समय एवं कार्य, नल-टंकी, मिश्रण एवं आयु

ये चार विषय देखने में चार अलग अध्याय लगते हैं। हैं नहीं। समय एवं कार्य, नल एवं टंकी, मिश्रण, और आयु — ये एक ही विचार के चार वेश हैं — प्रत्येक में कोई चीज़ एक निश्चित दर से जुड़ती जा रही है, और आपका काम केवल उस दर को खोजकर जोड़ देना है। मज़दूर प्रतिदिन कार्य जोड़ता है। नल प्रति घंटा जल जोड़ता है। मिश्रण प्रति लीटर मूल्य जोड़ता है। व्यक्ति प्रति वर्ष एक वर्ष जोड़ता है। दर की यह आदत एक बार सीख लें और चारों सरल गणित में बदल जाएँगे। इस अध्याय में हम रटने के लिए सूत्र नहीं देंगे — हम हर एक उदाहरण कागज़ पर हल करेंगे, अंक दर अंक, जिससे आप देख सकें कि प्रत्येक संख्या कहाँ से आई।

समय एवं कार्य: कार्य को संख्या बना दें

पाठ्यपुस्तक की विधि है इकाई (दर) विधि: यदि कोई मज़दूर कार्य 12 दिन में पूरा करता है, तो एक दिन में वह उसका 1/12 भाग करता है। सभी काम करने वालों के भिन्न जोड़ दें, और योग का व्युत्क्रम साथ मिलकर लगने वाला समय है। यह सदा काम करती है — पर यह आपको कठिन हर वाले भिन्नों में डुबा देती है।

🎯 LCM विधि क्यों बनी
प्रश्न कहीं नहीं बताता कि कार्य कितना बड़ा है। अतः उसका आकार चुनने की स्वतंत्रता आपके पास है — और एक चतुर चुनाव हर भिन्न मिटा देता है। कुल कार्य को दिए गए दिनों का LCM (लघुत्तम समापवर्त्य) मान लें। तब प्रत्येक मज़दूर का एक दिन का उत्पादन पूर्ण संख्या में इकाइयाँ बन जाता है, और पूरा जोड़ गिनती बन जाता है, भिन्न-योग नहीं। उत्तर वही, समय एक-तिहाई। जिस परीक्षा में प्रति प्रश्न लगभग एक मिनट मिलता है, वहाँ यही सब कुछ है।

हल किया उदाहरण 1 — दोनों विधियाँ साथ-साथ। A कोई कार्य 12 दिन में और B 18 दिन में पूरा करता है। साथ मिलकर कितने दिन?

इकाई विधि: एक दिन का कार्य = 1/12 + 1/18। 12 व 18 का LCM 36 है, अतः = 3/36 + 2/36 = 5/36। समय = 36/5 = 7.2 दिन (7 दिन व दिन का 1/5)।

LCM विधि: कुल कार्य = LCM(12, 18) = 36 इकाई मानें। तब A करता है 36 ÷ 12 = 3 इकाई/दिन, B करता है 36 ÷ 18 = 2 इकाई/दिन। साथ में = 3 + 2 = 5 इकाई/दिन। समय = 36 ÷ 5 = 7.2 दिन। उत्तर बिल्कुल वही, और अंतिम चरण तक एक भी भिन्न नहीं लिखा गया।

हल किया उदाहरण 2 — तीन मज़दूर। कुल कार्य = LCM(10, 12, 15) = 60 इकाई
मज़दूरअकेले दिनइकाई प्रतिदिन = 60 ÷ दिन
A1060 ÷ 10 = 6
B1260 ÷ 12 = 5
C1560 ÷ 15 = 4
A + B + C साथ?6 + 5 + 4 = 15 इकाई/दिन

उस तालिका से: साथ मिलकर वे प्रतिदिन 15 इकाई करते हैं, कुल 60 इकाई में से। अतः समय = 60 ÷ 15 = 4 दिन। भिन्न वाला रास्ता देखें — 1/10 + 1/12 + 1/15 = 6/60 + 5/60 + 4/60 = 15/60 = 1/4 → 4 दिन। संख्याएँ वही, पर 60 तो आपको बनाना ही पड़ा। यही प्रमाण है कि LCM ही कार्य का स्वाभाविक आकार है।

चार-चरणीय LCM अभ्यास — हर कार्य-प्रश्न पर लगाएँ
  1. चरण 1 — कुल तय करें
    कुल कार्य = प्रश्न में दिए सभी दिन-अंकों का LCM लें। इसे हाशिये पर गोला लगाकर लिखें।
  2. चरण 2 — प्रत्येक की दर
    प्रत्येक व्यक्ति के लिए दर = कुल ÷ उसके दिन। ये स्वच्छ पूर्ण संख्याएँ निकलती हैं — चरण 1 का उद्देश्य यही है।
  3. चरण 3 — दरें जोड़ें या घटाएँ
    साथ काम → दरें जोड़ें। कोई छोड़ रहा है, या रिसाव, या निकास नल → घटाएँ। अब आपके पास एक शुद्ध (net) दर है।
  4. चरण 4 — भाग दें
    समय = शेष कार्य ÷ शुद्ध दर। एक भाग और काम पूरा। भिन्न केवल यहीं आता है।
🧠 याद रखने की एक पंक्ति
"LCM है कार्य, भाग है मज़दूर।" दिनों का LCM बताता है कार्य कितना बड़ा है; उसे किसी मज़दूर के दिनों से भाग देने पर पता चलता है कि वह प्रतिदिन उसका कितना भाग करता है। वस्तुनिष्ठ पत्र परीक्षा का हर कार्य, नल या टंकी का प्रश्न इन शब्दों से हल हो जाता है।

हल किया उदाहरण 3 — उल्टी दिशा में। A व B साथ मिलकर कार्य 12 दिन में पूरा करते हैं। A अकेला 20 दिन लेता है। B अकेला कितने दिन लेगा?

कुल कार्य = LCM(12, 20) = 60 इकाई। साथ में वे करते हैं 60 ÷ 12 = 5 इकाई/दिन। A अकेला करता है 60 ÷ 20 = 3 इकाई/दिन। अतः B की दर = 5 − 3 = 2 इकाई/दिन, और B अकेले को चाहिए 60 ÷ 2 = 30 दिन। ध्यान दें चरण 3 में घटाव लगा — वही अभ्यास, उल्टी दिशा में चलाया गया।

तीन प्रसिद्ध प्रकार: साथ, बीच में छोड़ना, एकांतर दिन

पर्चा जो भी कार्य-प्रश्न पूछता है वह लगभग सदा तीन आकारों में से एक होता है। जब आप पाँच सेकंड में आकार पहचान लें, तो गणित में तीस सेकंड और लगते हैं। तीनों पूरे हल करें।

प्रकार 1 — एक मज़दूर बीच में छोड़ देता है। A कार्य 20 दिन में, B 30 दिन में कर सकता है। वे साथ आरंभ करते हैं, पर A 8 दिन बाद छोड़ देता है। कुल कितने दिनों में कार्य पूरा होगा?

कुल कार्य = LCM(20, 30) = 60 इकाई। A = 60 ÷ 20 = 3 इकाई/दिन; B = 60 ÷ 30 = 2 इकाई/दिन; साथ में = 5 इकाई/दिन।
पहले 8 दिनों का कार्य = 5 × 8 = 40 इकाई।
शेष कार्य = 60 − 40 = 20 इकाई।
B इसे अकेला 2 इकाई/दिन से पूरा करेगा → 20 ÷ 2 = 10 दिन।
कुल = 8 + 10 = 18 दिन।

प्रकार 2 — एकांतर दिन, और पूरा-पूरा बँट जाता है। A कार्य 9 दिन में, B 18 दिन में कर सकता है। वे एकांतर दिनों में काम करते हैं, A से आरंभ। कार्य कब पूरा होगा?

कुल कार्य = LCM(9, 18) = 18 इकाई। A = 18 ÷ 9 = 2 इकाई/दिन; B = 18 ÷ 18 = 1 इकाई/दिन।
एक-एक दिन में न सोचें — दिनों के जोड़े में सोचें। एक जोड़ा (A का दिन + B का दिन) = 2 + 1 = 2 दिन में 3 इकाई।
आवश्यक जोड़े = 18 ÷ 3 = 6 जोड़े।
दिन = 6 × 2 = 12 दिन।

प्रकार 3 — एकांतर दिन, शेष बचने के साथ। A कार्य 6 दिन में, B 8 दिन में कर सकता है, वे एकांतर काम करते हैं, A से आरंभ।

कुल कार्य = LCM(6, 8) = 24 इकाई। A = 24 ÷ 6 = 4 इकाई/दिन; B = 24 ÷ 8 = 3 इकाई/दिन। एक जोड़ा = 4 + 3 = 2 दिन में 7 इकाई।
24 ÷ 7 = 3 जोड़े और शेष: 3 जोड़े = 6 दिनों में 21 इकाई, बचा 24 − 21 = 3 इकाई।
सातवाँ दिन A की बारी है, और A पूरे दिन में 4 इकाई करता है। उसे केवल 3 इकाई चाहिए, अतः उसे उस दिन का 3/4 भाग चाहिए।
कुल = 6 + 3/4 = 6¾ दिन (6.75 दिन)।

⚠️ एकांतर-दिन के प्रश्नों में, कौन आरंभ करता है, उत्तर बदल देता है
प्रकार 3 को B से आरंभ करके दोहराएँ। जोड़े अब भी 2 दिन में 7 इकाई हैं, अतः 6 दिनों बाद 21 इकाई हुई और 3 इकाई शेष — पर सातवाँ दिन अब B का है, जो प्रतिदिन केवल 3 इकाई करता है। उसे पूरा दिन चाहिए। कुल = 7 दिन, 6¾ नहीं। वही दो मज़दूर, वही कार्य, केवल इसलिए पौन दिन का अंतर कि पहले कौन गया। गणना से पहले "से आरंभ करते हुए" वाक्यांश सदा पढ़ें।
  • बीच में छोड़ना → छोड़ने से पहले किया कार्य = (संयुक्त दर) × (दिन), फिर शेष को रुकने वाले की दर से भाग दें।
  • एकांतर दिन → 2-दिन के जोड़ों में काम करें। कुल को जोड़े के उत्पादन से भाग दें; शेष बचे तो उसे अगली बारी वाले को दें।
  • "A ने पहले x दिन किया, B ने शेष पूरा किया" → यह बीच में छोड़ने वाले प्रकार जैसा ही है; केवल संयुक्त दर के स्थान पर A की अकेली दर आती है।
  • यदि प्रश्न कार्य का भिन्न दे ("A ने उसका 1/4 भाग 5 दिन में किया"), तो पहले पूरे पर लाएँ: 5 दिन में 1/4 → पूरा 5 × 4 = 20 दिन में।

आदमी, दिन, घंटे; कार्यक्षमता; और मज़दूरी

जब प्रश्न में आदमी, दिन व घंटे एक साथ आएँ, तो एक संबंध सब सँभाल लेता है:

M₁ × D₁ × H₁ ÷ W₁ = M₂ × D₂ × H₂ ÷ W₂

यहाँ M = आदमी, D = दिन, H = प्रतिदिन घंटे, W = कार्य की मात्रा। तर्क सरल है: आदमी × दिन × घंटे कुल लगाया गया श्रम है, और कार्य दुगुना हो तो श्रम भी दुगुना चाहिए। यदि दोनों स्थितियों में कार्य समान है, तो W₁ व W₂ हटा दें और केवल M₁D₁H₁ = M₂D₂H₂ लिखें।

हल किया उदाहरण 4 — समान कार्य। 10 आदमी प्रतिदिन 6 घंटे काम करके एक दीवार 12 दिन में बनाते हैं। 8 आदमी प्रतिदिन 9 घंटे काम करके वही दीवार कितने दिनों में बनाएँगे?

M₁D₁H₁ = M₂D₂H₂
10 × 12 × 6 = 8 × D₂ × 9
720 = 72 × D₂
D₂ = 720 ÷ 72 = 10 दिन।

हल किया उदाहरण 5 — कार्य भी बदलता है। 20 आदमी प्रतिदिन 7 घंटे काम करके 300 मीटर नहर 12 दिन में खोदते हैं। 25 आदमी प्रतिदिन 8 घंटे काम करके 500 मीटर नहर कितने दिनों में खोदेंगे? अब W को समीकरण में रखना होगा।

(20 × 12 × 7) ÷ 300 = (25 × D₂ × 8) ÷ 500
1680 ÷ 300 = 200 × D₂ ÷ 500
5.6 = 0.4 × D₂
D₂ = 5.6 ÷ 0.4 = 14 दिन।

जाँच: आदमी व घंटे बढ़े (क्षमता अधिक, अतः दिन कम) पर नहर बहुत लंबी हो गई (कार्य बहुत अधिक) — अतः दिन 12 से 14 होना विश्वसनीय है।

🧠 कार्यक्षमता व समय उलटे जुड़वाँ हैं
अधिक कार्यक्षम का अर्थ कम दिन — सदा ठीक उलटा। यदि A व B की कार्यक्षमता का अनुपात 3 : 2 है, तो उनके लगने वाले दिनों का अनुपात 2 : 3 है। अनुपात को पलटें, गुणा न करें। विद्यार्थी समय-अनुपात की जगह कार्यक्षमता-अनुपात लिखकर सरल अंक खो देते हैं। एक बार बोलकर कहें: "क्षमता ऊपर, दिन नीचे।"

हल किया उदाहरण 6 — कार्यक्षमता गुणक के रूप में। A, B से दुगुना कार्यक्षम है, और साथ मिलकर वे कार्य 12 दिन में पूरा करते हैं। प्रत्येक अकेला कितने दिन लेगा?

कार्यक्षमता A : B = 2 : 1, अतः दिन A : B = 1 : 2। मान लें A को x दिन लगते हैं, तो B को 2x दिन।
1/x + 1/2x = 1/12
2/2x + 1/2x = 1/12
3/2x = 1/12
2x = 36, अतः x = 18।
A अकेला = 18 दिन, B अकेला = 36 दिन।
जाँच: 1/18 + 1/36 = 2/36 + 1/36 = 3/36 = 1/12। ✓

कार्यक्षमता प्रतिशत में दी हो — बदलें, फिर पलटें
प्रश्न कहता हैकार्यक्षमता A : Bदिन A : B (उलटा)
A, B से 25% अधिक कार्यक्षम है125 : 100 = 5 : 44 : 5
A, B से 50% अधिक कार्यक्षम है150 : 100 = 3 : 22 : 3
A दुगुना कार्यक्षम है (100% अधिक)200 : 100 = 2 : 11 : 2
A, B से 20% कम कार्यक्षम है80 : 100 = 4 : 55 : 4

पहली पंक्ति से: यदि B अकेला 25 दिन लेता है और A 25% अधिक कार्यक्षम है, तो दिन A : B = 4 : 5, अतः A लेता है 25 × 4/5 = 20 दिन। एक पंक्ति, कोई समीकरण नहीं।

हल किया उदाहरण 7 — मज़दूरी कार्यक्षमता के अनुपात में बँटती है, दिनों के अनुपात में नहीं। कुल मज़दूरी ₹1,800
मज़दूरअकेले दिनइकाई/दिन (24 के LCM में से)₹1,800 में हिस्सा
A624 ÷ 6 = 41800 × 4/9 = ₹800
B824 ÷ 8 = 31800 × 3/9 = ₹600
C1224 ÷ 12 = 21800 × 2/9 = ₹400
कुल—4 + 3 + 2 = 9 भाग800 + 600 + 400 = ₹1,800 ✓
💡 ऐसे समझें
इकाइयों को लगाई गई ईंटों के रूप में सोचें। A प्रतिदिन 4 ईंट लगाता है, B 3, C 2 — अतः दीवार की प्रत्येक 9 ईंटों में 4 A की, 3 B की व 2 C की हैं। कोई उन्हें वहाँ खड़े रहने के दिनों के हिसाब से नहीं चुकाएगा; भुगतान प्रति ईंट होता है। यही पूरा कारण है कि मज़दूरी कार्यक्षमता के पीछे चलती है, और मज़दूरी का अनुपात केवल 1/6 : 1/8 : 1/12 = 4 : 3 : 2 है।

नल एवं टंकी — ऋण चिह्न वाला कार्य

यहाँ कोई नया सिद्धांत नहीं है। टंकी ही कार्य है, भरने वाला नल मज़दूर है, और निकास नल या रिसाव वह मज़दूर है जो किया हुआ कार्य बिगाड़ता है — ऋणात्मक मज़दूर। टंकी की क्षमता दिए गए घंटों का LCM मान लें, प्रत्येक नल को उसकी प्रति घंटा इकाइयाँ दें, भरने वालों पर धन व खाली करने वालों पर ऋण लगाएँ, और जोड़ दें।

एक ही अध्याय, दो शब्दावलियाँ
समय एवं कार्यनल एवं टंकी
किया जाने वाला कार्यटंकी की क्षमता
मज़दूर (धनात्मक दर)भरने वाला नल — भरता है, अतः +
कार्य बिगाड़ने वालानिकास नल या रिसाव — खाली करता है, अतः −
लगने वाले दिनलगने वाले घंटे (या मिनट)
पहले से हो चुका कार्यटंकी में पहले से भरा जल — प्रसिद्ध जाल

हल किया उदाहरण 8 — एक भरने वाला, एक निकास। नल A खाली टंकी को 12 घंटे में भरता है; नल B भरी टंकी को 18 घंटे में खाली करता है। खाली टंकी पर दोनों साथ खोले जाते हैं। कब भरेगी?

क्षमता = LCM(12, 18) = 36 इकाई। A = 36 ÷ 12 = +3 इकाई/घंटा। B = 36 ÷ 18 = −2 इकाई/घंटा।
शुद्ध दर = 3 − 2 = +1 इकाई/घंटा।
समय = 36 ÷ 1 = 36 घंटे।

हल किया उदाहरण 9 — दो भरने वाले, एक निकास। A 10 घंटे में भरता है, B 15 घंटे में भरता है, C 12 घंटे में खाली करता है। खाली टंकी पर तीनों खोले गए।

क्षमता = LCM(10, 15, 12) = 60 इकाई।
A = 60 ÷ 10 = +6; B = 60 ÷ 15 = +4; C = 60 ÷ 12 = −5।
शुद्ध = 6 + 4 − 5 = +5 इकाई/घंटा।
समय = 60 ÷ 5 = 12 घंटे।

हल किया उदाहरण 10 — रिसाव का अपना समय निकालना। एक नल टंकी को 6 घंटे में भर सकता है, पर रिसाव के कारण वास्तव में 8 घंटे लगते हैं। रिसाव अकेला भरी टंकी को कितने समय में खाली करेगा?

रिसाव वही अंतर है जो नल को करना चाहिए था और जो वह करता है।
रिसाव की दर = 1/6 − 1/8 = 4/24 − 3/24 = प्रति घंटा टंकी का 1/24।
अतः रिसाव अकेला टंकी को 24 घंटे में खाली करेगा।

इकाइयों से: क्षमता = LCM(6, 8) = 24। नल अकेला = 24 ÷ 6 = 4/घंटा; रिसाव के साथ देखी गई शुद्ध दर = 24 ÷ 8 = 3/घंटा। रिसाव = 4 − 3 = −1/घंटा → 24 ÷ 1 = 24 घंटे। उत्तर वही, भिन्न नहीं।

⚠️ वह टंकी जो पहले से आधी-अधूरी भरी है
एक टंकी 3/5 भरी है। नल A पूरी टंकी 10 मिनट में भरता है; नल B पूरी टंकी 6 मिनट में खाली करता है। दोनों खोल दिए जाते हैं। टंकी कब खाली होगी?

शुद्ध दर = 1/10 − 1/6 = 3/30 − 5/30 = −2/30 = −1/15 प्रति मिनट, अर्थात् वह प्रति मिनट 1/15 की दर से खाली हो रही है।
पर जल केवल 3/5 टंकी भर ही उपस्थित है। समय = (3/5) ÷ (1/15) = (3/5) × 15 = 9 मिनट।

जाल: अधिकांश विद्यार्थी 15 मिनट लिख देते हैं — यह पूरी टंकी खाली करने का समय है। दरें सदा पूरी टंकी के लिए दी जाती हैं; हटाई जाने वाली मात्रा केवल वही है जो वास्तव में मौजूद है। प्रश्न की पहली पंक्ति दो बार पढ़ें।
ℹ️ ध्यान दें
यदि खाली टंकी पर शुद्ध दर ऋणात्मक निकले, तो टंकी कभी नहीं भरेगी — निकास, भराव से प्रबल है। उदाहरण: A 12 घंटे में भरता है (36 इकाई में से +3) जबकि B 9 घंटे में खाली करता है (−4); शुद्ध = −1, अतः टंकी और सूखती ही जाएगी। यदि कोई विकल्प कहे "कभी नहीं" या "भरी नहीं जा सकती", तो उसे खारिज करने से पहले शुद्ध दर का चिह्न देख लें।

मिश्रण, मिश्रण-नियम (एलिगेशन) एवं बारंबार प्रतिस्थापन

जब आप भिन्न मूल्य (या सांद्रता, या शुद्धता) की दो वस्तुएँ मिलाते हैं, तो परिणाम दोनों के बीच कहीं बैठता है — और ठीक कहाँ बैठेगा यह इस पर निर्भर है कि किसकी कितनी मात्रा ली। मिश्रण की एक इकाई के मूल्य को माध्य मूल्य (mean price) कहते हैं। मिश्रण-नियम उस "बीच कहीं" को तेज़ी से पढ़ने की विधि मात्र है।

मिश्रण-नियम (एलिगेशन)। दो अवयवों के लिए — सस्ता जिसका मूल्य C और महँगा जिसका मूल्य D — जिन्हें मिलाकर माध्य मूल्य M मिलता है:

सस्ते की मात्रा : महँगे की मात्रा = (D − M) : (M − C)

क्रॉस आरेख, शब्दों में: C को ऊपर बाएँ और D को ऊपर दाएँ लिखें, और M को नीचे, दोनों के ठीक बीच रखें। अब M से दो रेखाएँ खींचें, एक ऊपर-बाएँ C तक और एक ऊपर-दाएँ D तक — यही "क्रॉस" है। प्रत्येक रेखा पर बड़े में से छोटा घटाएँ: C वाली रेखा देती है M − C, D वाली रेखा देती है D − M। अंत में — और यही पूरी चतुराई है — प्रत्येक अंतर को दूसरे अवयव के नीचे लिखें। अतः D − M आता है C के नीचे, और M − C आता है D के नीचे। नीचे की पंक्ति बाएँ से दाएँ पढ़ें और अनुपात C : D मिल गया।

हल किया उदाहरण 11 — मिश्रण अनुपात निकालना। ₹30/किग्रा वाले चावल को ₹45/किग्रा वाले चावल के साथ किस अनुपात में मिलाया जाए जिससे मिश्रण ₹35/किग्रा का हो?

C = 30, D = 45, M = 35।
सस्ता : महँगा = (D − M) : (M − C) = (45 − 35) : (35 − 30) = 10 : 5 = 2 : 1।

जाँच: 2 किग्रा + 1 किग्रा लें। लागत = 2 × 30 + 1 × 45 = 60 + 45 = 3 किग्रा के लिए ₹105 → 105 ÷ 3 = ₹35/किग्रा। ✓

🧠 माध्य से दूरी, फिर अदल-बदल
दो शब्द पूरा नियम सँभालते हैं: "दूरी, अदल-बदल।" नापें कि माध्य प्रत्येक मूल्य से कितनी दूर है, फिर प्रत्येक अवयव को दूसरे की दूरी दे दें। अदल-बदल क्यों? क्योंकि जिस अवयव का मूल्य माध्य के निकट है, वह अधिक मात्रा में होना चाहिए — वही औसत को अपनी ओर खींच रहा है। उदाहरण 11 में माध्य ₹35, ₹45 (दूरी 10) की तुलना में ₹30 (दूरी 5) के निकट है, और वास्तव में ₹30 वाला चावल बड़ा भाग है, 3 में से 2। निकट मूल्य, बड़ा हिस्सा। यदि आपका उत्तर इसका उल्लंघन करे, तो आपने उलटी दिशा में अदल-बदल किया है।

हल किया उदाहरण 12 — प्रसिद्ध दूध-पानी का प्रश्न। एक दूध विक्रेता ₹40 प्रति लीटर पर दूध खरीदता है और पानी मिलाकर लागत मूल्य पर बेचकर भी कमाना चाहता है। यदि वह चाहता है कि मिश्रण उसे केवल ₹32 प्रति लीटर बैठे, तो वह दूध में पानी किस अनुपात में मिलाए?

पानी निःशुल्क है, अतः उसका मूल्य ₹0। अब C = 0 (पानी), D = 40 (दूध), M = 32।
पानी : दूध = (D − M) : (M − C) = (40 − 32) : (32 − 0) = 8 : 32 = 1 : 4।

जाँच: 4 लीटर दूध की लागत 4 × 40 = ₹160; 1 लीटर पानी (₹0) मिलाएँ → ₹160 में 5 लीटर → 160 ÷ 5 = ₹32/लीटर। ✓ अतः वह प्रत्येक 4 लीटर दूध में 1 लीटर पानी मिलाता है, अर्थात् पानी मिश्रण का 1/5 = 20% है।

हल किया उदाहरण 13 — तीन मात्राओं का मिश्रण। तीन प्रकार के चावल का मूल्य ₹25, ₹30 व ₹40 प्रति किग्रा है। इन्हें 2 : 3 : 5 के अनुपात में मिलाएँ। माध्य मूल्य क्या है?

माध्य मूल्य = (2 × 25 + 3 × 30 + 5 × 40) ÷ (2 + 3 + 5)
= (50 + 90 + 200) ÷ 10 = 340 ÷ 10 = ₹34/किग्रा।

और अब उलटा — यदि केवल ₹34 दिया होता तो 2 : 3 : 5 कैसे निकालते? तीन अवयवों में आप सबसे महँगे को शेष प्रत्येक के साथ जोड़ी बनाकर दो बार मिश्रण-नियम लगाते हैं:
- ₹25 को ₹40 के साथ, माध्य 34 → 25 : 40 = (40 − 34) : (34 − 25) = 6 : 9 = 2 : 3।
- ₹30 को ₹40 के साथ, माध्य 34 → 30 : 40 = (40 − 34) : (34 − 30) = 6 : 4 = 3 : 2।

अब एकत्र करें: ₹25 एक बार आया, हिस्सा 2। ₹30 एक बार आया, हिस्सा 3। ₹40 दोनों जोड़ियों में आया, अतः उसके हिस्से जोड़ें: 3 + 2 = 5। अतः 25 : 30 : 40 = 2 : 3 : 5 — ठीक वही अनुपात जहाँ से हमने आरंभ किया था। ✓

बारंबार प्रतिस्थापन — याद रखने योग्य एकमात्र सूत्र। कुल आयतन V के पात्र से आप x इकाई द्रव निकालते हैं और x इकाई पानी डाल देते हैं। इसे n बार दोहराएँ। तब:

शेष मूल द्रव = V × (1 − x/V)ⁿ

हल किया उदाहरण 14। एक पात्र में 40 लीटर शुद्ध दूध है। 4 लीटर निकालकर पानी भर दिया जाता है; यह क्रिया कुल दो बार की जाती है। कितना दूध शेष रहेगा?

शेष दूध = 40 × (1 − 4/40)² = 40 × (9/10)² = 40 × 81/100 = 32.4 लीटर।
पानी = 40 − 32.4 = 7.6 लीटर। अनुपात दूध : पानी = 32.4 : 7.6 = 81 : 19।

हाथ से जाँचें, एक-एक चरण:
- क्रिया 1: 4 लीटर शुद्ध दूध निकाला → 36 लीटर दूध। 4 लीटर पानी डाला → 36 दूध + 4 पानी।
- क्रिया 2: अब 40 लीटर में 90% दूध है, अतः जो 4 लीटर निकालेंगे उसमें 3.6 लीटर दूध + 0.4 लीटर पानी होगा। शेष: 36 − 3.6 = 32.4 लीटर दूध और 4 − 0.4 = 3.6 लीटर पानी। 4 लीटर पानी डाला → 3.6 + 4 = 7.6 लीटर पानी।
- कुल 32.4 + 7.6 = 40 लीटर ✓, और दूध का अंक सूत्र से ठीक मेल खाता है।

⚠️ प्रतिस्थापन सूत्र की दो शर्तें
(1) V पात्र का कुल आयतन होना चाहिए, निकाली गई मात्रा नहीं। (1 − 4/40) के स्थान पर (1 − 4/36) लिखना यहाँ की सबसे आम भूल है — भिन्न है निकाला ÷ कुल, और कुल कभी नहीं बदलता क्योंकि आप जितना निकालते हैं ठीक उतना ही वापस डालते हैं।
(2) n क्रियाओं की संख्या है, लीटरों की नहीं। एक क्रिया के बाद "यह प्रक्रिया दो बार और दोहराई जाती है" का अर्थ है n = 3, 2 नहीं। शब्दावली ध्यान से पढ़ें।

अभ्यास हेतु एक और: एक पात्र में 250 लीटर दूध है; 50 लीटर निकालकर पानी भरा जाता है, तीन बार। शेष दूध = 250 × (1 − 50/250)³ = 250 × (4/5)³ = 250 × 64/125 = 128 लीटर; पानी = 250 − 128 = 122 लीटर; अनुपात = 64 : 61।

आयु संबंधी प्रश्न

आयु के प्रश्न शुद्ध अनुवाद हैं। अंग्रेज़ी (या हिंदी) अंदर जाती है, एक रैखिक समीकरण बाहर आता है। एक ही अनुशासन है जिसे कभी न तोड़ें: अपना अज्ञात सदा वर्तमान आयु को मानें। तब "5 वर्ष पहले" केवल (x − 5) है और "8 वर्ष बाद" (x + 8) है। जो विद्यार्थी अज्ञात को किसी बीते वर्ष पर रखते हैं, वे दो बार घटाकर प्रश्न बिगाड़ लेते हैं।

शब्दों का समीकरण में अनुवाद
प्रश्न कहता हैयह लिखें
A, B से 4 वर्ष बड़ा हैA = B + 4
A, B से तीन गुना बड़ा हैA = 3B
उनकी वर्तमान आयु का योग 50 हैA + B = 50 (अतः B = 50 − A — एक अक्षर लें)
पाँच वर्ष पूर्व A, B से दुगुना था(A − 5) = 2 × (B − 5) — दोनों में से घटाएँ
उनकी वर्तमान आयु का अनुपात 3 : 4 हैआयु = 3k व 4k (एक अज्ञात, दो नहीं)
6 वर्ष बाद अनुपात 4 : 5 होगा(3k + 6) ÷ (4k + 6) = 4/5, फिर तिर्यक-गुणा करें

हल किया उदाहरण 15 — वर्तमान व भविष्य। एक पिता की वर्तमान आयु पुत्र की आयु की 3 गुनी है। 12 वर्ष बाद, पिता की आयु पुत्र की आयु की दुगुनी होगी। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात करें।

मान लें पुत्र अब x वर्ष का है; तो पिता 3x वर्ष का है।
12 वर्ष बाद: पुत्र = x + 12, पिता = 3x + 12।
3x + 12 = 2(x + 12)
3x + 12 = 2x + 24
3x − 2x = 24 − 12
x = 12।
अतः पुत्र 12 वर्ष और पिता 36 वर्ष का है।
जाँच: 12 वर्ष बाद वे 24 व 48 के होंगे, और 48 = 2 × 24। ✓

हल किया उदाहरण 16 — अनुपात-गुणक की शॉर्टकट। A व B की वर्तमान आयु का अनुपात 4 : 5 है। आठ वर्ष बाद अनुपात 6 : 7 होगा। उनकी वर्तमान आयु ज्ञात करें।

दो अक्षर न लिखें। आयु 4k व 5k लिखें — वह एक k पहले से ही अनुपात समा लेता है, जिससे आपका काम आधा हो जाता है।
(4k + 8) ÷ (5k + 8) = 6/7
तिर्यक-गुणा: 7(4k + 8) = 6(5k + 8)
28k + 56 = 30k + 48
56 − 48 = 30k − 28k
8 = 2k → k = 4।
अतः A = 4 × 4 = 16 वर्ष, B = 5 × 4 = 20 वर्ष।
जाँच: 8 वर्ष बाद, 24 व 28 → 24 : 28 = 6 : 7। ✓

⚠️ अनुपात बदलता है; अंतर कभी नहीं
दोनों व्यक्ति ठीक उतने ही वर्ष बढ़ते हैं, अतः दो आयु का अंतर जीवन भर स्थिर रहता है। उदाहरण 16 में अंतर 20 − 16 = 4 वर्ष है, और आठ वर्ष बाद भी 28 − 24 = 4 वर्ष ही है। इसके दो उपयोग: (क) यह आपके किसी भी उत्तर पर निःशुल्क 5-सेकंड की जाँच है; (ख) कई प्रश्न सीधे इसी से हल हो जाते हैं। और साथ का जाल — कभी न मानें कि अनुपात के पदों का अंतर आयु का अंतर है। 4 : 5 से 6 : 7 होने का अर्थ यह नहीं कि वर्षों में अंतर 1 से 1 हो गया; दोनों अनुपातों में k भिन्न है। घटाव केवल वास्तविक आयु में किया जा सकता है।

हल किया उदाहरण 17 — योग की शर्त के साथ भूतकाल की शर्त। एक माता व उसकी पुत्री की वर्तमान आयु का योग 70 वर्ष है। पाँच वर्ष पूर्व माता की आयु पुत्री की आयु की 5 गुनी थी। दोनों की वर्तमान आयु ज्ञात करें।

मान लें अब पुत्री d व माता m वर्ष की है, जहाँ d + m = 70।
पाँच वर्ष पूर्व: m − 5 = 5(d − 5)
m − 5 = 5d − 25
m = 5d − 20।
योग में रखें: d + (5d − 20) = 70
6d = 90 → d = 15, और m = 70 − 15 = 55।
अतः पुत्री 15 वर्ष व माता 55 वर्ष की है।
जाँच: पाँच वर्ष पूर्व वे 10 व 50 की थीं, और 50 = 5 × 10। ✓

हल किया उदाहरण 18 — कोई जुड़ने पर औसत आयु बदलती है। एक कक्षा के 20 विद्यार्थियों की औसत आयु 12 वर्ष है। कक्षा-शिक्षक को सम्मिलित करने पर औसत 13 वर्ष हो जाता है। शिक्षक की आयु ज्ञात करें।

लंबा रास्ता: विद्यार्थियों की कुल आयु = 20 × 12 = 240 वर्ष। शिक्षक सहित 21 व्यक्ति हैं जिनका औसत 13 है, अतः उनका कुल = 21 × 13 = 273 वर्ष। शिक्षक = 273 − 240 = 33 वर्ष।

तेज़ रास्ता: नए व्यक्ति को अपने लिए नया औसत ले जाना है, साथ ही इतना अतिरिक्त भी कि प्रत्येक 20 पुराने सदस्यों को 1 वर्ष ऊपर उठा सके। अतः शिक्षक = नया औसत + (पुराने सदस्यों की संख्या × औसत में वृद्धि) = 13 + (20 × 1) = 33 वर्ष। एक पंक्ति में वही उत्तर — और यह शॉर्टकट टीम में जुड़ते कप्तान, परिवार में जन्मे शिशु, हर स्थिति पर लगती है।

💡 ऐसे समझें
औसत को एक जैसे गिलासों की कतार में जल-स्तर मानें। किसी को जोड़ना एक और गिलास डालना है। यदि 21 गिलासों में स्तर 1 सेमी बढ़ा, तो नए व्यक्ति को अपने 13 सेमी के साथ पहले से रखे 20 गिलासों में से प्रत्येक के लिए 1 सेमी भी लाना पड़ा — 13 + 20 = 33। यदि स्तर 1 सेमी घटा होता, तो वह 13 − 20 लाता, अर्थात् वह औसत से छोटा है और उसे नीचे खींचता है। परिवर्तन का चिह्न बताता है कि जोड़ना है या घटाना।

कौन-सी विधि लगानी है, यह पहचानना

परीक्षा भवन में आपके पास दो विधियाँ आज़माने का समय नहीं होगा। अच्छी बात यह है कि ये प्रश्न स्वयं घोषणा कर देते हैं — प्रश्न-कथन का एक वाक्यांश ठीक-ठीक बता देता है कि कौन-सा औज़ार उठाना है। नीचे की तालिका सीख लें और आपके पहले दस सेकंड घबराहट के बदले पहचान में लगेंगे।

निर्णय तालिका — वाक्यांश पढ़ें, विधि चुनें
प्रश्न का वाक्यांशलगाई जाने वाली विधिपहली लिखी जाने वाली बात
"A x दिन में, B y दिन में, साथ में ...?"LCM इकाई विधिकुल कार्य = LCM(x, y)
"... पर A k दिन बाद चला गया" / "B ने शेष पूरा किया"LCM इकाई, फिर कुल में से किया घटाएँकिया = संयुक्त दर × k
"एकांतर दिनों में काम, A से आरंभ"2 दिनों का जोड़ा बनाएँ, शेष अगली बारी को देंजोड़े का उत्पादन = दरA + दरB
"आदमी ... प्रतिदिन घंटे ... दिन" (संख्याएँ बदलती हैं)M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂दोनों स्थितियाँ पंक्तिबद्ध करें, तिर्यक-गुणा
"x% अधिक/कम कार्यक्षम" / "दुगुना कार्यक्षम"कार्यक्षमता अनुपात, फिर दिनों के लिए उलटेंकार्यक्षमता 5 : 4 → दिन 4 : 5
"₹P कुल मज़दूरी बाँटी जानी है"P को प्रतिदिन की इकाइयों के अनुपात में बाँटें1/a : 1/b : 1/c → पूर्ण संख्या अनुपात
"नल खाली करता है" / "रिसाव" / "निकास"ऋण चिह्न सहित LCM इकाईशुद्ध दर = भरने वाले − खाली करने वाले
"टंकी पहले से 2/3 भरी है"शुद्ध दर सामान्य, पर भाग केवल उपस्थित जल मेंसमय = उपस्थित मात्रा ÷ शुद्ध दर
"किस अनुपात में मिलाया जाए" (दो मूल्य, एक माध्य)मिश्रण-नियम (एलिगेशन)C : D = (D − M) : (M − C)
"x लीटर निकालकर पानी भरा गया, n बार"प्रतिस्थापन सूत्रशेष = V × (1 − x/V)ⁿ
"उनकी आयु का अनुपात ... और k वर्ष बाद ..."एक अक्षर k में अनुपात गुणकआयु = ak व bk, फिर समीकरण बनाएँ
"X जुड़ने/जाने पर औसत आयु बदलती है"कुल-आयु विधि (या एक-पंक्ति शॉर्टकट)X = नया औसत ± (पुरानी संख्या × परिवर्तन)
🎯 इस परीक्षा में यह अध्याय परिश्रम योग्य क्यों है
इस प्रकार का अंकगणित वस्तुनिष्ठ पत्र परीक्षा के सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्र में आता है और मुख्य परीक्षा के सामान्य अध्ययन प्रश्नपत्र II में भी, और यह उन थोड़े क्षेत्रों में है जहाँ उत्तर प्रमाणित रूप से सही होता है — कोई मत नहीं, कोई संशोधित अंक नहीं, कोई "नवीनतम आँकड़ों के अनुसार" नहीं। राजव्यवस्था व समकालीन घटनाएँ चौंका सकती हैं; 36 ÷ 5 नहीं चौंका सकता। यहाँ का प्रत्येक प्रश्न वह अंक है जिसकी आप स्वयं को गारंटी दे सकते हैं। और चूँकि वस्तुनिष्ठ पत्र में ऋणात्मक अंकन है, निश्चित अंक संभावित अंकों से कहीं अधिक मूल्यवान हैं।
  1. प्रश्न में दिन-अंकों / घंटा-अंकों को रेखांकित करें। उनका LCM आपका कुल है।
  2. कोई ऋण-शब्द खोजें — रिसाव, निकास, खाली करता है, छोड़ देता है, बिगाड़ता है। इनमें प्रत्येक का अर्थ है घटाना।
  3. पूछें "वास्तव में कितना कार्य शेष है?" — सदा पूरा नहीं। आधी भरी टंकियाँ व आधे किए कार्य यहीं आते हैं।
  4. यदि अनुपात दिया है, तो एक अक्षर k लें, दो अज्ञात कभी नहीं।
  5. अंतिम पाँच सेकंड अपना उत्तर प्रश्न में वापस रखने में लगाएँ। आयु का अंतर मेल खाए; योग जुड़े; दरों का चिह्न सही हो।
⚠️ तीन लापरवाह हानियाँ जिनसे बचें
(1) इकाइयाँ। नल के प्रश्न घंटे व मिनट स्वच्छंदता से मिलाते हैं — दरें जोड़ने से पहले परिवर्तित करें। (2) क्या पूछा गया। प्रश्न स्वच्छ रूप से "कुल 18 दिन" पर पहुँच सकता है जबकि पूछा हो केवल "B ने अकेले कितने दिन काम किया"। गोला भरने से पहले अंतिम पंक्ति दोबारा पढ़ें। (3) समय की जगह कार्यक्षमता लिख देना। यदि आपका उत्तर कहे कि अधिक कार्यक्षम मज़दूर अधिक दिन लेता है, तो आपने कुछ उलटा ही नहीं — एक पंक्ति पीछे जाएँ।

मुख्य बिंदु

  • LCM इकाई विधि: कुल कार्य = दिए गए दिनों का LCM; प्रत्येक मज़दूर की दर = कुल ÷ उसके दिन। साथ काम पर दरें जोड़ें, कोई जाए तो घटाएँ। समय = शेष कार्य ÷ शुद्ध दर।
  • एकांतर दिन → 2-दिन के जोड़ों में काम करें और शेष अगली बारी वाले को दें। पहले कौन आरंभ करे, इससे उत्तर बदल सकता है (6 व 8 दिन की जोड़ी में A-पहले 6¾ दिन बनाम B-पहले 7 दिन)।
  • आदमी-दिन-घंटे-कार्य के लिए M₁D₁H₁/W₁ = M₂D₂H₂/W₂। कार्यक्षमता व समय ठीक व्युत्क्रमानुपाती हैं — कार्यक्षमता 5 : 4 का अर्थ दिन 4 : 5। मज़दूरी प्रतिदिन की इकाइयों के अनुपात में बँटती है (1/6 : 1/8 : 1/12 = 4 : 3 : 2)।
  • नल = ऋण चिह्न वाला कार्य। भरने वाला +, निकास या रिसाव −। रिसाव की दर = (नल अकेला) − (नल रिसाव सहित); 6-घंटे का नल 8 घंटे ले तो रिसाव 24 घंटे में खाली करता है। टंकी आधी भरी हो तो भाग केवल उपस्थित जल में दें।
  • मिश्रण-नियम: सस्ता : महँगा = (D − M) : (M − C) — माध्य से दूरी, फिर अदल-बदल। माध्य के निकट वाले मूल्य का हिस्सा सदा बड़ा होता है। पानी का मूल्य ₹0 गिना जाता है।
  • बारंबार प्रतिस्थापन: शेष मूल द्रव = V × (1 − x/V)ⁿ, जहाँ V पात्र का पूरा आयतन व n क्रियाओं की संख्या है। 40 लीटर दूध, 4 लीटर दो बार बदला → 40 × (9/10)² = 32.4 लीटर दूध, दूध : पानी = 81 : 19।
  • आयु: अज्ञात सदा वर्तमान आयु मानें; दिए अनुपात को ak व bk लिखें (एक अक्षर)। दो आयु का अंतर कभी नहीं बदलता — इसे निःशुल्क जाँच के रूप में लगाएँ। किसी के समूह में जुड़ने पर, नया व्यक्ति = नया औसत + (पुरानी संख्या × औसत में वृद्धि)।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. A व B साथ मिलकर कोई कार्य 12 दिन में पूरा कर सकते हैं। A अकेला उसे 20 दिन में पूरा कर सकता है। B अकेला उसे कितने दिनों में पूरा करेगा?

    1. 24 दिन
    2. 30 दिन
    3. 32 दिन
    4. 36 दिन
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 30 दिन

    कुल कार्य = LCM(12, 20) = 60 इकाई मानें। साथ में वे करते हैं 60 ÷ 12 = 5 इकाई/दिन; A अकेला करता है 60 ÷ 20 = 3 इकाई/दिन। अतः B की दर = 5 − 3 = 2 इकाई/दिन, और B अकेले को चाहिए 60 ÷ 2 = 30 दिन।

  2. यदि 15 आदमी प्रतिदिन 8 घंटे काम करके एक दीवार 24 दिन में बना सकते हैं, तो 20 आदमी प्रतिदिन 9 घंटे काम करके वही दीवार कितने दिनों में बनाएँगे?

    1. 16 दिन
    2. 18 दिन
    3. 20 दिन
    4. 24 दिन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 16 दिन

    कार्य समान है, अतः M₁D₁H₁ = M₂D₂H₂। इसलिए 15 × 24 × 8 = 20 × D₂ × 9 → 2880 = 180 × D₂ → D₂ = 2880 ÷ 180 = 16 दिन। अधिक आदमी व अधिक घंटे का अर्थ कम दिन, अतः 16 (24 से कम) सही दिशा है।

  3. A कोई कार्य 12 दिन में और B 18 दिन में कर सकता है। वे कार्य साथ आरंभ करते हैं, पर A 6 दिन बाद चला जाता है। कुल कितने दिनों में कार्य पूरा होगा?

    1. 8 दिन
    2. 9 दिन
    3. 10 दिन
    4. 12 दिन
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 9 दिन

    कुल कार्य = LCM(12, 18) = 36 इकाई। A = 36 ÷ 12 = 3 इकाई/दिन, B = 36 ÷ 18 = 2 इकाई/दिन, साथ में 5 इकाई/दिन। 6 दिनों में वे करते हैं 5 × 6 = 30 इकाई, शेष 36 − 30 = 6 इकाई। B उन्हें अकेला 2 इकाई/दिन से पूरा करेगा → 6 ÷ 2 = 3 दिन। कुल = 6 + 3 = 9 दिन।

  4. A, B व C अलग-अलग कोई कार्य क्रमशः 8, 12 व 24 दिनों में पूरा कर सकते हैं। वे साथ काम करते हैं और उन्हें कुल ₹1,680 मिलते हैं। निम्न कथनों पर विचार करें:
    1. साथ मिलकर वे कार्य 4 दिनों में पूरा करते हैं।
    2. B का धन में हिस्सा ₹480 है।
    कौन-सा/से सही है/हैं?

    1. केवल 1
    2. केवल 2
    3. 1 और 2 दोनों
    4. न 1, न 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — केवल 1

    कुल कार्य = LCM(8, 12, 24) = 24 इकाई। A = 3, B = 2, C = 1 इकाई प्रतिदिन, अतः साथ में 6 इकाई/दिन → 24 ÷ 6 = 4 दिन। कथन 1 सही है। मज़दूरी कार्यक्षमता अनुपात 3 : 2 : 1 (6 भाग) से बँटती है, अतः एक भाग = 1680 ÷ 6 = ₹280, जिससे A को ₹840, B को ₹560 व C को ₹280 मिलते हैं। B को ₹560 मिलते हैं, ₹480 नहीं, अतः कथन 2 गलत है।

  5. एक नल किसी टंकी को 9 घंटे में भर सकता है, पर तली में रिसाव के कारण 12 घंटे लगते हैं। रिसाव अकेला भरी टंकी को कितने समय में खाली करेगा?

    1. 21 घंटे
    2. 30 घंटे
    3. 36 घंटे
    4. 48 घंटे
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 36 घंटे

    रिसाव की दर वही अंतर है जो नल को करना चाहिए था और जो वह वास्तव में करता है: 1/9 − 1/12 = 4/36 − 3/36 = प्रति घंटा टंकी का 1/36। अतः रिसाव अकेला भरी टंकी को 36 घंटे में खाली करेगा। (विकल्प 21, 9 व 12 जोड़ने की गलत आदत है।)

  6. एक टंकी 2/3 जल से भरी है। भरने वाला नल A पूरी टंकी को 12 मिनट में भर सकता है और निकास नल B पूरी टंकी को 8 मिनट में खाली कर सकता है। यदि दोनों साथ खोले जाएँ, तो टंकी कितने मिनटों में खाली होगी?

    1. 24 मिनट
    2. 16 मिनट
    3. 12 मिनट
    4. 8 मिनट
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 16 मिनट

    शुद्ध खाली होने की दर = 1/8 − 1/12 = 3/24 − 2/24 = प्रति मिनट टंकी का 1/24। पर जल केवल 2/3 टंकी भर है, अतः समय = (2/3) ÷ (1/24) = (2/3) × 24 = 16 मिनट। जाल वाला उत्तर 24 मिनट है — वह पूरी भरी टंकी को खाली करने का समय है।

  7. निम्न दो कथनों पर विचार करें:
    1. ₹24 प्रति किग्रा वाले गेहूँ और ₹36 प्रति किग्रा वाले गेहूँ से ₹28 प्रति किग्रा का मिश्रण बनाने हेतु दोनों को 2 : 1 के अनुपात में मिलाना चाहिए।
    2. यदि 60 लीटर शुद्ध दूध वाले पात्र से 6 लीटर निकालकर पानी भर दिया जाए, और यही क्रिया एक बार और की जाए, तो 48.6 लीटर दूध शेष रहता है।
    कौन-सा/से सही है/हैं?

    1. केवल 1
    2. केवल 2
    3. 1 और 2 दोनों
    4. न 1, न 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 1 और 2 दोनों

    कथन 1: मिश्रण-नियम से, सस्ता : महँगा = (36 − 28) : (28 − 24) = 8 : 4 = 2 : 1। जाँच — 2 किग्रा ₹24 पर व 1 किग्रा ₹36 पर = 3 किग्रा के लिए ₹84 = ₹28/किग्रा। सही। कथन 2: शेष दूध = 60 × (1 − 6/60)² = 60 × (9/10)² = 60 × 0.81 = 48.6 लीटर। सही। अतः दोनों सही हैं।

  8. एक माता व उसकी पुत्री की वर्तमान आयु का योग 70 वर्ष है। पाँच वर्ष पूर्व माता की आयु पुत्री की आयु की 5 गुनी थी। पुत्री की वर्तमान आयु क्या है?

    1. 10 वर्ष
    2. 12 वर्ष
    3. 14 वर्ष
    4. 15 वर्ष
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 15 वर्ष

    मान लें अब पुत्री d व माता m वर्ष की है, जहाँ d + m = 70। पाँच वर्ष पूर्व: m − 5 = 5(d − 5) → m − 5 = 5d − 25 → m = 5d − 20। रखने पर, d + 5d − 20 = 70 → 6d = 90 → d = 15, अतः m = 55। जाँच: पाँच वर्ष पूर्व वे 10 व 50 की थीं, और 50 = 5 × 10।