संख्या पद्धति, म.स.–ल.स. एवं सरलीकरण

यह पूरे गणित खंड की नींव है। प्रतिशत, अनुपात व आँकड़ों के प्रश्न इसी पर टिके हैं — पर संख्या पद्धति स्वयं भी सीधे अंक देती है: कोई विभाज्यता नियम, कोई इकाई अंक, म.स. का शब्द-प्रश्न, कोई BODMAS सरलीकरण। इसमें चतुराई की आवश्यकता नहीं; आवश्यकता है कुछ नियमों को तेज़ी से और बिना घबराए लगाने की। नीचे प्रत्येक तकनीक पूरी गणना के साथ दी गई है, अतः हर उदाहरण एक बार कागज़ पर हल कर लें — विधि पक्की हो जाएगी।

संख्याओं के प्रकार, स्थानीय मान व अभाज्यता

सबसे पहले संख्याओं का वंश-वृक्ष स्पष्ट कर लें। प्रत्येक परिवार अगले के भीतर बैठता है: प्राकृत → पूर्ण → पूर्णांक → परिमेय → वास्तविक। अपरिमेय संख्याएँ परिमेय के साथ मिलकर वास्तविक संख्याएँ पूरी करती हैं। "इनमें से कौन सत्य है" जैसे अधिकांश प्रश्न बस यह जानने से हल हो जाते हैं कि कौन परिवार किसे समाहित करता है।

संख्याओं के परिवार
प्रकारपरिभाषाउदाहरण
प्राकृत (N)गिनती की संख्याएँ, 1 से आरंभ1, 2, 3, 4, …
पूर्ण (W)प्राकृत संख्याएँ तथा 00, 1, 2, 3, …
पूर्णांक (Z)पूर्ण संख्याएँ तथा उनके ऋणात्मक रूप… −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3 …
परिमेय (Q)p/q रूप में लिखी जा सके, q ≠ 0; दशमलव सांत या आवर्ती3/4 = 0.75, −5, 0.333…
अपरिमेयp/q रूप में नहीं लिखी जा सके; दशमलव असांत, अनावर्ती√2, √3, √5, π
वास्तविक (R)सभी परिमेय तथा सभी अपरिमेय, दोनों मिलाकर−7, 0, 2/3, √2, π
अभाज्यठीक दो गुणनखंड — 1 तथा स्वयं2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19
भाज्य (संयुक्त)दो से अधिक गुणनखंड4, 6, 8, 9, 10, 12
सह-अभाज्यऐसा युग्म जिसका म.स. 1 हो (स्वयं अभाज्य होना आवश्यक नहीं)(8, 15), (9, 16), (7, 12)
परिपूर्ण संख्या (perfect number)स्वयं को छोड़कर अपने सभी गुणनखंडों का योग उस संख्या के बराबर6 = 1+2+3; 28 = 1+2+4+7+14; आगे 496, 8128
⚠️ हर वर्ष लगाए जाने वाले चार जाल
(1) 1 न अभाज्य है न भाज्य — इसका केवल एक गुणनखंड है। (2) 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है, तथा यही सबसे छोटी अभाज्य संख्या भी है। (3) 0 पूर्ण संख्या है पर प्राकृत संख्या नहीं, और 0 पूर्णांक है, अतः "प्रत्येक पूर्णांक प्राकृत संख्या है" असत्य है। (4) π अपरिमेय है; 22/7 केवल सुविधाजनक सन्निकट मान है, उसका वास्तविक मान नहीं।

स्थानीय मान व अंकित मान। किसी अंक का अंकित मान स्वयं वह अंक होता है, वह कहीं भी खड़ा हो। स्थानीय मान उस अंक को उसके स्थान के मान से गुणा करने पर मिलता है। 78,432 लें: अंक 4 सैकड़े के स्थान पर है, अतः उसका अंकित मान 4 और स्थानीय मान 4 × 100 = 400 है। परीक्षा में पूछा जाने वाला अंतर इसलिए 400 − 4 = 396 है। ध्यान दें कि 0 का अंकित मान 0 और स्थानीय मान भी 0 होता है — यही एक अंक है जिसमें दोनों सदा बराबर रहते हैं।

🧠 क्या यह अभाज्य है? √n जाँच
n के अभाज्य होने की जाँच हेतु केवल √n तक की अभाज्य संख्याओं से भाग देना पर्याप्त है — उससे आगे नहीं। उदाहरण: क्या 197 अभाज्य है? √197 चौदह से थोड़ा अधिक है, अतः केवल 2, 3, 5, 7, 11, 13 से जाँचें। 197 विषम है (2 से नहीं); अंकों का योग 1+9+7 = 17, 3 का गुणज नहीं; 0 या 5 पर समाप्त नहीं होता; 7 × 28 = 196, शेष 1; 11 हेतु एकांतर योग 1 − 9 + 7 = −1; 13 × 15 = 195, शेष 2। सभी विफल, अतः 197 अभाज्य है। तुलना करें 391: √391 बीस से कम है, और 19 तक जाँचने पर मिलता है 391 = 17 × 23, अतः यह भाज्य है।
ℹ️ ध्यान दें
तैयार रखने योग्य उपयोगी गणनाएँ: 100 से कम 25 अभाज्य संख्याएँ और 50 से कम 15 अभाज्य संख्याएँ होती हैं। जुड़वाँ अभाज्य वे अभाज्य युग्म हैं जिनमें 2 का अंतर हो — (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19)। तथा प्रत्येक भाज्य संख्या का ठीक एक अभाज्य गुणनखंडन होता है, जैसे 360 = 2³ × 3² × 5 — यही एक तथ्य पूरे म.स.–ल.स. खंड को चलाता है।

विभाज्यता के नियम — दस सेकंड की जाँच

विभाज्यता का नियम पूरी लंबी भाग-प्रक्रिया बचा देता है। परीक्षा में ये सीधे आते हैं ("इनमें कौन 11 से विभाज्य है?") और परोक्ष रूप से भी — किसी बड़ी भिन्न को काटते समय या म.स. हेतु गुणनखंड निकालते समय। तालिका याद करें, फिर प्रत्येक नियम को उसके साथ दिए उदाहरण पर जाँचें।

विभाज्यता के नियम, प्रत्येक के हल किए उदाहरण सहित
सेनियमहल किया उदाहरण
2अंतिम अंक सम हो (0, 2, 4, 6, 8)1,234 का अंत 4 पर → हाँ (1234 ÷ 2 = 617)
3अंकों का योग 3 से विभाज्य हो4,152 → 4+1+5+2 = 12 → हाँ (4152 ÷ 3 = 1384)
4अंतिम दो अंक 4 का गुणज बनाएँ3,116 → 16 ÷ 4 = 4 → हाँ (3116 ÷ 4 = 779)
5अंतिम अंक 0 या 5 हो2,345 का अंत 5 पर → हाँ (2345 ÷ 5 = 469)
62 तथा 3 दोनों से विभाज्य हो1,332 सम है तथा 1+3+3+2 = 9 → हाँ (1332 ÷ 6 = 222)
7अंतिम अंक का दुगुना बाकी भाग से घटाएँ; दोहराएँ1,673 → 167 − 6 = 161 → 16 − 2 = 14 → हाँ (1673 ÷ 7 = 239)
8अंतिम तीन अंक 8 का गुणज बनाएँ7,120 → 120 ÷ 8 = 15 → हाँ (7120 ÷ 8 = 890)
9अंकों का योग 9 से विभाज्य हो5,832 → 5+8+3+2 = 18 → हाँ (5832 ÷ 9 = 648)
10अंतिम अंक 0 हो4,570 का अंत 0 पर → हाँ (4570 ÷ 10 = 457)
11(विषम स्थानों के अंकों का योग) − (सम स्थानों का योग) = 0 या 11 का गुणज1,331 → (1+3) − (3+1) = 0 → हाँ (1331 ÷ 11 = 121)
13अंतिम अंक को 4 से गुणा कर बाकी भाग में जोड़ें; दोहराएँ2,197 → 219 + 28 = 247 → 24 + 28 = 52 = 13 × 4 → हाँ (2197 ÷ 13 = 169)

हल किया उदाहरण (बड़ी संख्या पर 11 का नियम)। क्या 61,809, 11 से विभाज्य है? दाएँ से स्थान गिनें: 9 पहला, 0 दूसरा, 8 तीसरा, 1 चौथा, 6 पाँचवाँ। विषम स्थानों का योग 9 + 8 + 6 = 23; सम स्थानों का योग 0 + 1 = 1। अंतर = 23 − 1 = 22, जो 11 × 2 है। अतः हाँ — और वास्तव में 61,809 ÷ 11 = 5,619।

  • भाज्य भाजक हेतु उसे सह-अभाज्य गुणनखंडों में बाँटकर दोनों की जाँच करें: 12 = 3 व 4; 15 = 3 व 5; 18 = 2 व 9; 45 = 5 व 9; 72 = 8 व 9।
  • जाँचें: क्या 1,332, 12 से विभाज्य है? यह 4 से विभाज्य है (अंतिम दो अंक 32 ÷ 4 = 8) तथा 3 से भी (अंकों का योग 9)। अतः हाँ: 1332 ÷ 12 = 111।
  • यदि कोई संख्या 9 से विभाज्य है, तो वह स्वतः 3 से भी विभाज्य है — पर उलटा नहीं। 4,152 तीन की जाँच में उत्तीर्ण (योग 12) पर नौ की जाँच में विफल है।
⚠️ परीक्षा जाल
दो भूलें आसान अंक छीन लेती हैं। पहली: 6 हेतु दोनों — 2 और 3 — की जाँच अनिवार्य है — 4,152 का अंक-योग 12 है (3 से विभाज्य) और यह सम है, अतः उत्तीर्ण; पर 4,153 का अंक-योग वही है और विषम होने के कारण विफल। दूसरी: भाज्य भाजक को बाँटते समय गुणनखंड सह-अभाज्य होने चाहिए। 12 हेतु 3 × 4 लें (सह-अभाज्य), 2 × 6 कभी नहीं — 18, 2 व 6 दोनों से विभाज्य है फिर भी 12 से विभाज्य नहीं।

म.स.–ल.स. एवं उनके क्लासिक शब्द-प्रश्न

म.स. (महत्तम समापवर्तक, HCF) वह सबसे बड़ी संख्या है जो दी गई सभी संख्याओं को विभाजित करती है। ल.स. (लघुत्तम समापवर्त्य, LCM) वह सबसे छोटी संख्या है जिसे वे सभी विभाजित करती हैं। टाइल लगे फ़र्श की कल्पना करें: म.स. वह सबसे बड़ी टाइल है जो कमरे में बिना काटे ठीक बैठ जाए; ल.स. वह सबसे छोटा फ़र्श है जिस पर कई टाइल-डिज़ाइन एक साथ समाप्त हों।

विधि 1 — अभाज्य गुणनखंडन (हल सहित)। 72 व 120 लें। गुणनखंड: 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 2³ × 3², तथा 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 = 2³ × 3 × 5। म.स. हेतु प्रत्येक उभयनिष्ठ अभाज्य को उसकी न्यूनतम घात पर लें: 2³ × 3¹ = 8 × 3 = 24। ल.स. हेतु कहीं भी आने वाला प्रत्येक अभाज्य उसकी अधिकतम घात पर लें: 2³ × 3² × 5 = 8 × 9 × 5 = 360। संबंध म.स. × ल.स. = दोनों संख्याओं का गुणनफल से जाँचें: 24 × 360 = 8,640 तथा 72 × 120 = 8,640। ✓

विधि 2 — भाग विधि (हल सहित)। उसी युग्म के म.स. हेतु बड़ी को छोटी से भाग दें और शेषफल से भाग देते जाएँ: 120 ÷ 72 → शेष 48; 72 ÷ 48 → शेष 24; 48 ÷ 24 → शेष 0। अंतिम अशून्य शेषफल 24 ही म.स. है — विधि 1 से मेल खाता है। तीन या अधिक संख्याओं के ल.स. हेतु उभयनिष्ठ भाग विधि लें। 12, 15, 20 लें: 2 से भाग → 6, 15, 10; पुनः 2 से → 3, 15, 5; 3 से → 1, 5, 5; 5 से → 1, 1, 1। सभी भाजकों को गुणा करें: 2 × 2 × 3 × 5 = 60।

⚠️ परीक्षा जाल
म.स. × ल.स. = संख्याओं का गुणनफल — यह ठीक दो संख्याओं पर लागू होता है। तीन पर विफल हो जाता है। 12, 15, 20 जाँचें: म.स. = 1, ल.स. = 60, अतः म.स. × ल.स. = 60 — पर 12 × 15 × 20 = 3,600। परीक्षा का प्रिय प्रश्न इस मान्य दो-संख्या रूप को उलटकर पूछता है: म.स. = 24, ल.स. = 360, एक संख्या = 72, दूसरी बताइए। गुणनफल = 24 × 360 = 8,640, अतः दूसरी संख्या = 8,640 ÷ 72 = 120।

भिन्नों के म.स. व ल.स.। नियम आपस में बदल जाते हैं, इसी कारण विद्यार्थी भूलते हैं: भिन्नों का म.स. = अंशों का म.स. ÷ हरों का ल.स., जबकि भिन्नों का ल.स. = अंशों का ल.स. ÷ हरों का म.स.। 2/3, 8/9, 16/81 पर हल: अंशों (2, 8, 16) का म.स. = 2 तथा हरों (3, 9, 81) का ल.स. = 81, अतः म.स. = 2/81। अंशों का ल.स. = 16 तथा हरों का म.स. = 3, अतः ल.स. = 16/3। जाँच: म.स. दोनों उत्तरों में छोटा होना चाहिए, और 2/81 वास्तव में अत्यंत छोटा है जबकि 16/3 बड़ा।

कौन-सा औज़ार? संकेत-शब्द पढ़ें
प्रश्न में संकेतप्रयोग
सबसे बड़ा माप जो ठीक-ठीक नापे या विभाजित करेराशियों का म.स.
सभी से विभाज्य न्यूनतम संख्या; घंटियाँ / बत्तियाँ / धावक पुनः मिलनाअंतरालों का ल.स.
प्रत्येक भाजक से समान शेष r छोड़ने वाली न्यूनतम संख्याल.स. + r
वह न्यूनतम संख्या जिसके शेष प्रत्येक भाजक से समान k कम होंल.स. − k
a, b, c को विभाजित कर समान (अज्ञात) शेष छोड़ने वाली महत्तम संख्याअंतरों का म.स. (b−a), (c−b), (c−a)
a, b को विभाजित कर दिए गए शेष r₁, r₂ छोड़ने वाली महत्तम संख्या(a − r₁) व (b − r₂) का म.स.
  1. सबसे लंबा फ़ीता (म.स.)। वह सबसे लंबा फ़ीता बताइए जो 7 मी, 3 मी 85 सेमी तथा 12 मी 95 सेमी को ठीक-ठीक नाप सके। एक इकाई में बदलें: 700, 385, 1295 सेमी। गुणनखंड: 700 = 2² × 5² × 7; 385 = 5 × 7 × 11; 1295 = 5 × 7 × 37। उभयनिष्ठ भाग = 5 × 7 = 35 सेमी। जाँच: 700 ÷ 35 = 20, 385 ÷ 35 = 11, 1295 ÷ 35 = 37 — सभी पूर्ण। उत्तर: 35 सेमी।
  2. घंटियाँ एक साथ बजना (ल.स.)। चार घंटियाँ 6, 8, 12 तथा 18 सेकंड के अंतराल पर बजती हैं और प्रातः 9:00:00 पर एक साथ बजती हैं। अगली बार एक साथ कब बजेंगी? ल.स.: 6 = 2 × 3, 8 = 2³, 12 = 2² × 3, 18 = 2 × 3², अतः ल.स. = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72 सेकंड। अगली बार प्रातः 9:01:12 पर। आरंभ के बाद पूरे एक घंटे में वे 3600 ÷ 72 = 50 बार और एक साथ बजेंगी।
  3. समान शेष छोड़ने वाली न्यूनतम संख्या (ल.स. + r)। वह न्यूनतम संख्या बताइए जो 12, 15, 20 तथा 54 से भाग देने पर हर बार शेष 4 छोड़े। ल.स.: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5, 20 = 2² × 5, 54 = 2 × 3³ → ल.स. = 2² × 3³ × 5 = 4 × 27 × 5 = 540। शेष जोड़ें: 540 + 4 = 544। जाँच: 544 = 12 × 45 + 4 = 15 × 36 + 4 = 20 × 27 + 4 = 54 × 10 + 4। ✓
  4. समान शेष छोड़ने वाली महत्तम संख्या (अंतरों का म.स.)। वह महत्तम संख्या बताइए जो 43, 91 व 183 को विभाजित कर समान शेष छोड़े। अंतर: 91 − 43 = 48, 183 − 91 = 92, 183 − 43 = 140। इनका म.स.: 48 = 2⁴ × 3, 92 = 2² × 23, 140 = 2² × 5 × 7 → म.स. = 2² = 4। जाँच: 43 = 4 × 10 + 3, 91 = 4 × 22 + 3, 183 = 4 × 45 + 3 — हर बार वही शेष 3। ✓
  5. दिए गए शेष छोड़ने वाली महत्तम संख्या (घटाकर म.स.)। वह महत्तम संख्या बताइए जो 285 व 1249 को विभाजित कर क्रमशः शेष 9 व 7 छोड़े। पहले घटाएँ: 285 − 9 = 276, 1249 − 7 = 1242। गुणनखंड: 276 = 2² × 3 × 23 तथा 1242 = 2 × 3³ × 23 → म.स. = 2 × 3 × 23 = 138। जाँच: 285 = 138 × 2 + 9 तथा 1249 = 138 × 9 + 7। ✓
🧠 जब शेष भिन्न दिखें पर हों नहीं
वह न्यूनतम संख्या बताइए जो 6, 7 व 8 से भाग देने पर शेष 4, 5 व 6 छोड़े। शेष अनियमित दिखते हैं — पर देखें 6 − 4 = 2, 7 − 5 = 2, 8 − 6 = 2। प्रत्येक शेष अपने भाजक से समान k = 2 कम है। अतः उत्तर है ल.स. − 2। ल.स.(6, 7, 8) = 2³ × 3 × 7 = 168, अर्थात् 168 − 2 = 166। जाँच: 166 = 6 × 27 + 4 = 7 × 23 + 5 = 8 × 20 + 6। ✓ अनुमान लगाने से पहले सदा अंतर जाँच लें।

शेषफल, इकाई अंक व अंतिम शून्य

गुणनफल का शेषफल। बड़ी संख्याओं को गुणा करने की आवश्यकता कभी नहीं। पहले प्रत्येक गुणनखंड का शेषफल लें, उन छोटे शेषफलों को गुणा करें, फिर पुनः शेषफल लें। हल किया उदाहरण: 17 × 23 × 29 को 7 से भाग देने पर शेषफल बताइए। शेष: 17 ÷ 7 → 3; 23 ÷ 7 → 2; 29 ÷ 7 → 1। गुणा करें: 3 × 2 × 1 = 6, जो पहले से 7 से कम है, अतः शेषफल 6 है। (लंबी विधि पुष्टि करती है: 17 × 23 × 29 = 11,339 तथा 7 × 1,619 = 11,333, शेष 6।)

घातों का शेषफल — चक्र का प्रयोग। 3¹⁰⁰ को 5 से भाग देने पर शेषफल बताइए। क्रमिक घातों के शेष लिखें: 3¹ → 3, 3² = 9 → 4, 3³ = 27 → 2, 3⁴ = 81 → 1। 1 आने पर पैटर्न फिर आरंभ हो जाता है, अतः चक्र की लंबाई 4 है। अब 100 ÷ 4 का शेष 0 है, अर्थात् 3¹⁰⁰ चक्र के अंतिम सदस्य पर पड़ता है → शेषफल 1। 2¹⁰⁰ ÷ 3 में भी वही विचार: 2 की घातें देती हैं 2, 1, 2, 1 … अर्थात् 2 का चक्र, और 100 सम है → शेषफल 1।

इकाई अंक के चक्र — "4 के चक्र" विधि का मूल
आधार का इकाई अंकइकाई अंकों का चक्रचक्र की लंबाई
0, 1, 5, 6कभी नहीं बदलता — क्रमशः 0, 1, 5, 61
44, 6, 4, 6 … (विषम घात → 4, सम घात → 6)2
99, 1, 9, 1 … (विषम घात → 9, सम घात → 1)2
22, 4, 8, 64
33, 9, 7, 14
77, 9, 3, 14
88, 4, 2, 64

हल किया उदाहरण — 7¹⁰⁵ का इकाई अंक। चरण 1: आधार का इकाई अंक 7 है, जिसका चक्र 7, 9, 3, 1 (लंबाई 4) है। चरण 2: घात को 4 से भाग दें — 105 ÷ 4 = 26, शेष 1। चरण 3: शेष 1 → चक्र का पहला सदस्य लें → 7। अतः 7¹⁰⁵ का अंत 7 पर होता है। दो और, वही तीन चरण: 2⁶³ → चक्र 2, 4, 8, 6; 63 ÷ 4 का शेष 3 → तीसरा सदस्य → 8। 13⁵⁷ → आधार का इकाई अंक 3, चक्र 3, 9, 7, 1; 57 ÷ 4 का शेष 1 → 3।

🧠 4 के चक्र की विधि
केवल आधार का अंतिम अंक तथा घात ÷ 4 का शेष मायने रखते हैं। शेष 1, 2 या 3 → चक्र का पहला, दूसरा या तीसरा सदस्य लें। शेष 0 → चौथा (अंतिम) सदस्य लें। "शेष 0 का अर्थ उत्तर 0" कभी न लिखें — यही सबसे आम भूल है। उदाहरण 4⁸⁸: 88 ÷ 4 का शेष 0, अतः 4, 6 में से अंतिम लें → 6।

क्रमगुणित में अंत के शून्य। अंत का शून्य 10 = 2 × 5 के गुणनखंड से आता है। क्रमगुणित में 2 की भरमार होती है और 5 दुर्लभ होते हैं, अतः बस 5 गिनें: n! में शून्य = [n/5] + [n/25] + [n/125] + …, केवल पूर्ण भाग लेते हुए। हल किया उदाहरण — 100!: [100/5] = 20, [100/25] = 4, [100/125] = 0। कुल = 20 + 4 = 24 अंतिम शून्य। उसी विधि की दो त्वरित जाँचें: 25! देता है 5 + 1 = 6 शून्य, तथा 50! देता है 10 + 2 = 12 शून्य।

⚠️ परीक्षा जाल
[n/5] पर न रुकें। 100! हेतु उत्तर 20 गलत है — 25, 50, 75 व 100 प्रत्येक एक अतिरिक्त 5 देते हैं, जिससे 4 और शून्य जुड़कर कुल 24 होते हैं। साथ ही, "शून्यों की संख्या" का अर्थ है अंत के शून्य; 100! के भीतर बिखरे अनेक अन्य शून्य भी होते हैं, जिनके बारे में प्रश्न नहीं पूछ रहा।

सरलीकरण: BODMAS, भिन्न व दशमलव

सरलीकरण के प्रश्न में कोई चाल नहीं होती — वह केवल यह जाँचता है कि आप संक्रियाओं का मान्य क्रम मानते हैं या नहीं। BODMAS = Brackets (कोष्ठक) → Of / Order (घात व मूल) → Division (भाग) → Multiplication (गुणा) → Addition (योग) → Subtraction (व्यवकलन)। कोष्ठकों में भीतर से बाहर की ओर चलें: ( ) फिर { } फिर [ ]। भाग व गुणा समान श्रेणी के हैं, तथा योग व व्यवकलन भी — समान श्रेणी मिलने पर कड़ाई से बाएँ से दाएँ चलें।

हल किया उदाहरण 1 (अंतर्निहित कोष्ठक)। सरल करें 15 − [8 − {6 − (5 − 3 + 2)}]। पहले भीतरी गोल कोष्ठक, बाएँ से दाएँ: 5 − 3 = 2, फिर 2 + 2 = 4। अब मझोला कोष्ठक: 6 − 4 = 2। अब वर्ग कोष्ठक: 8 − 2 = 6। अंत में 15 − 6 = 9।

⚠️ 5 − 3 + 2 का जाल
ऊपर के उदाहरण में 5 − 3 + 2 = 4 है, 0 नहीं। कई विद्यार्थी योग का चिह्न देखकर पहले 3 + 2 = 5 कर लेते हैं और 5 − 5 = 0 पा जाते हैं — फिर पूरा उत्तर 9 के स्थान पर 15 − [8 − 6] = 13 बन जाता है। योग, व्यवकलन से ऊपर नहीं है; दोनों समान हैं, अतः बाएँ से दाएँ चलें। यही चेतावनी 36 ÷ 6 × 3 पर भी लागू है: यह (36 ÷ 6) × 3 = 18 है, 36 ÷ 18 = 2 नहीं।

हल किया उदाहरण 2 ("का" तथा घात)। सरल करें 48 ÷ 4 of 3 + 5 × 2 − 7। "of (का)" O चरण में, भाग से पहले हल होता है: 3 का 4 = 4 × 3 = 12। अब 48 ÷ 12 = 4; फिर 5 × 2 = 10; फिर योग-व्यवकलन बाएँ से दाएँ: 4 + 10 = 14, 14 − 7 = 7। हल किया उदाहरण 3 (घात सहित)। सरल करें [72 ÷ (8 + 4)] × 3 − 2² + 5: कोष्ठक 8 + 4 = 12; 72 ÷ 12 = 6; घात 2² = 4; अतः 6 × 3 = 18, फिर 18 − 4 = 14, फिर 14 + 5 = 19।

  • भिन्न → दशमलव, और वह कब रुकता है। निम्नतम रूप की भिन्न सांत होती है यदि उसके हर के अभाज्य गुणनखंड केवल 2 व 5 हों। अतः 7/8 = 7/2³ = 0.875 सांत है और 3/16 = 0.1875 सांत है, पर 5/12 = 5/(2² × 3) = 0.41666… आवर्ती है, 3 के कारण।
  • शुद्ध आवर्ती दशमलव → भिन्न। आवर्ती खंड को उतने 9 पर रखें जितने आवर्ती अंक हैं। 0.6̄ = 6/9 = 2/3; 0.36̄ (अर्थात् 0.363636…) = 36/99 = 4/11; 0.7̄ = 7/9।
  • मिश्र आवर्ती दशमलव → भिन्न। अंश = (दशमलव के बाद के सभी अंक) − (अनावर्ती अंक); हर = प्रत्येक आवर्ती अंक हेतु एक 9, उसके बाद प्रत्येक अनावर्ती अंक हेतु एक 0। अतः 0.27̄ (0.2777…) = (27 − 2)/90 = 25/90 = 5/18, तथा 0.16̄ (0.1666…) = (16 − 1)/90 = 15/90 = 1/6।
  • भिन्नों का क्रम। 3/5, 5/8, 7/12 को आरोही क्रम में रखें। 5, 8, 12 का ल.स. 120 है: 3/5 = 72/120, 5/8 = 75/120, 7/12 = 70/120। अतः 7/12 < 3/5 < 5/8 (दशमलव में 0.583 < 0.6 < 0.625)।
🧠 तिर्यक गुणा से दो भिन्नों की तुलना
a/b व c/d (सभी धनात्मक) की तुलना हेतु तिर्यक गुणा करें: a × d की तुलना c × b से करें, बड़ा गुणनफल बड़ी भिन्न का होता है। 5/8 व 7/11 की तुलना: 5 × 11 = 55 बनाम 7 × 8 = 56। चूँकि 55 < 56, अतः 5/8 < 7/11। एक और: 13/17 बनाम 15/19 → 13 × 19 = 247 बनाम 15 × 17 = 255, अतः 13/17 < 15/19। न ल.स., न दशमलव, केवल एक पंक्ति।

करणी, घातांक, वर्ग व मूल

घातांक के नियम, प्रत्येक छोटी संख्या पर जाँचा गया
नियमहल कर जाँच
aᵐ × aⁿ = a^(m+n)2³ × 2⁴ = 2⁷ = 128 (8 × 16 = 128 ✓)
aᵐ ÷ aⁿ = a^(m−n)3⁵ ÷ 3² = 3³ = 27 (243 ÷ 9 = 27 ✓)
(aᵐ)ⁿ = a^(m×n)(2²)³ = 2⁶ = 64 (4³ = 64 ✓)
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ(2 × 5)² = 10² = 100 (4 × 25 = 100 ✓)
किसी भी a ≠ 0 हेतु a⁰ = 17⁰ = 1, तथा (−5)⁰ = 1
a^(−n) = 1 / aⁿ2^(−3) = 1/2³ = 1/8
a^(1/n) = ⁿ√a8^(1/3) = ∛8 = 2
a^(m/n) = (ⁿ√a)ᵐ27^(2/3) = (∛27)² = 3² = 9; 16^(3/4) = 2³ = 8; 32^(2/5) = 2² = 4

हल किया उदाहरण (घातांक से हल)। यदि 2^(x−1) + 2^(x+1) = 1280, तो x बताइए। छोटी घात बाहर निकालें: 2^(x−1) × (1 + 2²) = 2^(x−1) × 5 = 1280। अतः 2^(x−1) = 1280 ÷ 5 = 256 = 2⁸, अर्थात् x − 1 = 8 तथा x = 9। जाँच: 2⁸ + 2¹⁰ = 256 + 1024 = 1280। ✓ पूरी विधि यही है: दोनों पक्षों को समान आधार की घात बनाइए, फिर घातांक बराबर कर दीजिए। इसी प्रकार 3^(x+2) = 81 = 3⁴ → x + 2 = 4 → x = 2।

करणी — पहले सरल करें, फिर जोड़ें। करणी वह अपरिमेय मूल है जैसे √2 या ∛5। करणियों को जोड़ा तभी जा सकता है जब मूल के भीतर का भाग समान बना लिया जाए: √8 + √18 = √(4 × 2) + √(9 × 2) = 2√2 + 3√2 = 5√2। इसी प्रकार √50 = √(25 × 2) = 5√2, अतः √50 − √18 = 5√2 − 3√2 = 2√2।

हर का परिमेयकरण (हल सहित)। अंश व हर को संयुग्मी से गुणा करें — वही व्यंजक जिसमें बीच का चिह्न बदल दिया गया हो — क्योंकि (a − b)(a + b) = a² − b² मूल समाप्त कर देता है। सरल करें (√5 + √3) / (√5 − √3): ऊपर-नीचे (√5 + √3) से गुणा करें। हर = (√5)² − (√3)² = 5 − 3 = 2। अंश = (√5 + √3)² = 5 + 2√15 + 3 = 8 + 2√15। अतः मान = (8 + 2√15)/2 = 4 + √15 ≈ 7.87। सरल स्थिति: 1/(√7 − √3) = (√7 + √3)/(7 − 3) = (√7 + √3)/4।

करणियों की तुलना (हल सहित)। कौन बड़ा है, ∛3 या √2? 3 व 2 के ल.स. 6 से मूल-घातांक समान करें: ∛3 = 3^(1/3) = 3^(2/6) = ⁶√(3²) = ⁶√9, तथा √2 = 2^(1/2) = 2^(3/6) = ⁶√(2³) = ⁶√8। अब भीतर के मान की तुलना करें: 9 > 8, अतः ∛3 > √2 (1.442 बनाम 1.414)। ⁶√5 को भी दौड़ में शामिल करें तो वह सबसे छोटा है, क्योंकि 5 < 8 < 9।

🧠 5 पर समाप्त होने वाली किसी भी संख्या का वर्ग
5 हटाइए, बची संख्या को अगली पूर्ण संख्या से गुणा कीजिए, और आगे 25 लिख दीजिए। 35²: 3 × 4 = 12 → 1225। 65²: 6 × 7 = 42 → 4225। 85²: 8 × 9 = 72 → 7225। 95²: 9 × 10 = 90 → 9025। दो अंकों से आगे भी काम करता है — 115²: 11 × 12 = 132 → 13225।

अभाज्य गुणनखंडन से मूल (हल सहित)। वर्गमूल हेतु गुणनखंड कर अभाज्यों के युग्म बनाएँ: 1764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7 = 2² × 3² × 7², अतः √1764 = 2 × 3 × 7 = 42। घनमूल हेतु अभाज्यों को तीन-तीन के समूह में बाँटें: 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5 = 3³ × 5³, अतः ∛3375 = 3 × 5 = 15। तथा वर्गों का अंतर पूरे मिनट बचाता है: 68² − 32² = (68 + 32)(68 − 32) = 100 × 36 = 3600 — वर्ग निकालने की आवश्यकता ही नहीं।

⚠️ परीक्षा जाल
मूल व वर्ग योग पर वितरित नहीं होते। (a + b)² ≠ a² + b² — जाँचें (3 + 4)² = 49 जबकि 9 + 16 = 25। इसी प्रकार √(a + b) ≠ √a + √b — जाँचें √(9 + 16) = √25 = 5 जबकि 3 + 4 = 7। और √(a × b) = √a × √b मान्य है, इसीलिए √50 = √25 × √2 चलता है। याद रखें कौन वितरित होता है।

श्रेढ़ी एवं परीक्षा-गति की युक्तियाँ

समांतर श्रेढ़ी (AP) वह क्रम है जिसमें प्रत्येक पद समान निश्चित मात्रा d से बढ़ता है। दो सूत्र सब कुछ कर देते हैं: n वाँ पद aₙ = a + (n − 1)d तथा योग Sₙ = n/2 × (पहला पद + अंतिम पद), जो n/2 × [2a + (n − 1)d] के समान है। हल किया उदाहरण: 7, 11, 15, … हेतु 20 वाँ पद तथा 20 पदों का योग बताइए। यहाँ a = 7 व d = 4। अतः a₂₀ = 7 + (20 − 1) × 4 = 7 + 76 = 83, तथा S₂₀ = 20/2 × (7 + 83) = 10 × 90 = 900।

हल किया उदाहरण (कितने पद?)। 3, 7, 11, …, 99 में कितने पद हैं, और उनका योग क्या है? n वें पद के सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर n = (अंतिम − पहला)/d + 1 = (99 − 3)/4 + 1 = 96/4 + 1 = 24 + 1 = 25 पद। तब योग = 25/2 × (3 + 99) = 25/2 × 102 = 25 × 51 = 1275। अंतिम चरण की युक्ति देखें: पहला व अंतिम पद जोड़िए, पदों की संख्या आधी कीजिए, गुणा कीजिए — 25 संख्याएँ एक-एक कर कभी न जोड़ें।

कंठस्थ करने योग्य मानक योग
योगसूत्रहल किया मान
पहली n प्राकृत संख्याएँ 1 + 2 + … + nn(n + 1)/2n = 100 → (100 × 101)/2 = 5050
पहली n विषम संख्याएँ 1 + 3 + 5 + …n²1 + 3 + … + 19 (10 पद) = 10² = 100
पहली n सम संख्याएँ 2 + 4 + 6 + …n(n + 1)2 + 4 + … + 20 (10 पद) = 10 × 11 = 110
वर्गों का योग 1² + 2² + … + n²n(n + 1)(2n + 1)/6n = 10 → (10 × 11 × 21)/6 = 2310/6 = 385
घनों का योग 1³ + 2³ + … + n³[n(n + 1)/2]²n = 5 → (15)² = 225 (1+8+27+64+125 = 225 ✓)
🧠 विषम संख्याएँ पूर्ण वर्ग बनाती हैं
पहली n विषम संख्याओं का योग ठीक n² होता है — 1 = 1², 1+3 = 2², 1+3+5 = 3², 1+3+5+7 = 4²। अतः यदि प्रश्न 1 + 3 + 5 + … + 29 पूछे, तो केवल पद गिनें: 29 तक विषम संख्याएँ (29 + 1)/2 = 15 हैं, अतः योग 15² = 225। किसी सूत्र-पत्रक की आवश्यकता नहीं।
  • 11 से गुणा (दो अंक)। दोनों अंक अलग लिखें और उनका योग बीच में रखें। 43 × 11 → 4 _ 3 में 4+3 = 7 → 473। यदि बीच का योग 9 से अधिक हो, हासिल आगे बढ़ाएँ: 87 × 11 → 8 _ 7 में 8+7 = 15 → 1 का हासिल → 957। जाँचें 78 × 11 → 7+8 = 15 → 858।
  • 25, 5 व 125 से गुणा। चूँकि 25 = 100/4: 48 × 25 = 4800 ÷ 4 = 1200। चूँकि 5 = 10/2: 86 × 5 = 860 ÷ 2 = 430। चूँकि 125 = 1000/8: 64 × 125 = 64000 ÷ 8 = 8000।
  • 9, 99 से गुणा। "एक अधिक, फिर घटाओ" लगाएँ: 47 × 9 = 470 − 47 = 423; 36 × 99 = 3600 − 36 = 3564।
  • वर्गों का अंतर, तथा 100 के निकट वर्ग। 51² − 49² = (51+49)(51−49) = 100 × 2 = 200। तथा 98² = (100 − 2)² = 10000 − 400 + 4 = 9604; 103² = 10000 + 600 + 9 = 10609।
आधारभूत से आगे के प्रतिशत–भिन्न समकक्ष
प्रतिशतभिन्नइसका प्रयोग ऐसे करें
6¼% (6.25%)1/16480 का 6.25% = 480 ÷ 16 = 30
8⅓%1/12600 का 8⅓% = 600 ÷ 12 = 50
11⅑%1/9720 का 11⅑% = 720 ÷ 9 = 80
14²⁄₇%1/7490 का 14²⁄₇% = 490 ÷ 7 = 70
16⅔%1/6540 का 16⅔% = 540 ÷ 6 = 90
37.5%3/8640 का 37.5% = 640 × 3 ÷ 8 = 240
62.5%5/8320 का 62.5% = 320 × 5 ÷ 8 = 200
87.5%7/8240 का 87.5% = 240 × 7 ÷ 8 = 210
🎯 यह क्यों ज़रूरी है
संख्या पद्धति के प्रश्न पूरे प्रश्नपत्र के सबसे सस्ते अंक हैं। न कुछ अद्यतन करना है, न समाचारों से कुछ भूलने का भय, और वही दर्जन भर पैटर्न वर्ष-प्रतिवर्ष लौटते हैं — कोई विभाज्यता जाँच, कोई इकाई अंक, म.स. का शब्द-प्रश्न, कोई BODMAS पंक्ति। प्रतिदिन पंद्रह मिनट का अभ्यास इस खंड को उन अंकों में बदल देता है जो तर्कशक्ति का सेट खोलने से पहले ही पक्के हो जाते हैं, और वास्तव में सोचने वाले प्रश्नों हेतु अधिक समय बचा रहता है।

मुख्य बिंदु

  • 1 न अभाज्य न भाज्य; 2 एकमात्र सम अभाज्य; 0 पूर्ण संख्या है पर प्राकृत नहीं। π अपरिमेय है — 22/7 केवल सन्निकट मान है।
  • विभाज्यता: 3 व 9 अंक-योग से, 4 अंतिम दो अंकों से, 8 अंतिम तीन से, 11 एकांतर योग से। 6 हेतु 2 और 3 दोनों जाँचें; भाज्य भाजकों को सह-अभाज्य गुणनखंडों में बाँटें।
  • म.स. × ल.स. = गुणनफल — केवल दो संख्याओं हेतु। भिन्नों का म.स. = अंशों का म.स. / हरों का ल.स.; भिन्नों का ल.स. उलटा। उदाहरण: 72 व 120 → म.स. 24, ल.स. 360।
  • शब्द-प्रश्न: सबसे बड़ा माप → म.स.; घंटियाँ एक साथ → ल.स. (6,8,12,18 → 72 से); समान शेष r → ल.स. + r (→ 544); समान कमी k → ल.स. − k (→ 166); समान अज्ञात शेष → अंतरों का म.स. (→ 4)।
  • इकाई अंक: घात को 4 से भाग दें — शेष 1/2/3 उसी क्रम का सदस्य चुनता है, शेष 0 अंतिम को चुनता है। 7¹⁰⁵ → चक्र 7,9,3,1 और 105 ÷ 4 का शेष 1 → 7। n! में शून्य = [n/5] + [n/25] + … ; 100! → 20 + 4 = 24।
  • BODMAS: कोष्ठक भीतर से बाहर, फिर Of/घात, फिर ÷ व × बाएँ से दाएँ, फिर + व − बाएँ से दाएँ। 15 − [8 − {6 − (5 − 3 + 2)}] = 9, क्योंकि 5 − 3 + 2 = 4 है, 0 नहीं।
  • अपनाने योग्य शॉर्टकट: 5 पर समाप्त संख्या का वर्ग (65² = 6×7 फिर 25 = 4225), वर्गों का अंतर (68² − 32² = 100 × 36 = 3600), अंकों को जोड़कर ×11 (43 × 11 = 473), तथा AP योग = n/2 × (पहला + अंतिम) (7, 11, …, 83 → 900)।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 7¹⁰⁵ का इकाई अंक क्या है?

    1. 7
    2. 9
    3. 3
    4. 1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 7

    7 की घातों के इकाई अंक 7, 9, 3, 1 के चक्र में चलते हैं (लंबाई 4)। घात को 4 से भाग दें: 105 ÷ 4 = 26, शेष 1, अतः चक्र का पहला सदस्य लें → 7।

  2. 5 पर समाप्त होने वाली संख्याओं के वर्ग के शॉर्टकट से 65² का मान है:

    1. 4025
    2. 4125
    3. 4225
    4. 4325
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 4225

    5 हटाएँ, 6 को अगली संख्या 7 से गुणा करके 42 पाएँ, फिर आगे 25 लिखें: 4225। (जाँच: 65 × 65 = 4225।)

  3. सरल करें: 15 − [8 − {6 − (5 − 3 + 2)}]

    1. 7
    2. 9
    3. 11
    4. 13
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 9

    भीतरी कोष्ठक बाएँ से दाएँ: 5 − 3 + 2 = 4 (0 नहीं)। फिर 6 − 4 = 2; फिर 8 − 2 = 6; फिर 15 − 6 = 9।

  4. वह सबसे लंबा फ़ीता कितना होगा जो 7 मी, 3 मी 85 सेमी तथा 12 मी 95 सेमी को ठीक-ठीक नाप सके?

    1. 45 सेमी
    2. 35 सेमी
    3. 25 सेमी
    4. 15 सेमी
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 35 सेमी

    सेंटीमीटर में बदलें: 700, 385, 1295। तब 700 = 2² × 5² × 7, 385 = 5 × 7 × 11 तथा 1295 = 5 × 7 × 37, अतः म.स. = 5 × 7 = 35 सेमी। जाँच: 700 ÷ 35 = 20, 385 ÷ 35 = 11, 1295 ÷ 35 = 37।

  5. दो संख्याओं का म.स. 24 तथा ल.स. 360 है। यदि एक संख्या 72 है, तो दूसरी संख्या है:

    1. 90
    2. 100
    3. 108
    4. 120
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — 120

    दो संख्याओं हेतु म.स. × ल.स. = संख्याओं का गुणनफल। अतः गुणनफल = 24 × 360 = 8640, तथा दूसरी संख्या = 8640 ÷ 72 = 120।

  6. निम्नलिखित दो कथनों पर विचार करें:
    1. 1331, 11 से विभाज्य है।
    2. 2197, 9 से विभाज्य है।
    कौन-सा/से सही है/हैं?

    1. केवल 1
    2. केवल 2
    3. 1 और 2 दोनों
    4. न 1, न 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — केवल 1

    1331 हेतु एकांतर योग (1 + 3) − (3 + 1) = 0 है, अतः यह 11 से विभाज्य है (1331 ÷ 11 = 121) — कथन 1 सही है। 2197 हेतु अंकों का योग 2 + 1 + 9 + 7 = 19 है, जो 9 का गुणज नहीं, अतः कथन 2 गलत है। (2197 वस्तुतः 13 से विभाज्य है: 2197 ÷ 13 = 169।)

  7. 100! (100 क्रमगुणित) के अंत में शून्यों की संख्या है:

    1. 20
    2. 22
    3. 24
    4. 25
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 24

    5 के गुणनखंड गिनें: [100/5] = 20, [100/25] = 4, [100/125] = 0। कुल = 20 + 4 = 24। 20 पर रुक जाना आम भूल है — 25, 50, 75 व 100 प्रत्येक एक अतिरिक्त 5 देते हैं।

  8. समांतर श्रेढ़ी 7, 11, 15, … के पहले 20 पदों का योग है:

    1. 880
    2. 900
    3. 920
    4. 940
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 900

    यहाँ a = 7 तथा d = 4। 20 वाँ पद = 7 + 19 × 4 = 83, अतः योग = (20/2) × (7 + 83) = 10 × 90 = 900।