प्रायिकता व सांख्यिकी

प्रायिकता वह विषय है जहाँ सहज ज्ञान न्यूनतम विश्वसनीय है, अतः वह परिभाषाओं पर कठोर होने का प्रतिफल देता है। दो भेद अधिकांश अंक उठाते हैं। प्रथम है परस्पर अपवर्जी बनाम स्वतंत्र — दोनों प्रायः भ्रमित होते हैं और वस्तुतः लगभग विपरीत हैं, क्योंकि परस्पर अपवर्जी घटनाएँ साथ नहीं हो सकतीं जबकि स्वतंत्र घटनाएँ एक-दूसरे को प्रभावित नहीं करतीं। द्वितीय है सप्रतिबंध प्रायिकता, जहाँ प्रश्न यह नहीं कि क्या संभाव्य है बल्कि यह कि क्या संभाव्य है यह दिया होने पर कि कुछ और पहले हो चुका है; और वह बदलाव, बेज़ प्रमेय में औपचारिक, ऐसे उत्तर देता है जो नियमित रूप से लोगों को चौंकाते हैं। तत्पश्चात् सांख्यिकी छोटा व सूत्रबद्ध परिशिष्ट है।

योग व गुणन नियम

नियम व प्रत्येक कब लागू
स्थितिनियम
कोई दो घटनाएँP(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
परस्पर अपवर्जी घटनाएँP(A ∩ B) = 0, अतः P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
स्वतंत्र घटनाएँP(A ∩ B) = P(A)·P(B)
सप्रतिबंध प्रायिकताP(B) ≠ 0 हेतु P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
पूरकP(A नहीं) = 1 − P(A)
"कम से कम एक"1 − P(कोई नहीं), लगभग सदा तेज़ मार्ग
🎯 परस्पर अपवर्जी व स्वतंत्र लगभग विपरीत विचार क्यों हैं
परस्पर अपवर्जी का अर्थ है दोनों घटनाएँ साथ नहीं हो सकतीं, अतः P(A ∩ B) = 0। स्वतंत्र का अर्थ है एक हुई यह जानना दूसरी के विषय में कुछ नहीं बताता, अतः P(A ∩ B) = P(A)P(B)। वे एक विषय के प्रकार नहीं — वे टकराते हैं। यदि शून्येतर प्रायिकताओं वाली दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी हों, तो A हुई यह जानना बताता है कि B निश्चित रूप से नहीं हुई, जो संभव प्रबलतम निर्भरता है। अतः धन प्रायिकता वाली दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी व स्वतंत्र दोनों नहीं हो सकतीं, और दोनों का दावा करता प्रश्न असंभवता वर्णित कर रहा है। दोनों शर्तें पृथक् परखना, उन्हें विनिमेय मानने के बजाय, ही इस खंड को विश्वसनीय रखता है।
🧠 "कम से कम एक" को एक घटा "कोई नहीं" में बदलें
कम से कम एक सफलता की प्रायिकता सीधे निकालने का अर्थ है ठीक एक, ठीक दो, ठीक तीन आदि की स्थितियाँ जोड़ना — दीर्घ योग जो परीक्षणों की संख्या से बढ़ता है। पूरक एकल पद है: P(कम से कम एक) = 1 − P(कोई नहीं)। छह पासे फेंकने पर कम से कम एक छक्के की प्रायिकता 1 − (5/6)⁶ है, जो छह के बजाय एक पंक्ति है। वही चाल "कम से कम दो" को 1 − P(कोई नहीं) − P(ठीक एक) के रूप में सँभालती है, और सामान्य सिद्धांत ले जाने योग्य है: जब भी शब्दावली "कम से कम" हो, आरंभ से पूर्व जाँचें कि पूरक छोटा है या नहीं।

सप्रतिबंध प्रायिकता व बेज़ प्रमेय

कुल प्रायिकता प्रमेय घटना को निःशेष विकल्पों के समुच्चय में बाँटती है: P(A) = ΣP(Eᵢ)P(A|Eᵢ)। बेज़ प्रमेय उसे उलटा चलाती है, यह पूछते हुए कि A हुई यह दिया होने पर कौन विकल्प उत्तरदायी था: P(Eᵢ|A) = P(Eᵢ)P(A|Eᵢ) / ΣP(Eⱼ)P(A|Eⱼ)। सरलता से पढ़ें तो बेज़ साक्ष्य के प्रकाश में पूर्व विश्वास अद्यतन करती है, और हर केवल साक्ष्य की कुल प्रायिकता है।

📖 99 % यथार्थ परीक्षण फिर भी अधिकांश समय ग़लत क्यों हो सकता है
मान लें रोग 1000 में 1 व्यक्ति को होता है व परीक्षण उसे दोनों दिशाओं में 99 % यथार्थता से पकड़ता है। किसी का परीक्षण धनात्मक आता है — उसके बीमार होने की कितनी संभावना है? सहज ज्ञान 99 % कहता है, और सहज ज्ञान बुरी तरह ग़लत है। 100 000 लोगों में लगभग 100 बीमार हैं व उनमें 99 का परीक्षण धनात्मक आता है, जबकि 99 900 स्वस्थ हैं व उनमें भी लगभग 999 का परीक्षण धनात्मक आता है। अतः लगभग 1098 धनात्मकों में केवल 99 वास्तविक हैं — लगभग 9 %। कारण यह है कि रोग विरल है, अतः अत्यंत बड़े स्वस्थ समूह पर लगाई छोटी मिथ्या-धनात्मक दर सच्चे धनात्मकों को डुबा देती है। ठीक यही बेज़ प्रमेय गणना करती है, और इसीलिए पूर्व प्रायिकता यथार्थता के जितनी ही महत्वपूर्ण है: इस आकार का प्रश्न जाँच रहा है कि आपने यथार्थता को उत्तर पढ़ने के बजाय आधार-दर से गुणा किया या नहीं।

यादृच्छिक चर व सांख्यिकी

द्विपद बंटन व सारांश माप
राशिसूत्र
r सफलताओं की द्विपद प्रायिकताⁿCᵣ pʳ qn−r, q = 1 − p सहित
द्विपद का माध्यnp
द्विपद का प्रसरणnpq — सदा माध्य से कम
किसी भी यादृच्छिक चर की प्रत्याशाE(X) = Σ xᵢpᵢ
प्रसरणσ² = E(X²) − [E(X)]²
मानक विचलनσ = √प्रसरण, आँकड़ों के समान एकांकों में
⚠️ प्रसरण आँकड़े खिसकाने से अप्रभावित है परंतु गुणक के वर्ग के अनुपात में बदलता है
प्रत्येक प्रेक्षण में अचर जोड़ना माध्य को उस अचर से हटाता है व प्रसरण पूर्णतः अपरिवर्तित छोड़ता है, क्योंकि प्रसरण फैलाव मापता है व खिसकाना यह नहीं बदलता कि आँकड़े कितने फैले हैं। प्रत्येक प्रेक्षण को k से गुणा करना माध्य को k से परंतु प्रसरण को k² से गुणा करता है, क्योंकि प्रसरण वर्गित विचलनों से बना है। अतः यदि आँकड़ा-समुच्चय का माध्य 10 व प्रसरण 4 हो, तो प्रत्येक मान में 5 जोड़ना माध्य 15 व प्रसरण 4 देता है, जबकि प्रत्येक मान दुगुना करना माध्य 20 व प्रसरण 16 देता है। इस आकार के प्रश्न ठीक इसलिए सामान्य हैं कि प्रसरण को रैखिक रूप से मापित करना लुभावना है, और मानक विचलन — वर्गमूल होने से — k² के बजाय k से मापित होता है।

दो समापन प्रेक्षण। द्विपद बंटन हेतु प्रसरण npq सदा माध्य np से छोटा है, क्योंकि q < 1, अतः माध्य से बड़ा प्रसरण बताता प्रश्न द्विपद चर वर्णित नहीं करता — शीघ्र विश्वसनीयता जाँच। और माध्य, माध्यिका व बहुलक सममित बंटन हेतु मेल खाते हैं परंतु विषम हेतु पृथक् हो जाते हैं, आनुभविक संबंध बहुलक ≈ 3(माध्यिका) − 2(माध्य) तीन में केवल दो ज्ञात होने पर कार्यसाध्य आकलन देते हुए।

मुख्य बिंदु

  • परस्पर अपवर्जी का अर्थ P(A ∩ B) = 0; स्वतंत्र का अर्थ P(A ∩ B) = P(A)P(B) — लगभग विपरीत विचार।
  • धन प्रायिकता की दो घटनाएँ परस्पर अपवर्जी व स्वतंत्र दोनों नहीं हो सकतीं।
  • "कम से कम एक" हेतु 1 − P(कोई नहीं) निकालें — स्थितियाँ जोड़ने से लगभग सदा बहुत छोटा।
  • बेज़ पूर्व प्रायिकता को साक्ष्य से अद्यतन करती है; हर साक्ष्य की कुल प्रायिकता है।
  • विरल स्थिति हेतु अत्यधिक यथार्थ परीक्षण भी अधिकतर मिथ्या धनात्मक देता है — आधार-दर प्रभावी है।
  • द्विपद: P(r) = ⁿCᵣpʳqn−r, माध्य np, प्रसरण npq — प्रसरण सदा माध्य से नीचे।
  • आँकड़े खिसकाना प्रसरण अपरिवर्तित छोड़ता है; k से मापन प्रसरण को k² से गुणा करता है।
  • प्रसरण E(X²) − [E(X)]² है, और मानक विचलन आँकड़ों के समान एकांक वहन करता है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. दो घटनाएँ A व B, प्रत्येक धन प्रायिकता की, परस्पर अपवर्जी हैं। तब वे हैं:

    1. स्वतंत्र भी
    2. अनिवार्यतः आश्रित
    3. स्वतंत्र केवल यदि P(A) = P(B)
    4. वर्गीकृत करना असंभव
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अनिवार्यतः आश्रित

    परस्पर अपवर्जिता P(A ∩ B) = 0 देती है, जबकि स्वतंत्रता को P(A ∩ B) = P(A)P(B) चाहिए, जो दोनों प्रायिकताएँ धन होने पर धन है। अतः दोनों शर्तें साथ ठीक नहीं हो सकतीं — A हुई यह जानना बताता है कि B निश्चित रूप से नहीं हुई, जो संभव प्रबलतम निर्भरता है। दोनों पदों को विनिमेय मानना प्रायिकता की सर्वाधिक सामान्य संकल्पनात्मक त्रुटि है।

  2. छह पासे फेंके जाते हैं। कम से कम एक छक्का आने की प्रायिकता है:

    1. 6 × (1/6)
    2. 1 − (5/6)⁶
    3. (1/6)⁶
    4. (5/6)⁶
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 1 − (5/6)⁶

    "कम से कम एक छक्का" का पूरक "कोई छक्का नहीं" है, जिसकी प्रायिकता (5/6)⁶ है क्योंकि प्रत्येक पासा स्वतंत्र रूप से 5/6 प्रायिकता से छक्का टालता है। 1 से घटाना एक पंक्ति में उत्तर देता है, जबकि ठीक एक से ठीक छह छक्कों तक स्थितियाँ जोड़ना छह पद लेगा। प्रथम विकल्प अधिक पासों हेतु 1 से अधिक हो जाता है, जो दर्शाता है कि वह प्रायिकता ही नहीं हो सकता।

  3. n = 10 व p = 0.4 सहित द्विपद बंटन हेतु माध्य व प्रसरण हैं:

    1. 4 व 4
    2. 4 व 2.4
    3. 2.4 व 4
    4. 10 व 4
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 4 व 2.4

    माध्य np = 10 × 0.4 = 4 है व प्रसरण npq = 10 × 0.4 × 0.6 = 2.4। ध्यान दें कि प्रसरण माध्य से छोटा है, जो द्विपद हेतु सदा सत्य है क्योंकि q < 1 — अतः माध्य से बड़ा प्रसरण देता विकल्प तुरंत त्यागा जा सकता है क्योंकि वह द्विपद चर वर्णित ही नहीं करता।

  4. यदि आँकड़ा-समुच्चय के प्रत्येक प्रेक्षण में 5 जोड़ा जाए, तो:

    1. माध्य व प्रसरण दोनों 5 से बढ़ते हैं
    2. माध्य 5 से बढ़ता है व प्रसरण अपरिवर्तित
    3. माध्य अपरिवर्तित व प्रसरण 25 से बढ़ता है
    4. दोनों अपरिवर्तित
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — माध्य 5 से बढ़ता है व प्रसरण अपरिवर्तित

    खिसकाव प्रत्येक मान को साथ हटाता है, अतः औसत उनके साथ हटता है जबकि औसत के परितः फैलाव अछूता है — प्रसरण केवल माध्य से विचलनों पर निर्भर है, और वे अपरिवर्तित हैं। बजाय k से गुणा करना माध्य को k से व प्रसरण को k² से मापित करेगा, अतः दोनों संक्रियाएँ भिन्न रखने योग्य हैं: खिसकाव केवल स्थान प्रभावित करते हैं, मापन दोनों।

  5. रोग 1000 में 1 व्यक्ति को होता है व परीक्षण दोनों प्रकार 99 % यथार्थ है। किसी का परीक्षण धनात्मक आता है। उसे रोग होने की संभावना निकटतम है:

    1. 99 %
    2. 50 %
    3. 9 %
    4. 1 %
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 9 %

    100 000 लोगों में लगभग 100 बीमार हैं, जिनमें 99 का परीक्षण धनात्मक आता है, जबकि 99 900 स्वस्थ हैं व उनमें लगभग 999 का भी धनात्मक आता है। अतः लगभग 1098 धनात्मकों में लगभग 99 वास्तविक हैं, लगभग 9 % देते हुए। चूँकि रोग विरल है, विशाल स्वस्थ जनसंख्या पर लगाई छोटी मिथ्या-धनात्मक दर सच्चे धनात्मकों से अधिक हो जाती है — ठीक इसीलिए पूर्व प्रायिकता परीक्षण-यथार्थता के जितनी ही महत्वपूर्ण है।

  6. P(A|B) परिभाषित है:

    1. P(A ∩ B)/P(A)
    2. P(A ∩ B)/P(B), बशर्ते P(B) ≠ 0
    3. P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
    4. P(A)·P(B)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — P(A ∩ B)/P(B), बशर्ते P(B) ≠ 0

    B पर प्रतिबंधन ध्यान को प्रतिदर्श समष्टि के उस भाग तक सीमित करता है जहाँ B हुई, अतः हर P(B) होना चाहिए व अंश अतिव्यापन। बजाय P(A) से भाग देना P(B|A) देता है, भिन्न राशि — और दोनों केवल विशेष स्थितियों में बराबर हैं, ठीक वही असममिति सँभालने हेतु बेज़ प्रमेय है।

  7. यादृच्छिक चर X का प्रसरण गणित है:

    1. E(X²) + [E(X)]²
    2. E(X²) − [E(X)]²
    3. [E(X)]² − E(X²)
    4. E(X) − E(X²)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — E(X²) − [E(X)]²

    प्रसरण माध्य से प्रत्याशित वर्गित विचलन है, और उस व्यंजक का विस्तार E(X²) − [E(X)]² देता है। क्रम महत्वपूर्ण है: तृतीय विकल्प सही उत्तर का ऋणात्मक है व सदा ऋणात्मक आएगा, जो प्रसरण हेतु असंभव है — यदि अंकगणित कभी ऐसा दे तो उपयोगी चिह्न-जाँच।

  8. द्विपद बंटन हेतु प्रसरण है:

    1. सदा माध्य से अधिक
    2. सदा माध्य से कम
    3. सदा माध्य के बराबर
    4. कभी अधिक कभी कम
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — सदा माध्य से कम

    माध्य np है व प्रसरण npq, और चूँकि किसी भी वास्तविक द्विपद हेतु q = 1 − p कठोरतः 1 से कम है, प्रसरण सदा दोनों में छोटा है। वह किसी भी द्विपद प्रश्न पर तेज़ विश्वसनीयता जाँच देता है: यदि बताया प्रसरण बताए माध्य से अधिक हो, तो वर्णित बंटन द्विपद नहीं हो सकता व आँकड़े असंगत हैं।