आधुनिक भौतिकी — प्रकाश-विद्युत प्रभाव, परमाणु, नाभिक व अर्धचालक

आधुनिक भौतिकी भौतिकी पाठ्यक्रम में प्रति अध्ययन-घंटा सर्वोच्च-प्रतिफल भाग है। सूत्र कम हैं, गणनाएँ छोटी, और प्रश्न अधिकांशतः संकल्पनात्मक — अर्थात् जो अभ्यर्थी समझता है कि प्रत्येक परिणाम क्यों लागू है वह लगभग सभी उत्तर दे सकता है, जबकि रटने वाला आलेख व "यदि ऐसा हो तो" रूपों में पकड़ा जाएगा। संगठक विचार क्वांटमीकरण है: ऊर्जा, कोणीय संवेग व आवेश सभी सतत के बजाय विविक्त पिंडों में आते हैं, और अध्याय का प्रत्येक आश्चर्यजनक परिणाम उसी का फल है।

प्रकाश-विद्युत प्रभाव

धातु पर पड़ता प्रकाश इलेक्ट्रॉन निकालता है, और आइंस्टाइन का समीकरण उसे नियंत्रित करता है: hν = φ + KE_max, जहाँ φ धातु का कार्य-फलन है। समतुल्य रूप से KE_max = h(ν − ν₀), जहाँ ν₀ = φ/h देहली आवृत्ति, और निरोधी विभव eV₀ = KE_max संतुष्ट करता है।

क्या किसे बदलता है — वह तालिका जिन पर आलेख-प्रश्न बने हैं
परिवर्तनइलेक्ट्रॉनों की संख्या पर प्रभावउनकी अधिकतम गतिज ऊर्जा पर प्रभाव
निश्चित आवृत्ति पर तीव्रता बढ़ाएँबढ़ती है — अधिक फोटॉन, अधिक इलेक्ट्रॉनतनिक भी परिवर्तन नहीं
आवृत्ति बढ़ाएँकोई परिवर्तन नहीं (निश्चित तीव्रता पर कम फोटॉन अधिक ऊर्जा वहन करते हैं)रेखीय रूप से बढ़ती है
अधिक φ की धातु प्रयोग करेंकम, या ν < ν₀ हो तो कोई नहींघटती है
🎯 प्रकाश का तरंग सिद्धांत यहाँ क्यों असफल है, और आलेख क्या सिद्ध करता है
तरंग चित्र में मंद प्रकाश को पर्याप्त ऊर्जा एकत्र होने के पश्चात् विलंब से इलेक्ट्रॉन निकालने चाहिए, और पर्याप्त प्रतीक्षा करें तो कोई भी आवृत्ति काम करनी चाहिए। दोनों नहीं होते। उत्सर्जन तात्क्षणिक है — लगभग 10⁻⁹ से के भीतर — और देहली आवृत्ति से नीचे किसी भी तीव्रता पर कुछ नहीं होता, आप कितना ही प्रतीक्षा करें। दोनों तथ्य माँगते हैं कि प्रकाश hν ऊर्जा के विविक्त फोटॉन रूप में आए, प्रत्येक एक ही घटना में एक इलेक्ट्रॉन से क्रिया करता हुआ। निर्णायक प्रमाण निरोधी विभव बनाम आवृत्ति का आलेख है: वह h/e ढाल की सरल रेखा है जिसका x-अंतःखंड ν₀ व y-अंतःखंड −φ/e है। महत्वपूर्ण रूप से ढाल प्रत्येक धातु हेतु समान है — केवल अंतःखंड हटता है — और यही अपेक्षित है यदि h सार्वत्रिक नियतांक हो, और इसीलिए इस प्रयोग ने h सीधे मापा।
ℹ️ दे ब्रॉग्ली: द्रव्य का भी तरंगदैर्घ्य है
प्रत्येक कण का λ = h/p = h/mv है, अतः V वोल्ट से त्वरित इलेक्ट्रॉन का λ = h/√(2meV) ≈ 12.27/√V आंगस्ट्रॉम — 100 V पर लगभग 1.2 Å, जो परमाणु-अंतराल के तुल्य है और इसीलिए क्रिस्टलों से इलेक्ट्रॉन विवर्तन कार्य करता है। हम क्रिकेट गेंद की तरंग-प्रकृति कभी नहीं देखते इसका कारण केवल यह है कि h अत्यंत छोटा है जबकि mv नहीं: गेंद का तरंगदैर्घ्य लगभग 10⁻³⁴ मी है, अमापनीय रूप से छोटा। फोटॉन से उपयोगी विरोध ध्यान दें: फोटॉन का द्रव्यमान नहीं परंतु संवेग p = E/c = h/λ होता है, इसीलिए विकिरण दाब डालता है और इसीलिए सौर-पाल कार्य करता है।

बोर परमाणु व स्पेक्ट्रम

बोर ने कोणीय संवेग को mvr = nh/2π रूप में क्वांटमीकृत किया, और हाइड्रोजन हेतु वह E_n = −13.6/n² eV व r_n = 0.53 n² Å देता है। n₂ से n₁ संक्रमण E₂ − E₁ ऊर्जा का फोटॉन उत्सर्जित करता है, इसीलिए परमाण्विक स्पेक्ट्रम सांतत्य के बजाय रेखाएँ होते हैं।

हाइड्रोजन श्रेणियाँ — प्रत्येक किस क्षेत्र में आती है
श्रेणीकिस तक संक्रमणक्षेत्र
लाइमनn = 1पराबैंगनी
बामरn = 2दृश्य — एकमात्र जो हम देख सकते हैं
पाशनn = 3अवरक्त
ब्रैकेट / फुंडn = 4 / n = 5दूर अवरक्त
🧠 ऊर्जा सीढ़ी पढ़ना, व दो चिह्न-तथ्य
E_n = −13.6/n² eV मूल अवस्था हेतु −13.6 eV, n = 2 हेतु −3.4, n = 3 हेतु −1.51, और n = ∞ पर 0 देता है। दो परिणाम निरंतर पूछे जाते हैं। हाइड्रोजन की आयनन ऊर्जा 13.6 eV है — n = 1 से अनंत तक इलेक्ट्रॉन उठाने हेतु आवश्यक मात्रा — और वह धनात्मक है क्योंकि आपको उसे देना पड़ता है। और n बढ़ने पर स्तर पास-पास आ जाते हैं, अतः किसी श्रेणी की क्रमिक स्पेक्ट्रमी रेखाएँ निकट आती जाती हैं और एक सीमा पर अभिसरित होती हैं। यह भी ध्यान दें कि Z परमाणु संख्या के हाइड्रोजन-सदृश आयन हेतु E_n = −13.6Z²/n², अतः He⁺ की आयनन ऊर्जा हाइड्रोजन की चार गुनी है — प्रिय एक-चरणीय विस्तार।

नाभिक — बंधन ऊर्जा, क्षय व विखंडन

नाभिक का द्रव्यमान अपने घटक न्यूक्लिऑनों के योग से कम होता है, और वह अनुपस्थित द्रव्यमान E = Δm c² के माध्यम से बंधन ऊर्जा है, जहाँ 1 u ≡ 931.5 MeV। स्थायित्व हेतु कुल बंधन ऊर्जा नहीं बल्कि प्रति न्यूक्लिऑन बंधन ऊर्जा महत्वपूर्ण है, जो ⁵⁶Fe के निकट लगभग 8.8 MeV पर शिखर पर है।

🎯 विखंडन व संलयन दोनों ऊर्जा क्यों मुक्त करते हैं
यह विरोधाभासी दिखता है जब तक आप प्रति-न्यूक्लिऑन-बंधन-ऊर्जा वक्र न देखें। वह हाइड्रोजन से तीव्रता से चढ़ता है, लोहे के आसपास शिखर पर आता है, और तत्पश्चात् यूरेनियम की ओर धीरे गिरता है। जब भी कोई अभिक्रिया न्यूक्लिऑनों को शिखर की ओर ले जाए, ऊर्जा मुक्त होती है। अतः अत्यंत हल्के नाभिक जुड़कर ऊर्जा मुक्त करते हैं — संलयन, जो सूर्य को चलाता है — जबकि अत्यंत भारी नाभिक विभाजित होकर — विखंडन, जो रिएक्टर चलाता है। लोहा सर्वाधिक स्थायी नाभिक है और कोई नहीं कर सकता, इसीलिए तारकीय क्रोड लोहे पर संलयन रोक देते हैं और तत्पश्चात् ढह जाते हैं। प्रति न्यूक्लिऑन संलयन विखंडन से काफ़ी अधिक मुक्त करता है, इसीलिए वह अधिक आकर्षक संभावना बना हुआ है।
रेडियोसक्रिय क्षय — प्रत्येक उत्सर्जन क्या बदलता है
उत्सर्जनवह क्या हैZ व A में परिवर्तन
अल्फाहीलियम नाभिक, ⁴₂HeZ − 2, A − 4
बीटा-ऋणइलेक्ट्रॉन, न्यूट्रॉन के प्रोटॉन बनने सेZ + 1, A अपरिवर्तित
बीटा-धनपॉज़िट्रॉन, प्रोटॉन के न्यूट्रॉन बनने सेZ − 1, A अपरिवर्तित
गामाउच्च-ऊर्जा फोटॉनकोई नहीं बदलता — केवल ऊर्जा जाती है
🧠 अर्ध-आयु अंकगणित, और क्षय चरघातांकी क्यों है
नियम N = N₀e−λt है, अर्ध-आयु T = 0.693/λ व माध्य आयु τ = 1/λ सहित, अतः τ सदा दोनों में अधिक लंबी है। परीक्षा-अंकगणित हेतु लघुगणक के बजाय दो की घातें प्रयोग करें: n अर्ध-आयुओं के पश्चात् शेष अंश (½)ⁿ है, अतः तीन अर्ध-आयुएँ ⅛ और चार ¹⁄₁₆ छोड़ती हैं। गहरा बिंदु यह है कि क्षय प्रायिकतापूर्ण प्रक्रिया है — प्रत्येक नाभिक की प्रति सेकंड क्षय होने की निश्चित संभावना है, वह पहले से कितना ही समय रह चुका हो, अतः नाभिक "बूढ़े" नहीं होते। इसीलिए अर्ध-आयु ताप, दाब या रासायनिक अवस्था से पूर्णतः अप्रभावित है, और ठीक यही रेडियोमितीय तिथि-निर्धारण को भरोसेमंद बनाता है।

अर्धचालक व डायोड

बैंड अंतराल से चालक, अर्धचालक व विद्युतरोधी
वर्गबैंड अंतरालताप बढ़ने पर प्रतिरोध
चालककोई नहीं — बैंड अतिव्यापीबढ़ता है
अर्धचालकछोटा — Si हेतु लगभग 1.1 eV, Ge हेतु 0.7 eVघटता है
विद्युतरोधीबड़ा — 3 eV या अधिकघटता है, परंतु विशाल रहता है
🎯 तापन अर्धचालक की सहायता व धातु की हानि क्यों करता है
धातु में मुक्त इलेक्ट्रॉनों की संख्या पहले से निश्चित व विशाल है; तापन केवल जालक को अधिक कंपित कराता है, जो उन इलेक्ट्रॉनों को अधिक बार प्रकीर्णित करता है, अतः प्रतिरोध बढ़ता है। अर्धचालक में कमरे के ताप पर वाहकों की संख्या अत्यंत छोटी है, और तापन बहुत अधिक इलेक्ट्रॉनों को छोटे बैंड अंतराल के पार उठा देता है, अतः वाहक-संख्या अतिरिक्त प्रकीर्णन की हानि से बहुत तेज़ी से बढ़ती है, और प्रतिरोध घटता है — ऋणात्मक ताप गुणांक। वही एक विरोध समझाता है कि थर्मिस्टर अच्छा ताप-संवेदक क्यों है और सिलिकॉन युक्तियों को ऊष्मा-अवशोषक क्यों चाहिए: गर्म होते ही वे बेहतर चालन करती हैं, अधिक धारा खींचती हैं, अधिक गर्म होती हैं, जो नियंत्रित न हो तो अनियंत्रित वृद्धि है।
🧠 अपमिश्रण, p–n संधि व डायोड प्रश्न कैसे पढ़ें
सिलिकॉन में पंचसंयोजी अपद्रव्य (P, As, Sb) मिलाना अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन देता है और n-प्रकार अर्धचालक बनाता है; त्रिसंयोजी (B, Al, In) कोटर बनाता है और p-प्रकार देता है। ध्यान दें कि दोनों विद्युत रूप से उदासीन रहते हैं — अपमिश्रण वाहक जोड़ता है, आवेश नहीं, और अन्यथा सोचना सामान्य त्रुटि है। उन्हें जोड़ें और विसरण अवक्षय स्तर बनाता है, सिलिकॉन हेतु लगभग 0.7 V व जर्मेनियम हेतु 0.3 V अवरोध विभव सहित। अग्र अभिनति (p धन की ओर) में अवरोध सँकरा होता है और धारा स्वतंत्र बहती है; पश्च अभिनति में वह चौड़ा होता है और केवल सूक्ष्म क्षरण धारा बहती है। अतः डायोड एक दिशा में चालन करता है, और ठीक यही दिष्टकरण संभव बनाता है: अर्ध-तरंग दिष्टकारी एक डायोड से प्रत्येक चक्र का एक आधा भाग पारित करता है, पूर्ण-तरंग सेतु चार से दोनों।

मुख्य बिंदु

  • hν = φ + KE_max; तीव्रता इलेक्ट्रॉनों की संख्या बदलती है, आवृत्ति उनकी अधिकतम गतिज ऊर्जा।
  • देहली आवृत्ति से नीचे किसी भी तीव्रता पर कुछ उत्सर्जित नहीं होता, और उत्सर्जन तात्क्षणिक है।
  • निरोधी विभव बनाम आवृत्ति h/e ढाल की सरल रेखा है — प्रत्येक धातु हेतु वही ढाल।
  • द्रव्य हेतु भी λ = h/p; 100 V पर इलेक्ट्रॉन का λ ≈ 1.2 Å, परमाणु-अंतराल के तुल्य।
  • E_n = −13.6/n² eV; आयनन ऊर्जा 13.6 eV; केवल बामर श्रेणी दृश्य है।
  • प्रति न्यूक्लिऑन बंधन ऊर्जा लोहे पर शिखर पर है, अतः हल्के नाभिक संलयन व भारी विखंडन करते हैं।
  • अल्फा: Z−2, A−4। बीटा-ऋण: Z+1, A वही। गामा: कोई नहीं बदलता। n अर्ध-आयुओं पश्चात् (½)ⁿ शेष।
  • अर्धचालक का प्रतिरोध ताप के साथ घटता है; धातु का बढ़ता है। अपमिश्रित अर्धचालक उदासीन रहते हैं।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. प्रकाश-विद्युत प्रभाव में निश्चित आवृत्ति पर आपाती प्रकाश की तीव्रता दोगुनी करने पर:

    1. इलेक्ट्रॉनों की अधिकतम गतिज ऊर्जा दोगुनी होती है
    2. इलेक्ट्रॉनों की संख्या दोगुनी होती है परंतु उनकी अधिकतम गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित
    3. निरोधी विभव आधा हो जाता है
    4. कोई प्रभाव नहीं होता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — इलेक्ट्रॉनों की संख्या दोगुनी होती है परंतु उनकी अधिकतम गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित

    तीव्रता प्रति सेकंड फोटॉनों की संख्या है, अतः उसे दोगुना करना निकले इलेक्ट्रॉन दोगुने करता है। परंतु प्रत्येक इलेक्ट्रॉन hν ऊर्जा के एक फोटॉन से क्रिया करता है, अतः उसकी अधिकतम गतिज ऊर्जा — और निरोधी विभव — केवल आवृत्ति पर निर्भर है। "कितने" का "कितने ऊर्जावान" से यह पृथक्करण ही तरंग सिद्धांत नहीं समझा सका।

  2. दो भिन्न धातुओं हेतु निरोधी विभव बनाम आवृत्ति का आलेख बनाया जाता है। दोनों रेखाएँ:

    1. भिन्न ढाल व भिन्न अंतःखंड रखती हैं
    2. समान ढाल h/e परंतु भिन्न अंतःखंड रखती हैं
    3. ठीक संपाती हैं
    4. दोनों क्षैतिज हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — समान ढाल h/e परंतु भिन्न अंतःखंड रखती हैं

    eV₀ = hν − φ से ढाल h/e है और सार्वत्रिक है, जबकि अंतःखंड −φ/e धातु पर निर्भर है। ढाल प्रत्येक धातु हेतु सर्वसम होना ही h को मूलभूत नियतांक स्थापित किया और इस प्रयोग को उसे सीधे मापने दिया।

  3. हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम की कौन-सी श्रेणी दृश्य क्षेत्र में है?

    1. लाइमन
    2. बामर
    3. पाशन
    4. ब्रैकेट
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — बामर

    बामर संक्रमण n = 2 पर समाप्त होते हैं और दृश्य पट्टी में आते हैं। लाइमन n = 1 पर समाप्त होती है और पराबैंगनी है, क्योंकि मूल अवस्था तक संक्रमणों में सबसे बड़े ऊर्जा-अंतराल होते हैं; पाशन व ब्रैकेट n = 3 व n = 4 पर समाप्त होती हैं और अवरक्त हैं।

  4. भारी नाभिकों का विखंडन व हल्के नाभिकों का संलयन दोनों ऊर्जा मुक्त करते हैं क्योंकि:

    1. नाभिकीय अभिक्रियाओं में द्रव्यमान सदा नष्ट होता है
    2. दोनों न्यूक्लिऑनों को प्रति-न्यूक्लिऑन-बंधन-ऊर्जा वक्र के शिखर की ओर ले जाते हैं
    3. भारी नाभिक अस्थायी व हल्के नाभिक स्थायी होते हैं
    4. दोनों न्यूक्लिऑनों की कुल संख्या बढ़ाते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — दोनों न्यूक्लिऑनों को प्रति-न्यूक्लिऑन-बंधन-ऊर्जा वक्र के शिखर की ओर ले जाते हैं

    वक्र लोहे के निकट प्रति न्यूक्लिऑन लगभग 8.8 MeV पर शिखर पर है, अतः हल्के नाभिक जुड़कर बंधन ऊर्जा पाते हैं और भारी नाभिक विभाजित होकर — दोनों शिखर के निकट आते हैं। स्वयं लोहा कोई नहीं कर सकता, इसीलिए तारकीय क्रोड वहीं संलयन रोक देते हैं। न्यूक्लिऑन संख्या संरक्षित है; द्रव्यमान ही E = Δmc² से ऊर्जा में बदलता है।

  5. जब कोई नाभिक बीटा-ऋण कण उत्सर्जित करता है, तो उसकी परमाणु संख्या Z व द्रव्यमान संख्या A बदलती हैं:

    1. Z 2 से घटती, A 4 से घटती
    2. Z 1 से बढ़ती, A वही रहती
    3. Z 1 से घटती, A वही रहती
    4. कोई नहीं बदलती
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — Z 1 से बढ़ती, A वही रहती

    बीटा-ऋण क्षय में न्यूट्रॉन प्रोटॉन में बदलता है और इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित करता है, अतः प्रोटॉन-संख्या एक से बढ़ती है जबकि कुल न्यूक्लिऑन-संख्या अपरिवर्तित। विकल्प 1 अल्फा क्षय, विकल्प 3 बीटा-धन क्षय, व विकल्प 4 गामा उत्सर्जन का वर्णन करता है, जो केवल ऊर्जा ले जाता है।

  6. तीन अर्ध-आयुओं के पश्चात् किसी रेडियोसक्रिय नमूने का अक्षयित शेष अंश है:

    1. 1/3
    2. 1/6
    3. 1/8
    4. शून्य
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 1/8

    प्रत्येक अर्ध-आयु नमूने को आधा करती है, अतः तीन (½)³ = 1/8 छोड़ती हैं। क्षय रेखीय के बजाय चरघातांकी है, इसीलिए 1/3 अशुद्ध है — और वह ठीक शून्य तक कभी नहीं पहुँचता, क्योंकि प्रत्येक नाभिक प्रति सेकंड निश्चित प्रायिकता से क्षय होता है, वह पहले से कितना ही टिका हो।

  7. शुद्ध अर्धचालक का ताप बढ़ने पर उसका विद्युत प्रतिरोध:

    1. बढ़ता है, धातु की तरह
    2. घटता है, क्योंकि बैंड अंतराल के पार अधिक वाहक मुक्त होते हैं
    3. अचर रहता है
    4. पहले बढ़ता फिर घटता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — घटता है, क्योंकि बैंड अंतराल के पार अधिक वाहक मुक्त होते हैं

    कमरे के ताप पर अर्धचालक में कम वाहक होते हैं, और तापन बहुत अधिक इलेक्ट्रॉनों को उसके छोटे बैंड अंतराल के पार उठा देता है, अतः वाहक-संख्या अतिरिक्त जालक-प्रकीर्णन की हानि से बहुत तेज़ी से बढ़ती है। धातु में पहले से निश्चित, विशाल वाहक-संख्या है, अतः उसके लिए केवल प्रकीर्णन महत्वपूर्ण है और प्रतिरोध बढ़ता है।

  8. सिलिकॉन को पंचसंयोजी अपद्रव्य से अपमिश्रित करके n-प्रकार अर्धचालक बनता है। परिणामी पदार्थ है:

    1. कुल मिलाकर ऋणावेशित
    2. कुल मिलाकर विद्युत उदासीन
    3. कुल मिलाकर धनावेशित
    4. केवल वोल्टता लगाने पर आवेशित
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कुल मिलाकर विद्युत उदासीन

    प्रत्येक दाता परमाणु एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन देता है परंतु अपने नाभिक में एक अतिरिक्त प्रोटॉन भी, अतः पदार्थ उदासीन रहता है — "n-प्रकार" बहुसंख्यक वाहक के ऋणात्मक होने को कहता है, किसी नेट आवेश को नहीं। n-प्रकार क्रिस्टल को ऋणावेशित मानना मानक भ्रांति है, और वही p-प्रकार पर दर्पण-रूप में लागू है।