शांकव परिच्छेद — परवलय, दीर्घवृत्त व अतिपरवलय

तीनों शांकव तीन पृथक् विषय दिखते हैं और वस्तुतः एक हैं, क्योंकि वे सभी उसी प्रकार परिभाषित हैं: उस बिंदु का बिंदुपथ जिसकी नियत बिंदु से दूरी का नियत रेखा से उसकी दूरी से अचर अनुपात हो। वह अनुपात उत्केंद्रता है, और अकेला वही तय करता है कि आपको कौन वक्र मिलता है — एक से कम दीर्घवृत्त देता है, ठीक एक परवलय, एक से अधिक अतिपरवलय। यह पहचानने का अर्थ है कि अध्याय का प्रत्येक सूत्र अठारह असंबंधित के बजाय तीन समांतर रूपों में आता है, और प्रतिरूप व्यक्तिगत परिणामों की वरीयता में सीखने योग्य है।

तीनों शांकव साथ-साथ

मानक रूप व उनके प्राचल
लक्षणपरवलय y² = 4axदीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1अतिपरवलय x²/a² − y²/b² = 1
उत्केंद्रताe = 1e < 1e > 1
a, b, e में संबंधलागू नहींb² = a²(1 − e²)b² = a²(e² − 1)
नाभि(a, 0)(±ae, 0)(±ae, 0)
नियताx = −ax = ±a/ex = ±a/e
नाभिलंब4a2b²/a2b²/a
y = mx + c हेतु स्पर्श शर्तc = a/mc² = a²m² + b²c² = a²m² − b²
🧠 बदलता एकमात्र चिह्न b² के आगे वाला है
दीर्घवृत्त व अतिपरवलय स्तंभों की तुलना करें और लगभग सब कुछ समान है: वही नाभि-रूप, वही नियता, वही नाभिलंब, स्पर्श शर्त का वही आकार। एकमात्र अंतर चिह्न है, क्योंकि दीर्घवृत्त हेतु b² = a²(1 − e²) व अतिपरवलय हेतु a²(e² − 1), और वह c² = a²m² + b² बनाम a²m² − b² में फैलता है। अतः दो परिणाम-समुच्चय रटने के बजाय आप एक समुच्चय सीख सकते हैं व याद रख सकते हैं कि अतिपरवलय b² के आगे चिह्न पलट देता है। वह यह भी समझाता है कि दीर्घवृत्त बंद वक्र क्यों है जबकि अतिपरवलय खुलता है: e < 1 सहित राशि 1 − e² धनात्मक है व वक्र को परिबद्ध करती है, और e > 1 सहित वह ऋणात्मक हो जाती है व परिबंध लुप्त हो जाता है।

प्रत्येक शांकव की नाभीय परिभाषा है जो प्रायः उत्तर तक सबसे तेज़ मार्ग है। दीर्घवृत्त हेतु दोनों नाभियों तक दूरियों का योग अचर है व 2a के बराबर; अतिपरवलय हेतु उन दूरियों का अंतर अचर है व 2a के बराबर; और परवलय हेतु नाभि तक दूरी नियता तक दूरी के बराबर। उन शब्दों में बिंदुपथ वर्णित करता प्रश्न आपको बिना किसी बीजगणित के शांकव व उसका प्राचल सौंप रहा है।

स्पर्श रेखाएँ, अभिलंब व विशेष गुण

किसी भी शांकव पर बिंदु पर स्पर्श रेखा उसी प्रतिस्थापन नियम T = 0 से मिलती है: x² को xx₁, y² को yy₁, x को (x + x₁)/2 व y को (y + y₁)/2 से बदलें। अतः (x₁, y₁) पर y² = 4ax की स्पर्श रेखा yy₁ = 2a(x + x₁) है, और दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा xx₁/a² + yy₁/b² = 1। प्राचलिक बिंदु प्रयोग करना प्रायः उससे भी स्वच्छ है: परवलय पर (at², 2at), दीर्घवृत्त पर (a cos θ, b sin θ) व अतिपरवलय पर (a sec θ, b tan θ)।

🎯 उपग्रह तश्तरी परवलय क्यों है व फुसफुसाहट-दीर्घा दीर्घवृत्त
परवलय का परावर्तक गुण यह है कि अक्ष के समांतर आती प्रत्येक किरण नाभि से परावर्तित होती है, ठीक वही तश्तरी ऐंटेना या सौर कुकर को चाहिए — विस्तृत पुंज एकत्र कर उसे एक बिंदु पर सांद्रित करना। उसे उलटा चलाएँ और नाभि पर स्रोत समांतर पुंज देता है, जो हेडलाइट करती है। दीर्घवृत्त एक नाभि से किरण दूसरी तक परावर्तित करता है, अतः दीर्घवृत्तीय कक्ष की एक नाभि पर की गई ध्वनि बड़े हॉल के आर-पार भी द्वितीय नाभि पर श्रव्य रूप से अभिसरित होती है। दोनों गुण अतिरिक्त तथ्य होने के बजाय नाभीय परिभाषाओं से निकलते हैं, और तश्तरी, दर्पण या दीर्घा का उल्लेख करते प्रश्न आपके लिए शांकव नामित कर रहे हैं।
सीधे पूछे जाते गुण
गुणकथन
परवलय की नाभीय जीवायदि एक सिरा प्राचल t पर हो, तो दूसरा −1/t पर
न्यूनतम नाभीय जीवास्वयं नाभिलंब
दीर्घवृत्त का निदेशक वृत्तx² + y² = a² + b², लंब स्पर्श रेखाओं का बिंदुपथ
x²/a² − y²/b² = 1 के अनंतस्पर्शीy = ±(b/a)x
समकोणीय अतिपरवलयa = b, अतः e = √2 व अनंतस्पर्शी लंब
संयुग्मी अतिपरवलयy²/b² − x²/a² = 1, वही अनंतस्पर्शी साझा करता
⚠️ a या b प्रयोग करने से पूर्व पहचानें कौन अक्ष दीर्घ है
x²/a² + y²/b² = 1 में परिपाटी है कि a > b, अतः दीर्घ अक्ष x के साथ है व नाभियाँ (±ae, 0) पर। परंतु x²/9 + y²/25 = 1 जैसे समीकरण में बड़ा हर y² के नीचे है, अतः दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है, a व b की भूमिकाएँ बदल जाती हैं, और नाभियाँ y-अक्ष पर (0, ±4) पर हैं। कौन हर बड़ा है यह जाँचे बिना मानक सूत्र लगाना नाभियाँ ग़लत अक्ष पर रख देता है व प्रत्येक आगामी उत्तर ग़लत बना देता है। सुरक्षित आदत है किसी भी सूत्र के प्रयोग से पूर्व हल की प्रथम पंक्ति के रूप में लिखना कि कौन अक्ष दीर्घ है।

मुख्य बिंदु

  • तीनों शांकव एक परिभाषा साझा करते हैं; अकेली उत्केंद्रता तय करती है कौन वक्र मिलता है।
  • e < 1 दीर्घवृत्त, e = 1 परवलय, e > 1 अतिपरवलय; समकोणीय अतिपरवलय का e = √2।
  • दीर्घवृत्त हेतु b² = a²(1 − e²) व अतिपरवलय हेतु a²(e² − 1) — केवल चिह्न बदलता है।
  • नाभीय परिभाषाएँ: दीर्घवृत्त हेतु नाभीय दूरियों का योग 2a, अतिपरवलय हेतु अंतर 2a।
  • नाभिलंब परवलय हेतु 4a व दीर्घवृत्त तथा अतिपरवलय दोनों हेतु 2b²/a।
  • T = 0 प्रत्येक शांकव हेतु स्पर्श रेखा देता है; प्राचलिक बिंदु प्रायः उससे भी तेज़ हैं।
  • परवलय समांतर किरणें अपनी नाभि पर परावर्तित करता है — तश्तरी ऐंटेना इसी का उपयोग करती है।
  • नाभियाँ ज्ञात करने से पूर्व जाँचें कौन हर बड़ा है — दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर हो सकता है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. समकोणीय अतिपरवलय की उत्केंद्रता है:

    1. 1
    2. √2
    3. 2
    4. 1/√2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — √2

    समकोणीय अतिपरवलय में a = b, और b² = a²(e² − 1) में प्रतिस्थापन a² = a²(e² − 1) देता है, अतः e² = 2 व e = √2। नाम अनंतस्पर्शियों y = ±(b/a)x के y = ±x बनने से आता है, जो लंब हैं। 1 उत्केंद्रता परवलय होगी, अतः वह विकल्प देखते ही हटाया जा सकता है।

  2. दीर्घवृत्त x²/9 + y²/25 = 1 हेतु नाभियाँ हैं:

    1. x-अक्ष पर (±4, 0) पर
    2. y-अक्ष पर (0, ±4) पर
    3. x-अक्ष पर (±5, 0) पर
    4. मूल बिंदु पर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — y-अक्ष पर (0, ±4) पर

    बड़ा हर, 25, y² के नीचे है, अतः दीर्घ अक्ष ऊर्ध्वाधर है व a तथा b की भूमिकाएँ परस्पर बदल जाती हैं: y के साथ a = 5 व x के साथ b = 3, जो c = √(25 − 9) = 4 व नाभियाँ (0, ±4) पर देता है। पूर्वनिर्धारित सूत्र लगाकर नाभियाँ x-अक्ष पर रखना मानक त्रुटि है, और इसीलिए कौन हर बड़ा है यह जाँचना पहले आना चाहिए।

  3. y² = 12x के नाभिलंब की लंबाई है:

    1. 3
    2. 6
    3. 12
    4. 24
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 12

    y² = 4ax से तुलना 4a = 12 देती है अतः a = 3, और परवलय का नाभिलंब 4a है, जो 12 है — x के गुणांक के समान, ध्यान देने योग्य शॉर्टकट। उत्तर 3 स्वयं a का मान है व 6 अर्ध-नाभिलंब, दोनों पूछी राशि से एक चरण कम हैं।

  4. उपग्रह तश्तरी परवलयीय है क्योंकि परवलय:

    1. की दो नाभियाँ हैं
    2. अपने अक्ष के समांतर किरणें एकल नाभि से परावर्तित करता है
    3. बंद वक्र है
    4. के लंब अनंतस्पर्शी हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — अपने अक्ष के समांतर किरणें एकल नाभि से परावर्तित करता है

    परावर्तक गुण आते समांतर पुंज को नाभि पर सांद्रित करता है, वही तश्तरी को बड़े क्षेत्र पर दुर्बल संकेत एकत्र कर एकल अभिग्राही तक पहुँचाने देता है; उलटा चलाने पर वह हेडलाइट का समांतर पुंज देता है। परवलय की केवल एक नाभि है व वह खुला वक्र है, और अनंतस्पर्शी अतिपरवलय के हैं — अतः अन्य विकल्पों में प्रत्येक भिन्न शांकव वर्णित करता है।

  5. दीर्घवृत्त हेतु किसी भी बिंदु से दोनों नाभियों तक दूरियों का योग बराबर है:

    1. 2a, दीर्घ अक्ष की लंबाई
    2. 2b
    3. 2ae
    4. वह बिंदु-दर-बिंदु बदलता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 2a, दीर्घ अक्ष की लंबाई

    उस योग की अचरता दीर्घवृत्त की नाभीय परिभाषा है व दीर्घ अक्ष लंबाई 2a के बराबर, इसीलिए वक्र दो कीलों के परितः डोरी के फंदे से खींचा जा सकता है। अतिपरवलय हेतु दोनों दूरियों का अंतर 2a पर अचर रहता है — वही संख्या, भिन्न संक्रिया, और वह विरोध बार-बार आता एक-अंक प्रश्न है।

  6. x²/16 − y²/9 = 1 के अनंतस्पर्शी हैं:

    1. y = ±x
    2. y = ±(3/4)x
    3. y = ±(4/3)x
    4. x = ±4
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — y = ±(3/4)x

    x²/a² − y²/b² = 1 हेतु अनंतस्पर्शी y = ±(b/a)x हैं, और यहाँ a = 4 व b = 3, जो ढालें ±3/4 देता है। अनुपात को 4/3 उलटना सामान्य चूक है। अनंतस्पर्शी y = ±x केवल a = b सहित समकोणीय अतिपरवलय हेतु होंगे, और वे ऊर्ध्वाधर रेखाओं के बजाय सदा केंद्र से जाती रेखाएँ हैं।

  7. यदि y² = 4ax की नाभीय जीवा के एक सिरे का प्राचल t है, तो दूसरे सिरे का प्राचल है:

    1. t
    2. −t
    3. 1/t
    4. −1/t
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — −1/t

    प्राचलिक बिंदुओं (at₁², 2at₁) व (at₂², 2at₂) के नाभि (a, 0) सहित संरेख होने हेतु प्राचलों को t₁t₂ = −1 संतुष्ट करना होगा, अतः दूसरा −1/t है। यह तुरंत न्यूनतम नाभीय जीवा देता है: वह t = 1 व t = −1 पर होती है, अर्थात् नाभिलंब पर, जिसकी लंबाई 4a अतः न्यूनतम है।

  8. y = mx + c के दीर्घवृत्त x²/a² + y²/b² = 1 की स्पर्श रेखा होने की शर्त है:

    1. c = a/m
    2. c² = a²m² + b²
    3. c² = a²m² − b²
    4. c = 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — c² = a²m² + b²

    रेखा को दीर्घवृत्त में प्रतिस्थापित कर विविक्तकर शून्य रखना c² = a²m² + b² देता है। अतिपरवलय शर्त ऋण चिह्न सहित वही व्यंजक है, और परवलय शर्त c = a/m का रूप पूर्णतः भिन्न है — अतः तीनों को तीन असंबंधित परिणामों के बजाय b² के चिह्न को एकमात्र चर रखते एक प्रतिरूप के रूप में याद रखना सर्वोत्तम है।