गति विज्ञान — सरल रेखा, तल में गति, प्रक्षेप्य व आपेक्षिक वेग

गति विज्ञान वह स्थान है जहाँ अधिकांश विद्यार्थी पहली बार सूत्र जानने व यह जानने के अंतर से मिलते हैं कि वह कब लागू होता है। गति के तीन समीकरण एक दिन में रट जाते हैं; अंक ले जाने वाली भूलें उन्हें असमान त्वरण पर लगाने से, दूरी व विस्थापन को एक ही मानने से, और यह न देखने से आती हैं कि द्वि-आयामी प्रश्न केवल दो एक-आयामी प्रश्न हैं जो एक घड़ी साझा करते हैं। यह अध्याय उसी अंतिम विचार के चारों ओर बना है, क्योंकि अक्षों को अलग कर पाने पर प्रक्षेप्य व आपेक्षिक गति पृथक् प्रकरण नहीं रहते, अंकगणित बन जाते हैं।

सरल रेखा में गति

वे भेद जिन पर प्रश्न बनते हैं
युग्मदूरी / चाल (अदिश)विस्थापन / वेग (सदिश)
परिभाषाकुल पथ-लंबाई; कभी नहीं घटतीस्थिति में परिवर्तन; शून्य या ऋणात्मक हो सकता है
परिमाण संबंधदूरी ≥ |विस्थापन|, केवल दिशा-परिवर्तन रहित सरल-रेखीय गति में बराबरऔसत वेग = विस्थापन / समय
चक्रीय यात्राऔसत चाल शून्येतरऔसत वेग ठीक शून्य

केवल समान त्वरण हेतु तीन समीकरण हैं v = u + at, s = ut + ½at², तथा v² = u² + 2as, साथ में nवें सेकंड में s = u + (a/2)(2n − 1)। इनमें से प्रत्येक उस क्षण असफल हो जाता है जब त्वरण समय या स्थिति के साथ बदले, और वही असफलता प्रिय प्रश्न है।

⚠️ जब त्वरण अचर न हो, सूत्र अनुपयोगी हैं
यदि प्रश्न आपको a = kt, या a = kv, या a = kx दे, तो आपको कलन पर लौटना ही होगा। तीन मानक रूप हैं a = dv/dt जब त्वरण समय का फलन हो, a = v·dv/dx जब वह स्थिति का फलन हो, और a = f(v) हेतु आप dv/f(v) = dt रूप में पृथक् करते हैं। मध्य वाला ही वह है जिसे विद्यार्थी भूलते हैं, और वह शृंखला नियम से आता है: a = dv/dt = (dv/dx)(dx/dt) = v·dv/dx। कौन-सा रूप प्रयोग करें यह पहचानना पाँच सेकंड लेता है और इन प्रश्नों की पूरी कठिनाई वही है — जो अभ्यर्थी a के x पर निर्भर होने पर v² = u² + 2as उठाता है वह अंक पहले ही खो चुका है।
🧠 आलेख ढाल व क्षेत्रफल से पढ़ें
दो नियम प्रत्येक आलेख प्रश्न का उत्तर देते हैं। ढाल: स्थिति–समय आलेख की ढाल वेग है, और वेग–समय आलेख की ढाल त्वरण। क्षेत्रफल: वेग–समय आलेख के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन है, और त्वरण–समय आलेख के नीचे का क्षेत्रफल वेग में परिवर्तन। दो परिष्कार महत्वपूर्ण हैं। अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक गिना जाता है, अतः चली गई दूरी हेतु आप परिमाण जोड़ते हैं जबकि विस्थापन हेतु चिह्न रखते हैं — वही एक भेद पेपर का सर्वाधिक सामान्य आलेख प्रश्न है। और स्थिति–समय आलेख कभी ऊर्ध्वाधर नहीं हो सकता, क्योंकि उसका अर्थ अनंत वेग होगा; प्रश्न ऐसा आलेख विकल्प रूप में ठीक यह देखने हेतु देते हैं कि आप ध्यान देते हैं या नहीं।

प्रक्षेप्य गति — दो स्वतंत्र प्रश्न

पूरा विषय एक अवलोकन पर टिका है: क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर गतियाँ स्वतंत्र हैं और केवल समय साझा करती हैं। क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं, अतः x = (u cos θ)·t। ऊर्ध्वाधर दिशा में अचर −g, अतः ऊर्ध्वाधर गति ठीक वही सरल-रेखीय प्रश्न है जो आपने पहले हल किया। प्रत्येक प्रक्षेप्य परिणाम उन दो पंक्तियों से निकलता है।

भूमि तल से, θ पर u चाल से प्रक्षेपित
राशिपरिणामध्यान देने योग्य
उड़ान कालT = 2u sin θ / gशिखर तक के समय का दोगुना — पथ सममित है
अधिकतम ऊँचाईH = u² sin²θ / 2gशिखर पर ऊर्ध्वाधर वेग 0 है, पूरा वेग नहीं
क्षैतिज परासR = u² sin 2θ / gθ = 45° पर अधिकतम, जहाँ R = u²/g
किसी क्षण वेगvₓ = u cos θ सदा; v_y = u sin θ − gtक्षैतिज घटक कभी नहीं बदलता
पथपरवलय: y = x tan θ − gx²/(2u²cos²θ)दो समीकरणों से t हटाने पर वह मिलता है
🧠 दो कोण, एक परास — और उससे निकलने वाला तथ्य
चूँकि sin 2θ = sin(180° − 2θ), कोण θ व (90° − θ) समान परास देते हैं। अतः 30° व 60° एक ही स्थान पर गिरते हैं, वैसे ही 20° व 70°। ऊँचा कोण अधिक समय लेता व अधिक ऊपर जाता है; नीचा चपटा व तेज़ होता है। दो परीक्षा-परिणाम निकलते हैं। प्रथम, "दो प्रक्षेप्यों की परास समान है" कहने वाला प्रश्न आपको बता रहा है कि कोण पूरक हैं, जो सामान्यतः मुख्य चरण होता है। द्वितीय, उन दो कोणों हेतु T₁T₂ = 2R/g व H₁ + H₂ = u²/2g — संक्षिप्त परिणाम जो दो-प्रक्षेप्य प्रश्न को एक पंक्ति बना देते हैं।
⚠️ क्षैतिज प्रक्षेपण वही सूत्र नहीं है
किसी ऊँचाई h से क्षैतिज रूप से फेंके पिंड का आरंभिक ऊर्ध्वाधर वेग शून्य होता है, अतः उसका पतन-काल t = √(2h/g) है — वैसा ही जैसे उसे केवल गिराया गया हो। यही उत्कृष्ट परिणाम है: क्षैतिज रूप से चलाई गोली व उसी ऊँचाई से गिराई गोली साथ भूमि पर पहुँचती हैं, क्योंकि क्षैतिज वेग ऊर्ध्वाधर गति को तनिक भी प्रभावित नहीं करता। उसकी क्षैतिज परास u√(2h/g) है। विद्यार्थी नियमित रूप से यहाँ भूमि-तल का T = 2u sin θ/g ग़लत लगाते हैं, जो शून्य देता है क्योंकि sin 0° = 0 — और जो पिंड स्पष्ट रूप से उड़ता है उसका शून्य उड़ान-काल तत्काल असंगत पकड़ा जाना चाहिए।

आपेक्षिक वेग — वर्षा, नदी व निकटतम पहुँच

एक परिभाषा सारा कार्य करती है: v⃗_AB = v⃗_A − v⃗_B, B द्वारा देखा गया A का वेग। शेष सब सदिश व्यवकलन है, और विद्यार्थियों को यह प्रकरण कठिन लगने का कारण लगभग सदा यह होता है कि वे घटकों को घटाने के बजाय उसकी कल्पना करने का प्रयास करते हैं।

तीन मानक स्थितियाँ
स्थितिव्यवस्थापरिणाम
नदी पार — न्यूनतम समयनाव सीधे पार, तट के लंबवत् रखेंt = d/v_नाव, परंतु आप (v_नदी · t) जितना नीचे बह जाते हैं
नदी पार — न्यूनतम पथधारा की ओर θ कोण पर लक्ष्य, जहाँ sin θ = v_नदी/v_नावपरिणामी √(v_b² − v_r²) पर सीधे पार; v_नदी > v_नाव होने पर असंभव
वर्षा व छाताv⃗_वर्षा,व्यक्ति = v⃗_वर्षा − v⃗_व्यक्तिछाता आपेक्षिक वेग की दिशा में झुकाएँ; ऊर्ध्वाधर से tan θ = v_व्यक्ति/v_वर्षा
🎯 दौड़ते समय वर्षा आगे की ओर तिरछी क्यों दिखती है
10 मी/से से ऊर्ध्वाधर गिरती वर्षा, जब आप 5 मी/से से पूर्व चलते हैं, आपके सापेक्ष 10 मी/से नीचे व 5 मी/से पश्चिम का वेग रखती है — क्योंकि आपका पूर्ववर्ती वेग घटाने से पश्चिमी घटक जुड़ जाता है। अतः वर्षा सामने से आती दिखती है, और आपको छाता ऊर्ध्वाधर से tan⁻¹(5/10) ≈ 27° आगे झुकाना होगा। यह रटने के बजाय समझने योग्य है, क्योंकि चिह्न पर ही अंक खोए जाते हैं: विद्यार्थी छाता पीछे झुकाते हैं, यह तर्क देकर कि वे आगे बढ़ रहे हैं। जो नियम कभी असफल नहीं होता वह है v⃗_वर्षा − v⃗_व्यक्ति को घटकों में निकालना और छाता उत्तर की दिशा में रखना।
🧠 निकटतम पहुँच — किसी एक पिंड पर बैठ जाएँ
भिन्न सरल रेखाओं पर चलते दो कण: वे कब निकटतम होते हैं? भूमि-निर्देश में यह करने का अर्थ है t के किसी उलझे फलन का निम्निष्ठ निकालना। इसके स्थान पर स्वयं को कण B पर रख दें। अब B विरामावस्था में है और A अचर वेग v⃗_AB से सरल रेखा में चलता है, अतः न्यूनतम दूरी केवल B से उस रेखा की लंब दूरी है — बिना किसी कलन का ज्यामिति प्रश्न। यही युक्ति टक्कर-प्रश्नों को साधारण बना देती है: दो पिंड टकराते हैं यदि और केवल यदि v⃗_AB उन्हें आरंभ में जोड़ने वाली रेखा की दिशा में हो, जिसे जाँचना दो स्थिति-समीकरण साथ हल करने से बहुत सरल है।

मुख्य बिंदु

  • दूरी ≥ |विस्थापन| सदा; चक्रीय यात्रा में औसत वेग ठीक शून्य परंतु औसत चाल नहीं।
  • गति के तीन समीकरण केवल समान त्वरण हेतु लागू हैं।
  • a के t पर निर्भर होने पर a = dv/dt, और x पर निर्भर होने पर a = v·dv/dx प्रयोग करें।
  • x–t की ढाल v, v–t की ढाल a; v–t के नीचे क्षेत्रफल विस्थापन, a–t के नीचे Δv।
  • प्रक्षेप्य: T = 2u sinθ/g, H = u²sin²θ/2g, R = u²sin2θ/g, 45° पर अधिकतम परास।
  • θ व (90° − θ) समान परास देते हैं; उड़ान में क्षैतिज वेग u cosθ कभी नहीं बदलता।
  • ऊँचाई h से क्षैतिज फेंकने पर: t = √(2h/g), गिराए जाने के समान।
  • v⃗_AB = v⃗_A − v⃗_B। निकटतम पहुँच हेतु एक पिंड पर बैठें व लंब दूरी लें।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक कण बंद पथ पर चलकर अपने आरंभ बिंदु पर लौट आता है। कौन सही है?

    1. औसत चाल व औसत वेग दोनों शून्य हैं
    2. औसत वेग शून्य परंतु औसत चाल नहीं
    3. औसत चाल शून्य परंतु औसत वेग नहीं
    4. कोई निर्धारित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — औसत वेग शून्य परंतु औसत चाल नहीं

    औसत वेग विस्थापन बटा समय है, और बंद पथ हेतु विस्थापन ठीक शून्य है। औसत चाल कुल पथ-लंबाई बटा समय है, जो धनात्मक है क्योंकि कण चला तो। अदिश व सदिश के बीच यही असमिति एक-आयामी गति विज्ञान का सर्वाधिक पूछा विचार है।

  2. किसी कण का त्वरण a = kx है, जहाँ x उसकी स्थिति है। v को x के फलन रूप में ज्ञात करने हेतु प्रयोग करें:

    1. v² = u² + 2ax
    2. a = dv/dt
    3. a = v·dv/dx
    4. v = u + at
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — a = v·dv/dx

    चूँकि a स्थिति का फलन है, a = v·dv/dx लिखें (शृंखला नियम से, dv/dt = (dv/dx)(dx/dt)) और v dv = kx dx रूप में पृथक् करें। समीकरण v² = u² + 2as यहाँ अवैध है क्योंकि वह अचर त्वरण मानता है, और उसे उठाना इस प्रश्न-प्रकार की मानक त्रुटि है।

  3. एक प्रक्षेप्य क्षैतिज से 60° पर प्रक्षेपित होता है। समान चाल वाला दूसरा समान परास पाता है जब प्रक्षेपित हो:

    1. 15°
    2. 30°
    3. 45°
    4. 75°
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 30°

    परास u² sin 2θ/g है, और sin 120° = sin 60°, अतः θ व (90° − θ) समान परास देते हैं — यहाँ 60° व 30°। 30° प्रक्षेप्य चपटा है व शीघ्र गिरता है; 60° वाला अधिक ऊपर जाता व अधिक समय लेता है। यह कहने वाला प्रश्न कि दो प्रक्षेप्यों की परास समान है, सामान्यतः बता रहा है कि कोण पूरक हैं।

  4. एक गोली किसी ऊँचाई से क्षैतिज चलाई जाती है और दूसरी उसी क्षण उसी ऊँचाई से केवल गिराई जाती है। वे:

    1. साथ भूमि पर पहुँचती हैं
    2. चलाई गोली बाद में गिरती है, अधिक दूरी चलने से
    3. गिराई गोली बाद में गिरती है
    4. यह प्रत्येक गोली के द्रव्यमान पर निर्भर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — साथ भूमि पर पहुँचती हैं

    क्षैतिज व ऊर्ध्वाधर गतियाँ स्वतंत्र हैं, और दोनों गोलियों का आरंभिक ऊर्ध्वाधर वेग शून्य है, अतः दोनों t = √(2h/g) लेती हैं। क्षैतिज वेग बदलता है कि चलाई गोली कहाँ गिरे, कब नहीं। द्रव्यमान अप्रासंगिक है क्योंकि मुक्त पतन में g सभी द्रव्यमानों हेतु समान है।

  5. प्रक्षेप्य के पथ के उच्चतम बिंदु पर (60° पर, चाल u से प्रक्षेपित), प्रक्षेप्य की चाल है:

    1. शून्य
    2. u/2
    3. u√3/2
    4. u
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — u/2

    शिखर पर ऊर्ध्वाधर घटक शून्य है परंतु क्षैतिज घटक u cos 60° = u/2 अपरिवर्तित है, अतः चाल शून्य के बजाय u/2 है। शून्य चुनना उत्कृष्ट त्रुटि है — वह "ऊर्ध्वाधर वेग लुप्त होता है" को "वेग लुप्त होता है" से भ्रमित करती है, और u√3/2, cos 60° के स्थान पर sin 60° प्रयोग करने से आता है।

  6. वर्षा 10 मी/से से ऊर्ध्वाधर गिरती है। एक व्यक्ति 5 मी/से से पूर्व चलता है। उसे छाता रखना चाहिए:

    1. ऊर्ध्वाधर, क्योंकि वर्षा ऊर्ध्वाधर गिरती है
    2. ऊर्ध्वाधर से लगभग 27° आगे (पूर्व की ओर) झुका
    3. ऊर्ध्वाधर से लगभग 27° पीछे (पश्चिम की ओर) झुका
    4. ऊर्ध्वाधर से 45° आगे झुका
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ऊर्ध्वाधर से लगभग 27° आगे (पूर्व की ओर) झुका

    व्यक्ति के सापेक्ष v⃗_वर्षा − v⃗_व्यक्ति, 10 मी/से नीचे व 5 मी/से पश्चिम है, अतः वर्षा सामने से आती दिखती है और छाता tan⁻¹(5/10) ≈ 27° आगे झुकता है। पीछे झुकाना मानक त्रुटि है, जो आपेक्षिक वेग निकालने के बजाय अपनी गति पर तर्क करने से आती है; 45° हेतु दोनों चालें बराबर चाहिए।

  7. एक नाव स्थिर जल में 5 मी/से चल सकती है और 3 मी/से बहती 100 मी चौड़ी नदी पार करनी है। ठीक सामने के बिंदु पर पहुँचने हेतु उसे रखा जाना चाहिए:

    1. सीधे पार, तट के लंबवत्
    2. धारा की ओर θ कोण पर, जहाँ sin θ = 3/5
    3. धारा के साथ θ कोण पर, जहाँ sin θ = 3/5
    4. धारा की ओर 45° पर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — धारा की ओर θ कोण पर, जहाँ sin θ = 3/5

    ठीक सामने पहुँचने हेतु नाव के वेग का धारा-विरोधी घटक धारा को रद्द करना चाहिए, अतः v_नाव sin θ = v_नदी देता है sin θ = 3/5। पार परिणामी √(5² − 3²) = 4 मी/से है, जो 25 से लेता है। इसके स्थान पर सीधे पार रखना न्यूनतम समय देता है परंतु नीचे बहा देता है — दोनों प्रश्नों के उत्तर भिन्न हैं, अतः पढ़ें कि कौन पूछा गया।

  8. वेग–समय आलेख में वक्र व समय-अक्ष के बीच का क्षेत्रफल दर्शाता है:

    1. त्वरण
    2. विस्थापन, अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक गिनते हुए
    3. दूरी, सदा धनात्मक
    4. त्वरण में परिवर्तन
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — विस्थापन, अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक गिनते हुए

    v–t आलेख के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन है और चिह्न रखता है, अतः समय-अक्ष के नीचे का क्षेत्रफल ऋणात्मक है। चली गई दूरी हेतु आप इसके स्थान पर क्षेत्रफलों के परिमाण जोड़ेंगे। त्वरण इस आलेख की ढाल है, उसका क्षेत्रफल नहीं — ढाल को क्षेत्रफल से भ्रमित करना यहाँ दूसरी सामान्य त्रुटि है।