त्रिविम ज्यामिति

त्रिविम ज्यामिति प्रश्नपत्र का सर्वाधिक क्रमबद्ध विषय है, क्योंकि प्रत्येक वस्तु दो में एक चीज़ से वर्णित है: रेखा हेतु दिशा और तल हेतु अभिलंब। जब आप जान लें कि प्रश्न आपको उनमें कौन देता है, सूत्र बिना विकल्प निकल आता है। दो आयामों की तुलना में एक वास्तव में नया विचार यह है कि दिक्स्थान में दो रेखाओं का मिलना आवश्यक नहीं व समांतर होना आवश्यक नहीं — वे विषमतलीय हो सकती हैं, और प्रश्नों का बड़ा भाग यह जाँचने हेतु है कि आपने प्रतिच्छेद मान लेने के बजाय उस संभावना की जाँच की या नहीं।

रेखाएँ व तल

त्रिविम में मानक रूप
वस्तुरूपसंख्याओं का अर्थ
बिंदु से जाती रेखा(x − x₁)/a = (y − y₁)/b = (z − z₁)/c⟨a, b, c⟩ दिक्-अनुपात हैं
सदिश रूप में रेखाr⃗ = a⃗ + λb⃗a⃗ उस पर बिंदु, b⃗ उसकी दिशा
तलax + by + cz + d = 0⟨a, b, c⟩ तल पर अभिलंब है
सदिश रूप में तलr⃗·n⃗ = dn⃗ अभिलंब, d/|n⃗| मूल बिंदु से दूरी
बिंदु से तल की दूरी|ax₁ + by₁ + cz₁ + d|/√(a² + b² + c²)एक अतिरिक्त पद सहित द्वि-विम सूत्र
दिक्-कोसाइनl, m, n, l² + m² + n² = 1 सहितदिक्-अनुपात, उनके परिमाण से भाग
🧠 त्रिविम में प्रत्येक कोण दिशा व अभिलंब के बीच अदिश गुणनफल पर सिमटता है
इस अध्याय में केवल तीन कोण-प्रश्न हैं व उन सबके पीछे एक विचार। दो रेखाओं के बीच कोण उनके दिक्-सदिशों के बीच कोण है, अतः cos θ = |b₁·b₂|/(|b₁||b₂|)। दो तलों के बीच कोण उनके अभिलंबों के बीच कोण है, उसी प्रकार गणित। और रेखा व तल के बीच कोण दिशा व अभिलंब के बीच कोण का पूरक है, अतः sin θ = |b·n|/(|b||n|) — कोसाइन नहीं, साइन ध्यान दें, क्योंकि रेखा अपना कोण अभिलंब के बजाय तल से बनाती है। साइन का कोसाइन से वह एक अदल-बदल सम्पूर्ण विषय का सर्वाधिक बार छूटता ब्योरा है।

दो परिणाम सीधे निकलते हैं। रेखा तल के समांतर है जब उसकी दिशा अभिलंब पर लंब हो, अर्थात् जब b·n = 0, और वह तल में स्थित है यदि इसके अतिरिक्त उसका कोई एक बिंदु तल-समीकरण संतुष्ट करे। रेखा तल पर लंब है जब उसकी दिशा अभिलंब के समांतर हो। ध्यान दें कि शर्तें सहज ज्ञान के सापेक्ष कैसे उलटती हैं: तल के समांतर का अर्थ अभिलंब पर लंब, जो यहाँ अधिकांश चिह्न-भ्रम का स्रोत है।

विषमतलीय रेखाएँ व न्यूनतम दूरियाँ

🎯 दिक्स्थान में दो रेखाएँ प्रायः एक-दूसरे से क्यों चूक जाती हैं
तल में दो असमांतर रेखाओं को मिलना ही होगा, क्योंकि उनके जाने हेतु कहीं नहीं है। दिक्स्थान में वे पूर्णतः एक-दूसरे के ऊपर से जा सकती हैं — भिन्न ऊँचाइयों पर दो सड़कें सोचें जो कभी नहीं कटतीं — और ऐसी रेखाएँ विषमतलीय कहलाती हैं। अतः त्रिविम में दो के बजाय तीन संभावनाएँ हैं: समांतर, प्रतिच्छेदी, या विषमतलीय। परीक्षण अदिश त्रिक गुणनफल [a₂ − a₁, b₁, b₂] है: यदि वह शून्य हो तो रेखाएँ समतलीय व अतः या समांतर या प्रतिच्छेदी हैं, और यदि शून्येतर हो तो वे विषमतलीय हैं व कोई प्रतिच्छेद-बिंदु नहीं। समीकरण युगपत हल कर असंगति पाना वही खोज है जो धीमे पहुँची, इसीलिए त्रिक गुणनफल परीक्षण पहले करने योग्य है।
न्यूनतम-दूरी सूत्र
किनके बीचन्यूनतम दूरी
दो विषमतलीय रेखाएँ|(a₂ − a₁)·(b₁ × b₂)| / |b₁ × b₂|
दो समांतर रेखाएँ|(a₂ − a₁) × b| / |b|
बिंदु व तल|ax₁ + by₁ + cz₁ + d| / √(a² + b² + c²)
दो समांतर तलगुणांक मिलाने के पश्चात् |d₁ − d₂| / √(a² + b² + c²)
प्रतिच्छेदी रेखाएँशून्य — वे मिलती हैं
⚠️ दो तलों के अचर घटाने से पूर्व गुणांक मिलाएँ
समांतर तलों के बीच दूरी |d₁ − d₂|/√(a² + b² + c²) है, परंतु सूत्र मानता है कि दोनों तल x, y व z के समान गुणांकों सहित लिखे हैं। 2x + y − z = 3 व 4x + 2y − 2z = 5 हेतु आपको पहले द्वितीय को 2 से भाग देना होगा कि 2x + y − z = 2.5 मिले, और तब ही अचरों का अंतर अर्थपूर्ण है — 3 व 5 सीधे घटाना लगभग दुगुना बड़ा उत्तर देता है। वही सामान्यीकरण मुद्दा अवकल समीकरणों में समाकलन गुणक के साथ आया था, और शिक्षा सामान्यीकृत होती है: दो समीकरणों की तुलना करता सूत्र उन्हें पहले एक ही पैमाने में लिखा चाहता है।

दो रचनाएँ अध्याय पूर्ण करती हैं। दो तलों P₁ = 0 व P₂ = 0 के प्रतिच्छेद से जाता तल कुल P₁ + λP₂ = 0 है, और एक और शर्त लगाना — दिए बिंदु से जाना, या अन्य तल पर लंब होना — λ नियत कर देता है। और तल में बिंदु का प्रतिबिंब बिंदु से अभिलंब के साथ लंब दूरी के दुगुने चलकर मिलता है, इसी प्रकार लंब-पाद भी ज्ञात होता है; पाद बिंदु व उसके प्रतिबिंब का मध्य-बिंदु है, वह संबंध जाँच के रूप में प्रयोग करने योग्य है।

मुख्य बिंदु

  • रेखा दिशा से व तल अभिलंब से वर्णित है — पहले पहचानें प्रश्न आपको कौन देता है।
  • दिक्-कोसाइन l² + m² + n² = 1 संतुष्ट करते हैं; दिक्-अनुपात कोई भी समानुपाती त्रिक हैं।
  • रेखाओं के बीच या तलों के बीच कोण कोसाइन प्रयोग करता है; रेखा व तल के बीच कोण साइन।
  • रेखा तल के समांतर है जब b·n = 0, और लंब जब b, n के समांतर हो।
  • दिक्स्थान में दो रेखाएँ समांतर, प्रतिच्छेदी या विषमतलीय हो सकती हैं — अदिश त्रिक गुणनफल से परखें।
  • विषमतलीय रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी |(a₂ − a₁)·(b₁ × b₂)|/|b₁ × b₂| है।
  • समांतर तलों के बीच दूरी हेतु अचर घटाने से पूर्व गुणांक सामान्यीकृत करें।
  • P₁ + λP₂ = 0 दो दिए तलों के प्रतिच्छेद से जाते तलों का कुल है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. दिशा b वाली रेखा व अभिलंब n वाले तल के बीच कोण θ संतुष्ट करता है:

    1. cos θ = |b·n|/(|b||n|)
    2. sin θ = |b·n|/(|b||n|)
    3. tan θ = |b·n|/(|b||n|)
    4. सदा θ = 90°
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — sin θ = |b·n|/(|b||n|)

    अदिश गुणनफल रेखा व अभिलंब के बीच कोण देता है, और स्वयं तल से कोण उसका पूरक है, अतः कोसाइन साइन बन जाता है। बजाय कोसाइन प्रयोग करना इस अध्याय की सर्वाधिक बार होती त्रुटि है, और वह ठीक 90° घटा सही मान से ग़लत उत्तर देती है — जब भी त्रिविम कोण अविश्वसनीय रूप से बड़ा या छोटा दिखे तब जाँचने योग्य।

  2. दिक्स्थान में दो रेखाएँ जो न समांतर न प्रतिच्छेदी हों, कहलाती हैं:

    1. समतलीय
    2. विषमतलीय
    3. संरेख
    4. त्रिविम में असंभव
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — विषमतलीय

    विषमतलीय रेखाएँ बिना मिले व बिना समांतर होते एक-दूसरे के ऊपर से जाती हैं, वह संभावना जो तल में नहीं है। वे परिभाषा से असमतलीय हैं, ठीक वही अदिश त्रिक गुणनफल परीक्षण पकड़ता है: [a₂ − a₁, b₁, b₂] का शून्येतर मान पुष्टि करता है कि रेखाएँ विषमतलीय हैं व कोई प्रतिच्छेद-बिंदु नहीं मिल सकता।

  3. ax + by + cz + d = 0 में त्रिक ⟨a, b, c⟩ निरूपित करता है:

    1. तल पर एक बिंदु
    2. तल पर अभिलंब
    3. तल में स्थित एक दिशा
    4. मूल बिंदु से दूरी
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — तल पर अभिलंब

    गुणांक तल पर लंब सदिश बनाते हैं, इसीलिए दूरी सूत्र √(a² + b² + c²) से भाग देता है — वह अभिलंब परिमाण है। गुणांकों को अभिलंब पहचानना ही प्रत्येक कोण व समांतरता प्रश्न को यांत्रिक बनाता है: तल के समांतर रेखा की दिशा इस त्रिक पर लंब है, और तल पर लंब रेखा की दिशा उसके समांतर।

  4. दिशा b वाली रेखा अभिलंब n वाले तल के समांतर है जब:

    1. b, n के समांतर हो
    2. b·n = 0
    3. b × n = 0
    4. |b| = |n|
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — b·n = 0

    तल के समांतर होने का अर्थ है रेखा उससे बाहर नहीं चढ़ती, अतः उसकी दिशा अभिलंब पर लंब होनी चाहिए, जो ठीक b·n = 0 है। शर्तें सहज ज्ञान के सापेक्ष उलटती हैं: b, n के समांतर, तुल्य रूप से b × n = 0, रेखा को बजाय तल पर लंब बनाता है। वह उलटाव मन में रखना इस विषय का अधिकांश चिह्न-भ्रम हटा देता है।

  5. तलों 2x + y − z = 3 व 4x + 2y − 2z = 5 के बीच दूरी हेतु आपको पहले करना होगा:

    1. 5 से 3 सीधे घटाना
    2. द्वितीय समीकरण को 2 से भाग देना कि गुणांक मेल खाएँ
    3. प्रत्येक तल पर एक बिंदु ज्ञात करना
    4. अभिलंबों का सदिश गुणनफल निकालना
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — द्वितीय समीकरण को 2 से भाग देना कि गुणांक मेल खाएँ

    सूत्र |d₁ − d₂|/√(a² + b² + c²) केवल तब वैध है जब दोनों तल समान गुणांक वहन करें, अतः अचरों की तुलना से पूर्व द्वितीय समीकरण को 2x + y − z = 2.5 तक मापित करना होगा। पुनर्मापन के बिना 5 से 3 घटाना लगभग दुगुना बड़ा उत्तर देता है। अभिलंबों का सदिश गुणनफल यहाँ शून्य होगा, जो केवल पुष्टि करता है कि तल समांतर हैं।

  6. रेखा के दिक्-कोसाइन l, m, n सदा संतुष्ट करते हैं:

    1. l + m + n = 1
    2. l² + m² + n² = 1
    3. lmn = 1
    4. l = m = n
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — l² + m² + n² = 1

    दिक्-कोसाइन रेखा के साथ एकक सदिश के घटक हैं, अतः उनके वर्गों का योग 1 है। दिक्-अनुपातों को ऐसी कोई शर्त संतुष्ट करना आवश्यक नहीं, क्योंकि कोई भी समानुपाती त्रिक वही दिशा वर्णित करता है — अनुपातों के समुच्चय को √(a² + b² + c²) से भाग देना ही ठीक वह प्रकार है जिससे कोसाइन मिलते हैं, और वही सामान्यीकरण सर्वसमिका हेतु बाध्य करता है।

  7. P₁ = 0 व P₂ = 0 के प्रतिच्छेद से जाते तलों का कुल है:

    1. P₁ · P₂ = 0
    2. P₁ + λP₂ = 0
    3. केवल P₁ − P₂ = 0
    4. P₁ × P₂ = 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — P₁ + λP₂ = 0

    सामान्य रेखा पर कोई भी बिंदु दोनों समीकरण संतुष्ट करता है और अतः प्रत्येक λ हेतु P₁ + λP₂ = 0 संतुष्ट करता है, अतः वह व्यंजक रेखा युक्त तलों का सम्पूर्ण कुल वर्णित करता है। एक और शर्त — नामित बिंदु से जाना, या तृतीय तल पर लंब होना — λ नियत कर देती है। विशेष स्थिति λ = −1 कुल का एक सदस्य देती है, स्वयं कुल नहीं।

  8. दो प्रतिच्छेदी रेखाओं के बीच न्यूनतम दूरी है:

    1. विषमतलीय-रेखा सूत्र से दी
    2. शून्य
    3. उनके दिक्-सदिशों के बीच दूरी
    4. अपरिभाषित
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — शून्य

    प्रतिच्छेदी रेखाएँ एक बिंदु साझा करती हैं, अतः उनके बीच न्यूनतम दूरी शून्य है। उन पर विषमतलीय सूत्र लगाना फिर भी शून्य देगा, क्योंकि अंश में अदिश त्रिक गुणनफल समतलीय रेखाओं हेतु लुप्त होता है — उपयोगी संगति जाँच जो यह भी दर्शाती है कि उस सूत्र से शून्येतर परिणाम रेखाओं के विषमतलीय होने को क्यों सिद्ध करता है।