प्रकाशिकी — परावर्तन, अपवर्तन, लेंस व तरंग प्रकाशिकी

प्रकाशिकी स्पष्ट रूप से दो भागों में बँटती है जो भिन्न प्रश्नों का उत्तर देते हैं। किरण प्रकाशिकी प्रकाश को सरल रेखाओं में चलता मानती है और बताती है कि प्रतिबिंब कहाँ बनता है; तरंग प्रकाशिकी उसे तरंग मानती है और वे बातें समझाती है जो किरणें नहीं कर सकतीं — व्यतिकरण फ्रिंज, विवर्तन, ध्रुवण। किरण प्रकाशिकी में लगभग सभी खोए अंक भौतिकी के बजाय चिह्न परंपरा से आते हैं, अतः यह अध्याय पहले उसे ठीक करता है। तत्पश्चात् तरंग-भाग एक विचार पर टिका है: पथांतर कलांतर में बदलता है, और यंग की फ्रिंजों से पतली-फ़िल्म के रंगों तक सब उससे निकलता है।

चिह्न परंपरा — पहले इसे ठीक करें

कार्तीय परंपरा: सब कुछ ध्रुव से मापें, आपाती प्रकाश को बाएँ से दाएँ चलता मानें, और तत्पश्चात् प्रकाश के अनुदिश मापी दूरियाँ धनात्मक व उसके विरुद्ध मापी ऋणात्मक होती हैं। अक्ष से ऊपर की ऊँचाइयाँ धनात्मक, नीचे ऋणात्मक। किरण प्रकाशिकी का प्रत्येक सूत्र यही मानता है, और वास्तविक वस्तु-दूरी को धनात्मक रखना इस प्रकरण की सर्वाधिक सामान्य त्रुटि है।

प्रत्येक चिह्न उत्तर के विषय में क्या बताता है
राशिऋणात्मक का अर्थधनात्मक का अर्थ
वस्तु दूरी uवास्तविक वस्तु — व्यवहार में सदा ऋणात्मकआभासी वस्तु (विरल)
प्रतिबिंब दूरी vआभासी प्रतिबिंब, वस्तु की ही ओरवास्तविक प्रतिबिंब, दूसरी ओर (लेंस हेतु)
फोकस दूरी fअवतल लेंस या उत्तल दर्पण — अपसारीउत्तल लेंस या अवतल दर्पण — अभिसारी
आवर्धन mउल्टा प्रतिबिंबसीधा प्रतिबिंब
🧠 दो सूत्र, एक अंतर — व वह जाँच जो चिह्न-त्रुटियाँ पकड़ती है
दर्पण सूत्र 1/v + 1/u = 1/f है और लेंस सूत्र 1/v − 1/u = 1/f। एकमात्र अंतर u पद का चिह्न है, और उन्हें भ्रमित करना इतना सामान्य है कि जान-बूझकर ठहरने योग्य है। आवर्धन दर्पण हेतु m = −v/u और लेंस हेतु m = v/u है। बीजगणित पर भरोसा करने के बजाय उत्तर को भौतिकी के विरुद्ध जाँचें: उत्तल दर्पण व अवतल लेंस केवल आभासी, सीधा, छोटा प्रतिबिंब बना सकते हैं, अतः किसी से वास्तविक प्रतिबिंब का दावा करने वाला उत्तर अशुद्ध है, आपका अंकगणित कुछ भी कहे। इसी प्रकार पर्दे पर वास्तविक प्रतिबिंब का m ऋणात्मक होना चाहिए, क्योंकि एकल लेंस या दर्पण हेतु वास्तविक प्रतिबिंब सदा उल्टा होता है।

अपवर्तन, पूर्ण आंतरिक परावर्तन व लेंस

स्नेल नियम n₁ sin i = n₂ sin r है, जहाँ n = c/v अपवर्तनांक है। घने माध्यम में प्रवेश करता प्रकाश धीमा होकर अभिलंब की ओर मुड़ता है। ध्यान दें कि अपवर्तन पर क्या नहीं बदलता: आवृत्ति स्रोत से निश्चित है, अतः तरंगदैर्घ्य बदलता है, λ_माध्यम = λ_निर्वात/n।

🎯 पूर्ण आंतरिक परावर्तन, व वह तीन बातें जो वह समझाता है
घने से विरल जाते समय अपवर्तित किरण अभिलंब से दूर मुड़ती है, और sin C = 1/n से दिए क्रांतिक कोण पर वह सतह को स्पर्श करती है। C से आगे कोई अपवर्तित किरण ही नहीं और प्रकाश पूर्णतः परावर्तित होता है — इसीलिए पूर्ण आंतरिक परावर्तन, जिसे दोनों शर्तें चाहिए: घने से विरल, और i > C। तीन परिचित परिघटनाएँ निकलती हैं। प्रकाशिक तंतु क्रोड में बारंबार पूर्ण आंतरिक परावर्तन से प्रकाश फँसाते हैं। हीरा चमकता है क्योंकि उसका 2.42 का उच्च अपवर्तनांक केवल लगभग 24° का क्रांतिक कोण देता है, अतः उसमें प्रवेश करता प्रकाश निकलने से पूर्व अनेक बार टकराता है। और मरीचिका दिखती है क्योंकि सड़क के निकट गर्म वायु प्रकाशिक रूप से विरल है, अतः आकाश से प्रकाश क्रमशः मुड़ता है जब तक वह पूर्ण आंतरिक परावर्तन न भोगे और नीचे से आपकी आँख तक पहुँचे।
तैयार रखने योग्य लेंस परिणाम
विषयपरिणाम
लेंस की क्षमताP = 1/f (मीटर में), डायोप्टर में; अवतल लेंस हेतु ऋणात्मक
संपर्क में लेंसP = P₁ + P₂, अतः 1/f = 1/f₁ + 1/f₂
लेंस निर्माता सूत्र1/f = (n − 1)(1/R₁ − 1/R₂)
निकट-दृष्टिअवतल लेंस से संशोधित
दूर-दृष्टिउत्तल लेंस से संशोधित
प्रिज़्मA + δ = i + e; न्यूनतम विचलन पर i = e व किरण सममित
⚠️ जल में लेंस दुर्बल है; परिवेश से कम अपवर्तनांक का लेंस उलट जाता है
लेंस निर्माता सूत्र में (n − 1) केवल तब होता है जब लेंस वायु में हो; सामान्य रूप में वह (n_लेंस/n_माध्यम − 1) है। काँच का लेंस (n = 1.5) जल (n = 1.33) में रखें और वह गुणक 0.5 से लगभग 0.13 पर गिरता है, अतः f लगभग चार गुना हो जाता है और लेंस बहुत दुर्बल — इसीलिए आप चश्मे के बिना जल के भीतर स्पष्ट नहीं देख सकते। आगे बढ़ें: यदि परिवेश माध्यम लेंस से घना हो, तो गुणक ऋणात्मक हो जाता है और उत्तल लेंस अपसरण आरंभ कर देता है। जल में वायु का बुलबुला ठीक यही स्थिति है — वह कम अपवर्तनांक का उत्तल आकार है, अतः वह अपसारी लेंस जैसा व्यवहार करता है, और यह प्रिय प्रश्न है क्योंकि आकार उलटा सुझाता है।

तरंग प्रकाशिकी — व्यतिकरण, विवर्तन व ध्रुवण

यंग के द्वि-झिरी प्रयोग में दो संगत किरण-पुंज अध्यारोपित होकर एकांतर उज्ज्वल व अदीप्त पट्टियाँ बनाते हैं। पथांतर Δx, 2πΔx/λ कलांतर के तुल्य है, अतः उज्ज्वल फ्रिंजों को Δx = nλ व अदीप्त फ्रिंजों को (n + ½)λ चाहिए। फ्रिंज चौड़ाई β = λD/d है, जहाँ d झिरी-पृथक्करण व D पर्दे तक दूरी।

फ्रिंज प्रतिरूप प्रत्येक परिवर्तन पर कैसे प्रतिक्रिया करता है
परिवर्तनβ = λD/d पर प्रभाव
झिरियाँ निकट लाईं (d छोटा)फ्रिंज चौड़े होते हैं
पर्दा दूर हटाया (D बड़ा)फ्रिंज चौड़े होते हैं
लाल प्रकाश के स्थान पर नीलाफ्रिंज सँकरे होते हैं, क्योंकि λ छोटा है
पूरा उपकरण जल में डुबोयाλ घटकर λ/n, अतः फ्रिंज n गुना सँकरे
एक झिरी ढकीव्यतिकरण लुप्त; एकल-झिरी विवर्तन प्रतिरूप शेष
🎯 दो बल्ब व्यतिकरण क्यों नहीं करते, और संगति का अर्थ
व्यतिकरण को दोनों पुंजों के बीच अचर कला-संबंध चाहिए। दो स्वतंत्र बल्ब यादृच्छिक, शीघ्र बदलती कला में उत्सर्जन करते हैं, अतः जो प्रतिरूप बनता वह प्रति सेकंड अरबों बार फिर से बदल जाता है और औसत होकर एकसमान प्रदीप्ति बन जाता है। इसीलिए यंग ने एक स्रोत लिया और उसे दो में बाँटा — तत्पश्चात् दोनों झिरियाँ वही कला-उच्चावचन वहन करती हैं और उनका अंतर अचर रहता है। इसीलिए लेज़र व्यतिकरण दिखाना सरल बनाते हैं। ध्यान दें कि अदीप्त फ्रिंज पर ऊर्जा नष्ट नहीं होती: वह उज्ज्वल फ्रिंजों में पुनर्वितरित होती है, अतः पर्दे पर कुल ठीक वही है जो आया था।
🧠 व्यतिकरण बनाम विवर्तन — कौन-सा है यह कैसे बताएँ
दोनों उज्ज्वल व अदीप्त पट्टियाँ बनाते हैं, और प्रश्न इस भ्रम पर निर्भर करते हैं। व्यतिकरण को दो या अधिक स्रोत चाहिए और वह समान चौड़ाई व समान तीव्रता की फ्रिंज देता है। विवर्तन एकल छिद्र या कोर पर होता है और लगभग दोगुना चौड़ा विस्तृत केंद्रीय उच्चिष्ठ देता है, दोनों ओर तीव्रता तीव्रता से घटती है। अतः पट्टियाँ गिनें: एकरूप व समान दूरी पर अर्थात् व्यतिकरण; एक प्रभावी केंद्रीय पट्टी अर्थात् विवर्तन। विवर्तन हेतु छिद्र का λ के तुल्य होना भी आवश्यक है, इसीलिए ध्वनि द्वार के चारों ओर सरलता से विवर्तित होती है (मीटरों का λ) जबकि प्रकाश नहीं (सैकड़ों नैनोमीटर का λ) — और वही अंतर कारण है कि आप किसी को कोने के पीछे से सुन सकते हैं परंतु देख नहीं सकते।
ℹ️ ध्रुवण — वह एक बात जो सिद्ध करती है प्रकाश अनुप्रस्थ है
व्यतिकरण व विवर्तन दिखाते हैं कि प्रकाश तरंग है परंतु उसके कंपन की दिशा के विषय में कुछ नहीं कहते। ध्रुवण कहता है, क्योंकि केवल अनुप्रस्थ तरंग ध्रुवित हो सकती है — ध्वनि, अनुदैर्घ्य होने से, नहीं हो सकती। साधारण प्रकाश सभी तलों में कंपन करता है; पोलेरॉइड एक को पारित करता है, तीव्रता आधी करता है, और θ कोण पर दूसरा पोलेरॉइड मैलस नियम से I₀cos²θ पारित करता है, अतः 90° पर दो क्रॉस्ड पोलेरॉइड कुछ भी पारित नहीं करते। प्रकाश ब्रूस्टर कोण पर परावर्तन पर पूर्णतः ध्रुवित भी होता है, जहाँ tan θ_B = n और परावर्तित व अपवर्तित किरणें लंबवत् होती हैं — इसीलिए ध्रुवक धूप-चश्मे सड़क या जल-सतह की चकाचौंध इतने प्रभावी रूप से काटते हैं।

मुख्य बिंदु

  • कार्तीय परंपरा: वास्तविक वस्तु-दूरी सदा ऋणात्मक; f > 0 अभिसरण, f < 0 अपसरण।
  • दर्पण 1/v + 1/u = 1/f, m = −v/u सहित; लेंस 1/v − 1/u = 1/f, m = v/u सहित।
  • उत्तल दर्पण या अवतल लेंस केवल आभासी, सीधा, छोटा प्रतिबिंब दे सकता है — उसे जाँच रूप में प्रयोग करें।
  • अपवर्तन पर आवृत्ति अपरिवर्तित; तरंगदैर्घ्य λ/n हो जाता है।
  • TIR हेतु घने→विरल तथा i > C चाहिए, जहाँ sin C = 1/n — इसीलिए तंतु, हीरे की चमक व मरीचिका।
  • जल में लेंस बहुत दुर्बल; परिवेश से कम अपवर्तनांक का लेंस अपनी क्रिया उलट देता है।
  • फ्रिंज चौड़ाई β = λD/d — बड़े D पर चौड़े, नीले प्रकाश या जल में सँकरे।
  • व्यतिकरण समान फ्रिंज देता है व संगति चाहता है; विवर्तन एक छिद्र से विस्तृत केंद्रीय उच्चिष्ठ देता है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. उत्तल दर्पण ऐसा प्रतिबिंब बना सकता है जो हो:

    1. वास्तविक, उल्टा व बड़ा
    2. आभासी, सीधा व छोटा
    3. वास्तविक, सीधा व छोटा
    4. आभासी, उल्टा व बड़ा
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — आभासी, सीधा व छोटा

    उत्तल दर्पण परावर्तित किरणों को अपसारित करता है, अतः किसी भी वास्तविक वस्तु हेतु वह केवल आभासी, सीधा, छोटा प्रतिबिंब बना सकता है — ठीक इसीलिए वह पश्च-दृश्य दर्पण रूप में प्रयुक्त होता है, विस्तृत दृष्टि-क्षेत्र देते हुए। यह बीजगणित की उपयोगी जाँच है: उत्तल दर्पण से वास्तविक प्रतिबिंब का दावा करने वाली किसी भी गणना में चिह्न-त्रुटि है।

  2. जब प्रकाश वायु से काँच में जाता है, तो कौन-सी राशि अपरिवर्तित रहती है?

    1. चाल
    2. तरंगदैर्घ्य
    3. आवृत्ति
    4. तीनों बदलते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — आवृत्ति

    आवृत्ति स्रोत से निश्चित है और सीमा पर बदल नहीं सकती, अतः घने माध्यम में v = fλ घटने पर तरंगदैर्घ्य को ही घटना होगा, λ/n तक। तरंगदैर्घ्य को अपरिवर्ती मानना यहाँ मानक त्रुटि है, और वह फ्रिंज प्रश्नों में सीधे महत्वपूर्ण है, जहाँ उपकरण जल में डुबोने पर फ्रिंज n गुना सँकरे हो जाते हैं।

  3. पूर्ण आंतरिक परावर्तन तब हो सकता है जब प्रकाश चले:

    1. विरल से घने माध्यम में किसी भी कोण पर
    2. घने से विरल माध्यम में क्रांतिक कोण से आगे
    3. घने से विरल माध्यम में किसी भी कोण पर
    4. समान अपवर्तनांक के दो माध्यमों के बीच
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — घने से विरल माध्यम में क्रांतिक कोण से आगे

    दोनों शर्तें आवश्यक हैं: प्रकाश घने से विरल जाए, और आपतन कोण sin C = 1/n से दिए क्रांतिक कोण से अधिक हो। दूसरी दिशा में सदा अपवर्तित किरण होती है, अतः TIR असंभव है। यही प्रभाव प्रकाशिक तंतुओं को कार्य कराता है और हीरे को उसकी चमक देता है, क्योंकि उसका क्रांतिक कोण केवल लगभग 24° है।

  4. यंग के प्रयोग में पूरा उपकरण 4/3 अपवर्तनांक के जल में डुबोया जाता है। फ्रिंज चौड़ाई:

    1. 4/3 गुना बढ़ जाती है
    2. 4/3 गुना घट जाती है
    3. अपरिवर्तित रहती है
    4. शून्य हो जाती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4/3 गुना घट जाती है

    β = λD/d, और जल में तरंगदैर्घ्य घटकर λ/n हो जाता है जबकि D व d अपरिवर्तित, अतः β, n = 4/3 गुना घट जाती है। आवृत्ति नहीं बदलती, अतः प्रभाव पूर्णतः तरंगदैर्घ्य से चलता है — इस तथ्य का सीधा अनुप्रयोग कि घने माध्यम में प्रवेश पर केवल λ बदलता है।

  5. साथ-साथ रखे दो स्वतंत्र बल्ब व्यतिकरण प्रतिरूप नहीं बनाते क्योंकि:

    1. उनकी तीव्रताएँ अत्यंत कम हैं
    2. वे संगत नहीं हैं — उनका कला-संबंध यादृच्छिक रूप से बदलता है
    3. प्रकाश व्यतिकरण ही नहीं करता
    4. उनके तरंगदैर्घ्य सर्वसम हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — वे संगत नहीं हैं — उनका कला-संबंध यादृच्छिक रूप से बदलता है

    व्यतिकरण को अचर कला-संबंध चाहिए। स्वतंत्र स्रोत यादृच्छिक रूप से उच्चावचित कला में उत्सर्जन करते हैं, अतः कोई भी प्रतिरूप प्रति सेकंड अरबों बार बदल जाता है और औसत होकर एकसमान चमक बन जाता है। इसीलिए यंग ने एक स्रोत को दो झिरियों में बाँटा, और इसीलिए लेज़र प्रदर्शन सरल बनाते हैं — केवल सर्वसम तरंगदैर्घ्य पर्याप्त नहीं।

  6. जल के भीतर वायु का बुलबुला व्यवहार करता है:

    1. अभिसारी लेंस, आकार में उत्तल होने से
    2. अपसारी लेंस, क्योंकि उसका अपवर्तनांक परिवेश माध्यम से कम है
    3. समतल काँच की पट्टी
    4. पूर्ण दर्पण
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अपसारी लेंस, क्योंकि उसका अपवर्तनांक परिवेश माध्यम से कम है

    लेंस निर्माता सूत्र में (n_लेंस/n_माध्यम − 1) होता है, जो यहाँ ऋणात्मक है क्योंकि वायु (1.0) जल (1.33) से विरल है। ऋणात्मक फोकस दूरी का अर्थ अपसरण है, अतः उत्तल आकार भ्रमित करता है — अभिसरण या अपसरण परिवेश के सापेक्ष अपवर्तनांक तय करता है, केवल आकार नहीं।

  7. एकल-झिरी विवर्तन प्रतिरूप द्वि-झिरी व्यतिकरण प्रतिरूप से इस प्रकार भिन्न है कि विवर्तन देता है:

    1. ठीक समान चौड़ाई व तीव्रता की फ्रिंज
    2. विस्तृत केंद्रीय उच्चिष्ठ, दोनों ओर घटती तीव्रता सहित
    3. कोई प्रतिरूप ही नहीं
    4. केवल अदीप्त पट्टियाँ
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — विस्तृत केंद्रीय उच्चिष्ठ, दोनों ओर घटती तीव्रता सहित

    एक छिद्र से विवर्तन लगभग दोगुना चौड़ा केंद्रीय उच्चिष्ठ बनाता है, बाहर की ओर तीव्रता तीव्रता से गिरती है; दो संगत स्रोतों से व्यतिकरण समान चौड़ाई व समान तीव्रता की फ्रिंज देता है। पट्टियाँ एकरूप हैं या किसी केंद्रीय से प्रभावित, यह गिनना ही प्रश्न के वर्णित प्रतिरूप पहचानने का शीघ्रतम उपाय है।

  8. प्रकाश का ध्रुवण सिद्ध करता है कि प्रकाश तरंगें हैं:

    1. अनुदैर्घ्य
    2. अनुप्रस्थ
    3. न अनुप्रस्थ न अनुदैर्घ्य
    4. यांत्रिक, माध्यम अपेक्षित
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अनुप्रस्थ

    केवल अनुप्रस्थ तरंग में संचरण के लंबवत् कंपन-दिशा होती है जिसे चुनकर छाना जा सकता है, अतः केवल अनुप्रस्थ तरंग ध्रुवित हो सकती है — ध्वनि, अनुदैर्घ्य होने से, नहीं। व्यतिकरण व विवर्तन दिखाते हैं कि प्रकाश तरंग है परंतु कंपन-दिशा के विषय में कुछ नहीं कहते; ध्रुवण वह विशिष्ट प्रमाण है जो उसे निर्णीत करता है।