सरल रेखाएँ व वृत्त

निर्देशांक ज्यामिति पाठ्यक्रम का वह भाग है जहाँ रूप का अच्छा चयन अधिकांश कार्य कर देता है। सरल रेखा के आधा दर्जन तुल्य समीकरण हैं, और जो आपको दिया है उससे मेल खाता चुनना — दो बिंदु, बिंदु व ढाल, दो अंतःखंड — पृष्ठ भर बीजगणित को दो पंक्तियों में बदल देता है। वृत्तों हेतु भी वही सत्य है, जहाँ व्यापक समीकरण x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 अपना केंद्र व त्रिज्या तब तक छिपाता है जब तक आप वर्ग पूर्ण न करें। इस अध्याय की सर्वाधिक उपयोगी आदत है आरंभ से पूर्व आँकड़ों से मेल खाता रूप लिख लेना, प्रत्येक समस्या को एक याद किए समीकरण से बलपूर्वक निकालने के बजाय।

सरल रेखा के रूप

आँकड़ों से मेल खाता रूप चुनें
दियाप्रयोग योग्य रूप
ढाल व y-अंतःखंडy = mx + c
बिंदु व ढालy − y₁ = m(x − x₁)
दो बिंदु(y − y₁)/(y₂ − y₁) = (x − x₁)/(x₂ − x₁)
दोनों अंतःखंडx/a + y/b = 1
मूल बिंदु से लंब दूरी px cos α + y sin α = p
बिंदु से रेखा की दूरी|ax₁ + by₁ + c|/√(a² + b²)

दो रेखाएँ समांतर हैं जब उनकी ढालें बराबर हों और लंब जब m₁m₂ = −1। उनके बीच कोण tan θ = |(m₁ − m₂)/(1 + m₁m₂)| संतुष्ट करता है, जो ठीक तब अपरिभाषित है जब रेखाएँ लंब हों — समस्या के बजाय संगति जाँच। तीन रेखाएँ संगामी हैं जब उनके गुणांकों का सारणिक लुप्त हो, जो दो को हल कर तीसरी में प्रतिस्थापित करने से बहुत तेज़ है।

🧠 ax + by + c का चिह्न बताता है कि बिंदु रेखा के किस ओर है
ax + by + c में बिंदु प्रतिस्थापित करना ऐसा मान देता है जिसका चिह्न रेखा के एक ओर प्रत्येक बिंदु हेतु समान व दूसरी ओर विपरीत है। अतः दो बिंदु ठीक तब एक ही ओर हैं जब दोनों प्रतिस्थापित मानों के चिह्न समान हों, और विपरीत ओर जब चिह्न भिन्न हों — इसी प्रकार दो बिंदुओं को पृथक् करती रेखा, या त्रिभुज के भीतर स्थित बिंदु के प्रश्नों का उत्तर देना अभिप्रेत है। त्रिभुज के तीन शीर्ष इस प्रकार परखना प्रतिच्छेद निकालने से बहुत तेज़ है, और वही विचार वृत्तों तक बढ़ता है, जहाँ x² + y² + 2gx + 2fy + c में प्रतिस्थापन भीतर ऋण, पर शून्य व बाहर धन मान देता है।

वृत्त

मानक रूप (x − h)² + (y − k)² = r² केंद्र व त्रिज्या सीधे दर्शाता है। व्यापक रूप x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 का केंद्र (−g, −f) व त्रिज्या √(g² + f² − c) है, और वह वास्तविक वृत्त केवल तब निरूपित करता है जब g² + f² − c > 0; यदि व्यंजक शून्य हो तो वृत्त बिंदु में अपभ्रष्ट हो जाता है और ऋणात्मक हो तो कोई वास्तविक बिंदुपथ ही नहीं। ध्यान दें कि व्यापक द्वितीय-घात समीकरण के वृत्त होने हेतु x² व y² के गुणांक बराबर होने चाहिए व xy पद अनुपस्थित।

वृत्त के सापेक्ष रेखा की स्थिति
केंद्र से दूरी d पर शर्तसंबंध
d > rरेखा वृत्त से चूक जाती है
d = rस्पर्श रेखा — यही स्पर्शता की शर्त है
d < rरेखा वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है
बाह्य बिंदु से स्पर्श रेखा की लंबाई√(x₁² + y₁² + 2gx₁ + 2fy₁ + c)
दो वृत्त बाह्य स्पर्श करते हैंकेंद्रों के बीच दूरी = r₁ + r₂
दो वृत्त आंतरिक स्पर्श करते हैंकेंद्रों के बीच दूरी = |r₁ − r₂|
🎯 स्पर्शता की शर्त केवल दूरी-कथन क्यों है
स्पर्श रेखा वृत्त को ठीक एक बिंदु पर स्पर्श करती है, और केंद्र से किसी भी रेखा की न्यूनतम दूरी लंब दूरी है, अतः रेखा ठीक तब स्पर्श रेखा है जब वह लंब दूरी त्रिज्या के बराबर हो। वह एक प्रेक्षण रेखा को वृत्त में प्रतिस्थापित कर विविक्तकर शून्य करने के बीजगणितीय मार्ग का स्थान ले लेता है — वही उत्तर, कार्य का अंश। वह लंब दूरी ज्ञात होने पर अन्य वक्रों हेतु स्पर्शता शर्तें भी देता है, और वह समझाता है कि वृत्त पर किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा उस बिंदु तक खींची त्रिज्या पर लंब क्यों है, जो वह तथ्य है जिस पर अधिकांश स्पर्श-प्रश्न वास्तव में टिकते हैं।
⚠️ x² व y² वाला प्रत्येक द्वितीय-घात समीकरण वृत्त नहीं है
तीन शर्तें सभी ठीक होनी चाहिए: x² व y² के गुणांक बराबर हों, xy पद अनुपस्थित हो, और g² + f² − c धनात्मक हो। प्रथम विफल हो तो आपके पास दीर्घवृत्त या अतिपरवलय है; द्वितीय विफल हो तो अक्ष घूर्णित हैं; तृतीय विफल हो तो कोई वास्तविक वक्र नहीं। अतः 2x² + 2y² + 4x − 6y + 20 = 0 देकर त्रिज्या पूछता प्रश्न तृतीय शर्त जाँच रहा है: 2 से भाग देने पर g = 1, f = −3/2, c = 10, और g² + f² − c ऋणात्मक है, अतः ऐसा कोई वृत्त नहीं। विकल्प-सूची में परम मान का वर्गमूल लेकर प्राप्त विश्वसनीय त्रिज्या होगी।

दो और रचनाएँ आवर्तित होती हैं। दो वृत्तों S₁ = 0 व S₂ = 0 के प्रतिच्छेदों से जाते वृत्तों का कुल S₁ + λS₂ = 0 है, और λ = −1 रखना मूलाक्ष देता है, सामान्य जीवा, जिसका समीकरण S₁ − S₂ = 0 है व जो सदा केंद्रों की रेखा पर लंब है। और वृत्त पर बिंदु (x₁, y₁) पर स्पर्श रेखा का समीकरण T = 0 से मिलता है, x² को xx₁, y² को yy₁, x को (x + x₁)/2 व y को (y + y₁)/2 से बदलकर — प्रतिस्थापन नियम जो प्रत्येक शांकव हेतु चलता है, केवल वृत्तों हेतु नहीं।

मुख्य बिंदु

  • आँकड़ों से मेल खाता रेखा-रूप चुनें — दो बिंदु, बिंदु व ढाल, या अंतःखंड।
  • रेखाएँ लंब हैं जब m₁m₂ = −1; तीन रेखाएँ संगामी हैं जब गुणांक सारणिक लुप्त हो।
  • ax + by + c का चिह्न पहचानता है कि बिंदु रेखा के किस ओर है।
  • x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 का केंद्र (−g, −f) व त्रिज्या √(g² + f² − c) है।
  • वास्तविक वृत्त को बराबर x² व y² गुणांक, कोई xy पद नहीं, व g² + f² − c > 0 चाहिए।
  • स्पर्शता केवल केंद्र से लंब दूरी का त्रिज्या के बराबर होना है।
  • वृत्त बाह्य स्पर्श करते हैं जब केंद्र-दूरी r₁ + r₂ हो व आंतरिक जब |r₁ − r₂|।
  • S₁ − S₂ = 0 मूलाक्ष है व सदा केंद्रों को जोड़ती रेखा पर लंब है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. x² + y² − 4x + 6y − 12 = 0 का केंद्र व त्रिज्या हैं:

    1. (2, −3) व 5
    2. (−2, 3) व 5
    3. (2, −3) व 12
    4. (4, −6) व 5
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (2, −3) व 5

    x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 से तुलना 2g = −4 अतः g = −2, व 2f = 6 अतः f = 3 देती है, अतः केंद्र (−g, −f) = (2, −3)। त्रिज्या √(g² + f² − c) = √(4 + 9 + 12) = 5 है। द्वितीय विकल्प यह भूलकर चिह्न पलट देता है कि केंद्र (g, f) का ऋणात्मक है, जो व्यापक रूप पढ़ने की सर्वाधिक बार होती चूक है।

  2. रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा है जब केंद्र से रेखा तक लंब दूरी हो:

    1. त्रिज्या से कम
    2. त्रिज्या के बराबर
    3. त्रिज्या से अधिक
    4. व्यास के बराबर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — त्रिज्या के बराबर

    स्पर्श रेखा वृत्त से ठीक एक बिंदु पर मिलती है, और रेखा का केंद्र तक निकटतम आगमन उसकी लंब दूरी है, अतः त्रिज्या से समता ठीक स्पर्शता शर्त है। त्रिज्या से कम का अर्थ रेखा वृत्त को दो बार काटती है व त्रिज्या से अधिक का अर्थ वह पूर्णतः चूक जाती है। दूरी परीक्षण प्रयोग करना रेखा को वृत्त में प्रतिस्थापित कर द्विघात विविक्तकर हल करना टालता है।

  3. x² + y² + 4x − 6y + 20 = 0 निरूपित करता है:

    1. 3 त्रिज्या का वृत्त
    2. √3 त्रिज्या का वृत्त
    3. एकल बिंदु
    4. कोई वास्तविक बिंदुपथ नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — कोई वास्तविक बिंदुपथ नहीं

    यहाँ g = 2, f = −3 व c = 20, अतः g² + f² − c = 4 + 9 − 20 = −7, जो ऋणात्मक है व वर्गित त्रिज्या नहीं हो सकता, अतः कोई वास्तविक बिंदु समीकरण संतुष्ट नहीं करता। यदि व्यंजक ठीक शून्य होता तो बिंदुपथ एकल बिंदु (−2, 3) होता। त्रिज्या बताने से पूर्व g² + f² − c का चिह्न जाँचना ही सही उत्तर को दिए विश्वसनीय उत्तरों से पृथक् करता है।

  4. 3 व 5 त्रिज्या वाले दो वृत्त बाह्य स्पर्श करते हैं। उनके केंद्रों के बीच दूरी है:

    1. 2
    2. 8
    3. 15
    4. 4
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 8

    बाह्य स्पर्श का अर्थ है वृत्त एक-दूसरे के बाहर हैं व केंद्रों को जोड़ती रेखा पर एकल बिंदु पर मिलते हैं, अतः वह दूरी त्रिज्याओं का योग है, 3 + 5 = 8। आंतरिक स्पर्श अंतर देगा, |5 − 3| = 2, जो प्रथम विकल्प है — अतः स्पर्श बाह्य है या आंतरिक यह पढ़ना ही सम्पूर्ण प्रश्न है।

  5. बिंदु (1, 1) व (3, −2) रेखा 2x + y − 4 = 0 के एक ही ओर हैं यदि:

    1. दोनों प्रतिस्थापित मानों के चिह्न समान हों
    2. दोनों प्रतिस्थापित मान केवल धनात्मक हों
    3. उनका योग शून्य हो
    4. रेखा उनके बीच से जाए
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दोनों प्रतिस्थापित मानों के चिह्न समान हों

    ax + by + c में बिंदु प्रतिस्थापित करना ऐसा मान देता है जिसका चिह्न रेखा के प्रत्येक ओर अचर है, अतः दो बिंदु ठीक तब एक ओर साझा करते हैं जब उनके मान चिह्न साझा करें, दोनों धनात्मक हों या दोनों ऋणात्मक। यहाँ (1,1) −1 देता है व (3,−2) 0 देता है, अतः द्वितीय बिंदु वस्तुतः रेखा पर है — मान लेने के बजाय मान निकालने का स्मरण। यदि चिह्न भिन्न हों तो रेखा बिंदुओं को पृथक् करती है।

  6. दो वृत्तों S₁ = 0 व S₂ = 0 हेतु समीकरण S₁ − S₂ = 0 निरूपित करता है:

    1. अन्य वृत्त
    2. मूलाक्ष, केंद्रों की रेखा पर लंब सरल रेखा
    3. केंद्रों को जोड़ती रेखा
    4. स्पर्श रेखाओं का युग्म
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — मूलाक्ष, केंद्रों की रेखा पर लंब सरल रेखा

    दोनों समीकरण घटाना x² व y² पद रद्द कर देता है, रैखिक समीकरण छोड़ते हुए — मूलाक्ष, जो वृत्तों के प्रतिच्छेद करने पर सामान्य जीवा है व सदा केंद्रों को जोड़ती रेखा पर लंब है। वह λ = −1 सहित कुल S₁ + λS₂ = 0 की विशेष स्थिति है, और वह प्रतिच्छेद-बिंदु ढूँढ़े बिना सामान्य जीवा देता है।

  7. तीन रेखाएँ संगामी हैं जब:

    1. उनकी ढालें बराबर हों
    2. उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो
    3. उनके अंतःखंड बराबर हों
    4. वे परस्पर लंब हों
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो

    संगामिता का अर्थ है तीनों एक सामान्य बिंदु से जाती हैं, जो ठीक वही शर्त है कि तीनों रैखिक समीकरणों का सामान्य हल हो — और वह तब होता है जब गुणांक सारणिक लुप्त हो। बराबर ढालें उन्हें समांतर बनाएँगी, अतः वे कभी मिलेंगी ही नहीं। सारणिक प्रयोग करना दो समीकरण हल कर तीसरी में प्रतिस्थापित करने से बहुत तेज़ है।

  8. बाह्य बिंदु (x₁, y₁) से वृत्त S = 0 तक स्पर्श रेखा की लंबाई है:

    1. स्वयं S₁
    2. √S₁, बिंदु प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त मान का वर्गमूल
    3. केंद्र तक दूरी
    4. त्रिज्या
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — √S₁, बिंदु प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त मान का वर्गमूल

    चूँकि स्पर्श रेखा स्पर्श-बिंदु पर त्रिज्या पर लंब है, पाइथागोरस देता है (स्पर्श लंबाई)² = (केंद्र तक दूरी)² − r², और उस अंतर का विस्तार ठीक उस बिंदु पर S का मान है। अतः लंबाई √S₁ है, और बाह्य बिंदु हेतु S₁ का धनात्मक होना वही मानदंड है जो पहले ही बताता है कि बिंदु वृत्त के बाहर है।