ठोस व तरल के यांत्रिक गुण — प्रत्यास्थता, दाब, प्रवाह व पृष्ठ तनाव

यह अध्याय लंबा प्रतीत होता है क्योंकि यह अनेक परिघटनाओं के नाम लेता है, परंतु इसे एक ही राशि उत्पन्न करती है: बल बटा क्षेत्रफल। उसे प्रतिबल कहें तो प्रत्यास्थता मिलती है; दाब कहें तो तरल स्थैतिकी; उसे धारा-रेखा के साथ बदलने दें तो बर्नूली; और क्षेत्रफल पर के स्थान पर सीमा-रेखा के साथ कार्य करने दें तो पृष्ठ तनाव। पूरे अध्याय को चार वेशों में एक ही विचार के रूप में पढ़ें और सूत्रों की गिनती सिमट जाती है। यहाँ बनाने योग्य दूसरी आदत है विमीय संदेह: नीचे का लगभग प्रत्येक परिणाम दो क्षेत्रफलों, दो घनत्वों या दो त्रिज्याओं का अनुपात है, अतः यदि कोई उत्तर उस प्रकार नहीं बदलता जैसा ज्यामिति कहती है, तो वह अंकगणित जाँचने से पहले ही अशुद्ध है।

प्रत्यास्थता — प्रतिबल, विकृति व तीन मापांक

प्रतिबल प्रति एकांक क्षेत्रफल प्रत्यानयन बल F/A है, मात्रक N/m² या पास्कल; विकृति भिन्नात्मक विरूपण है और अतः विमाहीन। हुक का नियम कहता है कि एक सीमा तक दोनों समानुपाती हैं, और समानुपात नियतांक प्रत्यास्थता मापांक है। इस खंड में सब कुछ तीन मापांकों में से एक है, जिनमें भेद केवल इससे है कि बल कौन-सा आकार-परिवर्तन उत्पन्न करता है: लंबाई का परिवर्तन, आयतन का परिवर्तन, या अचर आयतन पर आकृति का परिवर्तन।

तीन मापांक व प्रत्येक क्या मापता है
मापांकपरिभाषाकिस पर लागू
यंग मापांक Yअनुदैर्घ्य प्रतिबल / अनुदैर्घ्य विकृति = FL/(A·ΔL)केवल ठोस — खींचा जा रहा तार या छड़
आयतन मापांक B−ΔP / (ΔV/V); इसका व्युत्क्रम 1/B संपीड्यता हैठोस, द्रव व गैसें — एकमात्र मापांक जो तरल पूर्णतः रखता है
अपरूपण (दृढ़ता) मापांक η या Gस्पर्शरेखीय प्रतिबल / कोणीय अपरूपण θकेवल ठोस — तरल अपरूपण नहीं रोक सकता, इसीलिए वह बहता है
प्वासों अनुपात σपार्श्व विकृति / अनुदैर्घ्य विकृति; सैद्धांतिक रूप से −1 से 0.5, व्यावहारिक रूप से 0.2–0.4अनुपात, मापांक नहीं — इसका कोई मात्रक नहीं
🎯 स्टील रबर से "अधिक प्रत्यास्थ" क्यों है, जो उलटा प्रतीत होता है
दैनिक भाषा में प्रत्यास्थ का अर्थ है खिंचने वाला, अतः विद्यार्थी आत्मविश्वास से "रबर" उत्तर देते हैं। भौतिकी में प्रत्यास्थता का अर्थ है प्रत्यानयन प्रवृत्ति की प्रबलता, जिसे Y मापता है: बड़ा Y बताता है कि पदार्थ कड़ा प्रतिकार करता है और दिए गए प्रतिबल पर आकृति में लौट आता है। स्टील का Y ≈ 2 × 10¹¹ Pa, रबर का लगभग 10⁶ Pa, अतः स्टील लगभग एक लाख गुना अधिक प्रत्यास्थ है। दैनिक शब्द विपरीत गुण का वर्णन कर रहा है — पदार्थ कितना झुक जाता है — जो निम्न प्रत्यास्थता है। दो उपयोगी परिणाम निकलते हैं। समान प्रतिबल पर स्टील बहुत कम विकृत होता है, इसीलिए भार वहन करने वाली संरचनाएँ स्टील की होती हैं, रबर की नहीं। और बड़ा Y तथा बड़ी परम सामर्थ्य पदार्थ को रस्से हेतु उपयुक्त बनाते हैं, जबकि छोटा Y तथा बड़ा प्रत्यास्थ परिसर रबर को आघात-अवशोषक हेतु उपयुक्त बनाते हैं — रबर लंबे खिंचाव पर ऊर्जा संचित कर उसे वापस देता है।
🧠 ΔL की गणना बिना उसका मापन: लंबाई ऊपर, त्रिज्या वर्ग नीचे
Y = FL/(AΔL) को पुनर्व्यवस्थित करने पर ΔL = FL/(AY) ∝ L/r² मिलता है, और अधिकांश वस्तुनिष्ठ प्रश्न केवल उस समानुपात से हल हो जाते हैं। लंबाई दुगुनी करें तो वृद्धि दुगुनी; त्रिज्या दुगुनी करें तो वह चौथाई रह जाती है, आधी नहीं — त्रिज्या पर वर्ग-निर्भरता ही वह स्थान है जहाँ अंक जाते हैं। दो मानक व्यवस्थाएँ सीधे निकलती हैं। श्रेणीक्रम में जुड़े तार समान तनाव F वहन करते हैं और उनकी वृद्धियाँ जुड़ती हैं, अतः पतला व लंबा तार अधिक खिंचता है और कुल ΣFLᵢ/(AᵢY) होता है। समांतर क्रम के तार भार को A·Y/L के अनुपात में बाँटते हैं और उनकी वृद्धि समान होती है, अतः अधिक कड़ा तार बल का बड़ा भाग लेता है। आप किस स्थिति में हैं यह आरेख की एक दृष्टि से पहचान में आता है और पूरा प्रश्न तय कर देता है।

धातु का प्रतिबल–विकृति वक्र इन सबकी सीमाएँ नामित करता है। समानुपात सीमा तक आलेख सरल रेखा है और हुक का नियम लागू। उससे तनिक आगे प्रत्यास्थ सीमा या पराभव बिंदु है, जिसके पश्चात् वस्तु पूर्णतः नहीं लौटती और स्थायी विकृति शेष रह जाती है। तत्पश्चात् वक्र परम तनन सामर्थ्य तक चढ़ता है, जिसके बाद वह गिरता है — तार स्थानीय रूप से पतला हो जाता है, अर्थात् कंठन होता है, अतः उस कंठ पर वास्तविक प्रतिबल बढ़ता ही रहता है भले आरोपित भार घट रहा हो, और वह भंग बिंदु पर टूट जाता है। खींचने में किया कार्य प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा रूप में संचित होता है: U = ½ F ΔL, या प्रति एकांक आयतन u = ½ × प्रतिबल × विकृति = ½ Y (विकृति)², जो प्रतिबल–विकृति आलेख के नीचे का क्षेत्रफल है।

⚠️ गैस के दो भिन्न आयतन मापांक हैं, और प्रश्न बताता है कौन-सा
गैस को धीरे संपीडित करें, ऊष्मा निकलने दें, तो PV = अचर से B_समतापी = P मिलता है। उसे तेज़ी से, ऊष्मा-विनिमय बिना संपीडित करें, तो PVᵞ = अचर से B_रुद्धोष्म = γP मिलता है, जो γ गुणक से बड़ा है। अतः वही गैस शीघ्र दबाने पर अधिक कड़ी होती है — और प्रश्न में "अचानक", "तेज़ी से" या "विद्युतरोधित" शब्द γP प्रयोग का संकेत हैं। यह कोई विवरण नहीं है: यह ठीक वही संशोधन है जो लाप्लास ने ध्वनि की चाल की न्यूटन-गणना में किया। न्यूटन ने ध्वनि तरंग के संपीडनों को समतापी मानकर लगभग 280 m/s पाया; उन्हें रुद्धोष्म मानने पर v = √(γP/ρ) ≈ 332 m/s मिलता है, जो मापन से मेल खाता है। अतः यही दो-मापांक भेद इस अध्याय को तरंगों व ऊष्मागतिकी से जोड़ता है, और प्रश्न तीनों में से किसी दिशा से पूछा जा सकता है।

तरल स्थैतिकी — दाब, पास्कल व आर्किमिडीज़

वायुमंडल हेतु खुले ρ घनत्व के द्रव में h गहराई पर दाब P = P₀ + ρgh है। उस सूत्र को इस दृष्टि से पढ़ें कि उसमें क्या नहीं है: कोई क्षेत्रफल नहीं, कोई आयतन नहीं, कोई आकार नहीं। अतः दाब केवल मुक्त पृष्ठ से नीचे की ऊर्ध्वाधर गहराई पर निर्भर है, और संबद्ध तरल में समान गहराई के सभी बिंदु समान दाब पर हैं। निरपेक्ष मान P गैस-नियमों में आता है; गेज दाब ρgh वह है जो टायर गेज या दाबमापी पढ़ता है, और दोनों को मिला देना संख्यात्मक कार्य की सर्वाधिक सामान्य चूक है।

🎯 द्रवस्थैतिक विरोधाभास: चौड़ा पात्र अधिक दाब क्यों नहीं डालता
अत्यंत भिन्न आकार के तीन पात्र, समान ऊँचाई तक भरे, आधार पर ठीक-ठीक समान दाब डालते हैं — और यदि आधार क्षेत्रफल समान हों तो समान बल भी, भले पात्रों में जल का भार बहुत भिन्न हो। विद्यार्थियों को यह असंभव लगता है, क्योंकि चौड़ा पात्र स्पष्टतः भारी है। समाधान यह है कि फैलते पात्र में अतिरिक्त भार तिरछी भित्तियाँ वहन करती हैं, आधार नहीं: भित्तियाँ द्रव पर भीतर व नीचे की ओर दबाव डालती हैं, और द्रव भित्तियों पर बाहर व ऊपर की ओर, अतः भार का एक भाग तल तक कभी नहीं पहुँचता। बाहर की ओर सँकरे होते पात्र में भित्तियाँ विपरीत करती हैं और आधार अपने भीतर के द्रव के भार से अधिक बल अनुभव कर सकता है। पास्कल ने जल की पतली ऊँची नली से पीपा फोड़कर यह प्रभाव दिखाया — ऊँचाई, मात्रा नहीं, दाब तय करती है।

पास्कल का नियम कहता है कि बंद तरल पर आरोपित दाब उसके प्रत्येक भाग तक अक्षय रूप से संचरित होता है। द्रवचालित उत्थापक यही उपयोग करता है: F₁/A₁ = F₂/A₂, अतः सँकरे पिस्टन पर छोटा बल चौड़े पर बड़ा भार उठा लेता है, बल A₂/A₁ गुना होकर। निःशुल्क कुछ नहीं मिलता — सँकरे पिस्टन को A₂/A₁ गुना दूर चलना पड़ता है, अतः कार्य वही रहता है, ठीक उत्तोलक की तरह। तत्पश्चात् आर्किमिडीज़ का सिद्धांत कहता है कि तरल में डूबी वस्तु पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल लगता है जो उसके द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर है, F_B = ρ_तरल·V_विस्थापित·g, जो उत्प्लावन-केंद्र पर कार्य करता है।

तैरना, डूबना व आभासी भार
स्थितिशर्तउद्धृत करने योग्य परिणाम
आंशिक डूबा तैरता हैρ_वस्तु < ρ_द्रवडूबा अंश = ρ_वस्तु / ρ_द्रव
पूर्णतः डूबा तैरता हैρ_वस्तु = ρ_द्रवउदासीन उत्प्लावन — जहाँ रखा वहीं रहता है
डूब जाता हैρ_वस्तु > ρ_द्रवआभासी भार = W(1 − ρ_द्रव/ρ_वस्तु)
जल में तैरता बर्फ का टुकड़ाρ_बर्फ = 0.9 ρ_जल9/10 डूबा; पिघलने पर तल नहीं बदलता
🧠 पिघलती-बर्फ वाले प्रश्नों का परिवार, एक बार में तय
तैरता बर्फ का टुकड़ा जल का उतना आयतन विस्थापित करता है जिसका भार बर्फ के भार के बराबर है। पिघलने पर वह ठीक उतने भार का जल बन जाता है, जो ठीक उतना ही आयतन घेरता है जितना वह विस्थापित कर रहा था, अतः तल अपरिवर्तित रहता है। अब इसे बदलिए। यदि बर्फ में पत्थर फँसा है, तो तैरते समय पत्थर अपने भार के बराबर जल विस्थापित करता है, परंतु पिघलने के बाद वह डूब जाता है और केवल अपना आयतन विस्थापित करता है, जो कम है — अतः तल गिरता है। यदि बर्फ में वायु का बुलबुला या कॉर्क फँसा है, तो कुछ नहीं बदलता: तल वही रहता है, क्योंकि बुलबुला किसी भी स्थिति में भार नहीं देता। और यदि टुकड़ा जल से अधिक घने द्रव में, जैसे पारे में, तैरता है, तो पिघला जल उस पारे से कम घना है जिसे उसने विस्थापित किया था, अतः तल उठता है। एक सिद्धांत, चार उत्तर, और प्रश्न सदा बताता है कि स्थिति कौन-सी है।

प्रवाह, श्यानता व पृष्ठ तनाव

असंपीड्य द्रव के स्थायी प्रवाह हेतु सांतत्य समीकरण A₁v₁ = A₂v₂ है — भीतर आया द्रव्यमान बाहर गए के बराबर, अतः सँकरी नली का अर्थ तेज़ प्रवाह। धारा-रेखा के साथ ऊर्जा संरक्षण जोड़िए तो बर्नूली समीकरण मिलता है, P + ½ρv² + ρgh = अचर, जो प्रति एकांक आयतन लिखे कार्य–ऊर्जा प्रमेय से भिन्न कुछ नहीं। इसका परिणाम वही है जो विद्यार्थियों को आत्मसात् करना चाहिए: जहाँ चाल अधिक, वहाँ दाब कम।

परीक्षा में बर्नूली — मानक अनुप्रयोग
अनुप्रयोगक्रियाविधिपरिणाम
वेंचुरीमापीसँकराव प्रवाह तेज़ करता व दाब घटाता हैदाबमापी की ऊँचाई-अंतर से प्रवाह दर
टॉरिचेली नियम (टंकी में छिद्र)निःसरण h शीर्ष से मुक्त पतन जैसा व्यवहार करता हैv = √(2gh) — द्रव के घनत्व से स्वतंत्र
वायुफलक उत्थापनवक्र ऊपरी पृष्ठ पर तेज़ प्रवाहऊपर कम दाब ⇒ नेट ऊर्ध्व बल
घूमती गेंद (मैग्नस प्रभाव)चक्रण वायु घसीटता है, एक ओर तेज़ दूसरी ओर धीमापार्श्व बल — स्विंग व घूमती गेंद
परमाणुकारक व बुन्सन बर्नरतेज़ धारा पार्श्व मुख पर दाब घटाती हैद्रव या वायु धारा में खिंच आती है
⚠️ बर्नूली आदर्श तरल मानता है — तीन शर्तें जो प्रायः भंग होती हैं
यह समीकरण उस प्रवाह हेतु व्युत्पन्न है जो स्थायी, असंपीड्य, अश्यान व धारा-रेखीय हो। किसी एक को हटाइए और वह असफल हो जाता है। लंबी नली में वास्तविक जल अचर अनुप्रस्थ काट पर भी नली के साथ दाब क्रमशः खोता है, क्योंकि श्यानता ऊर्जा क्षय करती है — जिसे केवल बर्नूली अस्वीकार करेगा। तेज़ वायु संपीड्य है, अतः ध्वनि-चाल के निकट वायुगतिकी को बर्नूली से अधिक चाहिए। और प्रवाह विक्षुब्ध हो जाने पर उसे लगाने योग्य सुपरिभाषित धारा-रेखाएँ ही नहीं बचतीं। परीक्षा में यह संकल्पनात्मक प्रश्न रूप में आता है — "कौन-सी मान्यता भंग है" — और चेतावनी रूप में: पंप, पंखे या विक्षोभ-क्षेत्र के आर-पार बर्नूली कभी न लगाएँ, क्योंकि वहाँ ऊर्जा जोड़ी या नष्ट की जा रही है। चिकने व विक्षुब्ध प्रवाह के बीच विभाजक रेखा रेनॉल्ड संख्या R = ρvD/η है, जो विमाहीन है; लगभग 1000 से नीचे प्रवाह स्तरीय, लगभग 2000 से ऊपर विक्षुब्ध।

श्यानता तरल का आंतरिक घर्षण है: F = −ηA(dv/dx), η का मात्रक Pa·s। उसमें धीरे चलती r त्रिज्या की गोली पर स्टोक्स कर्षण F = 6πηrv लगता है, जो चाल के साथ बढ़ता है जब तक वह भार में से उत्प्लावन घटाकर संतुलित न कर दे। तत्पश्चात् वस्तु अचर सीमांत वेग v_t = (2/9)·r²(ρ − σ)g/η से गिरती है, जहाँ ρ गोली का व σ तरल का घनत्व है। r² पर ध्यान दें — परिणाम की सर्वाधिक पूछी जाने वाली विशेषता।

📖 वर्षा की बूँदें प्राणघातक चाल से क्यों नहीं आतीं
एक किलोमीटर ऊपर के बादल से मुक्त रूप से गिरती बूँद लगभग 140 m/s पर पहुँचती और घातक होती। वह ऐसा नहीं करती, क्योंकि कर्षण चाल के साथ बढ़ता है जब तक वह भार को निरस्त न कर दे और बूँद अपने सीमांत वेग पर स्थिर हो जाए — साधारण वर्षा हेतु कुछ मीटर प्रति सेकंड। चूँकि v_t ∝ r², आकार-निर्भरता नाटकीय व दृश्य है: बूँदाबाँदी की बूँदें बड़ी वर्षा-बूँदों की त्रिज्या की लगभग पाँचवाँ भाग होती हैं और अतः लगभग पच्चीस गुना धीमे गिरती हैं, इसीलिए कोहरा वायु में लटका प्रतीत होता है जबकि मूसलाधार वर्षा पीटती है। वही r² बताता है कि धूल घंटों वायु में क्यों रहती है, कोहरा क्यों नहीं गिरता, और पैराशूट क्यों काम करता है — वह आपको हल्का करके नहीं, प्रभावी क्षेत्रफल और अतः कर्षण को गुणित करके धीमा करता है, जब तक सीमांत चाल जीवनयोग्य न हो जाए।

पृष्ठ तनाव S पृष्ठ में किसी रेखा के साथ प्रति एकांक लंबाई बल है, या तुल्य रूप से प्रति एकांक क्षेत्रफल पृष्ठ ऊर्जा — दोनों परिभाषाओं के मात्रक समान हैं, J/m² = N/m, जिसे एक बार जाँच लेना उपयोगी है। अतः वक्र पृष्ठ अपने भीतर की वस्तु को दबाता है, और आधिक्य दाब निकलता है: द्रव-बूँद के भीतर 2S/r, साबुन के बुलबुले के भीतर 4S/r (दो पृष्ठ), और द्रव में वायु-बुलबुले के भीतर 2S/r (एक पृष्ठ)। केशनली में द्रव h = 2S cosθ/(rρg) तक चढ़ता है, जहाँ θ स्पर्श कोण है।

🎯 जल केशनली में क्यों चढ़ता है व पारा उसमें क्यों गिरता है
स्पर्श कोण θ यह तय कर देता है। जल काँच को भिगोता है क्योंकि जल–काँच आसंजन जल–जल संसंजन से अधिक है, जिससे θ < 90°, cosθ धनात्मक, अवतल नति-तल और उठान मिलते हैं। पारा विपरीत करता है: पारे के भीतर संसंजन काँच से आसंजन से अधिक है, θ ≈ 140°, cosθ ऋणात्मक, नति-तल उन्नतोदर और तल गिरता है। वही चिह्न-पलटाव बताता है कि जल स्वच्छ काँच पर क्यों फैलता है परंतु मोम लगी कार पर बूँद बन जाता है, और अपमार्जक क्यों कार्य करता है — वह S घटा देता है, जिससे जल उस वस्त्र को भिगो व भेद पाता है जिस पर वह अन्यथा ऊपर ही बैठा रहता। दो परीक्षा-योग्य उपसिद्धांत। चूँकि h ∝ 1/r, पतली नली द्रव को अधिक ऊँचा उठाती है, इसी प्रकार रस ऊँचे पौधों के शिखर तक पहुँचता है और सोख्ता कागज़ स्याही पीता है। और यदि नली पूरे h हेतु बहुत छोटी है, तो द्रव शिखर से उछलकर बाहर नहीं आता — वह केवल अपनी वक्रता-त्रिज्या समंजित कर किनारे पर रुक जाता है, जो एक प्रिय संकल्पनात्मक जाल है।
🧠 नली से जुड़े दो साबुन के बुलबुले: छोटा सदा हारता है
बुलबुले के भीतर आधिक्य दाब 4S/r है, अतः छोटे बुलबुले का आंतरिक दाब अधिक होता है। असमान आकार के दो जोड़िए और वायु छोटे से बड़े में बहती है: छोटा सिकुड़ता है और बड़ा बढ़ता है, जब तक छोटा ढह न जाए। यह उस सहज अनुमान का उलटा है कि वे समान हो जाएँगे, और ठीक इसी रूप में पूछा जाता है। वही 1/r तर्क पूरे परिवार का उत्तर देता है: R त्रिज्या की बूँद को n समान बूँदों में तोड़ने पर पृष्ठ क्षेत्रफल बढ़ता है, अतः ऊर्जा देनी पड़ती है, ΔU = 4πR²S(n1/3 − 1); बूँदों को पुनः एक में मिलाने पर ऊर्जा मुक्त होती है, इसीलिए महीन फुहार संगलित होते समय तनिक गर्म होती है, और मेज़ पर गिरा पारा फैला रहने के स्थान पर स्वयं को बूँदों में एकत्र कर लेता है।

मुख्य बिंदु

  • ΔL = FL/(AY) ∝ L/r² — त्रिज्या दुगुनी करने पर वृद्धि चौथाई। Y ठोसों हेतु, B सभी अवस्थाओं हेतु, अपरूपण मापांक केवल ठोसों हेतु।
  • भौतिकी में प्रत्यास्थता का अर्थ प्रबल प्रत्यानयन प्रवृत्ति है, अतः स्टील रबर से कहीं अधिक प्रत्यास्थ है।
  • गैस हेतु B_समतापी = P परंतु B_रुद्धोष्म = γP — प्रश्न में "अचानक" का अर्थ γP प्रयोग करें।
  • P = P₀ + ρgh केवल ऊर्ध्वाधर गहराई पर निर्भर है, पात्र के आकार या द्रव की मात्रा पर नहीं।
  • डूबा अंश = ρ_वस्तु/ρ_द्रव। पिघलता बर्फ का टुकड़ा तल अपरिवर्तित छोड़ता है; भीतर पत्थर हो तो तल गिरता है।
  • बर्नूली: अधिक चाल का अर्थ कम दाब — परंतु केवल स्थायी, असंपीड्य, अश्यान धारा-रेखीय प्रवाह हेतु।
  • सीमांत वेग v_t ∝ r², अतः आधी त्रिज्या की बूँद चार गुना धीमे गिरती है।
  • आधिक्य दाब: बूँद हेतु 2S/r, साबुन के बुलबुले हेतु 4S/r। केशिका उठान h = 2S cosθ/(rρg) ∝ 1/r।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. समान पदार्थ व समान लंबाई के दो तार समान भार वहन करते हैं। दूसरे की त्रिज्या पहले की दुगुनी है। दूसरे तार की वृद्धि है:

    1. पहले की एक चौथाई
    2. पहले की आधी
    3. पहले के बराबर
    4. पहले की दुगुनी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — पहले की एक चौथाई

    ΔL = FL/(AY) व A = πr², अतः ΔL ∝ 1/r²। त्रिज्या दुगुनी करने पर क्षेत्रफल चार गुना और वृद्धि चौथाई रह जाती है। लुभावना "आधी" निर्भरता को 1/r मानने से आता है, यह भूलकर कि सूत्र में अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल आता है, त्रिज्या नहीं।

  2. विद्युतरोधित सिलिंडर में P दाब पर गैस को अचानक संपीडित किया जाता है। इस संपीडन के दौरान उसका आयतन मापांक है:

    1. γP
    2. P
    3. P/γ
    4. शून्य, क्योंकि कोई ऊष्मा-विनिमय नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — γP

    "अचानक" तथा "विद्युतरोधित" का अर्थ रुद्धोष्म है, जहाँ PVᵞ = अचर से B = γP मिलता है। भ्रामक विकल्प P समतापी मान है, जो केवल ऊष्मा मुक्त रूप से निकलने वाले धीमे संपीडन हेतु शुद्ध है। शून्य एक उद्घाटक कारण से अशुद्ध है: ऊष्मा-विनिमय न होने का अर्थ संपीडन का प्रतिरोध न होना नहीं — रुद्धोष्म गैस वस्तुतः समतापी से γ गुना अधिक कड़ी होती है।

  3. भीतर एक छोटा पत्थर जमा हुआ बर्फ का टुकड़ा जल के गिलास में तैरता है। बर्फ पूर्णतः पिघलने पर जल का तल:

    1. गिरता है
    2. उठता है
    3. ठीक वही रहता है
    4. पहले उठता, फिर वापस गिरता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — गिरता है

    तैरते समय पत्थर को बर्फ सहारा देती है, अतः वह अपने भार के बराबर जल विस्थापित करता है। बर्फ पिघलने पर पत्थर डूब जाता है और केवल अपना आयतन विस्थापित करता है, जो जल से घनी वस्तु हेतु कम है। अतः तल गिरता है। "वही रहता है" साधारण बर्फ के टुकड़े, या वायु-बुलबुले वाले टुकड़े का उत्तर है — पत्थर ही वह समिति भंग करता है।

  4. 0.6 आपेक्षिक घनत्व का गुटका जल में तैरता है। जल-पृष्ठ से ऊपर उसके आयतन का अंश है:

    1. 0.4
    2. 0.6
    3. 0.5
    4. 1.67
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.4

    डूबा अंश ρ_वस्तु/ρ_द्रव = 0.6 है, अतः ऊपर का अंश 1 − 0.6 = 0.4। विकल्प 0.6 उत्कृष्ट भ्रम है: वह डूबा अंश है, और प्रश्न ऊपर के भाग का था। मान 1.67 उलटा अनुपात है, जिसे देखते ही अस्वीकार कर देना चाहिए क्योंकि कोई अंश 1 से अधिक नहीं हो सकता।

  5. जल क्षैतिज नली से स्थायी रूप से बहता है जिसकी अनुप्रस्थ काट सँकरी होती जाती है। सँकरे भाग में:

    1. चाल अधिक व दाब कम है
    2. चाल व दाब दोनों अधिक हैं
    3. चाल कम व दाब अधिक है
    4. चाल अधिक व दाब अपरिवर्तित है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — चाल अधिक व दाब कम है

    सांतत्य (Av = अचर) नली सँकरी होने पर चाल बढ़ा देता है, और तत्पश्चात् बर्नूली माँगता है कि दाब गिरे जिससे P + ½ρv² अचर रहे। यह सहज बोध कि दबाया गया तरल अधिक दाब पर होगा, विकल्प दो को लुभावना बनाता है — परंतु वह ऊर्जा संरक्षण भंग करेगा, क्योंकि अतिरिक्त गतिज ऊर्जा का मूल्य दाब-ऊर्जा से चुकाना पड़ता है।

  6. दो गोलाकार वर्षा-बूँदें वायु में अपने सीमांत वेगों से गिरती हैं। दूसरी की त्रिज्या पहली की तीन गुनी है। अनुपात v₂/v₁ है:

    1. 9
    2. 3
    3. 27
    4. √3
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 9

    सीमांत वेग v_t = (2/9)r²(ρ − σ)g/η, r² के समानुपाती है, अतः त्रिज्या तीन गुनी करने पर चाल 9 गुनी। उत्तर 3 रैखिक निर्भरता मानता है, और 27 आयतन (r³) प्रयोग करने से आता है — स्वाभाविक चूक, क्योंकि भार वस्तुतः r³ से बदलता है, परंतु कर्षण r से, और दोनों का अनुपात r² देता है।

  7. एक साबुन के बुलबुले व एक गोलाकार जल-बूँद की त्रिज्या r समान है, तथा पृष्ठ तनाव S समान। बुलबुले के भीतर आधिक्य दाब का बूँद के भीतर आधिक्य दाब से अनुपात है:

    1. 2 : 1
    2. 1 : 1
    3. 1 : 2
    4. 4 : 1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 2 : 1

    साबुन के बुलबुले में दो द्रव–वायु पृष्ठ होते हैं अतः उसका आधिक्य दाब 4S/r है; बूँद में एक, जिससे 2S/r। अतः अनुपात 2 : 1 है। विकल्प 4 : 1, 4S/r की S/r से तुलना करने और बूँद-सूत्र में 2 गुणक भूलने से आता है; 1 : 1 बुलबुले के दूसरे पृष्ठ की पूर्ण अवहेलना से।

  8. केशनली में जल h ऊँचाई तक चढ़ता है। यदि वही नली उस स्थान पर ले जाई जाए जहाँ g आधा है, तो उठान हो जाएगी:

    1. 2h
    2. h/2
    3. h
    4. h/4
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 2h

    केशिका उठान h = 2S cosθ/(rρg) है, अतः h, g के व्युत्क्रमानुपाती है और g आधा करने पर उठान दुगुनी। यह सहज बोध कि दुर्बल गुरुत्व कम उठाएगा, h/2 को आकर्षक बनाता है, परंतु यहाँ गुरुत्व वह बल है जिससे लड़ा जा रहा है, उठाने वाला बल नहीं — उठाना पृष्ठ तनाव करता है, जो बदला नहीं है।