मात्रक, विमाएँ व त्रुटि विश्लेषण

यह भौतिकी का सर्वाधिक अनाकर्षक अध्याय है और विश्वसनीय रूप से सर्वाधिक लाभप्रद अध्यायों में एक: पर्चा मेन इससे लगभग प्रति वर्ष एक-दो प्रश्न पूछती है, वे सामान्यतः एक मिनट से कम में हल हो जाते हैं, और यह जो विमीय विधि सिखाता है वह आपको किसी बाद के प्रश्न पर बचाएगी जहाँ आप कोई सूत्र भूल गए हों। इसे गंभीरता से लेने का दूसरा कारण भी है। खंड B में आपका लिखा प्रत्येक संख्यात्मक उत्तर एक इकाई व सार्थक-अंक अपेक्षा रखता है, और वहाँ अंक ख़राब भौतिकी से नहीं, सेंटीमीटर में छूटी लंबाई से खोए जाते हैं। अतः इस अध्याय को वह अनुशासन मानें जो प्रत्येक अन्य अध्याय की रक्षा करता है।

SI मूल मात्रक व विमीय सूत्र

सात मूल राशियाँ शेष सब उत्पन्न करती हैं। उनके विमीय प्रतीक हैं [M] द्रव्यमान, [L] लंबाई, [T] समय, [A] धारा, [K] ताप, [mol] पदार्थ की मात्रा, [cd] ज्योति तीव्रता। प्रत्येक व्युत्पन्न राशि इनकी घातों का गुणनफल है, और वही गुणनफल उसका विमीय सूत्र है।

पूर्णतः जानने योग्य विमीय सूत्र
राशिविमीय सूत्रSI मात्रक
बल, भार, तनाव[M L T⁻²]न्यूटन (N)
कार्य, ऊर्जा, ऊष्मा, बल-आघूर्ण[M L² T⁻²]जूल (N·m)
शक्ति[M L² T⁻³]वाट (J/s)
दाब, प्रतिबल, मापांक[M L⁻¹ T⁻²]पास्कल (N/m²)
संवेग, आवेग[M L T⁻¹]kg·m/s = N·s
प्लांक नियतांक, कोणीय संवेग[M L² T⁻¹]J·s
गुरुत्वीय नियतांक G[M⁻¹ L³ T⁻²]N·m²/kg²
श्यानता गुणांक η[M L⁻¹ T⁻¹]प्वाज़्यूई (Pa·s)
पृष्ठ तनाव, बल नियतांक[M T⁻²]N/m
आवृत्ति, कोणीय वेग, क्षय नियतांक[T⁻¹]s⁻¹
🧠 समान विमीय सूत्र वाली राशियाँ
एक प्रिय प्रश्न-प्रकार पूछता है कि चार राशियों में किसकी विमाएँ पाँचवीं के समान हैं, अतः प्रविष्टियों के बजाय परिवार सीखें। कार्य, ऊर्जा, ऊष्मा, बल-आघूर्ण व बल का आघूर्ण सभी [M L² T⁻²] हैं। दाब, प्रतिबल, ऊर्जा घनत्व व सभी प्रत्यास्थता मापांक सभी [M L⁻¹ T⁻²] हैं। कोणीय संवेग, प्लांक नियतांक व क्रिया [M L² T⁻¹] साझा करते हैं। आवेग व संवेग [M L T⁻¹] साझा करते हैं। आवृत्ति, कोणीय आवृत्ति, वेग प्रवणता व क्षय नियतांक सभी [T⁻¹] हैं। ध्यानपूर्वक देखें कि बल-आघूर्ण व कार्य की विमाएँ समान हैं परंतु वे भौतिक रूप से भिन्न हैं — एक अदिश व एक सदिश — और ठीक इसीलिए केवल विमीय विश्लेषण किसी सूत्र को शुद्ध कभी सिद्ध नहीं कर सकता।
ℹ️ विमाहीन राशियाँ, व वे जिनकी इकाई नहीं परंतु नाम है
कोण (रेडियन), घन कोण (स्टेरेडियन), विकृति, अपवर्तनांक, आपेक्षिक घनत्व, प्वासों अनुपात, घर्षण गुणांक, परावैद्युत नियतांक, रेनॉल्ड्स संख्या व सभी शुद्ध अनुपात विमाहीन हैं। दो परिणाम पूछे जाते हैं। प्रथम, जो कुछ sin, cos, log या घातांकी के तर्क रूप में आए वह विमाहीन होना ही चाहिए — यह एक तथ्य ही उस पूरे वर्ग के प्रश्न हल कर देता है जहाँ आपसे घातांक के भीतर किसी नियतांक की विमाएँ पूछी जाती हैं। द्वितीय, विमाहीन राशि का संख्यात्मक मान प्रत्येक मात्रक-पद्धति में समान होता है, इसीलिए अपवर्तनांक व विकृति को रूपांतरण नहीं चाहिए।

विमीय विश्लेषण क्या कर सकता है और क्या नहीं

समघातता का सिद्धांत पूरा इंजन है: किसी भी वैध भौतिक समीकरण में प्रत्येक योज्य पद की विमाएँ समान होती हैं। उस एक विचार से तीन उपयोग व दो कठोर सीमाएँ निकलती हैं।

तीन उपयोग, व वे दो सीमाएँ जिनका प्रश्न उपयोग करते हैं
उपयोग / सीमावह कैसे कार्य करता है
समीकरण जाँचनायदि दो जोड़े गए पदों की विमाएँ भिन्न हों, तो समीकरण निश्चित रूप से अशुद्ध है
पद्धतियों के बीच रूपांतरणn₁[M₁ᵃL₁ᵇT₁ᶜ] = n₂[M₂ᵃL₂ᵇT₂ᶜ] — भौतिक राशि वही है, अतः संख्याएँ मात्रक-आकारों के व्युत्क्रमानुपाती बदलती हैं
संबंध व्युत्पन्न करनाQ ∝ aˣbʸcᶻ मानें, दोनों पक्षों पर M, L, T की घातें बराबर करें, x, y, z हेतु हल करें
सीमा 1 — नियतांक नहींविमाहीन गुणक विधि को नहीं दिखते, अतः वह T = k√(l/g) देती है, 2π कभी नहीं
सीमा 2 — योग नहीं, व समान-विमा राशियों में भेद नहींवह s = ut + ½at² नहीं दे सकती, और बल-आघूर्ण को कार्य से अलग नहीं बता सकती
🧠 वह व्युत्पत्ति जो पूछी जाती है, एक बार हल की गई
ज्ञात करें कि सरल दोलक का आवर्तकाल T लंबाई l, द्रव्यमान m व g पर कैसे निर्भर है। T ∝ lˣ mʸ gᶻ मानें और विमाएँ लिखें: [T] = [L]ˣ[M]ʸ[LT⁻²]ᶻ। प्रत्येक मूल अलग-अलग मिलाएँ। M: 0 = y, अतः आवर्तकाल द्रव्यमान पर निर्भर ही नहीं कर सकता — जो वास्तविक भौतिक परिणाम है, किसी प्रयोग के बिना प्राप्त। T: 1 = −2z, अतः z = −½। L: 0 = x + z, अतः x = +½। अतः T ∝ √(l/g), और प्रयोग वह 2π देता है जो विमाएँ नहीं दे सकतीं। दो आदतें इसे परीक्षा में तेज़ बनाती हैं: सदा उस मूल को पहले बराबर करें जो सबसे कम बार आता है (यहाँ M, क्योंकि वह एक बार आता है), और स्मरण रखें कि शून्य घातांक स्वयं कहने योग्य उत्तर है।
⚠️ विमीय रूप से शुद्ध का अर्थ शुद्ध नहीं
प्रश्न इसे सीधे जाँचते हैं। s = ut + at² विमीय रूप से निर्दोष व भौतिक रूप से अशुद्ध है, क्योंकि ½ अनुपस्थित है — और विमाएँ शुद्ध संख्या नहीं देख सकतीं। इसी प्रकार v² = u² + 2as व v² = u² + 3as दोनों विमीय रूप से ठीक हैं। अतः तर्क केवल एक दिशा में चलता है: विमीय असफलता समीकरण को अशुद्ध सिद्ध करती है, विमीय सफलता कुछ सिद्ध नहीं करती। विकल्पों की भाषा ध्यान से पढ़ें, क्योंकि "कौन विमीय रूप से शुद्ध है" पूछने वाले और "कौन शुद्ध है" पूछने वाले प्रश्न के, उन्हीं चार विकल्पों में, भिन्न उत्तर हो सकते हैं।

त्रुटियाँ — वे कैसे जुड़ती हैं

दो विचार इस पूरे प्रकरण को समेटते हैं। निरपेक्ष त्रुटि Δa किसी मापन में अनिश्चितता है; आपेक्षिक (भिन्नात्मक) त्रुटि Δa/a है और प्रतिशत त्रुटि 100 Δa/a। कौन-सी संचरित होती है और कैसे, यह केवल इस पर निर्भर है कि राशियाँ जोड़ी गई हैं या गुणा।

चार संचरण नियम — यही तालिका अध्याय है
संक्रियानियमटिप्पणी
Z = A + B या A − Bनिरपेक्ष त्रुटियाँ जुड़ती हैं: ΔZ = ΔA + ΔBवे घटाने पर भी जुड़ती हैं — त्रुटियाँ रद्द कभी नहीं होतीं
Z = A × B या A / Bआपेक्षिक त्रुटियाँ जुड़ती हैं: ΔZ/Z = ΔA/A + ΔB/Bपुनः जोड़, चाहे गुणा हो या भाग
Z = AⁿΔZ/Z = |n| · ΔA/Aवर्ग त्रुटि दोगुनी करता है; वर्गमूल आधी
Z = AᵖBᑫ/CʳΔZ/Z = p(ΔA/A) + q(ΔB/B) + r(ΔC/C)सभी पद धनात्मक — जो बताया जाता है वह न्यूनतम-अनुकूल स्थिति है
🎯 सर्वाधिक घात क्यों प्रभावी होती है, और किसे सावधानी से मापें
चूँकि त्रुटियाँ अपने घातांकों से गुणित होकर आती हैं, सर्वाधिक घात वाली राशि अनिश्चितता पर प्रभावी होती है। यंग मापांक संबंध Y = 4MgL/(πd²x) में व्यास d की 1% त्रुटि 2% देती है, जबकि L की 1% त्रुटि 1% देती है। अतः व्यावहारिक निर्देश है कि सर्वाधिक-घात वाली राशि सर्वाधिक सावधानी से मापें — और ठीक इसीलिए तार का व्यास स्क्रू गेज (अल्पतमांक 0.01 मिमी) से मापा जाता है जबकि उसकी लंबाई मीटर पैमाने से चल जाती है। प्रश्न बारंबार "कौन-सा मापन सर्वाधिक परिशुद्धता से किया जाना चाहिए" रूप में बनते हैं, और उत्तर सदा सर्वाधिक घातांक वाला होता है, न्यूनतम मान वाला नहीं।
⚠️ सार्थक अंक — वे दो नियम जो भिन्न हैं
गुणा व भाग हेतु परिणाम में उतने सार्थक अंक रहते हैं जितने न्यूनतम परिशुद्ध गुणक में: 4.237 × 2.1 = 8.9, 8.8977 नहीं। जोड़ व घटाव हेतु परिणाम में उतने दशमलव स्थान रहते हैं जितने न्यूनतम वाले पद में: 12.11 + 8.2 = 20.3। ये दो नियम वास्तव में भिन्न हैं — एक सार्थक अंक गिनता है, दूसरा दशमलव स्थान — और उन्हें भ्रमित करना मानक त्रुटि है। दो अन्य बातें: दशमलव के पश्चात् के अंत्य शून्य सार्थक होते हैं (2.30 में तीन हैं), और मात्रक बदलने से गणना कभी नहीं बदलती, अतः 2.30 मी, 230 सेमी व 0.00230 किमी सभी तीन सार्थक अंक रखते हैं। यह खंड B में सीधे महत्वपूर्ण है, जहाँ प्रश्न आपके लिखे उत्तर हेतु दशमलव स्थानों की संख्या निर्दिष्ट कर सकता है।

मुख्य बिंदु

  • सात मूल विमाएँ: M, L, T, A, K, mol, cd। प्रत्येक व्युत्पन्न राशि उनकी घातों का गुणनफल है।
  • कार्य, ऊर्जा, ऊष्मा व बल-आघूर्ण सभी [M L² T⁻²] साझा करते हैं; दाब, प्रतिबल व सभी मापांक [M L⁻¹ T⁻²]।
  • sin, cos, log या घातांकी के भीतर जो कुछ हो वह विमाहीन होना ही चाहिए — यही एक बात प्रश्नों का एक वर्ग हल कर देती है।
  • विमीय असफलता समीकरण को अशुद्ध सिद्ध करती है; विमीय सफलता कुछ सिद्ध नहीं करती (s = ut + at² विमीय रूप से ठीक है)।
  • विमीय विश्लेषण विमाहीन नियतांक नहीं दे सकता — वह T ∝ √(l/g) देता है, 2π कभी नहीं।
  • जोड़ या घटाव → निरपेक्ष त्रुटियाँ जुड़ती हैं। गुणा या भाग → आपेक्षिक त्रुटियाँ जुड़ती हैं। दोनों, व्युत्क्रम संक्रिया पर भी।
  • Z = Aⁿ हेतु ΔZ/Z = |n|ΔA/A, अतः सर्वाधिक-घात वाली राशि सर्वाधिक परिशुद्धता से मापें।
  • गुणा में न्यूनतम सार्थक अंक रहते हैं; जोड़ में न्यूनतम दशमलव स्थान — भिन्न नियम।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. निम्न में से किसकी विमाएँ [M L² T⁻²] नहीं हैं?

    1. बल-आघूर्ण
    2. कार्य
    3. शक्ति
    4. ऊष्मा
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — शक्ति

    शक्ति प्रति एकांक समय ऊर्जा है, अतः वह [M L² T⁻³] है — T⁻¹ की एक अतिरिक्त घात। बल-आघूर्ण, कार्य व ऊष्मा सभी [M L² T⁻²] साझा करते हैं। ध्यान दें कि बल-आघूर्ण व कार्य की विमाएँ समान होते हुए भी वे भौतिक रूप से भिन्न हैं (सदिश व अदिश), और ठीक इसीलिए विमीय विश्लेषण किसी सूत्र को शुद्ध कभी सिद्ध नहीं कर सकता।

  2. समीकरण y = A sin(kx − ωt) में k की विमाएँ हैं:

    1. [L]
    2. [L⁻¹]
    3. [T⁻¹]
    4. विमाहीन
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — [L⁻¹]

    ज्या का तर्क विमाहीन होना चाहिए, अतः kx विमाहीन है और x की [L] रद्द करने हेतु k को [L⁻¹] होना ही चाहिए। उसी तर्क से ωt विमाहीन है, जो ω = [T⁻¹] देता है। यह एक सिद्धांत — कि sin, cos, log या घातांकी के भीतर जो कुछ हो वह विमाहीन है — प्रश्नों का पूरा परिवार हल कर देता है।

  3. समीकरण s = ut + at² के विषय में कौन-सा कथन सही है?

    1. वह विमीय रूप से अशुद्ध व भौतिक रूप से अशुद्ध है
    2. वह विमीय रूप से शुद्ध परंतु भौतिक रूप से अशुद्ध है
    3. वह विमीय व भौतिक दोनों रूप से शुद्ध है
    4. उसकी शुद्धता विमीय रूप से आँकी नहीं जा सकती
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — वह विमीय रूप से शुद्ध परंतु भौतिक रूप से अशुद्ध है

    ut व at² दोनों की विमाएँ [L] हैं, अतः समीकरण विमीय रूप से समघात है — फिर भी वह अशुद्ध है, क्योंकि गुणक ½ अनुपस्थित है और विमाएँ शुद्ध संख्या नहीं पकड़ सकतीं। यह मानक उदाहरण है कि विमीय असफलता समीकरण का खंडन करती है जबकि विमीय सफलता कुछ सिद्ध नहीं करती।

  4. यदि Z = A²B / C³, और A, B, C में क्रमशः 1%, 2% व 1% प्रतिशत त्रुटियाँ हैं, तो Z में प्रतिशत त्रुटि है:

    1. 4%
    2. 7%
    3. 1%
    4. 3%
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 7%

    आपेक्षिक त्रुटियाँ जुड़ती हैं, प्रत्येक अपने घातांक के परिमाण से गुणित: 2(1%) + 1(2%) + 3(1%) = 2 + 2 + 3 = 7%। C का घातांक 3 है यद्यपि वह हर में है — सभी पद धनात्मक रूप से आते हैं, क्योंकि बताई गई त्रुटि न्यूनतम-अनुकूल स्थिति है और त्रुटियाँ रद्द कभी नहीं होतीं।

  5. यंग मापांक Y = 4MgL/(πd²x) से निकाला जाता है। किस राशि को सर्वाधिक परिशुद्धता से मापा जाना चाहिए?

    1. द्रव्यमान M
    2. लंबाई L
    3. व्यास d
    4. विस्तार x
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — व्यास d

    व्यास वर्ग रूप में आता है, अतः परिणाम में उसकी आपेक्षिक त्रुटि दोगुनी होती है जबकि M, L व x अपनी त्रुटि एक-एक बार देते हैं। ठीक इसीलिए तार का व्यास 0.01 मिमी अल्पतमांक वाले स्क्रू गेज से मापा जाता है जबकि उसकी लंबाई मीटर पैमाने से पर्याप्त रूप से मापी जाती है। उत्तर सदा सर्वाधिक घातांक होता है, न्यूनतम मान नहीं।

  6. Z = A − B, जहाँ A = 10.0 ± 0.2 व B = 8.0 ± 0.3। परिणाम है:

    1. 2.0 ± 0.1
    2. 2.0 ± 0.5
    3. 2.0 ± 0.25
    4. 18.0 ± 0.5
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2.0 ± 0.5

    योग या अंतर हेतु निरपेक्ष त्रुटियाँ जुड़ती हैं: 0.2 + 0.3 = 0.5। वे राशियों के घटाए जाने पर भी जुड़ती हैं, क्योंकि त्रुटियाँ रद्द कभी नहीं होतीं — लुभावना 0.1 उन्हें घटाने से आता है। यह भी देखें कि यह मापन कितना दुर्बल है: 2.0 मान पर 0.5 की निरपेक्ष त्रुटि 25% आपेक्षिक त्रुटि है, इसीलिए प्रयोग-रचना में दो लगभग समान राशियों को घटाने से बचा जाता है।

  7. 4.237 × 2.1 का परिणाम, शुद्ध सार्थक अंकों में व्यक्त, है:

    1. 8.8977
    2. 8.90
    3. 8.9
    4. 9
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 8.9

    गुणा में परिणाम में उतने सार्थक अंक रहते हैं जितने न्यूनतम परिशुद्ध गुणक में, और 2.1 में दो हैं, अतः उत्तर 8.9 है। ध्यान दें कि जोड़ का नियम भिन्न है — वहाँ परिणाम में न्यूनतम दशमलव स्थान रहते हैं, अतः 12.11 + 8.2 = 20.3। दोनों नियमों को भ्रमित करना मानक त्रुटि है।

  8. सरल दोलक के आवर्तकाल हेतु विमीय विश्लेषण T ∝ lˣ mʸ gᶻ देता है:

    1. x = ½, y = 0, z = −½
    2. x = ½, y = ½, z = −½
    3. x = 1, y = 0, z = −1
    4. x = −½, y = 0, z = ½
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — x = ½, y = 0, z = −½

    [T] = [L]ˣ[M]ʸ[LT⁻²]ᶻ को मूल-दर-मूल मिलाने पर: M देता है y = 0, अतः आवर्तकाल द्रव्यमान पर निर्भर नहीं कर सकता — प्रयोग के बिना प्राप्त वास्तविक भौतिक परिणाम; T देता है 1 = −2z अतः z = −½; L देता है 0 = x + z अतः x = ½। अतः T ∝ √(l/g)। विमाएँ 2π नहीं दे सकतीं, जो विधि की मूलभूत सीमा है।