कार्य, ऊर्जा, शक्ति, द्रव्यमान केंद्र व संघट्ट

यह अध्याय आपको यांत्रिकी के दो सर्वाधिक शक्तिशाली संक्षिप्त मार्ग देता है। ऊर्जा संरक्षण आपको आरंभिक अवस्था को अंतिम अवस्था से जोड़ने देता है, बीच के उलझे पथ को कभी छुए बिना, और संवेग संरक्षण आपको संघट्ट हल करने देता है, उसके दौरान लगे विशाल बलों के विषय में कुछ भी न जानते हुए। परंतु दोनों ऐसे संक्षिप्त मार्ग हैं जिन्हें अर्जित करना होता है, क्योंकि प्रत्येक की सटीक शर्त है: ऊर्जा केवल तब संरक्षित है जब कोई असंरक्षी बल कार्य न करे, और संवेग केवल तब जब कोई नेट बाह्य बल न लगे। ठीक-ठीक यह जानना कि प्रत्येक कब लागू होता है, उसके किसी भी सूत्र से अधिक अंकों का है।

कार्य — और वे स्थितियाँ जहाँ वह शून्य है

कार्य अदिश गुणनफल W = F⃗ · s⃗ = Fs cos θ है, जहाँ θ बल व विस्थापन के बीच का कोण है। परिवर्ती बल हेतु W = ∫F⃗ · ds⃗, जो बल–विस्थापन आलेख के नीचे का क्षेत्रफल है। अदिश गुणनफल होने के कारण कार्य अदिश है और चिह्न रखता है, और चिह्न पर ही अधिकांश अंक खोए जाते हैं।

कार्य कब शून्य है, और क्यों
स्थितिकारण
थैला क्षैतिज रूप से ले जानाऊपर की ओर बल क्षैतिज विस्थापन के लंबवत् है, अतः cos 90° = 0
वृत्तीय गति में अभिकेंद्री बलसदा वेग के लंबवत् — और ठीक इसीलिए चाल अचर रहती है
न हिलने वाली दीवार धकेलनाविस्थापन शून्य है, अतः W = 0, आप कितने ही थकें
सतह पर सरकते पिंड पर अभिलंब बलप्रत्येक क्षण गति के लंबवत्
वृत्तीय गति में डोरी में तनावत्रिज्या के अनुदिश, गति स्पर्शरेखा के अनुदिश
⚠️ घर्षण सदा ऋणात्मक कार्य नहीं करता
सर्वत्र दोहराया जाता है कि घर्षण गति का विरोध करता है और अतः ऋणात्मक कार्य करता है। सरकते पिंड हेतु यह सत्य है, परंतु चलती कन्वेयर बेल्ट पर रखे गुटके पर विचार करें। गुटके पर एकमात्र क्षैतिज बल घर्षण है और वह आगे की ओर लगता है, गुटके को बेल्ट की चाल तक त्वरित करता है — अतः घर्षण गुटके पर धनात्मक कार्य करता है। वही उस घर्षण पर लागू है जो कार चलाता है: उसके बिना पहिए घूमते रहते और कार चलती ही नहीं। विश्वसनीय कथन यह है कि घर्षण संपर्क सतह पर आपेक्षिक सरकन का विरोध करता है, और वह किसी विशेष पिंड पर धनात्मक या ऋणात्मक कार्य करता है यह इस पर निर्भर है कि आप कौन-सा पिंड देख रहे हैं और वह किस दिशा में चलता है।

दो प्रमेय, और ऊर्जा कब संरक्षित है

कार्य–ऊर्जा प्रमेय कहता है W_नेट = ΔKE = ½mv² − ½mu², और वह सदा सत्य है — किसी भी बल हेतु, संरक्षी हो या न हो, अचर हो या परिवर्ती। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण, KE + PE = अचर, बहुत संकुचित कथन है: वह केवल तब लागू है जब कार्य करने वाला प्रत्येक बल संरक्षी हो।

संरक्षी बनाम असंरक्षी बल
गुणसंरक्षी (गुरुत्व, स्प्रिंग, स्थिरवैद्युत)असंरक्षी (घर्षण, श्यानता, वायु प्रतिरोध)
कार्य किस पर निर्भरकेवल अंतिम बिंदुओं पर, पथ पर कभी नहींलिए गए पथ पर — लंबा पथ अधिक क्षय करता है
बंद लूप में कार्यठीक शून्यशून्येतर व सदा ऋणात्मक
स्थितिज ऊर्जा परिभाषित?हाँ — F = −dU/dxनहीं
🧠 जब पथ उलझा हो तब ऊर्जा प्रयोग करें
एक मणिका किसी मनमाने आकार के चिकने वक्र तार पर ऊँचाई h से नीचे सरकती है। बलों से अंतिम चाल निकालने हेतु वक्र का आकार, परिवर्ती अभिलंब बल व एक समाकलन चाहिए होगा। ऊर्जा से यह एक पंक्ति है: अभिलंब बल कोई कार्य नहीं करता क्योंकि वह सदा गति के लंबवत् है, अतः ½mv² = mgh और v = √(2gh) — आकार से पूर्णतः स्वतंत्र, और उस ऊँचाई से मुक्त पतन के समान। इस अध्याय की पूरी कला यही है: जब कोई प्रश्न आपको विचित्र पथ, दो ऊँचाइयाँ दे और चाल पूछे, तो उत्तर ऊर्जा संरक्षण है और आकार भ्रम है। परंतु शर्त ध्यान दें — तार रूखा होते ही घर्षण पथ-निर्भर कार्य करता है और तब आपको पथ की लंबाई चाहिए ही होगी।
🎯 शक्ति, और उच्च चाल पर कार तीव्र त्वरण क्यों नहीं कर सकती
शक्ति कार्य करने की दर है, P = dW/dt = F⃗ · v⃗। इस रूप में लिखने पर वह एक दैनिक बात समझाती है: अचर शक्ति देते इंजन का F = P/v होता है, अतः चाल बढ़ने पर उपलब्ध बल घटता है, और उसके साथ त्वरण। इसीलिए कार विराम से तेज़ी से निकलती है और अंतिम 20 किमी/घं पाने में संघर्ष करती है, और इसीलिए अधिकतम चाल तब आती है जब चालक बल घटकर प्रतिरोध के बराबर हो जाए। यही संबंध कारण है कि पहाड़ चढ़ता ट्रक निचले गियर में जाता है: अचर इंजन शक्ति पर कम चाल अधिक बल ख़रीदती है। इकाइयाँ ध्यान दें — 1 अश्व-शक्ति ≈ 746 W, और 1 kWh = 3.6 × 10⁶ J, जो शक्ति के बजाय ऊर्जा की व्यापारिक इकाई है।

द्रव्यमान केंद्र व संघट्ट

द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु है जो इस प्रकार चलता है जैसे सारा द्रव्यमान वहीं संकेंद्रित हो और सभी बाह्य बल उस पर लगें: x_cm = Σmᵢxᵢ / Σmᵢ। उसकी शक्ति एक परिणाम से आती है — यदि नेट बाह्य बल शून्य हो, तो द्रव्यमान केंद्र का वेग अचर रहता है, तंत्र के भाग एक-दूसरे के साथ कुछ भी करें।

🎯 फटते गोले के द्रव्यमान केंद्र का परवलय क्यों बना रहता है
उड़ान में एक गोला दर्जन टुकड़ों में फट जाता है। विस्फोट के बल विशाल हैं — परंतु वे आंतरिक हैं, और आंतरिक बल न्यूटन के तृतीय नियम से युग्मों में रद्द हो जाते हैं। अतः एकमात्र बाह्य बल अब भी गुरुत्व है, और सभी टुकड़ों का द्रव्यमान केंद्र ठीक मूल परवलय पर चलता रहता है जैसे कुछ हुआ ही न हो। यह प्रसिद्ध रूप से कठिन दिखते प्रश्न को सरल बना देता है: यदि गोला अपने पथ के शिखर पर दो समान टुकड़ों में फटे और एक टुकड़ा सीधा नीचे गिरे, तो दूसरे को ऐसे चलना होगा कि द्रव्यमान केंद्र अब भी वहीं गिरे जहाँ पूरा गोला गिरता। चूँकि द्रव्यमान केंद्र परास R पर गिरता है और एक आधा R/2 पर है, दूसरा आधा 3R/2 पर है। विस्फोट का कोई ज्ञान आवश्यक ही नहीं।
संघट्ट — प्रत्येक में क्या संरक्षित है
प्रकारसंवेगगतिज ऊर्जाe
पूर्णतः प्रत्यास्थसंरक्षितसंरक्षित1
अप्रत्यास्थसंरक्षितसंरक्षित नहीं — कुछ ऊष्मा व ध्वनि बनती है0 < e < 1
पूर्णतः अप्रत्यास्थसंरक्षितअधिकतम संभव क्षय; पिंड साथ चलते हैं0

प्रत्यावस्थान गुणांक e = (पृथक्करण का आपेक्षिक वेग) / (अभिगमन का आपेक्षिक वेग) है। संवेग प्रत्येक संघट्ट में संरक्षित है, प्रत्यास्थ हो या न हो, क्योंकि संघट्ट के बल आंतरिक हैं — यही वह तथ्य है जिस पर भरोसा करने योग्य है, और गतिज ऊर्जा वह वस्तु है जो टिके भी या न भी।

🧠 समान द्रव्यमानों का प्रत्यास्थ संघट्ट — रटने योग्य परिणाम
विरामावस्था में एक पिंड सहित समान द्रव्यमानों के एक-आयामी प्रत्यास्थ संघट्ट में वेग केवल विनिमय हो जाते हैं: चलता हुआ पूर्णतः रुक जाता है और स्थिर पूरे मूल वेग से निकल जाता है। प्रत्येक कैरम शॉट व बिलियर्ड्स का प्रत्येक ब्रेक यही परिणाम है। सामान्य सूत्र v₁ = ((m₁−m₂)/(m₁+m₂))u₁ व v₂ = (2m₁/(m₁+m₂))u₁ हैं, और उन्हें रटने के बजाय दो सीमाएँ पढ़ लेना योग्य है: हल्की गेंद बहुत भारी दीवार से टकराकर लगभग उसी चाल से लौटती है (m₂ ≫ m₁ से v₁ ≈ −u₁), जबकि भारी गेंद बहुत हल्की से टकराकर बहुत कम धीमी होती है और हल्की को अपनी चाल से लगभग दोगुनी चाल पर भेज देती है। दो का वह गुणक विद्यार्थियों को आश्चर्यचकित करता है और प्रिय प्रश्न है।
⚠️ अप्रत्यास्थ संघट्ट पर ऊर्जा संरक्षण प्रयोग न करें
मानक चाल इस प्रकार चलती है: एक गोली गुटके में धँस जाती है, और तत्पश्चात् गुटका ऊपर झूलता है। विद्यार्थी पूरी प्रक्रिया पर ऊर्जा संरक्षण लगाते हैं और अशुद्ध उत्तर पाते हैं, क्योंकि धँसना पूर्णतः अप्रत्यास्थ है और गतिज ऊर्जा का बड़ा अंश नष्ट कर देता है। शुद्ध विधि दो स्पष्ट चरणों में है। चरण 1, संघट्ट: केवल संवेग संरक्षण प्रयोग करें, mv = (m+M)V। चरण 2, उसके पश्चात् का झूलना: अब कोई असंरक्षी बल नहीं लगता, अतः ऊर्जा संरक्षण प्रयोग करें, ½(m+M)V² = (m+M)gh। दोनों को मिलाना — चरण 1 में ऊर्जा प्रयोग करना — यांत्रिकी की सर्वाधिक विश्वसनीय रूप से दंडित त्रुटियों में एक है, और चरण 1 के अप्रत्यास्थ होने का संकेत सदा "धँसती है", "चिपक जाती है" या "वे साथ चलते हैं" वाक्यांश होता है।

मुख्य बिंदु

  • W = Fs cos θ, चिह्न सहित अदिश; बल विस्थापन के लंबवत् होने पर कार्य शून्य।
  • घर्षण धनात्मक कार्य कर सकता है — कन्वेयर बेल्ट द्वारा आगे ले जाए गुटके पर वही चालक बल है।
  • कार्य–ऊर्जा प्रमेय W_नेट = ΔKE सदा सत्य है; यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण हेतु सभी बल संरक्षी चाहिए।
  • ऊँचाई h से किसी भी चिकने वक्र पर सरकने से v = √(2gh), आकार से स्वतंत्र।
  • P = F·v, अतः अचर शक्ति पर चाल बढ़ने से उपलब्ध बल घटता है — इसीलिए पहाड़ पर निचले गियर।
  • आंतरिक बल रद्द हो जाते हैं, अतः फटते गोले का द्रव्यमान केंद्र अपने मूल परवलय पर चलता रहता है।
  • संवेग प्रत्येक संघट्ट में संरक्षित; गतिज ऊर्जा केवल प्रत्यास्थ में (e = 1)।
  • 1-D प्रत्यास्थ संघट्ट में समान द्रव्यमान वेग विनिमय करते हैं। गोली-गुटके में: पहले संवेग, तत्पश्चात् ऊर्जा।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक व्यक्ति सूटकेस को अचर चाल से कमरे में क्षैतिज रूप से ले जाता है। उसके द्वारा सूटकेस पर किया कार्य है:

    1. mgd, जहाँ d चली गई दूरी है
    2. शून्य, क्योंकि बल विस्थापन के लंबवत् है
    3. ऋणात्मक, क्योंकि वह थक जाता है
    4. उसकी गतिज ऊर्जा के बराबर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — शून्य, क्योंकि बल विस्थापन के लंबवत् है

    वह सूटकेस को ऊपर की ओर बल से सँभालता है जबकि विस्थापन क्षैतिज है, अतः θ = 90° और cos 90° = 0। थकान उसके उपापचय का तथ्य है, यांत्रिक कार्य का नहीं — उसी कारण से न हिलने वाली दीवार धकेलना, परिश्रम के बावजूद, शून्य कार्य है।

  2. एक मणिका विराम से किसी मनमाने आकार के चिकने तार पर h ऊर्ध्वाधर गिरावट से सरकती है। उसकी अंतिम चाल है:

    1. √(gh)
    2. √(2gh), तार के आकार की चिंता किए बिना
    3. 2gh
    4. तार के आकार के बिना ज्ञात नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — √(2gh), तार के आकार की चिंता किए बिना

    अभिलंब बल सदा गति के लंबवत् है और अतः कोई कार्य नहीं करता, जिससे कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्व रह जाता है। तत्पश्चात् ऊर्जा संरक्षण ½mv² = mgh व v = √(2gh) देता है — उस ऊँचाई से मुक्त पतन के समान, आकार अप्रासंगिक। तार रूखा होता तो यह असफल होता, क्योंकि घर्षण पथ-निर्भर कार्य करता है।

  3. m द्रव्यमान व v चाल की गोली विरामावस्था में लटके M द्रव्यमान के गुटके में धँस जाती है, और युग्म h ऊँचाई तक झूलता है। v व h को जोड़ने हेतु आपको चाहिए:

    1. पूरी प्रक्रिया पर ऊर्जा संरक्षण लगाना
    2. संघट्ट पर संवेग संरक्षण, तत्पश्चात् झूलने पर ऊर्जा संरक्षण लगाना
    3. पूरी प्रक्रिया पर संवेग संरक्षण लगाना
    4. संघट्ट पर ऊर्जा संरक्षण, तत्पश्चात् झूलने पर संवेग लगाना
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — संघट्ट पर संवेग संरक्षण, तत्पश्चात् झूलने पर ऊर्जा संरक्षण लगाना

    धँसना पूर्णतः अप्रत्यास्थ है और गतिज ऊर्जा का बड़ा भाग नष्ट कर देता है, अतः वहाँ ऊर्जा संरक्षण अवैध है — परंतु संवेग संरक्षित है क्योंकि संघट्ट के बल आंतरिक हैं। संघट्ट के पश्चात् कोई असंरक्षी बल नहीं लगता, अतः झूलने हेतु ऊर्जा संरक्षण वैध है। प्रथम चरण में ऊर्जा प्रयोग करना यांत्रिकी की सर्वाधिक विश्वसनीय रूप से दंडित त्रुटियों में है, और "धँस जाती है" शब्द ही संकेत हैं।

  4. परवलयिक पथ पर चलता एक गोला हवा में अनेक टुकड़ों में फट जाता है। टुकड़ों का द्रव्यमान केंद्र:

    1. तत्काल रुक जाता है, क्योंकि गोला अब अस्तित्व में नहीं
    2. मूल परवलयिक पथ पर चलता रहता है
    3. विस्फोट के पश्चात् सरल रेखा में चलता है
    4. ऊर्ध्वाधर नीचे गिरता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — मूल परवलयिक पथ पर चलता रहता है

    विस्फोट के बल आंतरिक हैं और न्यूटन के तृतीय नियम से युग्मों में रद्द हो जाते हैं, अतः गुरुत्व एकमात्र बाह्य बल रहता है और द्रव्यमान केंद्र अपना मूल परवलय बनाए रखता है। यही ऐसे प्रश्नों को हल-योग्य बनाता है: यदि दो समान टुकड़ों में से एक R/2 परास पर सीधा नीचे गिरे, तो दूसरे को 3R/2 पर होना ही होगा जिससे द्रव्यमान केंद्र अब भी R पर गिरे।

  5. u चाल से चलती m द्रव्यमान की गेंद उसी द्रव्यमान की स्थिर गेंद से सम्मुख व प्रत्यास्थ रूप से टकराती है। संघट्ट के पश्चात्:

    1. दोनों u/2 से आगे चलती हैं
    2. पहली रुक जाती है और दूसरी u से चलती है
    3. पहली u से लौटती है और दूसरी विराम में रहती है
    4. दोनों u से आगे चलती हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — पहली रुक जाती है और दूसरी u से चलती है

    एक-आयामी प्रत्यास्थ संघट्ट में समान द्रव्यमानों हेतु वेग विनिमय हो जाते हैं, अतः आती गेंद पूर्णतः रुक जाती है और लक्ष्य पूरी चाल u से निकलती है। विकल्प 1 पूर्णतः अप्रत्यास्थ संघट्ट का वर्णन करता है, जो संवेग संरक्षित करेगा परंतु गतिज ऊर्जा नहीं, और विकल्प 4 संवेग संरक्षण का सीधा उल्लंघन करता है।

  6. सभी संघट्टों में, प्रत्यास्थ व अप्रत्यास्थ दोनों में, कौन-सी राशि संरक्षित है?

    1. गतिज ऊर्जा
    2. रेखीय संवेग
    3. गतिज ऊर्जा व संवेग दोनों
    4. कोई नहीं, जब तक सतह घर्षण-रहित न हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — रेखीय संवेग

    संघट्ट के बल दो-पिंड तंत्र के आंतरिक हैं, अतः संवेग सदा संरक्षित है। गतिज ऊर्जा केवल तब संरक्षित है जब संघट्ट पूर्णतः प्रत्यास्थ हो (e = 1); अप्रत्यास्थ संघट्ट में उसका कुछ भाग ऊष्मा, ध्वनि व स्थायी विरूपण बन जाता है।

  7. एक कार का इंजन अचर शक्ति देता है। कार की चाल बढ़ने पर उसका त्वरण:

    1. अचर रहता है
    2. घटता है, क्योंकि F = P/v
    3. बढ़ता है, क्योंकि शक्ति अचर है
    4. केवल कार के द्रव्यमान पर निर्भर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — घटता है, क्योंकि F = P/v

    चूँकि P = Fv, अचर शक्ति का अर्थ है उपलब्ध चालक बल 1/v के अनुपात में घटता है, और उसके साथ त्वरण। इसीलिए कार विराम से तेज़ी से निकलती है परंतु चाल की अंतिम वृद्धि हेतु संघर्ष करती है, और इसीलिए अधिकतम चाल तब आती है जब चालक बल घटकर प्रतिरोध के बराबर हो जाए।

  8. एक गुटका पहले से दाईं ओर चलती कन्वेयर बेल्ट पर धीरे से रखा जाता है। गुटके पर घर्षण:

    1. बाईं ओर लगता है व ऋणात्मक कार्य करता है
    2. दाईं ओर लगता है व गुटके पर धनात्मक कार्य करता है
    3. शून्य है, क्योंकि गुटके को धकेला नहीं जा रहा
    4. दाईं ओर लगता है परंतु कोई कार्य नहीं करता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — दाईं ओर लगता है व गुटके पर धनात्मक कार्य करता है

    बेल्ट गुटके के सापेक्ष दाईं ओर चलती है, अतः गुटके पर घर्षण दाईं ओर लगता है और उसे बेल्ट की चाल तक त्वरित करता है — बल व विस्थापन एक ही दिशा में हैं, अतः कार्य धनात्मक है। यह उस धारणा का मानक प्रति-उदाहरण है कि घर्षण सदा गति का विरोध करता व सदा ऋणात्मक कार्य करता है; विश्वसनीय कथन यह है कि वह संपर्क पर आपेक्षिक सरकन का विरोध करता है।