लाभ-हानि, बट्टा, ब्याज एवं साझेदारी

क्रय मूल्य (CP) वह है जो विक्रेता ने चुकाया। विक्रय मूल्य (SP) वह है जो क्रेता ने चुकाया। यदि SP > CP हो तो लाभ = SP − CP; यदि SP < CP हो तो हानि = CP − SP। इस अध्याय के आधे अंक तय करने वाला स्वर्ण नियम: लाभ% व हानि% सदैव CP पर निकाले जाते हैं, कभी SP पर नहीं।

हल किया उदाहरण। एक साइकिल ₹800 में खरीदकर ₹920 में बेची गई। लाभ = 920 − 800 = ₹120। लाभ% = (120 ÷ 800) × 100 = 0.15 × 100 = 15%। हर देखिए: 800, अर्थात् CP। यदि गलती से 920 से भाग देते तो 13.04% आता — यही वह गलत विकल्प है जो परीक्षक छापना पसंद करते हैं।

CP से आगे बढ़ने हेतु SP = CP × (100 ± p)/100 का प्रयोग करें — लाभ में जोड़, हानि में घटाव। उदाहरण: CP = ₹1,250 पर 16% लाभ → SP = 1250 × 116/100 = 145000/100 = ₹1,450। उदाहरण: CP = ₹2,400 पर 15% हानि → SP = 2400 × 85/100 = 204000/100 = ₹2,040।

SP से पीछे आना परीक्षा का अधिक सामान्य प्रश्न है। सूत्र को उलट दें: CP = SP × 100/(100 ± p)। हल: ₹1,449 में बेची वस्तु पर 15% लाभ → CP = 1449 × 100/115 = 144900/115 = ₹1,260। जाँच: 1260 × 1.15 = 1449। ✓ हल (हानि): ₹2,160 में बेची वस्तु पर 10% हानि → CP = 2160 × 100/90 = 216000/90 = ₹2,400। जाँच: 2400 × 0.90 = 2160। ✓

दो-चरणीय उदाहरण (परीक्षा का प्रिय)। ₹720 में बेची एक कमीज़ पर 10% हानि होती है। 15% लाभ हेतु उसे किस मूल्य पर बेचें? चरण 1 — CP निकालें: 720 × 100/90 = ₹800। चरण 2 — नया SP: 800 × 115/100 = ₹920। जब भी प्रश्न दो विक्रय मूल्यों को जोड़े, CP ही पुल है। पहले वही निकालें, हर बार।

मूल सूत्र के आगे, सभी परीक्षाएँ इन्हीं चार स्थितियों को दोहराती हैं। हर एक सामान्य बुद्धि जैसी लगती है और हर एक सामान्य बुद्धि को दंड देती है। इन्हें सूत्र की तरह नहीं, कहानी की तरह याद करें।

जाल 1 — दो वस्तुएँ समान मूल्य पर बिकीं। एक व्यक्ति दो घड़ियाँ, प्रत्येक ₹1,200 में बेचता है। एक पर 20% लाभ, दूसरी पर 20% हानि। मन कहता है "दोनों कट गए — न लाभ, न हानि"। गणना कीजिए। घड़ी A: CP = 1200 × 100/120 = ₹1,000। घड़ी B: CP = 1200 × 100/80 = ₹1,500। कुल CP = 1000 + 1500 = ₹2,500; कुल SP = 1200 + 1200 = ₹2,400। अतः हानि = ₹100, और हानि% = (100 ÷ 2500) × 100 = 4% हानि।

जाल 2 — लागत पर लाभ बनाम विक्रय मूल्य पर लाभ। CP = ₹100 लें और लागत पर 25% लाभ: SP = ₹125, लाभ = ₹25। अब उसी ₹25 को SP के भिन्न रूप में लिखें: 25 ÷ 125 = 1/5 = 20%। अर्थात् "लागत पर 25%" व "विक्रय मूल्य पर 20%" एक ही सौदा है। रूपांतरण: CP पर p% लाभ = SP पर 100p/(100 + p) % → 100 × 25/125 = 20%। और SP पर m% मार्जिन = CP पर 100m/(100 − m) % → 100 × 20/80 = 25%। ✓

जाल 3 — बेईमान दुकानदार। एक किराना व्यापारी अपने क्रय मूल्य पर ही बेचता है, पर 1 किग्रा के स्थान पर केवल 900 ग्राम का बाट प्रयोग करता है। लाभ कहाँ से? मान लें उसका माल ₹1 प्रति ग्राम का है। ग्राहक "1 किग्रा" के ₹1,000 देता है पर उसे 900 ग्राम मिलते हैं, जिनकी लागत व्यापारी को केवल ₹900 पड़ी। लाभ = ₹900 की लागत पर ₹100 → (100 ÷ 900) × 100 = 11 1/9 % ≈ 11.11%। सूत्र: लाभ% = त्रुटि/(सही बाट − त्रुटि) × 100 = 100/(1000 − 100) × 100। 800 ग्राम के बाट पर: 200/800 × 100 = 25% लाभ।

जाल 4 — पहले मूल्य बढ़ाना, फिर बट्टा। एक व्यापारी अपने माल पर लागत से 40% ऊपर मूल्य अंकित करता है और फिर 25% बट्टा देता है। क्या उसे घाटा है? CP = ₹1,200 लें। अंकित मूल्य = 1200 × 1.40 = ₹1,680। विक्रय मूल्य = 1680 × 0.75 = ₹1,260। लाभ = 1260 − 1200 = ₹60 → 60/1200 = 5% लाभ। 25% ₹1,680 पर लिया गया, ₹1,200 पर नहीं — यही अंतर उसका लाभ है।

अंकित मूल्य (MP), जिसे सूची मूल्य या छपा मूल्य भी कहते हैं, वस्तु पर लगा लेबल है। बट्टा = MP − SP, और मुख्य बात, बट्टा% = (बट्टा ÷ MP) × 100 — यहाँ आधार MP है, CP नहीं। अतः अब अध्याय में दो भिन्न आधार हैं: लाभ CP पर बैठता है, बट्टा MP पर। दोनों को अलग रखें और फिर कभी भ्रम नहीं होगा।

क्रमिक बट्टे कभी सीधे नहीं जुड़ते। एक साड़ी पर ₹2,000 अंकित है और दुकान 20% तथा उसके बाद 10% और देती है। चरणवार: 20% के बाद मूल्य = 2000 × 0.80 = ₹1,600; ₹1,600 पर आगे 10% के बाद मूल्य = 1600 × 0.90 = ₹1,440। कुल बट्टा = 2000 − 1440 = ₹560, अर्थात् (560 ÷ 2000) × 100 = 28%, 30% नहीं। एकल समतुल्य बट्टे का सूत्र: a + b − ab/100 = 20 + 10 − (20 × 10)/100 = 30 − 2 = 28%। ✓

तीन बट्टों के लिए दो-बट्टे का सूत्र दो बार लगाएँ। 20%, 10% व 5% लें। पहली जोड़ी: 20 + 10 − 2 = 28%। अब 28% को 5% से मिलाएँ: 28 + 5 − (28 × 5)/100 = 33 − 1.4 = 31.6%। ₹2,000 पर जाँचें: 2000 × 0.80 × 0.90 × 0.95 = 1440 × 0.95 = ₹1,368, और (2000 − 1368)/2000 × 100 = 632/2000 × 100 = 31.6%। ✓ बट्टों का क्रम उत्तर कभी नहीं बदलता, क्योंकि गुणन क्रम-विनिमेय होता है।

उल्टा प्रश्न — लक्षित लाभ बचाने हेतु MP तय करना। एक दुकानदार 20% बट्टा देने के बाद भी 25% लाभ चाहता है। उसका CP ₹800 है। वह कितना अंकित करे? अपेक्षित SP = 800 × 125/100 = ₹1,000। परंतु SP = MP × 80/100, अतः MP = 1000 × 100/80 = ₹1,250। जाँच: 1250 × 0.80 = ₹1,000 = 800 × 1.25। ✓ याद रखने योग्य सूत्र: MP = CP × (100 + लाभ%)/(100 − बट्टा%) = 800 × 125/80 = ₹1,250।

साधारण ब्याज में ब्याज प्रत्येक वर्ष मूल मूलधन पर ही लगता है, अतः हर वर्ष उतनी ही राशि जुड़ती है। सूत्र है साधारण ब्याज = (P × R × T)/100 तथा मिश्रधन A = P + ब्याज। हल: P = ₹12,000, R = 9% वार्षिक, T = 4 वर्ष। ब्याज = (12000 × 9 × 4)/100 = 432000/100 = ₹4,320। मिश्रधन = 12000 + 4320 = ₹16,320। ध्यान दें: चारों वर्षों में प्रत्येक वर्ष ₹1,080 ब्याज — बराबर कदम।

वही सूत्र, क्रम बदलकर, चारों प्रकार के प्रश्न हल कर देता है। दर निकालना: ₹7,500 पर 3 वर्ष में ₹2,700 ब्याज → R = (100 × ब्याज)/(P × T) = (100 × 2700)/(7500 × 3) = 270000/22500 = 12%। समय निकालना: ₹6,400 पर 8% से ₹1,536 ब्याज → T = (100 × 1536)/(6400 × 8) = 153600/51200 = 3 वर्ष। मूलधन निकालना: 7% से 5 वर्ष में ₹2,100 ब्याज → P = (100 × 2100)/(7 × 5) = 210000/35 = ₹6,000।

दुगुना व तिगुना होना। कोई राशि तब दुगुनी होती है जब ब्याज मूलधन के बराबर हो, अर्थात् ब्याज = P। सूत्र में रखें: P = (P × R × T)/100 → R × T = 100। तिगुना होने का अर्थ ब्याज = 2P → R × T = 200। सामान्यतः n गुना होने हेतु R × T = (n − 1) × 100। हल: 8% वार्षिक दर पर राशि T = 100/8 = 12.5 वर्ष में दुगुनी और 200/8 = 25 वर्ष में तिगुनी होती है।

हल किया उदाहरण (अत्यंत सामान्य)। कोई राशि साधारण ब्याज पर 8 वर्ष में दुगुनी हो जाती है। वह चार गुनी कितने वर्षों में होगी? पहले दर निकालें: R × 8 = 100 → R = 12.5%। चार गुना होने पर R × T = (4 − 1) × 100 = 300 → T = 300/12.5 = 24 वर्ष।

चक्रवृद्धि ब्याज में प्रत्येक वर्ष का ब्याज मूलधन में जुड़ जाता है और अगले वर्ष का ब्याज उस बड़ी राशि पर लगता है। सूत्र: A = P(1 + R/100)ⁿ तथा चक्रवृद्धि ब्याज = A − P। हल: P = ₹8,000, R = 10%, n = 2 वर्ष। वर्ष 1: ब्याज = ₹800 → मिश्रधन ₹8,800। वर्ष 2: ब्याज = 8,800 का 10% = ₹880 → मिश्रधन ₹9,680। सूत्र से: 8000 × (1.1)² = 8000 × 1.21 = ₹9,680, अतः चक्रवृद्धि ब्याज = ₹1,680। इसी स्थिति में साधारण ब्याज होता (8000 × 10 × 2)/100 = ₹1,600 — चक्रवृद्धि ₹80 अधिक है, और वह ₹80 ठीक पहले वर्ष के ₹800 पर लगा ब्याज है।

उसी 10% पर 3 वर्ष के लिए: A = 8000 × (1.1)³ = 8000 × 1.331 = ₹10,648, अतः चक्रवृद्धि ब्याज = ₹2,648 (साधारण ब्याज ₹2,400 के मुकाबले)। सूत्र उल्टा भी चलता है: यदि कोई राशि वार्षिक चक्रवृद्धि 10% पर 2 वर्ष में ₹9,680 हो जाती है, तो P = 9680 ÷ 1.21 = ₹8,000।

अर्धवार्षिक व त्रैमासिक चक्रवृद्धि। नियम सरल है: अर्धवार्षिक हेतु दर आधी करें व अवधियाँ दुगुनी; त्रैमासिक हेतु दर चौथाई करें व अवधियाँ चार गुनी। हल (अर्धवार्षिक): P = ₹8,000, 10% वार्षिक, 1.5 वर्ष → प्रति छमाही दर 5%, 3 अवधियाँ। 8000 → 8400 → 8820 → ₹9,261, अतः चक्रवृद्धि ब्याज = ₹1,261। हल (त्रैमासिक): P = ₹16,000, 20% वार्षिक, 6 माह → प्रति तिमाही दर 5%, 2 अवधियाँ। 16000 → 16800 → ₹17,640, अतः चक्रवृद्धि ब्याज = ₹1,640।

पूरे अध्याय का सर्वाधिक पूछा जाने वाला सूत्र: 2 वर्ष के चक्रवृद्धि व साधारण ब्याज का अंतर = P(R/100)²। हल: P = ₹15,000, R = 8%, T = 2 वर्ष। अंतर = 15000 × (8/100)² = 15000 × 0.0064 = ₹96। लंबी जाँच: चक्रवृद्धि मिश्रधन = 15000 × (1.08)² = 15000 × 1.1664 = ₹17,496 → चक्रवृद्धि ब्याज = ₹2,496; साधारण ब्याज = (15000 × 8 × 2)/100 = ₹2,400; अंतर = 2496 − 2400 = ₹96। ✓ पाँच चरणों के बदले एक चरण में वही उत्तर।

सूत्र उल्टा भी चलता है, और परीक्षा प्रायः इसी रूप में पूछती है। किसी राशि पर 5% वार्षिक दर से 2 वर्ष के चक्रवृद्धि व साधारण ब्याज का अंतर ₹25 है। राशि निकालें। → 25 = P × (5/100)² = P × 0.0025 → P = 25 ÷ 0.0025 = ₹10,000। जाँच: चक्रवृद्धि ब्याज = 10000 × 1.1025 − 10000 = ₹1,025; साधारण ब्याज = ₹1,000; अंतर ₹25। ✓ 3 वर्ष के लिए अंतर = P(R/100)² × (300 + R)/100। P = ₹8,000, R = 10% पर हल: 8000 × 0.01 × 310/100 = 80 × 3.1 = ₹248 — और वास्तव में चक्रवृद्धि (3 वर्ष) ₹2,648 − साधारण (3 वर्ष) ₹2,400 = ₹248। ✓

मूल्यह्रास व जनसंख्या वृद्धि केवल दूसरे नाम का चक्रवृद्धि ब्याज है। प्रतिवर्ष घटने वाले मान हेतु A = P(1 − R/100)ⁿ लगाएँ। ₹50,000 की मशीन 10% वार्षिक ह्रास पर 2 वर्ष बाद 50000 × (0.9)² = 50000 × 0.81 = ₹40,500 की रह जाती है। बढ़ने वाले मान हेतु धन चिह्न लें: 62,500 लोगों का कस्बा 4% वार्षिक वृद्धि पर 2 वर्ष में 62500 × (1.04)² = 62500 × 1.0816 = 67,600 हो जाता है (चरणवार: 62,500 → 65,000 → 67,600)। उल्टा: यदि 4% वृद्धि के दो वर्ष बाद जनसंख्या अब 67,600 है, तो दो वर्ष पूर्व वह 67600 ÷ 1.0816 = 62,500 थी।

किस्तें। जब कोई ऋण चक्रवृद्धि ब्याज पर बराबर वार्षिक किस्तों में चुकाया जाए, तो प्रत्येक किस्त को आज के मूल्य पर लाना पड़ता है: ऋण = x/(1 + R/100) + x/(1 + R/100)² + … हल: 10% वार्षिक चक्रवृद्धि पर ₹10,500 का ऋण 2 वर्ष में चुकाने हेतु बराबर वार्षिक किस्त क्या होगी? x/1.1 + x/1.21 = 10500। x = ₹6,050 लें: 6050/1.1 = ₹5,500 तथा 6050/1.21 = ₹5,000, कुल ₹10,500। ✓ अतः किस्त ₹6,050 है। बही-जाँच: 10500 × 1.1 = 11,550, ₹6,050 चुकाए → ₹5,500 शेष; 5500 × 1.1 = 6,050, ₹6,050 चुकाए → शून्य। ✓

जब दो या अधिक व्यक्ति मिलकर व्यापार करते हैं, तो लाभ उस अनुपात में बँटता है जो प्रत्येक ने वास्तव में योगदान किया। यदि सबका धन समान अवधि तक लगा रहे, तो यह साधारण साझेदारी है और लाभ का अनुपात केवल पूँजियों का अनुपात होता है। हल: A, B व C एक वर्ष हेतु ₹40,000, ₹60,000 व ₹80,000 लगाते हैं। अनुपात = 40 : 60 : 80 = 2 : 3 : 4, कुल 9 भाग। ₹36,000 का लाभ → एक भाग = 36000/9 = ₹4,000 → A ₹8,000, B ₹12,000, C ₹16,000। जाँच: 8000 + 12000 + 16000 = ₹36,000। ✓

यदि धन भिन्न-भिन्न अवधियों तक लगा रहे, तो यह मिश्रित साझेदारी है और प्रत्येक पूँजी को उसके समय से गुणा करना पड़ता है: भाग-अनुपात = C₁T₁ : C₂T₂ : … (इस गुणनफल को "मासिक समतुल्य पूँजी" कहते हैं)। हल: A ₹15,000 12 माह हेतु लगाता है, B ₹20,000 केवल 6 माह हेतु। अनुपात = (15000 × 12) : (20000 × 6) = 180000 : 120000 = 3 : 2। ₹25,000 का लाभ 5 भागों में → एक भाग ₹5,000 → A ₹15,000, B ₹10,000। ध्यान दें B ने अधिक धन लगाया फिर भी कम कमाया — क्योंकि समय भी गिना जाता है।

जब कोई साझेदार बाद में जुड़े। A ₹20,000 से दुकान आरंभ करता है। छह माह बाद B ₹30,000 लेकर जुड़ता है। वर्ष के अंत में लाभ ₹35,000 है। A का धन 12 माह चला, B का केवल 6 माह। अनुपात = (20000 × 12) : (30000 × 6) = 240000 : 180000 = 4 : 3, कुल 7 भाग। एक भाग = 35000/7 = ₹5,000 → A ₹20,000, B ₹15,000।

कार्यशील साझेदार व निष्क्रिय साझेदार। जो साझेदार व्यापार का प्रबंधन भी करता है वह कार्यशील साझेदार है और उसे प्रायः लाभ में से पहले वेतन या कमीशन दिया जाता है; शेष ही पूँजी अनुपात में बँटता है। निष्क्रिय साझेदार केवल धन लगाता है। हल: A (कार्यशील) ₹60,000 तथा B (निष्क्रिय) ₹90,000 लगाते हैं। प्रबंधन हेतु A को लाभ का 20% मिलता है; शेष पूँजी अनुपात में बँटता है। कुल लाभ = ₹50,000। A का कमीशन = 50,000 का 20% = ₹10,000। शेष = ₹40,000, जो 60 : 90 = 2 : 3 में बँटा → A को 40000 × 2/5 = ₹16,000, B को 40000 × 3/5 = ₹24,000। अतः A = 10,000 + 16,000 = ₹26,000 तथा B = ₹24,000। जाँच: 26,000 + 24,000 = ₹50,000। ✓

वस्तुनिष्ठ पत्र परीक्षा में ऋणात्मक अंकन के कारण इन प्रश्नों को हल करने का क्रम सूत्र जानने जितना ही महत्वपूर्ण है। इस क्रम में हल करें: (1) साधारण ब्याज — एक सूत्र, कोई जाल नहीं, 20 सेकंड; (2) सीधे लाभ%, हानि% व एकल बट्टे के प्रश्न; (3) 2 वर्ष का चक्रवृद्धि ब्याज व चक्रवृद्धि−साधारण अंतर — सूत्र कंठस्थ हो जाए तो यंत्रवत; (4) साधारण साझेदारी। अंत के लिए छोड़ें: किस्तें, तीन वर्ष का चक्रवृद्धि, कम-बाट व मूल्य-वृद्धि के मिश्रित प्रश्न, तथा कोई भी असामान्य आधार वाला प्रश्न। महीनों का उल्लेख करने वाले साझेदारी प्रश्न में कभी अनुमान न लगाएँ — छपे हुए जाल वहीं रहते हैं।

तालिका आपका एक मिनट कैसे बचाती है, देखिए। ₹1,800 में बेची वस्तु पर 12.5% लाभ है। CP निकालें। चूँकि 12.5% = 1/8, CP : SP अनुपात 8 : 9 है। अतः CP = 1800 × 8/9 = ₹1,600, लाभ ₹200 — और 200/1600 वास्तव में 12.5% है। ✓ कहीं 112.5 से भाग नहीं देना पड़ा। वही विचार बट्टे की ओर भी चलता है: 12.5% बट्टे का अर्थ MP : SP = 8 : 7, अतः ₹2,400 के MP पर चुकाया मूल्य 2400 × 7/8 = ₹2,100 (बट्टा ₹300, जो 300/2400 = 12.5% है)। ✓