सदिश बीजगणित

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

1. दो शून्येतर सदिश लंब हैं यदि:

   1. उनका सदिश गुणनफल शून्य हो
   2. उनका अदिश गुणनफल शून्य हो
   3. उनका योग शून्य हो
   4. उनके परिमाण बराबर हों
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — उनका अदिश गुणनफल शून्य हो

   चूँकि a·b = |a||b|cos θ, अदिश गुणनफल ठीक तब लुप्त होता है जब cos θ = 0, अर्थात् 90° पर। शून्य सदिश गुणनफल का अर्थ sin θ = 0 है अतः वह बजाय समांतर सदिशों का संकेत है — दोनों शर्तें पूरक हैं, और उन्हें मिला देना बहुत से प्रश्नों का उत्तर उलट देता है।

2. तीन सदिश तब और केवल तब समतलीय हैं जब:

   1. उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो
   2. उनके सभी अदिश गुणनफल शून्य हों
   3. उनके सभी सदिश गुणनफल शून्य हों
   4. उनके परिमाण बराबर हों
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — उनका अदिश त्रिक गुणनफल शून्य हो

   अदिश त्रिक गुणनफल तीनों सदिशों द्वारा घेरे समांतर षट्फलक के आयतन के बराबर है, और तीन सदिश ठीक तब एक तल में हैं जब वह डिब्बा सपाट हो व आयतन शून्य। सभी सदिश गुणनफल लुप्त होने का अर्थ होगा तीनों परस्पर समांतर हैं, जो बहुत प्रबल शर्त है व समतलीयता की आवश्यकता नहीं।

3. a व b द्वारा निरूपित आसन्न भुजाओं वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है:

   1. |a·b|
   2. |a × b|
   3. ½|a × b|
   4. ½|a·b|
   उत्तर देखें

   उत्तर: C — ½|a × b|

   सदिश गुणनफल का परिमाण दोनों सदिशों पर समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, और त्रिभुज उस समांतर चतुर्भुज का आधा है, अतः क्षेत्रफल ½|a × b| है। विकल्प दो समांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल है, जो इसलिए दिया गया कि आधे का गुणक भूलना सर्वाधिक सामान्य चूक है; अदिश गुणनफल ऐसा अदिश देता है जिसकी कोई क्षेत्रफल-व्याख्या ही नहीं।

4. a × (b × c) बराबर है:

   1. (a × b) × c
   2. (a·c)b − (a·b)c
   3. (a·b)c − (a·c)b
   4. (a × b)·c
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — (a·c)b − (a·b)c

   सदिश त्रिक गुणनफल कोष्ठक के मध्य सदिश को धन चिह्न देते हुए विस्तारित होता है: a × (b × c) = (a·c)b − (a·b)c, और अतः परिणाम b व c के तल में है। सदिश गुणनफल साहचर्य नहीं है, अतः प्रथम विकल्प सामान्यतः भिन्न सदिश है, और अंतिम विकल्प अदिश है व सदिश के बराबर नहीं हो सकता।

5. b पर a का प्रक्षेप है:

   1. (a·b)/|a|
   2. (a·b)/|b|
   3. |a × b|/|b|
   4. a·b
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — (a·b)/|b|

   प्रक्षेप मापता है कि a का कितना भाग b के साथ है, अतः वह |a|cos θ है, और cos θ = (a·b)/(|a||b|) लिखना (a·b)/|b| छोड़ता है। बजाय |a| से भाग देना a पर b का प्रक्षेप देता है, जो भिन्न राशि है — भाजक सदा उस सदिश का परिमाण है जिस पर आप प्रक्षेप कर रहे हैं।

6. सदिश गुणनफल हेतु a × b बराबर है:

   1. b × a
   2. −(b × a)
   3. |a||b|cos θ
   4. सदा शून्य
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — −(b × a)

   सदिश गुणनफल प्रति-क्रमविनिमेय है, अतः क्रम उलटना परिणामी सदिश की दिशा उलट देता है व उसका परिमाण बनाए रखता है। इसीलिए तल पर अभिलंब निकालते समय शीर्षों का क्रम महत्वपूर्ण है, और इसीलिए ½|a × b| के रूप में गणित क्षेत्रफल मापांक प्रयोग करता है — परिमाण ही ज्यामितीय अर्थ वहन करता है, चिह्न नहीं।

7. AB को m : n अनुपात में आंतरिक विभाजित करता बिंदु है:

   1. (mA⃗ + nB⃗)/(m + n)
   2. (nA⃗ + mB⃗)/(m + n)
   3. (A⃗ + B⃗)/2
   4. (mA⃗ − nB⃗)/(m − n)
   उत्तर देखें

   उत्तर: B — (nA⃗ + mB⃗)/(m + n)

   गुणांक क्रॉस हो जाते हैं: अनुपात m : n बड़ा भार दूर वाले अंत-बिंदु पर रखता है, (nA⃗ + mB⃗)/(m + n) देते हुए। शीघ्र जाँच है m = n रखना, जो मध्य-बिंदु देना चाहिए — और देता है। ऋण चिह्नों सहित अंतिम विकल्प बाह्य विभाजन सूत्र है, और तृतीय मध्य-बिंदु की विशेष स्थिति।

8. a, b व c से बने समांतर षट्फलक का आयतन है:

   1. |a·(b × c)|
   2. |a × (b × c)|
   3. |a||b||c|
   4. ½|a·(b × c)|
   उत्तर देखें

   उत्तर: A — |a·(b × c)|

   b × c का परिमाण आधार क्षेत्रफल के बराबर व दिशा आधार पर अभिलंब है, अतः a से अदिश गुणन ऊँचाई निकालता है व गुणनफल आयतन है। द्वितीय विकल्प में सदिश त्रिक गुणनफल सदिश है, आयतन नहीं, और अंतिम विकल्प में आधा चतुष्फलक का है, जिसका आयतन समांतर षट्फलक का आधा नहीं बल्कि छठा भाग है।