गुरुत्वाकर्षण — क्षेत्र, विभव, कक्षाएँ व पलायन

गुरुत्वाकर्षण छोटा अध्याय है जो विश्वसनीय रूप से एक-दो प्रश्न देता है, और वह असामान्य रूप से उदार है क्योंकि लगभग सब कुछ एक व्युत्क्रम-वर्ग नियम तथा एक ऊर्जा समीकरण से निकलता है। जहाँ विद्यार्थी अंक खोते हैं वे दोनों स्थान चिह्नों व संदर्भ बिंदुओं के विषय में हैं: गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक है, जो अशुद्ध लगता है जब तक आप न देखें कि शून्य कहाँ चुना गया, और किसी कक्षा की कुल ऊर्जा भी ऋणात्मक है, और "बद्ध" का अर्थ ठीक यही है। उन दोनों को ठीक कर लें और कक्षीय यांत्रिकी, पलायन वेग व उपग्रह ऊर्जा-विज्ञान सब एक गणना बन जाते हैं।

न्यूटन का नियम व g का परिवर्तन

बिंदु द्रव्यमानों का प्रत्येक युग्म उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश F = Gm₁m₂/r² से आकर्षित करता है, जहाँ G = 6.67 × 10⁻¹¹ N·मी²/किग्रा² एक सार्वत्रिक नियतांक है। उसे पृथ्वी पर लगाने से सतह पर g = GM/R² मिलता है, और अगली पूरी तालिका वही है जो उस सतह से हटने पर होता है।

g स्थिति के साथ कैसे बदलता है
कहाँमानव्यवहार
सतह से h ऊँचाई परg_h = g R²/(R+h)² ≈ g(1 − 2h/R), h ≪ R हेतुव्युत्क्रम-वर्ग रूप में घटता है
सतह से d गहराई परg_d = g(1 − d/R)रेखीय रूप से घटता है, केंद्र पर ठीक शून्य
अक्षांश के साथg_λ = g − ω²R cos²λध्रुवों पर अधिकतम, भूमध्य रेखा पर न्यूनतम
🎯 नीचे जाने पर g रेखीय व ऊपर जाने पर वर्गीय रूप से क्यों घटता है
सतह के ऊपर पूरा द्रव्यमान M आपसे नीचे रहता है और दूरी बढ़ती है, अतः g ∝ 1/r² — सरल व्युत्क्रम वर्ग। सतह के नीचे कुछ भिन्न होता है: पदार्थ का कोई कोश अपने भीतर की किसी वस्तु पर कोई नेट गुरुत्वीय बल नहीं लगाता, अतः आपकी गहराई से ऊपर के कोश का सारा द्रव्यमान तनिक भी योगदान नहीं देता। केवल आपके नीचे का गोला खींचता है, और उसका द्रव्यमान r³ के अनुपात में बढ़ता है जबकि व्युत्क्रम वर्ग r² से भाग देता है, जिससे g ∝ r रह जाता है। अतः g केंद्र पर शून्य से रेखीय रूप से बढ़कर सतह पर अधिकतम होता है, तत्पश्चात् बाहर व्युत्क्रम-वर्ग रूप में घटता है। एक सामान्य परीक्षा-चाल "h ऊँचाई पर" को "h गहराई पर" के साथ रखकर पूछती है कि कौन छोटा g देता है: छोटे h हेतु उत्तर g(1 − 2h/R) व g(1 − h/R) हैं, अतः ऊँचाई, गहराई से दोगुनी तेज़ी से g घटाती है।

विभव, स्थितिज ऊर्जा व ऋणात्मक चिह्न

चार राशियाँ जिन्हें भ्रमित करना सरल है
राशिव्यंजकप्रकृति
क्षेत्र तीव्रताE = GM/r²सदिश, N/kg — g के समान
विभवV = −GM/rअदिश, J/kg
m द्रव्यमान की स्थितिज ऊर्जाU = −GMm/rअदिश, J
उनके बीच संबंधE = −dV/drक्षेत्र, विभव की ऋणात्मक प्रवणता है
🎯 स्थितिज ऊर्जा ऋणात्मक क्यों है, और वह आपको क्या देती है
गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा का शून्य अनंत पृथक्करण पर चुना जाता है, जहाँ दोनों पिंड परस्पर क्रिया नहीं करते। किसी द्रव्यमान को अनंत से r दूरी पर लाने का अर्थ है गुरुत्व उस पर धनात्मक कार्य करता है, अतः उसकी स्थितिज ऊर्जा शून्य से नीचे गिरती है — इसीलिए U = −GMm/r। चिह्न केवल स्वीकार करने योग्य परंपरा नहीं; वह सूचना रखता है। ऋणात्मक कुल ऊर्जा का अर्थ बद्ध, धनात्मक का अर्थ मुक्त, और शून्य ठीक सीमा-रेखा है। अतः आप "क्या यह वस्तु पलायन करेगी?" का उत्तर केवल उसकी कुल ऊर्जा का चिह्न निकालकर दे सकते हैं। यह भी ध्यान दें कि परिचित U = mgh इसका केवल सतह-निकट सन्निकटन है: वह R की तुलना में छोटी ऊँचाई पर U के परिवर्तन को मापता है, सुविधा हेतु शून्य को भूमि पर हटाकर।

उपग्रह, कक्षीय चाल व पलायन वेग

r त्रिज्या की वृत्तीय कक्षा में उपग्रह हेतु गुरुत्व ठीक अभिकेंद्री बल देता है: GMm/r² = mv²/r, जो v_कक्षा = √(GM/r) देता है। प्रत्येक अन्य कक्षीय परिणाम उसी एक पंक्ति तथा U = −GMm/r से निकलता है।

उपग्रह ऊर्जा तालिका — एक बार व्युत्पन्न कर स्मरण रखने योग्य
राशिमानटिप्पणी
कक्षीय चालv = √(GM/r)उपग्रह के द्रव्यमान से स्वतंत्र
गतिज ऊर्जाKE = +GMm/2r—
स्थितिज ऊर्जाU = −GMm/rU = −2 × KE
कुल ऊर्जाE = −GMm/2rऋणात्मक → बद्ध। E = −KE
आवर्तकालT² = 4π²r³/GMकेपलर का तृतीय नियम, T² ∝ r³
पलायन वेगv_e = √(2GM/R) = √(2gR) ≈ 11.2 किमी/सेसमान त्रिज्या पर v_e = √2 × v_कक्षा
🧠 √2 संबंध, और पलायन वेग की कोई दिशा क्यों नहीं
पलायन हेतु कुल ऊर्जा ≥ 0 चाहिए, अतः ½mv² = GMm/R देता है v_e = √(2GM/R), जो उस त्रिज्या पर कक्षीय चाल का ठीक √2 गुना है। वह एक संबंध अनेक प्रश्नों का उत्तर एक चरण में देता है — निम्न कक्षा में उपग्रह को पलायन हेतु अपनी चाल लगभग 1.41 से गुणा करनी है, 2 से नहीं। दो अन्य बातें पूछी जाती हैं। पलायन वेग चाल है, वेग नहीं: चूँकि गुरुत्व संरक्षी है, केवल परिमाण महत्वपूर्ण है और प्रक्षेपण की दिशा अप्रासंगिक (वायुमंडल व भूमि छोड़कर)। और v_e पलायन करती वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र है, अतः अंतरिक्ष यान व कंकड़ दोनों को वही 11.2 किमी/से चाहिए — इसीलिए यह आँकड़ा रॉकेट के बजाय पृथ्वी का गुण बताया जाता है।
⚠️ ऊर्जा खोता उपग्रह तेज़ हो जाता है
निम्न कक्षा में वायु-प्रतिरोध ऊर्जा हटाता है, अतः E = −GMm/2r अधिक ऋणात्मक होता है, अतः r घटता है — और चूँकि v = √(GM/r), छोटा r बड़ी चाल देता है। अतः घर्षण उपग्रह को तेज़ कर देता है, जो विरोधाभास लगता है और नहीं है: कक्षा सिकुड़ती है, स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा के बढ़ने से अधिक घटती है, और कुल तब भी नीचे जाता है। पकड़ने योग्य संबंध यह है कि गतिज ऊर्जा बढ़ती है जबकि कुल ऊर्जा घटती है, और दोनों E = −KE से जुड़े हैं। वही तर्क समझाता है कि निम्न कक्षा का उपग्रह सदा ऊपर वाले से अधिक तेज़ और छोटे आवर्तकाल से घूमता है।
ℹ️ भू-स्थैतिक कक्षा, व अंतरिक्ष यान में भारहीनता
भू-स्थैतिक उपग्रह का आवर्तकाल ठीक 24 घंटे होना चाहिए, उसे विषुवतीय तल में घूमना चाहिए, और पृथ्वी के घूर्णन के साथ पश्चिम से पूर्व जाना चाहिए — तीनों शर्तें, केवल आवर्तकाल नहीं। T = 24 घं को T² = 4π²r³/GM में रखने पर केंद्र से r ≈ 42,200 किमी मिलता है, सतह से लगभग 36,000 किमी ऊपर। इसके विपरीत ध्रुवीय उपग्रह निम्न कक्षा में ध्रुवों से गुज़रता है, अतः प्रत्येक चक्र में भिन्न पट्टी देखता है और संचार के बजाय प्रतिबिंबन व मौसम हेतु प्रयुक्त होता है। अंत में, अंतरिक्ष यात्री गुरुत्व के अभाव से नहीं तैरते — 400 किमी पर g अब भी लगभग 8.7 मी/से² है — बल्कि इसलिए कि वे व स्टेशन साथ मुक्त पतन में हैं, अतः उनके बीच अभिलंब बल शून्य है। भारहीनता संपर्क बल का अभाव है, गुरुत्व का नहीं।

मुख्य बिंदु

  • F = Gm₁m₂/r² व g = GM/R²; G सार्वत्रिक है, g ग्रह व स्थिति का गुण है।
  • ऊपर जाने पर g ∝ 1/r²; नीचे जाने पर g = g(1 − d/R), केंद्र पर रेखीय रूप से शून्य तक।
  • कोश अपने भीतर कोई नेट गुरुत्वीय बल नहीं लगाता — इसीलिए सतह के नीचे g रेखीय रूप से घटता है।
  • V = −GM/r व U = −GMm/r, शून्य अनंत पर; ऋणात्मक कुल ऊर्जा का अर्थ बद्ध कक्षा।
  • उपग्रह हेतु: KE = GMm/2r, U = −2KE, तथा कुल E = −KE = −GMm/2r।
  • v_कक्षा = √(GM/r) व v_पलायन = √(2gR) ≈ 11.2 किमी/से — ठीक √2 का गुणक, व द्रव्यमान-निरपेक्ष।
  • प्रतिरोध से ऊर्जा खोता उपग्रह भीतर सर्पिल होकर तेज़ हो जाता है, क्योंकि v = √(GM/r)।
  • भू-स्थैतिक हेतु तीनों चाहिए: 24-घंटे आवर्तकाल, विषुवतीय तल, पश्चिम-से-पूर्व, ~36,000 किमी ऊँचाई पर।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. पृथ्वी के केंद्र पर g का मान (एकसमान मानते हुए) है:

    1. अधिकतम
    2. शून्य
    3. उसके सतह-मान का आधा
    4. अनंत
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — शून्य

    सतह के नीचे g = g(1 − d/R), और केंद्र पर d = R अतः g = 0। भौतिक रूप से, पदार्थ का कोश अपने भीतर कोई नेट बल नहीं लगाता, अतः केंद्र पर प्रत्येक दिशा समान रूप से द्रव्यमान से घिरी है और खिंचाव ठीक रद्द हो जाते हैं। g सतह पर अधिकतम है, केंद्र पर नहीं।

  2. पृथ्वी की सतह से पलायन वेग 11.2 किमी/से है। सतह के अत्यंत निकट उपग्रह की कक्षीय चाल लगभग है:

    1. 5.6 किमी/से
    2. 7.9 किमी/से
    3. 11.2 किमी/से
    4. 15.8 किमी/से
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 7.9 किमी/से

    समान त्रिज्या पर v_पलायन = √2 × v_कक्षा, अतः v_कक्षा = 11.2/√2 ≈ 7.9 किमी/से। लुभावना 5.6, √2 से भाग देने के बजाय आधा करने से आता है, और 15.8 ग़लत दिशा में √2 से गुणा करने से — पलायन दोनों में बड़ा होना ही चाहिए।

  3. स्थिर वृत्तीय कक्षा में उपग्रह की कुल ऊर्जा है:

    1. धनात्मक, उसकी गतिज ऊर्जा के बराबर
    2. ऋणात्मक, उसकी गतिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर
    3. शून्य
    4. ऋणात्मक, उसकी स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ऋणात्मक, उसकी गतिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर

    KE = GMm/2r व U = −GMm/r, अतः E = KE + U = −GMm/2r = −KE। ऋणात्मक चिह्न का अर्थ ही "बद्ध" है: E ≥ 0 वाली वस्तु पलायन कर जाती है। विकल्प 4 परिमाण भ्रमित करता है — |U|, |E| का दोगुना है, क्योंकि U = −2KE।

  4. निम्न कक्षा का उपग्रह वायुमंडलीय प्रतिरोध से धीरे-धीरे ऊर्जा खोता है। उसकी कक्षीय चाल:

    1. घटती है, क्योंकि वह ऊर्जा खो रहा है
    2. बढ़ती है, क्योंकि कक्षीय त्रिज्या सिकुड़ती है
    3. अचर रहती है
    4. बढ़ती है फिर घटती है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — बढ़ती है, क्योंकि कक्षीय त्रिज्या सिकुड़ती है

    ऊर्जा खोने से E = −GMm/2r अधिक ऋणात्मक होता है, जिसके लिए r को घटना होगा; और चूँकि v = √(GM/r), छोटा r बड़ा v देता है। स्थितिज ऊर्जा गतिज ऊर्जा के बढ़ने से अधिक घटती है, अतः कुल तब भी घटता है — गतिज ऊपर व कुल नीचे, यही संबंध पकड़ें, E = −KE के माध्यम से।

  5. भू-स्थैतिक उपग्रह हेतु कौन आवश्यकता नहीं है?

    1. 24 घंटे का आवर्तकाल
    2. विषुवतीय तल में कक्षा
    3. पश्चिम से पूर्व गति
    4. मानक संचार उपग्रह के बराबर द्रव्यमान
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — मानक संचार उपग्रह के बराबर द्रव्यमान

    कक्षीय त्रिज्या केवल आवर्तकाल पर निर्भर है, T² = 4π²r³/GM के माध्यम से, और उपग्रह का स्वयं का द्रव्यमान पूर्णतः रद्द हो जाता है — भारी व हल्का उपग्रह लगभग 36,000 किमी ऊँचाई पर वही भू-स्थैतिक कक्षा साझा करते हैं। अन्य तीनों शर्तें वास्तव में आवश्यक हैं, और आवर्तकाल पूरा करने परंतु विषुवतीय तल में न होने वाला उपग्रह स्थिर रहने के बजाय आठ का अंक बनाता है।

  6. छोटे h हेतु, h ऊँचाई पर g की कमी, h गहराई पर कमी की तुलना में है:

    1. समान
    2. दोगुनी
    3. आधी
    4. चार गुना
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — दोगुनी

    h ऊँचाई पर g ≈ g(1 − 2h/R); h गहराई पर g = g(1 − h/R)। अतः ऊपर जाना, नीचे जाने से दोगुनी तेज़ी से g घटाता है। अंतर इसलिए है कि सतह के ऊपर पूरा द्रव्यमान आपसे नीचे रहता है और व्युत्क्रम वर्ग कार्य करता है, जबकि नीचे कोश कुछ योगदान नहीं देता और केवल भीतरी गोला खींचता है।

  7. अंतरिक्ष यात्री अंतरराष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन के भीतर तैरते हैं क्योंकि:

    1. उस ऊँचाई पर गुरुत्व नहीं है
    2. वे व स्टेशन साथ मुक्त पतन में हैं, अतः संपर्क बल शून्य है
    3. स्टेशन गुरुत्व रद्द करने हेतु घूमता है
    4. कक्षा में उनका द्रव्यमान शून्य हो जाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — वे व स्टेशन साथ मुक्त पतन में हैं, अतः संपर्क बल शून्य है

    लगभग 400 किमी पर g अब भी लगभग 8.7 मी/से² है — गुरुत्व पूर्णतः उपस्थित है, और वही स्टेशन को कक्षा में रखता है। भारहीनता किसी अभिलंब बल का अभाव है, क्योंकि अंतरिक्ष यात्री व फ़र्श समान रूप से त्वरित होते हैं। द्रव्यमान अपरिवर्ती गुण है और कभी शून्य नहीं होता।

  8. दो उपग्रह किसी ग्रह के परितः r व 4r त्रिज्या पर घूमते हैं। उनके आवर्तकालों का अनुपात T₁ : T₂ है:

    1. 1 : 4
    2. 1 : 8
    3. 1 : 2
    4. 1 : 16
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1 : 8

    केपलर के तृतीय नियम से T² ∝ r³, अतः T ∝ r3/2 और अनुपात 1 : 43/2 = 1 : 8 है। लुभावना 1 : 4, T ∝ r लेने से आता है, और 1 : 16 तीन-बटा-दो घात के बजाय वर्ग करने से — घातांक जाँचना ही पूरा प्रश्न है।