स्थिरवैद्युतिकी — क्षेत्र, गाउस नियम, विभव व संधारित्र

स्थिरवैद्युतिकी भौतिकी पाठ्यक्रम का सबसे बड़ा एकल भाग है और वह एक विशिष्ट आदत को पुरस्कृत करती है: आरंभ करने से पूर्व तय करें कि प्रश्न सदिश चाहता है या अदिश। क्षेत्र व बल सदिश हैं और उन्हें घटक-दर-घटक जोड़ना होगा; विभव व ऊर्जा अदिश हैं और चिह्नों सहित सरलता से जुड़ते हैं। यहाँ अंक खोने वाले विद्यार्थी लगभग सदा क्षेत्र-परिमाण जोड़कर या विभव को दिशा-युक्त मानकर खोते हैं। अध्याय गाउस नियम भी प्रस्तुत करता है, जो पाठ्यक्रम का वह एक उपकरण है जो आवेश-वितरण सममित होते ही किसी दुर्गम समाकलन को एक-पंक्ति उत्तर में बदल देता है।

कूलॉम नियम, क्षेत्र व सदिश आदत

दो बिंदु आवेश F = kq₁q₂/r² से क्रिया करते हैं, जहाँ k = 1/4πε₀ ≈ 9 × 10⁹ N·मी²/C²। क्षेत्र प्रति एकांक आवेश बल है, E = F/q₀ = kq/r², धनावेश से दूर व ऋणावेश की ओर। K परावैद्युत नियतांक के माध्यम में बल K से भाग जाता है, इसीलिए आवेशों को जल में डुबोने से उनकी क्रिया अस्सी गुना दुर्बल हो जाती है।

सदिश या अदिश — पहले तय करें
राशिप्रकृतिअनेक स्रोतों को कैसे जोड़ें
बल F, क्षेत्र Eसदिशघटकों में वियोजित कर उन्हें जोड़ें; परिमाण कभी न जोड़ें
विभव V, ऊर्जा Uअदिशबीजगणितीय रूप से जोड़ें, प्रत्येक आवेश का चिह्न रखते हुए
फ्लक्स ΦअदिशΦ = ∮E⃗·dA⃗, अतः अभिविन्यास अदिश गुणनफल से महत्वपूर्ण
⚠️ E वहाँ शून्य हो सकता है जहाँ V नहीं, और V वहाँ शून्य जहाँ E नहीं
ये दोनों स्वतंत्र हैं और प्रश्न इसका निरंतर उपयोग करते हैं। दो समान धनावेशों के मध्य क्षेत्र समिति से रद्द हो जाते हैं अतः E = 0, परंतु दोनों विभव धनात्मक हैं अतः V ≠ 0। समान व विपरीत आवेशों के मध्य विभव रद्द हो जाते हैं अतः V = 0, परंतु क्षेत्र दोनों एक ही दिशा में हैं और जुड़ते हैं, अतः E ≠ 0। आवेशित चालक के भीतर सर्वत्र E = 0 परंतु V अचर व शून्येतर है। अतः एक से दूसरे का अनुमान कभी न लगाएँ। उनके बीच संबंध E = −dV/dr है, जो कहता है कि E, V की परिवर्तन दर है — अतः अचर शून्येतर विभव वाले क्षेत्र में क्षेत्र शून्य होता है, ठीक जैसे सपाट पहाड़ी में कोई ढाल नहीं।
व्युत्पत्ति के बिना जानने योग्य मानक क्षेत्र
स्रोतक्षेत्र
बिंदु आवेशE = kq/r², अतः E ∝ 1/r²
अनंत रेखीय आवेशE = λ/2πε₀r, अतः E ∝ 1/r
आवेश की अनंत चादरE = σ/2ε₀ — दूरी से स्वतंत्र
आवेशित चालक कोश, बाहरE = kQ/r², जैसे सारा आवेश केंद्र पर हो
आवेशित चालक कोश, भीतरE = 0, V अचर व सतह-मान के बराबर
द्विध्रुव, अक्ष परE = 2kp/r³ — 1/r³ ध्यान दें

गाउस नियम — समिति आपके लिए समाकलन कर देती है

गाउस नियम कहता है कि किसी भी बंद सतह से नेट फ्लक्स Φ = q_परिबद्ध/ε₀ है। दो लक्षण इसे शक्तिशाली बनाते हैं: फ्लक्स केवल भीतर के आवेश पर निर्भर है, और सतह आपकी पसंद का कोई भी आकार हो सकती है — अतः आप ऐसी चुनते हैं जिस पर E अचर व लंबवत् हो, और समाकलन E × क्षेत्रफल में सिमट जाता है।

🎯 सतह के बाहर का आवेश कुछ योगदान क्यों नहीं देता
बाहरी आवेश की क्षेत्र-रेखाएँ बंद सतह में प्रवेश करती हैं और फिर बाहर निकल जाती हैं, अतः प्रत्येक रेखा प्रवेश पर एक ऋणात्मक व निर्गम पर एक धनात्मक फ्लक्स-मात्रक देती है, जो ठीक रद्द हो जाते हैं। इसीलिए बाहरी आवेश निकट लाने से सतह के प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र बदलता है फिर भी कुल फ्लक्स अपरिवर्तित रहता है — ऐसा परिणाम जो अशुद्ध लगता है और ठीक इसी कारण पूछा जाता है। दो परिणाम साथ रखें: सतह के भीतर आवेश इधर-उधर हटाने पर फ्लक्स अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि केवल परिबद्ध मात्रा महत्वपूर्ण है; और शून्य नेट आवेश परिबद्ध करने वाली सतह का फ्लक्स शून्य होता है, चाहे वह प्रबल क्षेत्र में हो।
🧠 तीन समितियाँ, व कौन-सी सतह चुनें
गाउस नियम केवल तब उपयोगी है जब समिति आपको E को समाकलन से बाहर निकालने दे, और पाठ्यक्रम में ठीक तीन स्थितियाँ हैं। गोलीय आवेश (बिंदु, गोला, कोश) → संकेंद्री गोला चुनें, जो E(4πr²) = q/ε₀ देता है। बेलनीय आवेश (लंबा तार, लंबा बेलन) → सह-अक्षीय बेलन चुनें, जो E(2πrL) = λL/ε₀ देता है। समतलीय आवेश (बड़ी चादर) → चादर के आर-पार पिलबॉक्स चुनें, जो E(2A) = σA/ε₀ देता है। तीन उत्तरों के बजाय तीन सतहें सीखें, क्योंकि तब कोटर वाला खोखला गोला, या बेलनीय कोश के भीतर तार, भिन्न q_परिबद्ध वाला वही प्रश्न है।

संधारित्र, परावैद्युत व ऊर्जा

धारिता प्रति एकांक विभवांतर आवेश है, C = Q/V, और समांतर-पट्ट संधारित्र हेतु C = ε₀A/d, या अंतराल भरे परावैद्युत सहित Kε₀A/d। संचित ऊर्जा तीन समतुल्य प्रकारों से लिखी जा सकती है: U = ½QV = ½CV² = Q²/2C, और उचित रूप चुनना ही अधिकांश कौशल है।

श्रेणी व समांतर — प्रतिरोधकों का उलटा
व्यवस्थाधारिताक्या साझा है
श्रेणी1/C = 1/C₁ + 1/C₂ — दोनों से छोटाप्रत्येक पर आवेश समान; वोल्टता जुड़ती है
समांतरC = C₁ + C₂ — दोनों से बड़ाप्रत्येक पर वोल्टता समान; आवेश जुड़ते हैं
⚠️ परावैद्युत डालना: बैटरी जुड़ी है या हटी?
यह एक भेद प्रश्नों का बड़ा परिवार उत्पन्न करता है, और दोनों स्थितियों में उत्तर विपरीत हैं। बैटरी अब भी जुड़ी → V बैटरी से निश्चित है। C बढ़कर KC होता है, अतः Q = CV बढ़कर KQ और ऊर्जा U = ½CV² बढ़कर KU, अतिरिक्त ऊर्जा बैटरी से आती है। बैटरी हटी → Q निश्चित है, क्योंकि आवेश के जाने का स्थान नहीं। C तब भी बढ़कर KC होता है, अतः V = Q/C घटकर V/K और ऊर्जा U = Q²/2C घटकर U/K, अंतर वह कार्य है जो क्षेत्र परावैद्युत को भीतर खींचते हुए करता है। अतः वही भौतिक कार्य एक स्थिति में ऊर्जा बढ़ाता है और दूसरी में घटाता है। सदा पहले पूछें कि कौन-सी राशि निश्चित रखी गई है, फिर वह ऊर्जा-रूप चुनें जिसमें वह हो — V निश्चित हो तो ½CV², Q निश्चित हो तो Q²/2C।
🎯 दो संधारित्र जोड़ने पर ऊर्जा क्यों नष्ट होती है
किसी आवेशित संधारित्र को समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ें। आवेश संरक्षण आवेश समान रूप से बाँट देता है, अतः प्रत्येक V/2 पर आता है — और कुल ऊर्जा, जो ½CV² थी, 2 × ½C(V/2)² = ¼CV² हो जाती है, आरंभ के ठीक आधी। वह कहाँ गई? क्षणिक अवस्था के दौरान जोड़ने वाले तारों में प्रतिरोधी तापन व विद्युत-चुंबकीय विकिरण में, तार कितने ही छोटे हों। यह प्रिय प्रश्न है क्योंकि वह उल्लंघन दिखता है: आवेश संरक्षित है परंतु ऊर्जा नहीं, और समाधान यह है कि प्रक्रिया अनुत्क्रमणीय है। सामान्य परिणाम स्मरणीय है: भिन्न विभव पर संधारित्र जोड़ने से सदा ऊर्जा नष्ट होती है, और हानि C₁C₂(V₁ − V₂)²/2(C₁ + C₂) है।
ℹ️ चालक: तीन तथ्य जो अधिकांश प्रश्न हल कर देते हैं
स्थिरवैद्युत साम्य में चालक के भीतर क्षेत्र शून्य है, सारा अतिरिक्त आवेश बाहरी सतह पर बैठता है, और पूरा चालक एक ही विभव पर है। प्रथम कारण है कि धातु का बक्सा अपनी सामग्री का परिरक्षण करता है — फैराडे पिंजर, और इसीलिए तड़ित के समय आप कार में सुरक्षित हैं। द्वितीय कारण है कि आवेश घनत्व वहाँ सर्वाधिक है जहाँ सतह सर्वाधिक तीव्र मुड़ती है, अतः तड़ितचालक नुकीला होता है। तृतीय का अर्थ है चालक के भीतर या उस पर आवेश कहीं भी हटाने हेतु कोई कार्य आवश्यक नहीं। एक अन्य परिणाम: चालक की सतह के ठीक बाहर क्षेत्र σ/ε₀ है और सदा उसके लंबवत्, क्योंकि कोई स्पर्शरेखीय घटक तत्काल सतही धारा चला देता और अतः टिक नहीं सकता।

मुख्य बिंदु

  • F = kq₁q₂/r², k ≈ 9 × 10⁹ सहित; K नियतांक का परावैद्युत बल को K से भाग देता है।
  • E व F सदिश हैं (घटक जोड़ें); V व U अदिश (चिह्नों सहित जोड़ें)। आरंभ से पूर्व तय करें।
  • E = 0 से V = 0 नहीं निकलता, और V = 0 से E = 0 नहीं — E, V की परिवर्तन दर है।
  • बिंदु आवेश का क्षेत्र ∝ 1/r², रेखा का ∝ 1/r, चादर का दूरी-निरपेक्ष, द्विध्रुव-अक्ष ∝ 1/r³।
  • गाउस: Φ = q_परिबद्ध/ε₀। बाहरी आवेश शून्य नेट फ्लक्स देते हैं, और भीतर आवेश हटाने से कुछ नहीं बदलता।
  • संधारित्र: श्रेणी व्युत्क्रम जोड़ती है व आवेश साझा करती है; समांतर सीधे जोड़ता है व वोल्टता साझा करता है।
  • बैटरी जुड़ी होने पर परावैद्युत U को KU करता है; बैटरी हटी होने पर U को U/K।
  • भिन्न विभव पर दो संधारित्र जोड़ने से सदा ऊर्जा क्षय होती है, यद्यपि आवेश संरक्षित रहता है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. दो समान धन बिंदु आवेशों के मध्य-बिंदु पर:

    1. E व V दोनों शून्य हैं
    2. E शून्य है परंतु V नहीं
    3. V शून्य है परंतु E नहीं
    4. कोई शून्य नहीं है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — E शून्य है परंतु V नहीं

    दोनों क्षेत्र परिमाण में समान व दिशा में विपरीत हैं, अतः वे रद्द हो जाते हैं और E = 0। विभव अदिश है और दोनों योगदान धनात्मक हैं, अतः वे जुड़ते हैं और V ≠ 0। समान व विपरीत आवेशों हेतु स्थिति उलट जाती है — V = 0 जबकि E ≠ 0 — इसीलिए एक से दूसरे का अनुमान कभी नहीं लगाया जा सकता।

  2. एक बिंदु आवेश किसी बंद गाउसीय सतह के बाहर है। सतह से नेट विद्युत फ्लक्स है:

    1. q/ε₀
    2. शून्य
    3. q/2ε₀
    4. वह आवेश की दूरी पर निर्भर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — शून्य

    बाहरी आवेश की जो प्रत्येक क्षेत्र-रेखा सतह में प्रवेश करती है वह बाहर भी निकलती है, अतः अंतर्मुखी व बाह्यमुखी योगदान ठीक रद्द हो जाते हैं और नेट फ्लक्स शून्य है। आवेश निकट लाने से सतह के प्रत्येक बिंदु पर E बदलता है फिर भी कुल फ्लक्स अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि गाउस नियम केवल परिबद्ध आवेश पर निर्भर है।

  3. एक संधारित्र बैटरी से आवेशित होता है, बैटरी हटा दी जाती है, तत्पश्चात् K नियतांक का परावैद्युत डाला जाता है। संचित ऊर्जा:

    1. K गुना बड़ी हो जाती है
    2. K गुना छोटी हो जाती है
    3. अपरिवर्तित रहती है
    4. K² गुना बड़ी हो जाती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — K गुना छोटी हो जाती है

    बैटरी हटी होने पर आवेश Q निश्चित है, अतः U = Q²/2C प्रयोग करें। चूँकि C बढ़कर KC होता है, U घटकर U/K हो जाती है, अंतर वह कार्य है जो क्षेत्र परावैद्युत को भीतर खींचते हुए करता है। बैटरी जुड़ी रहती तो V निश्चित होता और U = ½CV² बढ़कर KU होती — वही भौतिक कार्य, विपरीत उत्तर सहित।

  4. σ पृष्ठ घनत्व की अनंत आवेशित चादर के कारण विद्युत क्षेत्र:

    1. 1/r² के अनुपात में बदलता है
    2. 1/r के अनुपात में बदलता है
    3. σ/2ε₀ है, दूरी से स्वतंत्र
    4. सर्वत्र शून्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — σ/2ε₀ है, दूरी से स्वतंत्र

    चादर के आर-पार पिलबॉक्स से गाउस नियम लगाने पर E(2A) = σA/ε₀ मिलता है, अतः E = σ/2ε₀, जिसमें कोई r नहीं — अनंत चादर से दूर जाना उसका क्षेत्र दुर्बल नहीं करता, क्योंकि अतिरिक्त दूरी की ठीक भरपाई उस अधिक चादर-क्षेत्रफल से हो जाती है जो प्रासंगिक बन जाता है। 1/r² व 1/r रूप क्रमशः बिंदु आवेश व रेखीय आवेश के हैं।

  5. V विभव पर C धारिता का आवेशित संधारित्र समान अनावेशित संधारित्र से जोड़ा जाता है। कुल संचित ऊर्जा हो जाती है:

    1. अपरिवर्तित, क्योंकि आवेश संरक्षित है
    2. अपने मूल मान का आधा
    3. अपने मूल मान का दोगुना
    4. अपने मूल मान का चौथाई
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अपने मूल मान का आधा

    आवेश समान रूप से बँटता है अतः प्रत्येक संधारित्र V/2 पर आता है, जो कुल ऊर्जा 2 × ½C(V/2)² = ¼CV² देता है, मूल ½CV² के विरुद्ध — ठीक आधा। अनुपस्थित आधा भाग क्षणिक अवस्था में जोड़ने वाले तारों में ऊष्मा व विकिरण रूप में क्षय होता है, वे कितने ही छोटे हों। आवेश संरक्षित है; ऊर्जा नहीं, क्योंकि प्रक्रिया अनुत्क्रमणीय है।

  6. खोखले आवेशित चालक कोश के भीतर, स्थिरवैद्युत साम्य में:

    1. E व V दोनों शून्य हैं
    2. E शून्य है व V अचर, सतह-मान के बराबर
    3. E अचर व शून्येतर है
    4. V केंद्र की ओर घटता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — E शून्य है व V अचर, सतह-मान के बराबर

    साम्य में चालक के भीतर क्षेत्र लुप्त हो जाता है, और चूँकि E = −dV/dr, शून्य क्षेत्र का अर्थ है विभव नहीं बदलता — अतः V पूरे कोटर में अचर है और उसके सतह-मान के बराबर। इसीलिए धातु का आवरण अपनी सामग्री का परिरक्षण करता है, और इसीलिए तड़ित के समय आप कार के भीतर सुरक्षित हैं।

  7. 2 μF व 3 μF के दो संधारित्र किसी बैटरी पर श्रेणी में जुड़े हैं। दोनों हेतु कौन समान है?

    1. प्रत्येक पर विभवांतर
    2. प्रत्येक पर आवेश
    3. प्रत्येक में संचित ऊर्जा
    4. प्रत्येक की धारिता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — प्रत्येक पर आवेश

    श्रेणी में वही आवेश पूरे पथ से गुज़रना चाहिए, अतः Q समान है और वोल्टता V = Q/C के अनुसार बँटती है — अर्थात् छोटा संधारित्र वोल्टता का बड़ा भाग लेता है। समांतर उलटा है: वोल्टता समान व आवेश जुड़ते हैं। ध्यान दें कि यह प्रतिरोधकों की उलटी परंपरा है, इसीलिए दोनों इतनी बार भ्रमित होते हैं।

  8. लघु द्विध्रुव के अक्ष पर विद्युत क्षेत्र दूरी के साथ बदलता है:

    1. 1/r
    2. 1/r²
    3. 1/r³
    4. r से स्वतंत्र
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 1/r³

    अक्ष पर E = 2kp/r³। r की अतिरिक्त घात इसलिए आती है कि दोनों विपरीत आवेश लगभग रद्द हो जाते हैं, और उनका छोटा अवशिष्ट अंतर किसी एक क्षेत्र से अधिक तेज़ी से घटता है। 1/r² उत्तर एकल-बिंदु-आवेश नियम है, जो इसलिए दिया गया कि अभ्यर्थी उसे आदतवश लगा देते हैं, यह न देखते हुए कि द्विध्रुव का नेट आवेश शून्य है।