घूर्णी गति — जड़त्व आघूर्ण, बल-आघूर्ण व लोटन
घूर्णन वह स्थान है जहाँ सूत्र रटकर यांत्रिकी सँभालने वाले विद्यार्थी अटक जाते हैं, और जिन्होंने सादृश्य समझा वे सरलता से निकल जाते हैं। प्रत्येक घूर्णी राशि वही स्थानांतरीय राशि है जिसमें द्रव्यमान के स्थान पर जड़त्व आघूर्ण और दूरी के स्थान पर कोण है: बल बल-आघूर्ण बनता है, संवेग कोणीय संवेग, ½mv² बनता है ½Iω²। यदि आप वह तालिका एक बार बना लें और उस पर भरोसा करें, तो अध्याय का अधिकांश अनुवाद का अभ्यास है। जिस बात पर वास्तव में ध्यान चाहिए वह है कि I अक्ष पर निर्भर है, केवल पिंड पर नहीं, और लोटन एक साथ दो गतियाँ हैं — और पर्चा ठीक वहीं अपने प्रश्न बनाती है।
स्थानांतरीय–घूर्णी शब्दकोश
| स्थानांतरण | घूर्णन | संबंध |
|---|---|---|
| द्रव्यमान m | जड़त्व आघूर्ण I | I = Σmᵢrᵢ² — अक्ष पर निर्भर |
| बल F | बल-आघूर्ण τ | τ⃗ = r⃗ × F⃗, परिमाण rF sin θ |
| संवेग p = mv | कोणीय संवेग L = Iω | L⃗ = r⃗ × p⃗ |
| F = ma | τ = Iα | पिंड के किसी बिंदु हेतु a = αr |
| गतिज ऊर्जा = ½mv² | गतिज ऊर्जा = ½Iω² | लोटन में दोनों होते हैं |
| W = Fs | W = τθ | P = τω |
| v = u + at | ω = ω₀ + αt | तीनों समीकरण सीधे अनूदित होते हैं |
⚠️ जड़त्व आघूर्ण पिंड **तथा** अक्ष का होता है
द्रव्यमान पिंड हेतु एक संख्या है। जड़त्व आघूर्ण नहीं — उसी छड़ का I उसके केंद्र के परितः ML²/12 और एक सिरे के परितः ML²/3 है, चार गुना बड़ा। अतः "किसी डिस्क का जड़त्व आघूर्ण" कहने वाला प्रश्न, अक्ष का नाम बिना, अपूर्ण है, और विकल्प-सूची में प्रायः ग़लत अक्ष हेतु शुद्ध सूत्र होगा। सदा पहले अक्ष खोजें, और जाँचें कि वही है जिसे मानक सूत्र मानता है। भौतिक कारण परिभाषा I = Σmᵢrᵢ² में है: अक्ष हटाने से प्रत्येक rᵢ बदलता है, और चूँकि दूरियाँ वर्गित हैं, अक्ष से दूर का द्रव्यमान प्रभावी होता है। इसीलिए समान द्रव्यमान व त्रिज्या के ठोस बेलन से खोखले बेलन का I बड़ा होता है।| पिंड | अक्ष | I |
|---|---|---|
| वलय / खोखला बेलन | केंद्र से, तल के ⊥ / अक्ष के अनुदिश | MR² |
| डिस्क / ठोस बेलन | केंद्र से, तल के ⊥ / अक्ष के अनुदिश | MR²/2 |
| ठोस गोला | व्यास | 2MR²/5 |
| खोखला गोला (कोश) | व्यास | 2MR²/3 |
| छड़ | केंद्र से, लंबाई के ⊥ | ML²/12 |
| छड़ | एक सिरे से, लंबाई के ⊥ | ML²/3 |
🧠 वे दो प्रमेय जो प्रत्येक अन्य मान उत्पन्न करते हैं
समांतर अक्ष: I = I_cm + Md², किसी भी ऐसे अक्ष हेतु जो द्रव्यमान केंद्र से जाने वाले अक्ष के समांतर और उससे d दूरी पर हो। छड़ पर जाँचें: ML²/12 + M(L/2)² = ML²/12 + ML²/4 = ML²/3, जो सिरे-अक्ष का मान है। ध्यान दें कि I_cm किसी दी गई दिशा में सदा न्यूनतम जड़त्व आघूर्ण है, क्योंकि d² कभी ऋणात्मक नहीं होता। लंब अक्ष: केवल समतलीय पिंड हेतु, I_z = I_x + I_y जहाँ z तल के लंबवत् है। डिस्क पर समिति से I_x = I_y, अतः MR²/2 = 2I_x और व्यास-अक्ष MR²/4 देता है। दो प्रमेय व छह मानक पिंड मूलतः प्रत्येक उस मान को समेट लेते हैं जो परीक्षा पूछती है।कोणीय संवेग व उसका संरक्षण
न्यूटन के द्वितीय नियम का घूर्णी रूप τ⃗_बाह्य = dL⃗/dt है। उसका तत्काल परिणाम इस अध्याय का सर्वाधिक उपयोगी एकल परिणाम है: यदि नेट बाह्य बल-आघूर्ण शून्य हो, तो L संरक्षित है, अतः I बदलने पर भी Iω अचर रहता है।
🎯 घूमती स्केटर तेज़ क्यों होती है — और उसकी गतिज ऊर्जा क्यों बढ़ती है
वह अपनी भुजाएँ भीतर खींचती है, जो I घटाता है, और चूँकि Iω निश्चित है, ω को बढ़ना ही होगा। I आधा करने पर ω दोगुना। अब गतिज ऊर्जा निकालें: KE = ½Iω² = L²/2I, अतः I आधा करने पर गतिज ऊर्जा दोगुनी हो जाती है। वह ऊर्जा कहाँ से आई? कहीं से नहीं — उसने अपनी मांसपेशियों से कार्य किया, भुजाएँ भीतर खींचते हुए उस बाह्य खिंचाव के विरुद्ध जो उसने अनुभव किया। यह प्रिय प्रश्न है क्योंकि विद्यार्थी मान लेते हैं कि यदि L संरक्षित है तो ऊर्जा भी होगी, और दोनों संरक्षण नियमों की शर्तें पूर्णतः भिन्न हैं: L को शून्य बाह्य बल-आघूर्ण चाहिए, ऊर्जा को असंरक्षी कार्य का अभाव। ½Iω² के बजाय KE = L²/2I लिखना संबंध तत्काल दिखा देता है।⚠️ बल शून्य न होने पर भी बल-आघूर्ण शून्य हो सकता है
चूँकि τ = rF sin θ, बल-आघूर्ण दो भिन्न प्रकारों से लुप्त होता है: बल अक्ष से होकर जाए (r = 0), या बल अक्ष से जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश हो (sin θ = 0)। यही केंद्रीय बलों को विशेष बनाता है — किसी ग्रह पर गुरुत्व सदा सूर्य की ओर होता है, अतः वह सूर्य के परितः कोई बल-आघूर्ण नहीं लगाता और ग्रह का कोणीय संवेग संरक्षित है, जो केपलर का द्वितीय नियम है। इसी प्रकार घुमाए जाते पत्थर की डोरी में तनाव केंद्र के परितः कोई बल-आघूर्ण नहीं लगाता। अतः जब प्रश्न पूछे कि L संरक्षित है या नहीं, तो बलों का अभाव न खोजें; बल-आघूर्ण का अभाव खोजें, जो बहुत दुर्बल व अधिक बार संतुष्ट होने वाली शर्त है।बिना सरकन लोटन
लोटन एक साथ स्थानांतरण व घूर्णन है, जो प्रतिबंध v_cm = ωR से बँधे हैं। अतः गतिज ऊर्जा के दो भाग हैं: KE = ½mv² + ½Iω², और I = kmR² (जहाँ ठोस गोले हेतु k = ⅖, डिस्क हेतु ½, वलय हेतु 1) रखने पर KE = ½mv²(1 + k) मिलता है।
| पिंड | I = kmR² में k | तल पर v = √(2gh/(1+k)) |
|---|---|---|
| ठोस गोला | 2/5 | √(10gh/7) — सर्वाधिक तेज़ |
| ठोस बेलन / डिस्क | 1/2 | √(4gh/3) |
| खोखला गोला | 2/3 | √(6gh/5) |
| वलय / खोखला बेलन | 1 | √(gh) — सर्वाधिक धीमा |
🎯 द्रव्यमान व त्रिज्या क्यों निकल जाते हैं, और वलय सदा क्यों हारता है
v = √(2gh/(1+k)) देखें: उसमें कोई m नहीं और कोई R नहीं। एक कंचा व एक तोप का गोला, यदि दोनों ठोस गोले हों, साथ तल पर पहुँचते हैं — और बड़ा वलय छोटे गोले से हारता है, परंतु बड़े गोले से भी। एकमात्र महत्वपूर्ण बात k है, अक्ष के सापेक्ष द्रव्यमान का वितरण। वलय अपना सारा द्रव्यमान त्रिज्या R पर रखता है, अतः उसका k सर्वाधिक है, अतः मुक्त हुई स्थितिज ऊर्जा का सर्वाधिक अंश आगे बढ़ने के बजाय घूमने में जाता है, और वह अंत में पहुँचता है। यह वास्तव में विपरीत-सहज परिणाम है और लगभग प्रति वर्ष पूछा जाता है, सामान्यतः "कौन पहले तल पर पहुँचता है" रूप में, जहाँ भिन्न द्रव्यमान व त्रिज्या के चार पिंड आपको एक अनावश्यक गणना में फँसाने हेतु दिए जाते हैं।⚠️ लोटन में घर्षण कार्य नहीं करता — परंतु वह अनिवार्य है
दो तथ्य असहज रूप से साथ बैठते हैं और दोनों सत्य हैं। लोटन को घर्षण चाहिए: उसके बिना पिंड लोटने के बजाय सरकेगा, क्योंकि घर्षण ही वह बल-आघूर्ण देता है जो उसे घुमाता है। फिर भी बिना सरकन शुद्ध लोटन में घर्षण कोई कार्य नहीं करता, क्योंकि संपर्क बिंदु का तात्क्षणिक वेग शून्य है — संपर्क पर कोई सरकन नहीं जिसे घर्षण क्षय करे। इसीलिए आप लोटते पिंड पर ऊर्जा संरक्षण स्वतंत्र रूप से प्रयोग कर सकते हैं यद्यपि घर्षण बल उपस्थित है, जो पहली बार अशुद्ध लगता है और प्रश्न का अभिप्राय वही है। सरकन आरंभ होते ही यह टूट जाता है: तब गतिज घर्षण वास्तव में सरकते संपर्क पर लगता है, ऊर्जा क्षय होती है, और v_cm = ωR लागू नहीं रहता।मुख्य बिंदु
- घूर्णन स्थानांतरण का प्रतिबिंब है: m→I, F→τ, p→L, ½mv²→½Iω², और गति के तीनों समीकरण अनूदित होते हैं।
- I अक्ष पर निर्भर है, केवल पिंड पर नहीं — छड़ केंद्र के परितः ML²/12 व सिरे के परितः ML²/3।
- समांतर अक्ष: I = I_cm + Md²। लंब अक्ष (केवल समतलीय पिंड): I_z = I_x + I_y।
- वलय MR², डिस्क MR²/2, ठोस गोला 2MR²/5, कोश 2MR²/3।
- बल अक्ष से होकर जाए या उसकी रेखा के अनुदिश हो तो τ = 0 — इसीलिए केपलर का द्वितीय नियम।
- L संरक्षित का अर्थ ऊर्जा संरक्षित नहीं: KE = L²/2I, अतः I आधा करने पर गतिज ऊर्जा दोगुनी।
- लोटन: v_cm = ωR व KE = ½mv²(1+k); ढाल पर v = √(2gh/(1+k)), जिसमें कोई m या R नहीं।
- ठोस गोला दौड़ जीतता है, वलय हारता है, और द्रव्यमान व त्रिज्या अप्रासंगिक — केवल k महत्वपूर्ण।
अभ्यास प्रश्न (8)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
M द्रव्यमान व L लंबाई की एकसमान छड़ का, एक सिरे से जाते लंबाई के लंबवत् अक्ष के परितः जड़त्व आघूर्ण है:
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उत्तर: B — ML²/3
समांतर-अक्ष प्रमेय से I = I_cm + Md² = ML²/12 + M(L/2)² = ML²/12 + ML²/4 = ML²/3। विकल्प 1 केंद्र के परितः मान है, जो इसलिए दिया गया कि अक्ष का नाम न लेने वाला प्रश्न ठीक इसी भेद की परीक्षा है — सिरे का मान केंद्र के मान का चार गुना है।समान द्रव्यमान व त्रिज्या के ठोस गोला, डिस्क व वलय समान ऊँचाई से उसी ढाल पर लोटते हैं। तल पर पहुँचने का क्रम है:
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उत्तर: B — गोला, डिस्क, वलय
चूँकि v = √(2gh/(1+k)), न्यूनतम k जीतता है: गोला (k = 2/5), फिर डिस्क (1/2), फिर वलय (1)। वलय अपना सारा द्रव्यमान त्रिज्या R पर रखता है, अतः मुक्त स्थितिज ऊर्जा का सर्वाधिक अंश आगे बढ़ने के बजाय घूमने में जाता है। सूत्र में द्रव्यमान व त्रिज्या आते ही नहीं।भुजाएँ फैलाकर घूमती स्केटर उन्हें भीतर खींचती है, जिससे उसका जड़त्व आघूर्ण आधा हो जाता है। उसका कोणीय वेग व गतिज ऊर्जा क्रमशः:
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उत्तर: B — दोगुना होता है व दोगुनी होती है
कोई बाह्य बल-आघूर्ण नहीं लगता, अतः L = Iω संरक्षित है और I आधा होने पर ω दोगुना। KE = L²/2I लिखने से दिखता है कि I आधा होने पर गतिज ऊर्जा भी दोगुनी होती है — जो उसकी मांसपेशियों द्वारा भुजाएँ भीतर खींचने में किए कार्य से आती है। L संरक्षित होने से ऊर्जा भी संरक्षित मान लेना मानक त्रुटि है: दोनों नियमों की शर्तें भिन्न हैं।सूर्य के परितः किसी ग्रह का कोणीय संवेग संरक्षित है क्योंकि:
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उत्तर: B — गुरुत्व केंद्रीय है, अतः वह सूर्य के परितः कोई बल-आघूर्ण नहीं लगाता
गुरुत्व निश्चित रूप से लगता है, परंतु वह सदा सूर्य तक की रेखा के अनुदिश होता है, अतः sin θ = 0 और सूर्य के परितः बल-आघूर्ण लुप्त हो जाता है। कोणीय संवेग संरक्षण को शून्य बल नहीं, शून्य बल-आघूर्ण चाहिए — और यह ठीक केपलर का द्वितीय नियम है, जो दीर्घवृत्तीय कक्षाओं हेतु लागू है और उसे वृत्त की आवश्यकता नहीं।क्षैतिज सतह पर बिना सरकन लोटते पिंड हेतु घर्षण द्वारा किया कार्य है:
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उत्तर: B — शून्य, क्योंकि संपर्क बिंदु का तात्क्षणिक वेग शून्य है
शुद्ध लोटन में संपर्क बिंदु तात्क्षणिक रूप से विराम में होता है, अतः घर्षण द्वारा क्षय हेतु कोई सरकन नहीं और कार्य शून्य है — इसीलिए लोटते पिंड पर ऊर्जा संरक्षण स्वतंत्र रूप से प्रयोग किया जा सकता है यद्यपि घर्षण उपस्थित व वास्तव में आवश्यक है। सरकन आरंभ होते ही यह असफल हो जाता है, क्योंकि संपर्क वास्तव में सरकता है।लंब-अक्ष प्रमेय I_z = I_x + I_y लागू है:
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उत्तर: B — केवल समतलीय (पटलीय) पिंडों पर
प्रमेय केवल समतल पटल हेतु लागू है, जहाँ z तल के लंबवत् और x, y उसमें स्थित हैं। डिस्क पर लगाने पर, जहाँ समिति से I_x = I_y, वह MR²/2 = 2I_x देता है और अतः व्यास के परितः MR²/4 — ऐसा मान जो इस प्रकार समाकलन से बहुत शीघ्र मिलता है।एक कंचा व एक तोप का गोला, दोनों ठोस गोले, समान ऊँचाई से उसी ढाल पर लोटते हैं। तल पर:
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उत्तर: C — दोनों की चाल समान है
v = √(2gh/(1+k)) में न द्रव्यमान है न त्रिज्या, और दोनों पिंड k = 2/5 वाले ठोस गोले हैं, अतः दोनों √(10gh/7) पर पहुँचते हैं। कोण बदलता है कि उन्हें कितना समय लगे, अंतिम चाल नहीं, जो केवल गिरी ऊँचाई पर निर्भर है। केवल द्रव्यमान का वितरण, k के माध्यम से, उत्तर बदल सकता है।न्यूटन के द्वितीय नियम F = ma का घूर्णी सादृश्य है:
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उत्तर: B — τ = Iα
द्रव्यमान जड़त्व आघूर्ण से और रेखीय त्वरण कोणीय त्वरण से मेल खाता है, जो τ = Iα देता है, या अधिक सामान्य रूप में τ = dL/dt। व्यंजक L = Iω संवेग p = mv का सादृश्य है, द्वितीय नियम का नहीं, और τ = Iω विमीय रूप से अशुद्ध है — एक उपयोगी जाँच।