ऊष्मीय भौतिकी — अणुगति सिद्धांत, ऊष्मागतिकी के नियम व ऊष्मा इंजन

ऊष्मागतिकी वह अध्याय है जहाँ चिह्न-परंपराएँ आपके अंक तय करती हैं। भौतिकी एक समीकरण है, ΔU = Q − W, और इस प्रकरण का लगभग प्रत्येक अशुद्ध उत्तर किसी चिह्न को उलटा लेने या यह भूलने से आता है कि कौन-सी राशि अवस्था फलन है और कौन-सी पथ-निर्भर। अतः यह अध्याय परंपराएँ व वह भेद पहले रखता है, तत्पश्चात् चार मानक प्रक्रियाओं से गुज़रता है, और इंजन व एन्ट्रॉपी से समाप्त होता है। एक संरचनात्मक विचार सर्वत्र साथ रखने योग्य है: आंतरिक ऊर्जा केवल इस पर निर्भर है कि आप कहाँ हैं, जबकि ऊष्मा व कार्य इस पर कि आप वहाँ कैसे पहुँचे।

अणुगति सिद्धांत — ताप ही गतिज ऊर्जा है

अणुगति सिद्धांत दाब व ताप के स्थान पर अणुओं के विषय में कथन रखता है: P = (1/3)ρv²_rms और, सर्वाधिक महत्वपूर्ण, प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा = (3/2)k_BT। वह दूसरा संबंध इस अध्याय का संकल्पनात्मक हृदय है, क्योंकि वह कहता है कि ताप अणुओं की माध्य स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा से भिन्न कुछ नहीं है।

आणविक चालें व स्वातंत्र्य कोटियाँ
विषयव्यंजकटिप्पणी
वर्ग-माध्य-मूल चालv_rms = √(3RT/M)तीनों में सर्वाधिक; ∝ √T व ∝ 1/√M
औसत चालv_av = √(8RT/πM)मध्य मान
अधिकतम संभाव्य चालv_mp = √(2RT/M)सबसे छोटी: v_mp < v_av < v_rms
एकपरमाणुक गैस (He, Ar)f = 3 · C_v = 3R/2 · γ = 1.67केवल स्थानांतरण
द्विपरमाणुक गैस (O₂, N₂)f = 5 · C_v = 5R/2 · γ = 1.40दो घूर्णी विधाएँ जुड़ती हैं
बहुपरमाणुक (अरेखीय)f = 6 · C_v = 3R · γ = 1.33तीन घूर्णी विधाएँ
🧠 ऊर्जा समविभाजन एक संख्या से C_v, C_p व γ उत्पन्न करता है
ऊर्जा समविभाजन प्रमेय प्रत्येक स्वातंत्र्य कोटि को प्रति अणु ½k_BT औसत ऊर्जा देता है, अतः U = (f/2)nRT और इसलिए C_v = fR/2। तत्पश्चात् मेयर संबंध C_p − C_v = R से C_p मिलता है, और γ = C_p/C_v = 1 + 2/f। अतः आपको नौ संख्याएँ रटने की आवश्यकता कभी नहीं — स्वातंत्र्य कोटियाँ गिनें और शेष सब दो चरणों में निकल आता है। दो जाँचें रखने योग्य हैं: γ सदा 1 से बड़ा है, और अणु अधिक जटिल होने पर वह घटता है, क्योंकि अधिक संचय-विधाएँ गैस को प्रति डिग्री गर्म करना कठिन बना देती हैं। यह भी ध्यान दें कि C_v व γ केवल परमाणुकता पर निर्भर हैं, यह किस विशेष गैस पर नहीं, अतः हीलियम व आर्गन यहाँ समान व्यवहार करते हैं।
⚠️ समान ताप पर सभी गैसों की गतिज ऊर्जा समान होती है, चाल समान नहीं
चूँकि औसत गतिज ऊर्जा = (3/2)k_BT केवल T पर निर्भर है, 300 K पर हाइड्रोजन व ऑक्सीजन अणु सर्वसम औसत गतिज ऊर्जा रखते हैं। परंतु भिन्न m के साथ ½mv² बराबर होने का अर्थ है चालें भिन्न हैं: v_rms ∝ 1/√M, अतः हाइड्रोजन (M = 2) ऑक्सीजन (M = 32) से लगभग चार गुना तेज़ चलता है, क्योंकि √(32/2) = 4। यह तथ्य-युग्म निरंतर पूछा जाता है, सामान्यतः कथन-प्रश्न रूप में जो "समान चाल" व "समान गतिज ऊर्जा" पृथक् विकल्प देता है। वही तर्क समझाता है कि हाइड्रोजन व हीलियम किसी ग्रह के वायुमंडल से क्यों पलायन करते हैं जबकि नाइट्रोजन नहीं — हल्के अणु पलायन वेग बहुत अधिक बार प्राप्त करते हैं।

प्रथम नियम व चार प्रक्रियाएँ

प्रथम नियम गैस हेतु ऊर्जा संरक्षण है: ΔU = Q − W, इस परंपरा सहित कि गैस को ऊष्मा दी जाए तो Q धनात्मक और गैस फैलकर कार्य करे तो W धनात्मक। इन दो चिह्नों को ठीक करना ही प्रकरण का अधिकांश है।

चार मानक प्रक्रियाएँ
प्रक्रियाअचरमुख्य परिणाम
समतापीतापΔU = 0, अतः Q = W = nRT ln(V₂/V₁)। PV = अचर
रुद्धोष्मकोई ऊष्मा-विनिमय नहींQ = 0, अतः ΔU = −W। PVᵞ = अचर, TVᵞ⁻¹ = अचर
समदाबीदाबW = PΔV = nRΔT; Q = nC_pΔT
समआयतनिकआयतनW = 0, अतः ΔU = Q = nC_vΔT
🎯 आंतरिक ऊर्जा केवल ताप पर क्यों निर्भर है, और उससे क्या निकलता है
आदर्श गैस हेतु U = (f/2)nRT, अतः U केवल ताप का फलन है — उसे दाब, आयतन या लिए गए मार्ग की चिंता नहीं। तीन परिणाम बारंबार पूछे जाते हैं। किसी भी समतापी प्रक्रिया में ΔU = 0 ठीक-ठीक, अतः दी गई सारी ऊष्मा कार्य बन जाती है। किसी भी चक्रीय प्रक्रिया में पूरे चक्र पर ΔU = 0, बीच में कुछ भी हो, अतः Q_नेट = W_नेट। और निर्वात में मुक्त प्रसार में गैस कोई कार्य नहीं करती व कोई ऊष्मा विनिमय नहीं, अतः ΔU = 0 और ताप तनिक भी नहीं बदलता — जो उन विद्यार्थियों को आश्चर्यचकित करता है जो फैलती गैस से ठंडा होने की अपेक्षा करते हैं। आंतरिक ऊर्जा अवस्था फलन है; ऊष्मा व कार्य नहीं, और वह असमिति इस अध्याय का सर्वाधिक उपयोगी एकल विचार है।
🧠 PV आरेख से कार्य पढ़ना
गैस द्वारा किया कार्य PV आरेख पर वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है, जो अनेक प्रश्नों को पूर्णतः दृश्य बना देता है। प्रसार दाईं ओर जाता है और कार्य धनात्मक; संपीडन बाईं ओर और वह ऋणात्मक। बंद चक्र हेतु नेट कार्य घिरा क्षेत्रफल है, चक्र दक्षिणावर्त चले तो धनात्मक (इंजन) और वामावर्त तो ऋणात्मक (रेफ्रिजरेटर)। दो अन्य पठन उपयोगी हैं: ऊर्ध्वाधर रेखा समआयतनिक है अतः वह कोई क्षेत्रफल नहीं घेरती व कोई कार्य नहीं करती, और रुद्धोष्म वक्र उसी बिंदु से जाते समतापी वक्र से सदा अधिक तीव्र होता है, γ गुणक से। वही तीव्रता कारण है कि रुद्धोष्म संपीडन ताप बढ़ाता है और वह आलेख-पहचान प्रश्न रूप में पूछा जाता है।

द्वितीय नियम, इंजन व एन्ट्रॉपी

प्रथम नियम किसी भी ऊर्जा-संरक्षी प्रक्रिया की अनुमति देता है; द्वितीय नियम बताता है कि उनमें से कौन वास्तव में होती हैं। ऊष्मा इंजन T₁ ताप के गर्म भंडार से Q₁ लेता है, W कार्य करता है, और T₂ ताप के ठंडे भंडार में Q₂ डालता है, दक्षता η = W/Q₁ = 1 − Q₂/Q₁ सहित। उत्क्रमणीय (कार्नो) इंजन हेतु यह η = 1 − T₂/T₁ बन जाता है, ताप केल्विन में।

🎯 कोई इंजन 100% दक्ष क्यों नहीं हो सकता, और ताप केल्विन में क्यों होने चाहिए
η = 1 − T₂/T₁, 1 तक केवल तब पहुँचता है जब T₂ = 0 K, जो अप्राप्य है, अतः कुछ ऊष्मा सदा त्यागनी ही होगी — यह एक पंक्ति में द्वितीय नियम का केल्विन–प्लांक कथन है। दो व्यावहारिक पठन निकलते हैं। T₁ बढ़ाना सहायक है, परंतु T₂ घटाना प्रति डिग्री अधिक सहायक है, इसीलिए विद्युत संयंत्र शीतलन-जल की इतनी चिंता करते हैं। और ताप केल्विन में होने ही चाहिए: °C प्रयोग करना यहाँ सर्वाधिक सामान्य संख्यात्मक त्रुटि है, और वह केवल उत्तर नहीं खिसकाती, वह 1 से अधिक या ऋणात्मक दक्षता दे सकती है, जिसे तत्काल असंगत पकड़ा जाना चाहिए। यह भी ध्यान दें कि कोई वास्तविक इंजन कार्नो मान तक नहीं पहुँचता, क्योंकि कार्नो घर्षण-रहित व परिमित ताप-अंतर रहित उत्क्रमणीय चक्र मानता है — वह ऊपरी सीमा है, लक्ष्य नहीं।
इंजन, रेफ्रिजरेटर व ऊष्मा पंप — वही चक्र, भिन्न गुणांक
युक्तिआप क्या चाहते हैंमाप
ऊष्मा इंजनदी गई ऊष्मा से कार्यη = W/Q₁ = 1 − T₂/T₁, सदा 1 से कम
रेफ्रिजरेटरठंडे स्थान से हटाई ऊष्माCOP = Q₂/W = T₂/(T₁ − T₂), 1 से बड़ा हो सकता है
ऊष्मा पंपगर्म स्थान को दी ऊष्माCOP = Q₁/W = T₁/(T₁ − T₂) = रेफ्रिजरेटर COP + 1
⚠️ 1 से अधिक निष्पादन गुणांक ऊर्जा संरक्षण नहीं तोड़ता
COP = 4 वाला रेफ्रिजरेटर विद्युत कार्य के प्रत्येक जूल हेतु चार जूल ऊष्मा डिब्बे से बाहर निकालता है। विद्यार्थी उसे 100% से अधिक दक्षता पढ़कर कोई भूल मान लेते हैं। वह भूल नहीं है: युक्ति ऊर्जा उत्पन्न नहीं कर रही, वह उसे एक स्थान से दूसरे में पंप कर रही है, और कार्य का वह जूल चार में जुड़कर पीछे पाँच रूप में निकल जाता है। ऊर्जा ठीक-ठीक संरक्षित है। नाम जान-बूझकर चुना गया है — "निष्पादन गुणांक", दक्षता नहीं — क्योंकि वह आप जो चाहते हैं व जो चुकाते हैं का अनुपात है, और उसे एक से बड़ा होने से कुछ नहीं रोकता। वही तर्क ऊष्मा पंप को घर गर्म करने का दक्ष उपाय बनाता है: वह अपनी खपत की विद्युत से अधिक ऊष्मा देता है, अंतर बाहर की ठंडी वायु से लेकर।
ℹ️ एन्ट्रॉपी, व समय की दिशा
एन्ट्रॉपी परिवर्तन उत्क्रमणीय स्थानांतरण हेतु ΔS = Q/T है, और द्वितीय नियम अपने सर्वाधिक सामान्य रूप में कहता है कि वियुक्त तंत्र की एन्ट्रॉपी कभी नहीं घटती। यही प्रक्रियाओं को अनुत्क्रमणीय बनाता है: ऊष्मा गर्म से ठंडे की ओर बहती है और कभी स्वतः वापस नहीं, गैस पात्र भरने हेतु फैलती है और कभी स्वतः किसी कोने में एकत्र नहीं होती। दोनों दिशाएँ ऊर्जा संरक्षित करती हैं, अतः प्रथम नियम दोनों की अनुमति देता है — केवल एन्ट्रॉपी उनमें भेद करती है, इसीलिए द्वितीय नियम को कभी समय का तीर कहा जाता है। ध्यान दें कि एन्ट्रॉपी स्थानीय रूप से घट सकती है, जैसे रेफ्रिजरेटर के भीतर होती है; जो नहीं घट सकता वह तंत्र तथा उसके परिवेश का कुल है।

मुख्य बिंदु

  • प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा = (3/2)k_BT, अतः ताप माध्य स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा ही है।
  • v_mp < v_av < v_rms, सभी ∝ √T व ∝ 1/√M — अतः समान T पर हाइड्रोजन ऑक्सीजन से 4 गुना तेज़।
  • स्वातंत्र्य कोटियाँ गिनें: C_v = fR/2, C_p − C_v = R, γ = 1 + 2/f। एकपरमाणुक 1.67, द्विपरमाणुक 1.40।
  • ΔU = Q − W, ऊष्मा प्रवेश करे तो Q धनात्मक व गैस फैले तो W धनात्मक।
  • U केवल T पर निर्भर, अतः समतापी, चक्रीय व मुक्त-प्रसार प्रक्रियाओं में समान रूप से ΔU = 0।
  • समतापी PV = अचर, Q = W सहित; रुद्धोष्म PVᵞ = अचर, ΔU = −W सहित; समआयतनिक W = 0।
  • कार्य PV वक्र के नीचे का क्षेत्रफल है; चक्र में नेट कार्य घिरा क्षेत्रफल, इंजन हेतु दक्षिणावर्त।
  • कार्नो η = 1 − T₂/T₁, केल्विन में, सदा 1 से कम; रेफ्रिजरेटर का COP 1 से अधिक हो सकता है, कुछ तोड़े बिना।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. हाइड्रोजन व ऑक्सीजन के नमूने समान ताप पर हैं। कौन-सा कथन सही है?

    1. उनके अणुओं की औसत चाल समान है
    2. उनके अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा समान है
    3. चाल व गतिज ऊर्जा दोनों समान हैं
    4. ऑक्सीजन अणु अधिक तेज़ चलते हैं, भारी होने से
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — उनके अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा समान है

    औसत गतिज ऊर्जा (3/2)k_BT है और केवल ताप पर निर्भर है, अतः वह सर्वसम है। परंतु v_rms ∝ 1/√M, अतः हाइड्रोजन (M = 2) ऑक्सीजन (M = 32) से √(32/2) = 4 गुना तेज़ चलता है। असमान द्रव्यमान के साथ समान गतिज ऊर्जा का अर्थ अनिवार्यतः असमान चाल है, और ठीक यही भेद पूछा जा रहा है।

  2. द्विपरमाणुक आदर्श गैस हेतु अनुपात γ = C_p/C_v है:

    1. 1.67
    2. 1.40
    3. 1.33
    4. 1.00
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1.40

    द्विपरमाणुक अणु में f = 5 (तीन स्थानांतरीय तथा दो घूर्णी), और γ = 1 + 2/f = 1 + 2/5 = 1.40। मान 1.67 एकपरमाणुक (f = 3) व 1.33 बहुपरमाणुक (f = 6) है। ध्यान दें कि अणु अधिक जटिल होने पर γ घटता है, क्योंकि अतिरिक्त संचय-विधाएँ गैस को प्रति डिग्री गर्म करना कठिन बना देती हैं।

  3. एक आदर्श गैस निर्वात में मुक्त प्रसार करती है। उसका ताप:

    1. गिरता है, क्योंकि गैस फैलती है
    2. अपरिवर्तित रहता है
    3. बढ़ता है
    4. परम शून्य तक गिरता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अपरिवर्तित रहता है

    मुक्त प्रसार में गैस किसी के विरुद्ध नहीं धकेलती, अतः W = 0, और पात्र रोधित है, अतः Q = 0। अतः ΔU = 0, और चूँकि आदर्श गैस हेतु U केवल ताप पर निर्भर है, T अपरिवर्तित। ठंडा होने की अपेक्षा इसे रुद्धोष्म प्रसार से भ्रमित करने से आती है, जहाँ गैस कार्य करती है और अतः ठंडी होती है।

  4. एक कार्नो इंजन 500 K व 300 K के बीच कार्य करता है। उसकी दक्षता है:

    1. 40%
    2. 60%
    3. 20%
    4. 100%
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 40%

    η = 1 − T₂/T₁ = 1 − 300/500 = 0.4, अर्थात् 40%। दोनों ताप केल्विन में होने ही चाहिए — यहाँ सेल्सियस प्रयोग करना इस प्रकरण की सर्वाधिक सामान्य संख्यात्मक त्रुटि है और वह 1 से अधिक दक्षता भी दे सकती है, जिसे तत्काल असंभव पहचाना जाना चाहिए।

  5. आदर्श गैस के समतापी प्रसार में:

    1. Q = 0 व ΔU = −W
    2. ΔU = 0 व Q = W
    3. W = 0 व Q = ΔU
    4. Q व W दोनों शून्य हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ΔU = 0 व Q = W

    ताप अचर है, और U केवल ताप पर निर्भर है, अतः ΔU = 0 और प्रथम नियम Q = W देता है — दी गई ऊष्मा का प्रत्येक जूल कार्य रूप में निकल जाता है। विकल्प 1 रुद्धोष्म प्रक्रिया व विकल्प 3 समआयतनिक का वर्णन करता है, अतः यह प्रश्न वास्तव में यही जाँच रहा है कि चारों प्रक्रियाओं में भेद है या नहीं।

  6. एक रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक 4 है। इसका अर्थ है:

    1. वह ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का उल्लंघन करता है
    2. वह प्रति जूल कार्य-निवेश पर डिब्बे से 4 J ऊष्मा हटाता है
    3. वह ऊष्मा को कार्य में बदलने में 400% दक्ष है
    4. इंजन रूप में उसकी दक्षता भी 4 होगी
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — वह प्रति जूल कार्य-निवेश पर डिब्बे से 4 J ऊष्मा हटाता है

    COP = Q₂/W, अतः प्रति जूल कार्य पर चार जूल डिब्बे से बाहर पंप होते हैं। कुछ उल्लंघित नहीं होता: युक्ति ऊर्जा उत्पन्न करने के बजाय उसे हटाती है, और कार्य-निवेश हटाई ऊष्मा में जुड़कर पीछे पाँच जूल रूप में त्यागा जाता है। उसे दक्षता के बजाय निष्पादन गुणांक ठीक इसीलिए कहा जाता है कि वह एक से अधिक हो सकता है।

  7. PV आरेख पर पूर्ण चक्र में गैस द्वारा किया नेट कार्य है:

    1. शून्य, क्योंकि गैस अपनी आरंभिक अवस्था में लौट आती है
    2. चक्र द्वारा घिरा क्षेत्रफल, दक्षिणावर्त होने पर धनात्मक
    3. आंतरिक ऊर्जा के परिवर्तन के बराबर
    4. सदा ऋणात्मक
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — चक्र द्वारा घिरा क्षेत्रफल, दक्षिणावर्त होने पर धनात्मक

    कार्य पथ-निर्भर है, अतः वह चक्र पर लुप्त नहीं होता, यद्यपि ΔU होता है। नेट कार्य घिरा क्षेत्रफल है, दक्षिणावर्त चक्र (इंजन) हेतु धनात्मक और वामावर्त (रेफ्रिजरेटर) हेतु ऋणात्मक। चूँकि चक्र पर ΔU = 0, प्रथम नियम तत्पश्चात् Q_नेट = W_नेट देता है।

  8. PV आरेख के उसी बिंदु से जाते समय, रुद्धोष्म वक्र समतापी वक्र की तुलना में है:

    1. कम तीव्र
    2. अधिक तीव्र, γ गुणक से
    3. ढाल में सर्वसम
    4. क्षैतिज
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अधिक तीव्र, γ गुणक से

    समतापी PV = अचर देता है, ढाल −P/V; जबकि रुद्धोष्म PVᵞ = अचर देता है, ढाल −γP/V, और γ > 1 सदा। वही अतिरिक्त तीव्रता कारण है कि रुद्धोष्म संपीडन ताप बढ़ाता है जबकि समतापी नहीं, और आलेख पर दोनों वक्र पहचानना मानक प्रश्न है।