75, अतः A : C = 100 : (80 × 75/100) = 100 : 60 ✓।)
हल किया उदाहरण 21 — "t सेकंड से हराना", और उसे मीटर में बदलना। A 100 मी 12 से में और B 100 मी 15 से में दौड़ता है। A B को 15 − 12 = 3 सेकंड से हराता है। उसी बढ़त को मीटर में कहने हेतु पूछें कि उन 3 सेकंडों में B (हारने वाला) कितनी दूर जाता है: B की चाल = 100 ÷ 15 = 20/3 मी/से, अतः 3 से में वह (20/3) × 3 = 20 मी तय करता है। अतः A, B को 3 सेकंड या 20 मीटर से हराता है — वही तथ्य, दो इकाइयों में।
आम भूल यहाँ A की चाल लगा देना है। A की चाल 100/12 = 8.33 मी/से है, जिससे 25 मी मिलेगा — गलत, क्योंकि उन 3 सेकंडों में पथ पर हारने वाला ही दौड़ रहा होता है।
हल किया उदाहरण 22 — प्रारंभिक बढ़त ("A, B को x मीटर की बढ़त देता है")। 10 मी की बढ़त का अर्थ है B 10 मी आगे से आरंभ करता है, अतः 100 मी की दौड़ में B को केवल 90 मी दौड़ना है।
मान लें 100 मी की दौड़ में A, B को 10 मी की बढ़त देकर भी उसे 5 मी से हरा देता है। जब A अपने 100 मी पूरे करता है, B अंत से 5 मी पीछे है, अतः B ने 90 − 5 = 85 मी तय किया। समय समान, अतः चालें अनुपात A : B = 100 : 85 = 20 : 17 में हैं।
जाँच: यदि A 20 मी/से और B 17 मी/से से दौड़े, तो A लेता है 100/20 = 5 से। 5 से में B तय करता है 17 × 5 = 85 मी, और 85 + 10 (उसकी बढ़त) = 95 मी — 100 से 5 मी पीछे ✓।
हल किया उदाहरण 23 — बराबरी (dead heat)। दौड़ बराबरी पर छूटती है जब दोनों धावक एक ही क्षण अंतिम रेखा पर पहुँचें। A 100 मी 20 से में और B 25 से में तय करता है। बराबरी हेतु A को B को कितनी बढ़त देनी चाहिए?
A 20 से में पूरा करता है, अतः B को भी 20 से में पूरा करना होगा। B की चाल = 100 ÷ 25 = 4 मी/से, अतः 20 से में B केवल 4 × 20 = 80 मी दौड़ सकता है। इसलिए उसे 100 − 80 = 20 मी की बढ़त चाहिए।
जाँच: B 20 मी आगे से आरंभ करके 80 मी 4 मी/से से दौड़ता है = 20 से; A 100 मी 20 से में; दोनों साथ रेखा पार करते हैं ✓।
हल किया उदाहरण 24 — वृत्ताकार पथ पर पहली भेंट। A व B 400 मी के वृत्ताकार पथ पर 5 मी/से व 3 मी/से से एक ही बिंदु से साथ दौड़ना आरंभ करते हैं। बंद पथ पर सापेक्ष दूरी का एक चक्कर एक भेंट को अगली से अलग करता है, अतः घटाने योग्य दूरी सदा पथ की लंबाई, 400 मी है।
विपरीत दिशाएँ: सापेक्ष चाल = 5 + 3 = 8 मी/से → पहली भेंट 400 ÷ 8 = 50 सेकंड बाद। (50 से में A 250 मी व B 150 मी दौड़ता है; 250 + 150 = 400 ✓।)
एक ही दिशा: सापेक्ष चाल = 5 − 3 = 2 मी/से → पहली भेंट 400 ÷ 2 = 200 सेकंड बाद। (200 से में A 1000 मी व B 600 मी दौड़ता है; A ठीक 400 मी का एक पूरा चक्कर आगे है ✓।)
हल किया उदाहरण 25 — प्रारंभ बिंदु पर फिर मिलना। यह भिन्न प्रश्न है, और इसमें सापेक्ष चाल नहीं, LCM चाहिए, क्योंकि दोनों धावकों को एक ही नियत स्थान पर एक साथ होना है।
400 मी पथ पर उसी जोड़ी के साथ: A का चक्कर-समय = 400 ÷ 5 = 80 से; B का = 400 ÷ 3 = 133⅓ से। वे प्रारंभ बिंदु पर तभी होंगे जब समय दोनों का पूर्ण गुणज हो। 80 के गुणज: 80, 160, 240, 320, 400। 133⅓ के गुणज: 133⅓, 266⅔, 400। अतः वे प्रारंभ बिंदु पर पहली बार 400 सेकंड बाद मिलते हैं — A ने 5 चक्कर व B ने 3 चक्कर लगाकर।
तुलना करें: वे पथ पर कहीं 200 से बाद मिलते हैं (एक ही दिशा), पर प्रारंभ रेखा पर केवल 400 से बाद। पढ़ें कि प्रश्न कौन-सा चाहता है।
कैलेंडर: सब कुछ सात से भाग है
सप्ताह में 7 दिन होते हैं, अतः सप्ताह के दिन प्रत्येक 7 दिन में दोहराते हैं। इसलिए केवल 7 से भाग देने पर शेषफल महत्वपूर्ण है — और उस शेषफल को विषम दिनों की संख्या कहते हैं। पूरे सप्ताह फेंक दिए जाते हैं क्योंकि वे कुछ नहीं बदलते।
साधारण वर्ष में 365 दिन = (52 × 7) + 1 = 52 सप्ताह + 1 दिन → 1 विषम दिन। अतः प्रत्येक वर्ष कोई तिथि एक दिन आगे खिसकती है: यदि इस वर्ष 1 जनवरी सोमवार है, तो अगले वर्ष मंगलवार।
लीप वर्ष में 366 दिन = 52 सप्ताह + 2 दिन → 2 विषम दिन, क्योंकि फरवरी को 29वाँ दिन मिल जाता है।
| अवधि | गणना कैसे | विषम दिन |
|---|---|---|
| 1 साधारण वर्ष (365 दिन) | 365 ÷ 7 = 52 सप्ताह, शेष 1 | 1 |
| 1 लीप वर्ष (366 दिन) | 366 ÷ 7 = 52 सप्ताह, शेष 2 | 2 |
| 100 वर्ष | 76 साधारण + 24 लीप → (76 × 1) + (24 × 2) = 124; 124 ÷ 7 = 17 सप्ताह, शेष 5 | 5 |
| 200 वर्ष | 5 × 2 = 10; 10 ÷ 7 का शेष 3 | 3 |
| 300 वर्ष | 5 × 3 = 15; 15 ÷ 7 का शेष 1 | 1 |
| 400 वर्ष | (5 × 4) + 1 = 21 — अतिरिक्त 1 इसलिए कि 400वाँ वर्ष लीप वर्ष होता है; 21 ÷ 7 का शेष 0 | 0 |
| 800, 1200, 1600, 2000 वर्ष | 400 वर्ष का कोई भी गुणज | 0 |
| विषम दिन | सप्ताह का दिन |
|---|---|
| 0 | रविवार |
| 1 | सोमवार |
| 2 | मंगलवार |
| 3 | बुधवार |
| 4 | गुरुवार |
| 5 | शुक्रवार |
| 6 | शनिवार |
हल किया उदाहरण 26 — 15 अगस्त 1947 को सप्ताह का कौन दिन था? स्वतंत्रता दिवस। हम उस तिथि से पहले की सब चीज़ों के विषम दिन गिनते हैं।
चरण 1 — पूर्ण वर्ष: 1946 = 1600 + 300 + 46।
• 1600 वर्ष → 0 विषम दिन (400 का गुणज)।
• 300 वर्ष → 1 विषम दिन।
• 46 वर्ष (1901–1946): लीप वर्ष हैं 1904, 1908, … 1944, अर्थात् (1944 − 1904)/4 + 1 = 11 लीप वर्ष, शेष 46 − 11 = 35 साधारण वर्ष। विषम दिन = (35 × 1) + (11 × 2) = 35 + 22 = 57; और 57 ÷ 7 = 8 सप्ताह, शेष 1।
• उपयोग = 0 + 1 + 1 = 2 विषम दिन।
चरण 2 — 1947 में 15 अगस्त तक बीते दिन। 1947, 4 से विभाज्य नहीं है, अतः फरवरी में 28 दिन। 31 (जन) + 28 (फर) + 31 (मार्च) + 30 (अप्रैल) + 31 (मई) + 30 (जून) + 31 (जुलाई) + 15 (अग) = 227 दिन। अब 227 ÷ 7: 7 × 32 = 224, शेष 3 विषम दिन।
चरण 3 — जोड़ें और पढ़ें। कुल विषम दिन = 2 + 3 = 5। दिन-कूट तालिका से, 5 = शुक्रवार। और वास्तव में भारत शुक्रवार को स्वतंत्र हुआ था ✓।
- चरण 1 — पूर्ण वर्ष तोड़ेंदी गई तिथि से पहले का वर्ष लें और उसे (400 का गुणज) + (100/200/300) + (शेष वर्ष) में तोड़ें। 1947 के लिए वह है 1946 = 1600 + 300 + 46।
- चरण 2 — खंड-मान पढ़ें400 का गुणज → 0; 100 → 5; 200 → 3; 300 → 1। ये चार संख्याएँ ही पूरी तालिका हैं।
- चरण 3 — शेष वर्ष गिनेंविषम दिन = (साधारण वर्ष × 1) + (लीप वर्ष × 2), फिर 7 से भाग देकर शेष लें। लीप वर्ष उस खंड में 4 के गुणजों की संख्या के बराबर गिनें।
- चरण 4 — चालू वर्ष के दिन जोड़ेंपूरे महीनों और स्वयं तिथि को जोड़ें, और 7 का शेष लें। फरवरी को 28 या 29 लिखने से पहले जाँचें कि यह वर्ष लीप वर्ष है या नहीं।
- चरण 5 — कुल, फिर कूट पढ़ेंदोनों शेषफल जोड़ें, आवश्यकता हो तो फिर 7 का शेष लें, और बदलें: 0 = रविवार से 6 = शनिवार तक। हो गया।
हल किया उदाहरण 27 — कैलेंडर कब दोहराता है? दो वर्षों का कैलेंडर समान होता है जब (क) उनके बीच कुल विषम दिन 0 हों, और (ख) वे एक ही प्रकार के हों — लीप वर्ष साधारण वर्ष से मेल नहीं खा सकता, क्योंकि फरवरी भिन्न है।
2023 का कैलेंडर कौन-सा वर्ष दोहराएगा? वर्ष-दर-वर्ष विषम दिन जोड़ते जाएँ जब तक चलता योग 7 का गुणज न हो जाए। 2023 (साधारण) 1 → कुल 1; 2024 (लीप) 2 → 3; 2025 → 4; 2026 → 5; 2027 → 6; 2028 (लीप) 2 → 8; 2029 → 9; 2030 → 10; 2031 → 11; 2032 (लीप) 2 → 13; 2033 → 14, जो 2 × 7 है। अतः 2023 का कैलेंडर 2034 में लौटता है — और 2034 साधारण वर्ष है, अतः शर्त (ख) भी पूरी ✓।
लीप वर्ष के लिए उत्तर लगभग सदा सुडौल होता है: कैलेंडर 28 वर्ष बाद दोहराता है (2024 → 2052)। कारण: उन 28 वर्षों में 7 लीप व 21 साधारण वर्ष होते हैं → (21 × 1) + (7 × 2) = 35 विषम दिन, और 35 ÷ 7 = ठीक 0। 28-वर्ष का नियम केवल तब टूटता है जब बीच में 1900 या 2100 जैसा गैर-लीप शताब्दी वर्ष आ जाए।
इकाई-अनुशासन एवं असावधानी की भूलें
इस अध्याय में अंक इसलिए नहीं कटते कि विधि नहीं आती थी। अंक तब कटते हैं जब मिनट को दशमलव मान लिया गया या कोई लंबाई छूट गई। अतः इसे यांत्रिक बना लें: एक भी संख्या लिखने से पहले पूरे प्रश्न को एक इकाई-पद्धति में ले आएँ — या किमी और घंटे, या मीटर और सेकंड। दोनों कभी नहीं।
दो रूपांतरण ही सारा काम करते हैं: 10 मिनट = 10/60 = 1/6 घंटा (0.10 नहीं), और 45 मिनट = 45/60 = 3/4 घंटा (0.45 नहीं)। और यदि प्रश्न में कोई लंबाई मीटर में है, तो आरंभ में ही प्रत्येक चाल को मी/से में बदल लें और झंझट समाप्त करें।
| विषय | सूत्र | याद रखने योग्य एक संख्या |
|---|---|---|
| मूल संबंध | चाल = दूरी ÷ समय | 4 घं में 300 किमी = 75 किमी/घंटा |
| इकाई-रूपांतरण | किमी/घंटा × 5/18 = मी/से; मी/से × 18/5 = किमी/घंटा | 36 किमी/घंटा = 10 मी/से |
| चाल–समय व्युत्क्रम | चाल a/b हो → समय b/a हो | 3/4 चाल → 4/3 समय |
| जल्दी / देर | दूरी = (चालों का गुणनफल × समयांतर) ÷ (चालों का अंतर) | 5 व 6 किमी/घंटा, अंतर 15 मि → 7.5 किमी |
| औसत चाल, समान दूरियाँ | 2xy/(x + y); तीन खंड → 3xyz/(xy + yz + zx) | 40 व 60 → 48, 50 नहीं |
| औसत चाल, समान समय | सामान्य समांतर माध्य (x + y)/2 | 40 व 60 → 50 |
| सापेक्ष चाल | एक दिशा → घटाएँ; विपरीत → जोड़ें | 60 व 48 → 12 या 108 किमी/घंटा |
| रेलगाड़ियाँ | समय = (कुल लंबाई) ÷ (सापेक्ष चाल) | 180 मी + 270 मी, 15 मी/से पर = 30 से |
| नाव | D = u + v, U = u − v; u = (D+U)/2, v = (D−U)/2 | D 15, U 9 → u 12, v 3 |
| दौड़ | y मी दौड़ में x मी से हराना → दूरियाँ y : (y − x) | 100 में 20 से → 100 : 80 |
| वृत्ताकार पथ | पहली भेंट = लंबाई ÷ सापेक्ष चाल; प्रारंभ बिंदु पर = चक्कर-समयों का LCM | 400 मी, 5 व 3 मी/से → 50 से / 200 से |
| कैलेंडर | विषम दिन = 7 से भाग का शेष; 0 = रविवार | 100/200/300/400 वर्ष → 5/3/1/0 |
- दूरियाँ समान होने पर चालें जोड़कर आधी करना। 40 व 60 से 48 मिलता है, 50 कभी नहीं।
- प्लेटफ़ॉर्म, पुल या सुरंग के लिए गाड़ी की अपनी लंबाई भूल जाना। दूरी = गाड़ी + प्लेटफ़ॉर्म।
- वस्तु बिंदु होने पर गाड़ी की लंबाई जोड़ देना — खंभे, पेड़, सिग्नल या खड़े व्यक्ति की लंबाई नहीं होती।
- एक ही दिशा में चालें जोड़ना और विपरीत में घटाना — ठीक उलटा है।
- 10 मिनट को 0.10 घंटा लिखना। वह 1/6 घंटा है। इसी तरह 20 मि = 1/3 घं, 30 मि = 1/2 घं, 40 मि = 2/3 घं।
- देर और जल्दी के मिनट जोड़ने के बजाय घटाना। 10 मि देर व 5 मि जल्दी का अंतर 15 मिनट है।
- नाव के प्रश्नों में स्थिर-जल चाल को अनुकूल चाल समझ लेना — तय करें प्रश्न ने कौन-सी दी है।
- "A, B को 20 मी से हराता है" को B के 120 मी दौड़ने के रूप में पढ़ना। B 80 मी दौड़ता है — हारने वाला सदा कम दौड़ता है।
- 1900 को लीप वर्ष कहना क्योंकि वह 4 से कट जाता है। शताब्दी वर्षों को 400 से कटना चाहिए।
- कैलेंडर विधि में दिया गया वर्ष भी गिन लेना। 15 अगस्त 1947 के लिए 1946 पूर्ण वर्ष लिए जाते हैं।
मुख्य बिंदु
- चाल = दूरी ÷ समय, और नियत दूरी पर चाल व समय व्युत्क्रमानुपाती हैं: चाल × a/b → समय × b/a। रूपांतरण: किमी/घंटा × 5/18 = मी/से और मी/से × 18/5 = किमी/घंटा; आधार है 36 किमी/घंटा = 10 मी/से, और प्रत्येक अतिरिक्त 18 किमी/घंटा 5 मी/से जोड़ता है।
- औसत चाल = कुल दूरी ÷ कुल समय — कभी चालों का औसत नहीं। x व y पर समान दूरियाँ → 2xy/(x+y) (40 व 60 से 48, 50 नहीं); तीन समान खंड → 3xyz/(xy+yz+zx)। केवल समय समान होने पर सामान्य माध्य (x+y)/2 सही है।
- जल्दी/देर के प्रश्न: दोनों यात्राओं के समय बराबर करें और याद रखें अंतर = देर और जल्दी का योग। 5 व 6 किमी/घंटा पर, 10 मि देर व 5 मि जल्दी: d/5 − d/6 = 1/4 → d = 7.5 किमी। एक-पंक्ति रूप: दूरी = (चालों का गुणनफल × समयांतर) ÷ (चालों का अंतर)।
- सापेक्ष चाल: एक ही दिशा → घटाएँ, विपरीत → जोड़ें। रेलगाड़ी में दूरी बिंदु (खंभा, पेड़, खड़ा व्यक्ति) के सामने केवल गाड़ी की लंबाई है, पर लंबाई वाली वस्तु (प्लेटफ़ॉर्म, पुल, सुरंग, दूसरी गाड़ी) के सामने लंबाइयों का योग। 140 मी + 160 मी, 60 व 48 किमी/घंटा पर: आमने-सामने 10 से, पीछा करते हुए 90 से।
- नाव: अनुकूल D = u + v, प्रतिकूल U = u − v, अतः u = (D+U)/2 व v = (D−U)/2 — नाव उनका औसत, धारा उनके अंतर की आधी (15 व 9 → 12 व 3)। आना-जाना औसत = 2DU/(D+U), सदा u से कम। यदि प्रतिकूल समय = n × अनुकूल समय, तो u : v = (n+1) : (n−1)।
- दौड़: "100 मी की दौड़ में A, B को 20 मी से हराता है" → जब A 100 दौड़ता है, B दौड़ता है 80, अतः चालें 100 : 80। सेकंडों की बढ़त को मीटर में बदलने हेतु हारने वाले की चाल लगती है। वृत्ताकार पथ पर पहली भेंट = पथ की लंबाई ÷ सापेक्ष चाल (400 मी, 5 व 3 मी/से → विपरीत 50 से, एक दिशा 200 से), जबकि प्रारंभ रेखा पर भेंट हेतु चक्कर-समयों का LCM (400 से)।
- कैलेंडर: विषम दिन = 7 से भाग देने पर शेष; साधारण वर्ष 1, लीप वर्ष 2, और 100/200/300/400 वर्ष से 5/3/1/0। लीप = 4 से विभाज्य, पर शताब्दी वर्षों को 400 चाहिए — अतः 1900 लीप वर्ष नहीं था और 2000 था। कुल को 0 = रविवार से पढ़ें: 15 अगस्त 1947 के लिए, 2 + 3 = 5 = शुक्रवार। लीप वर्ष का कैलेंडर 28 वर्ष बाद दोहराता है।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
90 किमी/घंटा की चाल कितने मीटर प्रति सेकंड के बराबर है?
उत्तर देखें
उत्तर: C — 25 मी/से
मी/से पाने हेतु किमी/घंटा को 5/18 से गुणा करें: 90 × 5/18 = 450/18 = 25 मी/से। वापस जाँच: 25 × 18/5 = 90 किमी/घंटा ✓। अन्य विकल्प 54, 72 व 108 किमी/घंटा के रूपांतरण हैं।एक व्यक्ति अपने गाँव से नगर 40 किमी/घंटा की चाल से जाता है और उसी मार्ग से 60 किमी/घंटा की चाल से लौटता है। पूरी यात्रा की उसकी औसत चाल क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: B — 48 किमी/घंटा
दूरियाँ समान हैं, अतः हरात्मक माध्य 2xy/(x+y) = 2 × 40 × 60 ÷ (40 + 60) = 4800 ÷ 100 = 48 किमी/घंटा लगाएँ। एक तरफ 120 किमी लेकर जाँचें: 120/40 = 3 घं जाने में व 120/60 = 2 घं लौटने में, अतः 5 घं में 240 किमी = 48 किमी/घंटा। आकर्षक 50 किमी/घंटा समांतर माध्य है और गलत है, क्योंकि धीमी चाल पर अधिक समय बीतता है।4 किमी/घंटा की चाल से चलकर एक छात्र अपने विद्यालय 5 मिनट देर से पहुँचता है। 5 किमी/घंटा की चाल से चलकर वह 10 मिनट पहले पहुँच जाता है। उसके घर से विद्यालय कितनी दूर है?
उत्तर देखें
उत्तर: A — 5 किमी
दोनों यात्राओं के समय में अंतर = 5 + 10 = 15 मिनट = 1/4 घंटा। अतः d/4 − d/5 = 1/4 → (5d − 4d)/20 = 1/4 → d/20 = 1/4 → d = 5 किमी। जाँच: 5 ÷ 4 = 75 मि व 5 ÷ 5 = 60 मि, अंतर 15 मि; निर्धारित समय 75 − 5 = 70 मि, और 60 मि वास्तव में 10 मि पहले है।180 मीटर लंबी एक रेलगाड़ी, जो 54 किमी/घंटा की चाल से चल रही है, एक प्लेटफ़ॉर्म को 30 सेकंड में पार करती है। प्लेटफ़ॉर्म की लंबाई क्या है?
उत्तर देखें
उत्तर: D — 270 मीटर
चाल = 54 × 5/18 = 15 मी/से। 30 सेकंड में गाड़ी 15 × 30 = 450 मी तय करती है, और वह दूरी गाड़ी + प्लेटफ़ॉर्म है। अतः प्लेटफ़ॉर्म = 450 − 180 = 270 मी। गाड़ी की अपनी 180 मी घटाना भूलने पर 450 मी मिलता, और 180 मी को उत्तर मान लेना दूसरी आम भूल है।दो रेलगाड़ियाँ, 140 मी व 160 मी लंबी, क्रमशः 60 किमी/घंटा व 48 किमी/घंटा की चाल से चलती हैं। निम्न कथनों पर विचार करें:
1. विपरीत दिशाओं में चलते हुए वे एक-दूसरे को 10 सेकंड में पार करती हैं।
2. एक ही दिशा में चलते हुए तेज़ गाड़ी धीमी गाड़ी को पार करने में 90 सेकंड लेती है।
कौन-सा/से सही है/हैं?उत्तर देखें
उत्तर: C — 1 और 2 दोनों
दोनों स्थितियों में तय करने योग्य दूरी लंबाइयों का योग है, 140 + 160 = 300 मी। विपरीत दिशाएँ: सापेक्ष चाल = 60 + 48 = 108 किमी/घंटा = 108 × 5/18 = 30 मी/से, अतः समय = 300 ÷ 30 = 10 से — कथन 1 सही। एक ही दिशा: सापेक्ष चाल = 60 − 48 = 12 किमी/घंटा = 12 × 5/18 = 10/3 मी/से, अतः समय = 300 × 3/10 = 90 से — कथन 2 भी सही।एक नाव धारा के अनुकूल 15 किमी/घंटा और प्रतिकूल 9 किमी/घंटा चलती है। निम्न कथनों पर विचार करें:
1. स्थिर जल में नाव की चाल 12 किमी/घंटा है।
2. समान दूरी पर आने-जाने की उसकी औसत चाल 12 किमी/घंटा है।
कौन-सा/से सही है/हैं?उत्तर देखें
उत्तर: A — केवल 1
कथन 1: u = (D + U)/2 = (15 + 9)/2 = 12 किमी/घंटा, और धारा v = (15 − 9)/2 = 3 किमी/घंटा। सही। कथन 2: आना-जाना 15 व 9 किमी/घंटा पर समान दूरियाँ तय करता है, अतः औसत हरात्मक माध्य 2 × 15 × 9 ÷ (15 + 9) = 270 ÷ 24 = 11.25 किमी/घंटा है, 12 नहीं। नदी पर आना-जाना सदा स्थिर-जल चाल से कम औसत देता है। अतः केवल कथन 1 सही है।100 मी की दौड़ में A, B को 10 मी से हराता है, और 100 मी की दौड़ में B, C को 10 मी से हराता है। 100 मी की दौड़ में A, C को कितने मीटर से हराएगा?
उत्तर देखें
उत्तर: B — 19 मी
जब A 100 मी दौड़ता है, B 90 मी दौड़ता है। जब B 100 मी दौड़ता है, C 90 मी — अतः जब B केवल 90 मी दौड़ता है, C दौड़ता है 90 × (90/100) = 81 मी। इसलिए जब A 100 मी पूरा करता है, C 81 मी पर है, और A, C को 100 − 81 = 19 मी से हराता है। जाल वाला उत्तर 20 मी दोनों 10 मी की बढ़तें जोड़ने से आता है, जो गलत है क्योंकि दूसरी बढ़त छोटी दौड़ पर लागू होती है।भारत ने अपना संविधान 26 जनवरी 1950 को लागू किया। वह सप्ताह का कौन-सा दिन था?
उत्तर देखें
उत्तर: D — गुरुवार
पूर्ण वर्ष = 1949 = 1600 + 300 + 49। विषम दिन: 1600 वर्ष → 0; 300 वर्ष → 1; 1901–1949 के 49 वर्षों में 12 लीप वर्ष (1904 से 1948) व 37 साधारण वर्ष हैं, जिससे (37 × 1) + (12 × 2) = 61 दिन, और 61 ÷ 7 का शेष 5। उपयोग = 0 + 1 + 5 = 6। 1950 में 26 जनवरी तक के दिन = 26, और 26 ÷ 7 का शेष 5। कुल विषम दिन = 6 + 5 = 11, और 11 ÷ 7 का शेष 4। 0 = रविवार लेने पर, 4 = गुरुवार।