दोलन व तरंगें — SHM, अध्यारोपण, विस्पंद व डॉप्लर

एक शर्त इस पूरे अध्याय को परिभाषित करती है: विस्थापन के अनुपाती व उसके विपरीत दिशा में प्रत्यानयन बल, F = −kx। शेष सब कुछ — ज्यावक्रीय गति, आवर्तकाल, ऊर्जा का आदान-प्रदान, दोलक, स्प्रिंग — परिणाम है। यह आरंभ में कहने योग्य है क्योंकि वह बताता है कि अपरिचित तंत्र में SHM की पहचान कैसे करें, स्थितियों की सूची रटने के बजाय: प्रत्यानयन बल खोजें, जाँचें कि वह विस्थापन में रेखीय है, और गुणांक से ω² पढ़ लें। तत्पश्चात् तरंगें उसी गणित को एक दोलायमान कण से उनकी शृंखला तक विस्तारित करती हैं, और अध्याय का दूसरा आधा भाग वही है जो दो ऐसे विक्षोभ मिलने पर होता है।

सरल आवर्त गति

F = −kx व F = ma से a = −(k/m)x आता है, जिसका हल x = A sin(ωt + φ) है, ω = √(k/m) सहित। अवकलन से v = Aω cos(ωt + φ) व a = −Aω²sin(ωt + φ) = −ω²x मिलता है। उपयोगी समय-रहित रूप v = ω√(A² − x²) है, जो आपको किसी भी स्थिति पर चाल देता है, यह जाने बिना कि कब।

दोनों सिरों पर क्या होता है
राशिमाध्य स्थिति पर (x = 0)सिरे पर (x = ±A)
चालअधिकतम, Aωशून्य
त्वरणशून्यअधिकतम, Aω²
प्रत्यानयन बलशून्यअधिकतम
गतिज ऊर्जाअधिकतम, ½kA²शून्य
स्थितिज ऊर्जाशून्यअधिकतम, ½kA²
⚠️ ऊर्जा, गति की आवृत्ति से दोगुनी आवृत्ति पर दोलन करती है
कुल ऊर्जा E = ½kA² अचर है, परंतु गतिज व स्थितिज भाग आगे-पीछे विनिमय करते हैं। चूँकि KE ∝ v² ∝ cos²(ωt), और cos², cos से दोगुनी बार पूरा चक्र पूर्ण करता है, ऊर्जा 2f आवृत्ति से बदलती है जबकि विस्थापन f से। इसीलिए गतिज ऊर्जा प्रत्येक दोलन में दो बार अधिकतम होती है — एक बार केंद्र से दाईं ओर जाते, एक बार बाईं ओर। दो संबंधित परिणाम पूछे जाते हैं: x = ±A/√2 पर KE = PE, और पूरे चक्र में औसत गतिज ऊर्जा औसत स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है, प्रत्येक कुल का आधा।
मानक दोलक
तंत्रआवर्तकालकिस पर निर्भर
स्प्रिंग–द्रव्यमानT = 2π√(m/k)द्रव्यमान व दृढ़ता; गुरुत्व से अप्रभावित, अतः ऊर्ध्वाधर व क्षैतिज में समान
सरल दोलकT = 2π√(l/g)केवल लंबाई व g पर — द्रव्यमान या (छोटे कोणों हेतु) आयाम पर नहीं
श्रेणी में स्प्रिंग1/k_eff = 1/k₁ + 1/k₂दोनों से नरम — समांतर प्रतिरोधकों जैसा
समांतर में स्प्रिंगk_eff = k₁ + k₂दोनों से कठोर
🎯 लिफ्ट में दोलक का आवर्तकाल क्यों बदलता है परंतु स्प्रिंग का नहीं
दोलक का प्रत्यानयन बल गुरुत्व का स्पर्शरेखीय घटक ही है, अतः जो कुछ प्रभावी g बदले वह आवर्तकाल बदलता है: ऊपर त्वरित लिफ्ट में T = 2π√(l/(g+a)) और घड़ी तेज़ चलती है, नीचे त्वरित होने पर धीमी, और मुक्त पतन में दोलक दोलन पूर्णतः बंद कर देता है क्योंकि कोई प्रत्यानयन बल शेष नहीं। स्प्रिंग भिन्न है — उसका प्रत्यानयन बल स्वयं स्प्रिंग से आता है, और गुरुत्व केवल साम्य स्थिति नीचे खिसकाता है, k बदले बिना। अतः T = 2π√(m/k) लिफ्ट में, चंद्रमा पर व कक्षा में समान रूप से लागू है। यह युग्म लगभग प्रति वर्ष पूछा जाता है, और "मुक्त पतन में दोलक" स्मरणीय स्थिति है: T अनंत हो जाता है।

तरंगें, चाल व अप्रगामी तरंगें

प्रगामी तरंग y = A sin(ωt − kx) लिखी जाती है, जहाँ k = 2π/λ तरंग संख्या है, और उसकी चाल v = ω/k = fλ है। चाल के विषय में दो तथ्य अधिकांश कार्य करते हैं: वह माध्यम से निश्चित होती है, स्रोत से नहीं, और अतः आवृत्ति बदलने पर अचर रहती है।

भिन्न माध्यमों में तरंग चाल
तरंगचाल
तनी डोरी पर अनुप्रस्थ तरंगv = √(T/μ), जहाँ μ प्रति एकांक लंबाई द्रव्यमान
गैस में ध्वनिv = √(γP/ρ) = √(γRT/M) — अतः v ∝ √T
ठोस में ध्वनिv = √(Y/ρ), जहाँ Y यंग मापांक
⚠️ ध्वनि की चाल दाब पर निर्भर नहीं है
सूत्र v = √(γP/ρ) ऐसा दिखता है जैसे दाब बढ़ाने से चाल बढ़नी चाहिए, और यह इस प्रकरण की सर्वाधिक विश्वसनीय रूप से लगाई गई चाल है। परंतु निश्चित ताप पर गैस हेतु P बढ़ाने से ρ ठीक उसी अनुपात में बढ़ता है, अतः P/ρ अपरिवर्तित और v अपरिवर्तित। जो वास्तव में v बदलता है वह ताप है, v ∝ √T के माध्यम से, इसीलिए गर्म दिन ध्वनि तेज़ चलती है। दो अन्य वास्तविक निर्भरताएँ: v ∝ 1/√M, अतः हल्की गैस में ध्वनि तेज़ है — हाइड्रोजन में ऑक्सीजन से लगभग तीन गुना — और आर्द्रता चाल थोड़ी बढ़ाती है, क्योंकि जलवाष्प शुष्क वायु से हल्की है।
नलियों व डोरियों में अप्रगामी तरंगें
तंत्रमूल स्वरकउपस्थित संनादी
दोनों सिरों पर बद्ध डोरीf₁ = v/2Lसभी पूर्णांक गुणज: f₁, 2f₁, 3f₁ …
खुली ऑर्गन नलीf₁ = v/2Lसभी पूर्णांक गुणज
बंद ऑर्गन नलीf₁ = v/4L — एक अष्टक नीचेकेवल विषम गुणज: f₁, 3f₁, 5f₁ …
🧠 बंद नली एक अष्टक नीचे क्यों बजती है व सम संनादी क्यों छोड़ती है
बंद सिरा निस्पंद होना चाहिए (वहाँ वायु चल नहीं सकती) और खुला सिरा प्रस्पंद। निस्पंद-से-प्रस्पंद में बैठने वाला सबसे छोटा प्रतिरूप तरंगदैर्घ्य का चौथाई है, अतः L = λ/4 और f₁ = v/4L — उसी लंबाई की खुली नली की आवृत्ति का आधा, जो ठीक एक अष्टक नीचे है। प्रतिरूप जारी रखने पर केवल विषम चौथाई-तरंगदैर्घ्य बैठते हैं, अतः केवल विषम संनादी अस्तित्व में हैं। यह केवल सूत्र नहीं: इसीलिए उसी लंबाई की बाँसुरी (प्रभावतः खुली) व बंद नली के स्वर-गुण श्रवणीय रूप से भिन्न हैं, क्योंकि अनुपस्थित सम संनादी स्वर-गुणवत्ता बदल देते हैं। परीक्षा में संकेत "एक सिरे पर बंद" शब्द हैं, और बचने योग्य दो त्रुटियाँ v/2L प्रयोग करना व 2f₁ सम्मिलित करना हैं।

विस्पंद व डॉप्लर प्रभाव

लगभग समान आवृत्ति की दो तरंगें अध्यारोपित होकर प्रबलता में मंद उतार-चढ़ाव देती हैं, और विस्पंद आवृत्ति केवल |f₁ − f₂| है। विस्पंद से ही कोई वादक वाद्य मिलाता है: दोनों आवृत्तियाँ निकट आने पर विस्पंद धीमे होते हैं, और पूर्ण मेल पर लुप्त हो जाते हैं।

🧠 विस्पंद अंतर बताते हैं परंतु कौन ऊँचा है यह नहीं — जब तक आप एक न बदलें
256 Hz का स्वरित्र किसी अज्ञात डोरी के साथ बजाने पर प्रति सेकंड 4 विस्पंद देता है। डोरी 252 या 260 Hz है, और केवल विस्पंद आवृत्ति उनमें भेद नहीं कर सकती, क्योंकि वह निरपेक्ष अंतर है। मानक विधि है उनमें से एक को थोड़ा बदलकर देखना: यदि आप स्वरित्र पर मोम लगाएँ तो उसकी आवृत्ति गिरती है, और यदि तत्पश्चात् विस्पंद धीमे हों तो डोरी स्वरित्र से नीचे होनी चाहिए, जबकि तेज़ हों तो डोरी ऊपर है। इसी प्रकार डोरी कसने से उसकी आवृत्ति बढ़ती है। लगभग प्रत्येक विस्पंद प्रश्न वास्तव में यही जाँच रहा है कि आप जानते हैं या नहीं कि अंतर का चिह्न दूसरे प्रयोग से खोजना होता है।

ध्वनि हेतु डॉप्लर प्रभाव प्रेक्षित आवृत्ति f′ = f (v ± v_o)/(v ∓ v_s) देता है, जहाँ v ध्वनि की चाल, v_o प्रेक्षक की चाल व v_s स्रोत की। चिह्न रटने के बजाय भौतिक नियम स्मरण रखें: निकट आना आवृत्ति बढ़ाता है, दूर जाना घटाता है, और तत्पश्चात् चिह्न ऐसे चुनें कि बीजगणित उससे सहमत हो।

⚠️ डॉप्लर विस्थापन हेतु स्रोत व प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश गति चाहिए
केवल दृष्टि-रेखा के अनुदिश वेग का घटक विस्थापन उत्पन्न करता है। अतः केंद्र पर स्थिर प्रेक्षक के चारों ओर वृत्त में चलता स्रोत तनिक भी डॉप्लर विस्थापन नहीं देता, वह कितना ही तेज़ चले, क्योंकि उसकी दूरी कभी नहीं बदलती। इसी प्रकार, गुज़रती रेलगाड़ी जिस क्षण ठीक आपके बराबर होती है, विस्थापन क्षण भर हेतु शून्य होता है, इसीलिए गुज़रते समय तारत्व छलाँग लगाने के बजाय वास्तविक आवृत्ति से होकर गिरता है। दो अन्य बातें पूछी जाती हैं: पवन v बदलता है, v_s या v_o नहीं — आप संचरण की दिशा में पवन की चाल ध्वनि की चाल में जोड़ते हैं — और यदि स्रोत व प्रेक्षक समान वेग से चलें तो कोई विस्थापन नहीं, क्योंकि उनका पृथक्करण अचर है।
ℹ️ अध्यारोपण क्या देता है: व्यतिकरण, निस्पंद व परावर्तन
अध्यारोपण केवल विस्थापन जोड़ता है। समान कला की तरंगें जुड़कर संपोषी व्यतिकरण देती हैं, आयाम A₁ + A₂ व तीव्रता ∝ (A₁+A₂)²; विपरीत कला की तरंगें विनाशी व्यतिकरण देती हैं। चूँकि तीव्रता आयाम के वर्ग के अनुपात में है, समान कला की दो समान तरंगें एक की चार गुनी तीव्रता देती हैं, दोगुनी नहीं — प्रिय प्रश्न। पथांतर कलांतर में Δφ = 2πΔx/λ से बदलता है, अतः संपोषी व्यतिकरण हेतु Δx = nλ व विनाशी हेतु (n + ½)λ चाहिए। एक अन्य स्मरणीय परिणाम: घने माध्यम या दृढ़ सिरे से परावर्तित तरंग π का कला-प्रतिवर्तन भोगती है, जबकि विरल या मुक्त सिरे से परावर्तन नहीं — इसीलिए सिरे पर बद्ध डोरी में वहाँ निस्पंद होता है।

मुख्य बिंदु

  • SHM, F = −kx से परिभाषित; तत्पश्चात् ω = √(k/m), a = −ω²x व v = ω√(A² − x²)।
  • माध्य स्थिति पर चाल अधिकतम व त्वरण शून्य; सिरों पर उलटा।
  • ऊर्जा 2f पर दोलन करती है जबकि विस्थापन f पर; x = ±A/√2 पर KE = PE।
  • दोलक T = 2π√(l/g) — द्रव्यमान-निरपेक्ष, व मुक्त पतन में अनंत। स्प्रिंग T = 2π√(m/k) — g से अप्रभावित।
  • v = fλ, माध्यम से निश्चित: डोरी पर √(T/μ), गैस में √(γRT/M)।
  • ध्वनि की चाल दाब से स्वतंत्र है परंतु √T व 1/√M के अनुपात में चलती है।
  • बंद नली: f₁ = v/4L, केवल विषम संनादी। खुली नली व डोरी: v/2L, सभी संनादी।
  • विस्पंद आवृत्ति = |f₁ − f₂|, अतः कौन ऊँचा है यह दूसरे परीक्षण से (मोम स्वरित्र की आवृत्ति घटाता है)।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक सरल दोलक मुक्त पतन में गिरती लिफ्ट के भीतर ले जाया जाता है। उसका आवर्तकाल हो जाता है:

    1. अपरिवर्तित
    2. आधा
    3. अनंत — वह दोलन बंद कर देता है
    4. दोगुना
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — अनंत — वह दोलन बंद कर देता है

    दोलक का प्रत्यानयन बल गुरुत्व का स्पर्शरेखीय घटक है, अतः प्रभावी g = 0 पर कोई प्रत्यानयन बल ही नहीं और T = 2π√(l/g) अनंत हो जाता है — गोलक जहाँ रखा जाए वहीं तैरता है। ध्यान दें कि स्प्रिंग–द्रव्यमान तंत्र पूर्णतः अप्रभावित रहता, क्योंकि उसका प्रत्यानयन बल गुरुत्व के बजाय स्प्रिंग से आता है।

  2. यदि किसी गैस का दाब अचर ताप पर दोगुना किया जाए, तो उसमें ध्वनि की चाल:

    1. दोगुनी हो जाती है
    2. √2 गुनी हो जाती है
    3. अपरिवर्तित रहती है
    4. आधी हो जाती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — अपरिवर्तित रहती है

    यद्यपि v = √(γP/ρ) दाब पर निर्भर दिखता है, अचर ताप पर P दोगुना करने से ρ ठीक उसी अनुपात में दोगुना होता है, अतः P/ρ और इसलिए v अपरिवर्तित। जो वास्तव में चाल बदलता है वह ताप है, क्योंकि v ∝ √T, और मोलर द्रव्यमान, क्योंकि v ∝ 1/√M।

  3. एक सिरे पर बंद नली व उसी लंबाई की खुली नली बजाई जाती हैं। बंद नली की मूल आवृत्ति है:

    1. खुली नली के समान
    2. खुली नली की दोगुनी
    3. खुली नली की आधी
    4. खुली नली की चार गुनी
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — खुली नली की आधी

    बंद सिरा निस्पंद व खुला सिरा प्रस्पंद है, अतः सबसे छोटा मेल L = λ/4 और f₁ = v/4L है, खुली नली के v/2L के विरुद्ध — ठीक आधा, एक अष्टक नीचे। बंद नली केवल विषम संनादी भी उत्पन्न करती है, इसीलिए उसका स्वर-गुण उसी तारत्व की खुली नली से श्रवणीय रूप से भिन्न है।

  4. एक ध्वनि स्रोत अचर चाल से वृत्त में चलता है, प्रेक्षक केंद्र पर स्थिर है। प्रेक्षक सुनता है:

    1. निरंतर बढ़ता तारत्व
    2. आवृत्ति में तनिक भी परिवर्तन नहीं
    3. क्रमशः बढ़ता व घटता तारत्व
    4. v/(v − v_s) गुणक से बढ़ी आवृत्ति
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — आवृत्ति में तनिक भी परिवर्तन नहीं

    केवल स्रोत व प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश वेग का घटक डॉप्लर विस्थापन देता है, और प्रेक्षक के परितः वृत्तीय गति हेतु वह घटक सदा शून्य है — दूरी कभी नहीं बदलती। यह मानक परीक्षण है कि अभ्यर्थी ने प्रभाव समझा है या केवल सूत्र रटा है।

  5. SHM में गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है जब विस्थापन हो:

    1. A/2
    2. A/√2
    3. A
    4. शून्य
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — A/√2

    PE = ½kx² व कुल ऊर्जा = ½kA², अतः PE कुल का आधा तब होता है जब ½kx² = ¼kA², जो x = A/√2 देता है। लुभावना A/2, PE को कुल का केवल चौथाई बनाएगा, क्योंकि ऊर्जा विस्थापन के वर्ग पर निर्भर है, स्वयं विस्थापन पर नहीं।

  6. 256 Hz का स्वरित्र किसी डोरी के साथ प्रति सेकंड 4 विस्पंद देता है। स्वरित्र पर मोम लगाने पर विस्पंद धीमे हो जाते हैं। डोरी की आवृत्ति है:

    1. 260 Hz
    2. 252 Hz
    3. 256 Hz
    4. 248 Hz
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 252 Hz

    मोम स्वरित्र को 256 Hz से नीचे लाता है। यदि विस्पंद धीमे हों, तो अंतर घटा है, अतः डोरी स्वरित्र से नीचे होनी चाहिए — 252 Hz पर। डोरी 260 Hz पर होती तो अंतर बढ़ता और विस्पंद तेज़ होते। केवल विस्पंद आवृत्ति |f₁ − f₂| ही देती है, अतः चिह्न निश्चित करने हेतु सदा दूसरा प्रेक्षण चाहिए।

  7. समान कला की दो सर्वसम तरंगें अध्यारोपित होती हैं। एक तरंग की तुलना में परिणामी तीव्रता है:

    1. दोगुनी
    2. चार गुनी
    3. समान
    4. √2 गुनी
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — चार गुनी

    समान कला की तरंगों हेतु आयाम जुड़ते हैं, जो 2A देता है, और तीव्रता आयाम के वर्ग के अनुपात में है, अतः I ∝ (2A)² = 4A² — चार गुनी। लुभावना "दोगुनी" तीव्रताएँ सीधे जोड़ने से आता है, जो केवल असंगत स्रोतों हेतु वैध है जहाँ तरंगों का कोई निश्चित कला-संबंध नहीं।

  8. k₁ व k₂ दृढ़ता की दो स्प्रिंग श्रेणी में जोड़ी जाती हैं और एक द्रव्यमान लगाया जाता है। प्रभावी दृढ़ता है:

    1. k₁ + k₂
    2. k₁k₂/(k₁ + k₂)
    3. (k₁ + k₂)/2
    4. √(k₁k₂)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — k₁k₂/(k₁ + k₂)

    श्रेणी में समान तनाव हेतु विस्तार जुड़ते हैं, अतः 1/k_eff = 1/k₁ + 1/k₂, जो k₁k₂/(k₁+k₂) देता है — दोनों स्प्रिंगों से नरम, जो उपयोगी जाँच है। विकल्प 1 समांतर परिणाम है, जहाँ स्प्रिंग भार बाँटती हैं और व्यवस्था दोनों से कठोर होती है; प्रतिरूप प्रतिरोधकों का उलटा है।