गति के नियम, घर्षण व वृत्तीय गतिकी

लगभग प्रत्येक यांत्रिकी प्रश्न, जिससे आप कभी मिलेंगे, उन्हीं तीन चरणों से हल होता है: एक पिंड अलग करें, उस पर प्रत्येक बल बनाएँ, और चुनी दिशा में ΣF = ma लिखें। भौतिकी एक पंक्ति है; अंक अनुशासन में हैं। जो विद्यार्थी उन्हें खोते हैं वे कोई बल भूलकर, ऐसा बल बनाकर जो अस्तित्व में नहीं (भूमि-निर्देश में अपकेंद्री बल उत्कृष्ट उदाहरण), या ऐसे दो पिंडों हेतु एक ही समीकरण लिखकर खोते हैं जिनके त्वरण भिन्न हैं। यह अध्याय पहले मुक्त-पिंड की आदत बनाता है और तत्पश्चात् उसे उन दो संदर्भों पर लगाता है जिनकी पर्चा को सर्वाधिक चिंता है — घर्षण व वृत्तीय गति।

न्यूटन के नियम व मुक्त-पिंड आरेख

प्रत्येक नियम वास्तव में क्या बताता है
नियमकथनवह वास्तव में किस लिए है
प्रथमकोई पिंड विराम या समान गति में रहता है जब तक कोई नेट बाह्य बल न लगेवह जड़त्व व जड़त्वीय निर्देश-तंत्र को परिभाषित करता है; वह केवल द्वितीय नियम की विशेष स्थिति नहीं है
द्वितीयF⃗ = dp⃗/dt, जो द्रव्यमान अचर होने पर F⃗ = ma⃗ बन जाता हैसंवेग रूप सामान्य है — रॉकेट व कन्वेयर बेल्ट हेतु आवश्यक, जहाँ द्रव्यमान बदलता है
तृतीयक्रिया व प्रतिक्रिया समान, विपरीत, और भिन्न पिंडों पर लगती हैंचूँकि वे भिन्न पिंडों पर लगती हैं, वे एक मुक्त-पिंड आरेख में कभी रद्द नहीं होतीं
  1. एक पिंड चुनें और मन में उसके चारों ओर एक खाना बनाएँ। उस खाने के बाहर की प्रत्येक वस्तु उसे केवल स्पर्श कर सकती है या गुरुत्वीय रूप से खींच सकती है।
  2. पहले भार बनाएँ, mg नीचे की ओर, सदा। ढालों पर यही वह बल है जिसे विद्यार्थी सर्वाधिक बार छोड़ देते हैं।
  3. तत्पश्चात् प्रत्येक संपर्क: सतह के लंबवत् अभिलंब बल, उसके अनुदिश घर्षण, प्रत्येक डोरी के अनुदिश तनाव। यदि वहाँ कुछ स्पर्श नहीं कर रहा, तो वहाँ कोई बल नहीं है।
  4. अक्ष गति के अनुसार चुनें, पृष्ठ के अनुसार नहीं। ढाल पर x ढाल के अनुदिश व y उसके लंबवत् लें, और mg को अनुदिश mg sin θ तथा लंबवत् mg cos θ में वियोजित करें।
  5. प्रत्येक पिंड हेतु ΣF = ma पृथक् लिखें, तत्पश्चात् युगपत् समीकरण हल करें। भिन्न त्वरण वाले दो जुड़े पिंडों को दो समीकरण चाहिए; उन पर एक समीकरण थोपना इस प्रकरण की सर्वाधिक सामान्य संरचनात्मक त्रुटि है।
⚠️ अभिलंब बल सदा mg नहीं होता
N = mg केवल क्षैतिज सतह पर, शून्य ऊर्ध्वाधर त्वरण व कोई अन्य ऊर्ध्वाधर बल न होने पर लागू है। इनमें से कोई भी टूटे तो N बदल जाता है। ढाल पर N = mg cos θ। a से ऊपर त्वरित लिफ्ट में N = m(g + a); नीचे त्वरित होने पर N = m(g − a); मुक्त पतन में N = 0, और भारहीनता ठीक यही है। यदि आप किसी गुटके पर θ कोण पर नीचे दबाएँ, N = mg + F sin θ, और उस कोण पर ऊपर खींचें तो N = mg − F sin θ। यह अंतिम स्थिति महत्वपूर्ण है क्योंकि घर्षण N पर निर्भर है, अतः किसी पेटी को कोण पर खींचना उसे धकेलने से सरल है — खींचना अभिलंब बल व अतः घर्षण घटाता है, जबकि धकेलना दोनों बढ़ाता है।

घर्षण — स्थैतिक, गतिज व विश्राम कोण

यांत्रिकी में सर्वाधिक ग़लत प्रयुक्त सूत्र f = μN है। गतिज घर्षण हेतु वह शुद्ध है: सरकना आरंभ होने पर f = μₖN, लगाए बल की चिंता किए बिना। स्थैतिक घर्षण हेतु वह जैसा लिखा है वैसा अशुद्ध है, क्योंकि स्थैतिक घर्षण स्वयं-समंजक है: f ≤ μₛN, और वह गति रोकने हेतु आवश्यक कोई भी मान लेता है, उस अधिकतम तक।

स्थैतिक बनाम गतिज
लक्षणस्थैतिक घर्षणगतिज घर्षण
परिमाणपरिवर्ती: लगाए बल के बराबर, μₛN तकसरकने पर μₖN पर स्थिर
आपेक्षिक आकारμₛ > μₖ, इसीलिए भार चलाना आरंभ करना उसे चलता रखने से कठिन है—
संपर्क क्षेत्रफल पर निर्भर?नहीं — केवल N व सतहों परनहीं
दिशासंभावित आपेक्षिक गति का विरोधवास्तविक आपेक्षिक गति का विरोध
⚠️ μₛN = 30 N वाले गुटके पर 10 N का धक्का 10 N घर्षण देता है, 30 नहीं
यह सर्वाधिक स्पष्ट रूप से कहने योग्य है, क्योंकि यही वह त्रुटि है जो सर्वाधिक दोहराई जाती है। यदि अधिकतम स्थैतिक घर्षण 30 N है और आप 10 N से धकेलते हैं, तो गुटका चलता नहीं, अतः नेट बल शून्य होना ही चाहिए, अतः घर्षण ठीक 10 N है। 25 N से धकेलें तो घर्षण 25 N। 31 N से धकेलें तो गुटका छूट जाता है, जिसके पश्चात् घर्षण गतिज मान μₖN पर गिर जाता है, जो कम है — इसीलिए भारी पेटी चलना आरंभ करते ही आगे झटका खाती है। अतः विधि सदा यह है: μₛN निकालें, उसकी लगाए बल से तुलना करें, और तत्पश्चात् ही तय करें कि आप स्थैतिक स्थिति में हैं (घर्षण = लगाया बल) या गतिज में (घर्षण = μₖN)।
🎯 विश्राम कोण, और वह μ को सीधे क्यों मापता है
किसी तल को झुकाएँ जब तक गुटका ठीक सरकना आरंभ करे। उस क्षण उसे ढाल से नीचे खींचने वाला घटक mg sin θ, अधिकतम स्थैतिक घर्षण μₛ(mg cos θ) के ठीक बराबर होता है। द्रव्यमान रद्द हो जाते हैं — अतः tan θ = μₛ, और सरकना आरंभ होने का कोण केवल सतहों पर निर्भर है, गुटके के भार पर नहीं। यही विश्राम कोण है, और वह वास्तव में उपयोगी है: वह आपको केवल एक चाँदे से घर्षण गुणांक मापने देता है। वह यह भी समझाता है कि बालू व बजरी के ढेर अपने आकार की चिंता किए बिना सदा उसी विशिष्ट ढाल पर बैठ जाते हैं। दो संबंधित परिणाम स्मरणीय हैं: विश्राम कोण से तीव्र ढाल पर छोड़ा गुटका g(sin θ − μ cos θ) से त्वरित होता है, और ढाल घर्षण-रहित हो तो वह g sin θ बन जाता है।

वृत्तीय गतिकी — और वह बल जो अस्तित्व में नहीं

अचर चाल से वृत्त में चलता पिंड तब भी त्वरित हो रहा है, क्योंकि उसका वेग दिशा बदल रहा है। वह त्वरण केंद्र की ओर होता है और उसका परिमाण a = v²/r = ω²r है। तत्पश्चात् न्यूटन का द्वितीय नियम mv²/r परिमाण का वास्तविक अंतर्मुखी बल माँगता है, और पूरा विषय यही प्रश्न है: कौन-सा वास्तविक बल उसे दे रहा है?

वही समीकरण, भिन्न प्रदाता
स्थितिmv²/r कौन देता हैपरिणाम
सपाट सड़क पर मुड़ती कारटायर व सड़क के बीच स्थैतिक घर्षणv_max = √(μrg) — द्रव्यमान से स्वतंत्र
बंकित सड़क, घर्षण रहितअभिलंब बल का क्षैतिज घटकtan θ = v²/rg
डोरी पर पत्थर, क्षैतिज वृत्ततनावT = mv²/r
कक्षा में उपग्रहगुरुत्वGMm/r² = mv²/r
ऊर्ध्वाधर वृत्त, शिखर परतनाव तथा भार, दोनों नीचे की ओरT = 0 पर शिखर पर v_min = √(gr)
⚠️ भूमि-निर्देश में कोई अपकेंद्री बल नहीं है
भूमि-निर्देश में बनाए मुक्त-पिंड आरेख में केवल वास्तविक बल होने चाहिए — गुरुत्व, अभिलंब, घर्षण, तनाव। बाह्यमुखी "अपकेंद्री बल" जोड़ना अशुद्ध है, और वह इस प्रकार अशुद्ध है कि शून्य-योग वाला संभाव्य दिखता समीकरण बन जाता है, इसीलिए वह टिका रहता है। मुड़ती कार में आप वास्तव में जो बाहर की ओर फेंका जाना अनुभव करते हैं वह आपका स्वयं का जड़त्व है: आपका शरीर सीधा चलता रहता है जबकि कार आपकी ओर मुड़ती है, और आप पर अंतर्मुखी बल सीट व द्वार से आता है। अपकेंद्री बल वैध छद्म-बल है और वह उचित उपकरण है — परंतु केवल तब जब आप जान-बूझकर घूर्णी निर्देश में कार्य करें, जहाँ आप बाहर की ओर mω²r जोड़ते हैं और तत्पश्चात् पिंड को साम्य में मानते हैं। एक निर्देश चुनें और उसी में रहें; उन्हें मिलाना, अर्थात् अंतर्मुखी mv²/r तथा अपकेंद्री पद दोनों लिखना, दोहरी गणना है और वही त्रुटि है जिसकी परीक्षक आशा कर रहा है।
🧠 ऊर्ध्वाधर वृत्त, व दो भिन्न न्यूनतम चालें
ऊर्ध्वाधर वृत्त में डोरी पर पत्थर हेतु, डोरी केवल खींच सकती है। शिखर पर तनाव व भार दोनों नीचे की ओर हैं, अतः mg + T = mv²/r; सीमांत स्थिति T = 0 है, जो v_शिखर = √(gr) देती है। तत्पश्चात् शिखर से तल तक ऊर्जा संरक्षण लगाने पर लूप पूर्ण करने हेतु निम्नतम बिंदु पर न्यूनतम चाल v_तल = √(5gr) मिलती है। परंतु यदि पत्थर डोरी के स्थान पर दंड पर हो, तो दंड खींचने के साथ धकेल भी सकता है, अतः वह पत्थर को शिखर पर मनमानी छोटी चाल पर सँभाल सकता है — न्यूनतम v_शिखर = 0 व v_तल = √(4gr) = 2√(gr) बन जाता है। प्रश्न डोरी को दंड से ठीक यह देखने हेतु अलग करते हैं कि आपने ध्यान दिया या नहीं, और वही भेद चिकने तार पर मणिका या नली के भीतर गेंद पर लागू होता है।
🎯 सड़कें बंकित क्यों होती हैं, और सुरक्षित चाल में द्रव्यमान क्यों नहीं है
सपाट सड़क पर उपलब्ध एकमात्र अंतर्मुखी बल घर्षण है, अतः v_max = √(μrg) — और गीली या बर्फीली सतह पर ठीक घर्षण ही असफल होता है। बंकन सड़क को झुका देता है जिससे अभिलंब बल स्वयं अंतर्मुखी क्षैतिज घटक N sin θ पा लेता है, जो घर्षण की तनिक भी सहायता के बिना mv²/r देता है। N sin θ = mv²/r व N cos θ = mg रखकर भाग देने पर tan θ = v²/rg मिलता है। देखें कि दोनों सूत्रों से क्या अनुपस्थित है: द्रव्यमान। लदा ट्रक व मोटरसाइकिल उसी मोड़ पर उसी चाल पर पलटते हैं, क्योंकि आवश्यक बल व उपलब्ध बल दोनों m के अनुपात में बढ़ते हैं, अतः वह रद्द हो जाता है। इसीलिए मोड़ों पर गति-सीमा मोड़ हेतु लगाई जाती है, वाहन हेतु नहीं।

मुख्य बिंदु

  • एक पिंड अलग करें, प्रत्येक बल बनाएँ, अक्ष गति के अनुदिश चुनें, प्रत्येक पिंड हेतु ΣF = ma पृथक् लिखें।
  • F = dp/dt सामान्य द्वितीय नियम है; F = ma अचर द्रव्यमान मानता है।
  • क्रिया व प्रतिक्रिया भिन्न पिंडों पर लगती हैं, अतः वे एक मुक्त-पिंड आरेख में कभी रद्द नहीं होतीं।
  • N = mg केवल क्षैतिज सतह पर, शून्य ऊर्ध्वाधर त्वरण सहित; ढाल पर N = mg cos θ, लिफ्ट में m(g ± a)।
  • स्थैतिक घर्षण स्वयं-समंजक है: f ≤ μₛN और गुटका छूटने तक लगाए बल के बराबर।
  • विश्राम कोण: tan θ = μₛ, द्रव्यमान से स्वतंत्र — अतः चाँदा गुणांक माप देता है।
  • वृत्तीय गति को वास्तविक अंतर्मुखी बल mv²/r चाहिए; अपकेंद्री बल केवल घूर्णी निर्देश में है।
  • डोरी पर ऊर्ध्वाधर वृत्त: v_शिखर = √(gr), v_तल = √(5gr)। दंड पर दोनों न्यूनतम घट जाते हैं।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. क्षैतिज फ़र्श पर एक गुटके का अधिकतम स्थैतिक घर्षण 30 N है। 10 N का क्षैतिज धक्का लगाया जाता है और गुटका नहीं चलता। घर्षण बल है:

    1. 30 N
    2. 10 N
    3. 20 N
    4. शून्य
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 10 N

    स्थैतिक घर्षण स्वयं-समंजक है। चूँकि गुटका नहीं चलता, नेट बल शून्य है, अतः घर्षण ठीक 10 N होना ही चाहिए — धक्के के समान व विपरीत। 30 N का आँकड़ा केवल उपलब्ध अधिकतम है; घर्षण दिखते ही उसे प्रयोग करना इस प्रकरण की सर्वाधिक सामान्य त्रुटि है।

  2. एक गुटका 30° की ढाल पर ठीक सरकना आरंभ करता है। स्थैतिक घर्षण गुणांक है:

    1. 0.5
    2. 1/√3 ≈ 0.58
    3. √3 ≈ 1.73
    4. वह गुटके के द्रव्यमान पर निर्भर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1/√3 ≈ 0.58

    विश्राम कोण पर mg sin θ = μₛ mg cos θ, अतः μₛ = tan θ = tan 30° = 1/√3 ≈ 0.58। द्रव्यमान रद्द हो जाते हैं, इसीलिए कोण केवल सतहों पर निर्भर है — और इसीलिए घर्षण गुणांक मापने हेतु चाँदा पर्याप्त है। 0.5 चुनना tan 30° के स्थान पर sin 30° प्रयोग करने से आता है।

  3. m द्रव्यमान का व्यक्ति मुक्त पतन में गिरती लिफ्ट में खड़ा है। फ़र्श से उस पर अभिलंब बल है:

    1. mg
    2. 2mg
    3. शून्य
    4. mg/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — शून्य

    a से नीचे त्वरित लिफ्ट में N = m(g − a); मुक्त पतन में a = g, अतः N = 0। भारहीनता ठीक यही है — गुरुत्व का अभाव नहीं, जो अब भी लग रहा है, बल्कि किसी संपर्क बल का अभाव, अतः व्यक्ति व फ़र्श साथ गिरते हैं और एक-दूसरे पर तनिक भी दबाव नहीं डालते।

  4. r त्रिज्या के बिना-बंकित मोड़ पर कार की अधिकतम चाल है:

    1. √(μrg), कार के द्रव्यमान से स्वतंत्र
    2. √(μrg/m), अतः भारी कारों को धीमे चलना चाहिए
    3. μrg
    4. √(rg/μ)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — √(μrg), कार के द्रव्यमान से स्वतंत्र

    घर्षण अभिकेंद्री बल देता है, अतः μmg = mv²/r और द्रव्यमान रद्द हो जाता है, जो v = √(μrg) देता है। इसीलिए मोड़ों पर गति-सीमा वाहन के बजाय मोड़ हेतु लगाई जाती है: आवश्यक बल व उपलब्ध बल दोनों द्रव्यमान के अनुपात में बढ़ते हैं, अतः लदे ट्रक व मोटरसाइकिल की सीमांत चाल समान है।

  5. r त्रिज्या का ऊर्ध्वाधर वृत्त ठीक पूर्ण करने हेतु डोरी से बँधे पत्थर की शीर्ष बिंदु पर न्यूनतम चाल है:

    1. शून्य
    2. √(gr)
    3. √(2gr)
    4. √(5gr)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — √(gr)

    शिखर पर भार व तनाव दोनों नीचे की ओर हैं: mg + T = mv²/r। सीमांत स्थिति T = 0 है, जो v = √(gr) देती है। मान √(5gr) निम्नतम बिंदु पर न्यूनतम चाल है, जो इससे ऊर्जा संरक्षण द्वारा मिलती है, और शून्य केवल तब लागू होता यदि पत्थर दंड पर हो, जो खींचने के साथ धकेल भी सकता है।

  6. मोड़ लेती कार हेतु भूमि-निर्देश में मुक्त-पिंड आरेख बनाते समय करना चाहिए:

    1. mv²/r का बाह्यमुखी अपकेंद्री बल सम्मिलित करना
    2. केवल वास्तविक बल सम्मिलित करना, जिसमें घर्षण अंतर्मुखी mv²/r देता है
    3. mv²/r के अंतर्मुखी व बाह्यमुखी दोनों बल सम्मिलित करना
    4. घर्षण छोड़ देना, क्योंकि कार सरक नहीं रही
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — केवल वास्तविक बल सम्मिलित करना, जिसमें घर्षण अंतर्मुखी mv²/r देता है

    जड़त्वीय भूमि-निर्देश में आरेख पर केवल वास्तविक बल आते हैं, और यहाँ स्थैतिक घर्षण अभिकेंद्री बल देता है। अपकेंद्री बल वैध छद्म-बल है परंतु केवल घूर्णी निर्देश में; दोनों सम्मिलित करना, जैसा विकल्प 3 करता है, दोहरी गणना है और ठीक वही त्रुटि है जिसे पकड़ने हेतु प्रश्न बना है।

  7. भारी पेटी को क्षैतिज से ऊपर किसी कोण पर खींचना, उसी कोण पर नीचे धकेलने से सरल है, क्योंकि खींचना:

    1. अभिलंब बल व अतः घर्षण बढ़ाता है
    2. अभिलंब बल व अतः घर्षण घटाता है
    3. घर्षण गुणांक बदल देता है
    4. पेटी का भार घटा देता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अभिलंब बल व अतः घर्षण घटाता है

    θ कोण पर ऊपर खींचने से N = mg − F sin θ, जबकि नीचे धकेलने से N = mg + F sin θ। चूँकि घर्षण μN है, खींचना प्रतिरोधी बल घटाता है और धकेलना बढ़ाता है। ध्यान दें कि गुणांक स्वयं सतहों का गुण है और नहीं बदलता, और भार निश्चित रूप से नहीं बदलता — केवल अभिलंब बल बदलता है।

  8. एक सड़क θ कोण पर बंकित है जिससे r त्रिज्या के मोड़ पर v चाल पर घर्षण आवश्यक न हो। तब:

    1. sin θ = v²/rg
    2. tan θ = v²/rg
    3. cos θ = v²/rg
    4. tan θ = rg/v²
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — tan θ = v²/rg

    घर्षण के बिना क्षैतिज दिशा में N sin θ = mv²/r व ऊर्ध्वाधर दिशा में N cos θ = mg; भाग देने पर N व m दोनों हट जाते हैं और tan θ = v²/rg मिलता है। द्रव्यमान का लुप्त होना भौतिक रूप से रोचक भाग है — शुद्ध बंकन कोण ट्रक व मोटरसाइकिल हेतु समान है, इसीलिए वह सड़क में बनाया ही जा सकता है।