अवकल समीकरण

अवकल समीकरण मान के बजाय दर के विषय में कथन है, और उसे हल करने का अर्थ है फलन को इस सूचना से पुनः प्राप्त करना कि वह कैसे बदलता है। JEE हेतु परिधि सँकरी और अतः अत्यंत सँभालने योग्य है: केवल प्रथम-कोटि प्रथम-घात समीकरण, चार पहचानने योग्य रूपों में। सम्पूर्ण कौशल वर्गीकरण है — तय करें कि आप चारों में किसे देख रहे हैं, और विधि यांत्रिक रूप से निकलती है। अंक लगभग पूर्णतः दो स्थानों पर खोए जाते हैं: रूप की ग़लत पहचान, और यह भूलना कि प्रथम-कोटि समीकरण का व्यापक हल ठीक एक स्वेच्छ अचर वहन करता है।

कोटि, घात व हल क्या गिना जाता है

अवकल समीकरण की कोटि उसमें निहित उच्चतम अवकलज की कोटि है, और घात उस उच्चतम अवकलज की घात, समीकरण को अवकलजों में करणी व भिन्नों से मुक्त कर लेने पर। अतः (d²y/dx²)³ + dy/dx = 0 की कोटि 2 व घात 3 है, जबकि √(dy/dx) = x को पहले वर्ग करना होगा कि dy/dx = x² मिले, कोटि 1 व घात 1।

⚠️ जब अवकलज पारलौकिक फलन के भीतर हो तो घात अपरिभाषित है
sin(dy/dx) + y = 0 या log(dy/dx) = x जैसे समीकरण की कोटि है — एक — परंतु कोई घात नहीं, क्योंकि अवकलज को किसी बीजगणितीय हेर-फेर से बहुपद घात तक नहीं लाया जा सकता। वही edy/dx पर लागू है। अतः ऐसे समीकरण की घात पूछता प्रश्न आपसे यह कहने को कह रहा है कि वह अपरिभाषित है, और विकल्प-सूची 1 को विश्वसनीय उत्तर के रूप में देगी। पकड़ने योग्य नियम है कि घात केवल तब है जब समीकरण अपने अवकलजों में बहुपद हो।

व्यापक हल में समीकरण की कोटि के जितने स्वेच्छ अचर होते हैं, अतः प्रथम-कोटि समीकरण में ठीक एक व द्वितीय-कोटि में दो। विशिष्ट हल दी शर्तों से उन अचरों को नियत करता है। उलटा पढ़ने पर यह आपको उस समीकरण की कोटि बताता है जिसे वक्रों का दिया कुल संतुष्ट करता है: दो प्राचलों वाला कुल, जैसे x-अक्ष पर केंद्र सहित मूल बिंदु से जाते सभी वृत्त, प्रथम-कोटि समीकरण केवल तब संतुष्ट करता है जब एक प्राचल पहले से नियत हो।

चार रूप व उनकी विधियाँ

रूप पहचानें, तत्पश्चात् विधि लगाएँ
रूपउसे कैसे पहचानेंविधि
चर पृथक्करणीयdy/dx = f(x)g(y)पृथक् करें व दोनों पक्षों का समाकलन करें
समघातीयdy/dx = f(y/x); प्रत्येक पद की कुल घात समानy = vx प्रतिस्थापित करें
रैखिकdy/dx + Py = Q, P व Q केवल x के फलनसमाकलन गुणक e∫P dx से गुणा करें
रैखिक में सिमटने योग्यdx/dy + Px = Q, P व Q, y के फलनx को आश्रित चर मानें व दोहराएँ
🎯 समाकलन गुणक क्यों चलता है
dy/dx + Py = Q हेतु बायाँ पक्ष लगभग गुणनफल का अवकलज है परंतु पूर्णतः नहीं। I = e∫P dx से गुणा करना उसे ठीक कर देता है: बायाँ पक्ष ठीक d(Iy)/dx बन जाता है, क्योंकि Iy का अवकलन I dy/dx + yI′ देता है व रचना से I′ = PI। अतः समीकरण d(Iy)/dx = IQ में सिमट जाता है, जो सीधे समाकलित होकर Iy = ∫IQ dx देता है। इस प्रकार समझने का अर्थ है कि आपको अंतिम सूत्र कभी याद नहीं रखना पड़ेगा — आपको केवल e∫P dx से गुणा करना व तत्पश्चात् उलटा चलता गुणनफल नियम पहचानना याद रखना है। वह यह भी समझाता है कि P पढ़ने से पूर्व समीकरण dy/dx का गुणांक 1 सहित क्यों लिखना चाहिए, जो ग़लत समाकलन गुणक का सर्वाधिक सामान्य स्रोत है।
🧠 प्रत्येक पद की कुल घात गिनकर समघातीयता जाँचें
समीकरण समघातीय है जब x व y केवल समान कुल घात के संयोजनों में आएँ, कि dy/dx शुद्ध रूप से y/x के फलन के रूप में लिखा जा सके। (x² + y²)dx = 2xy dy में प्रत्येक पद द्वितीय घात का है — x², y² व xy प्रत्येक दो गिनते हैं — अतः प्रतिस्थापन y = vx चलेगा। परंतु (x² + y)dx = xy dy समघातीय नहीं है, क्योंकि अकेला y प्रथम घात का है जबकि x² द्वितीय घात का। घातें गिनना कुछ क्षण लेता है व उस प्रतिस्थापन को रोकता है जो कुछ सरल नहीं करेगा, जो रूप परखने के बजाय अनुमान लगाने पर सामान्य विफलता-ढंग है।

अनुप्रयोग छोटे शब्द-प्रश्नों के रूप में आते हैं और सभी उसी चाल पर सिमटते हैं: वाक्य को दर में अनूदित करें। "वृद्धि की दर जनसंख्या के समानुपाती है" ही dP/dt = kP है, जो पृथक् होकर चरघातांकी वृद्धि देता है। "शीतलन की दर आधिक्य ताप के समानुपाती है" न्यूटन का शीतलन नियम है, dT/dt = −k(T − T_s), जो परिवेश की ओर चरघातांकी क्षय देता है। रेडियोऐक्टिव क्षय, चक्रवृद्धि ब्याज व टंकी का रिसना सभी इन दो आकारों में एक लेते हैं।

मुख्य बिंदु

  • कोटि उच्चतम अवकलज है; घात उसकी घात, करणी व भिन्न हटाने पर।
  • जब अवकलज sin, log या चरघातांकी के भीतर हो तो घात अपरिभाषित है।
  • व्यापक हल में समीकरण की कोटि के जितने स्वेच्छ अचर होते हैं।
  • चर पृथक्करणीय: बाँटें व समाकलन करें। समघातीय: y = vx प्रतिस्थापित करें।
  • रैखिक: e∫P dx से गुणा करें कि बायाँ पक्ष d(Iy)/dx बने, तत्पश्चात् समाकलन करें।
  • P पढ़ने से पूर्व dy/dx का गुणांक 1 करें — अन्यथा गुणक ग़लत है।
  • अनुमान के बजाय प्रत्येक पद की कुल घात गिनकर समघातीयता परखें।
  • शब्द-प्रश्न वृद्धि हेतु dP/dt = kP या शीतलन हेतु dT/dt = −k(T − T_s) पर सिमटते हैं।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. अवकल समीकरण sin(dy/dx) + y = 0 की घात है:

    1. 1
    2. 2
    3. 0
    4. परिभाषित नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — परिभाषित नहीं

    घात केवल तब परिभाषित है जब समीकरण अपने अवकलजों में बहुपद हो, और कोई बीजगणितीय हेर-फेर sin(dy/dx) को बहुपद घात तक नहीं ला सकता। कोटि 1 है, क्योंकि उच्चतम अवकलज प्रथम है, परंतु घात है ही नहीं। विकल्प 1 इसलिए दिया गया कि कोटि 1 है व दोनों सरलता से मिला दिए जाते हैं।

  2. dy/dx + 2y = eˣ का समाकलन गुणक है:

    1. e2x
    2. e−2x
    3. eˣ
    4. 2x
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — e^{2x}

    यहाँ P = 2, अतः समाकलन गुणक e∫2dx = e2x है। गुणा करना बाएँ पक्ष को d(ye2x)/dx बना देता है, जो सीधे समाकलित होता है। चिह्न महत्वपूर्ण है: e−2x, dy/dx − 2y = eˣ का गुणक होगा, और दोनों मिला देना सर्वाधिक बार होती त्रुटि है, उसके निकट dy/dx का गुणांक 1 करने से पूर्व P पढ़ना।

  3. समघातीय अवकल समीकरण हल करने हेतु प्रयुक्त प्रतिस्थापन है:

    1. y = vx
    2. y = eˣ
    3. केवल x = vy
    4. कोई प्रतिस्थापन आवश्यक नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — y = vx

    समघातीय समीकरण dy/dx = f(y/x) लिखा जा सकता है, अतः y = vx रखना दाएँ पक्ष को अकेले v का फलन बना देता है व समीकरण v व x में चर पृथक्करणीय हो जाता है। विकल्प x = vy भी चलता है व कभी-कभी स्वच्छतर है, परंतु y = vx मानक प्रथम प्रयास है। आवश्यक पूर्व चरण यह जाँचकर समघातीयता की पुष्टि है कि सभी पद समान कुल घात साझा करते हैं।

  4. प्रथम-कोटि अवकल समीकरण के व्यापक हल में होते हैं:

    1. कोई स्वेच्छ अचर नहीं
    2. ठीक एक स्वेच्छ अचर
    3. ठीक दो स्वेच्छ अचर
    4. जितने चर हैं उतने अचर
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ठीक एक स्वेच्छ अचर

    व्यापक हल में स्वेच्छ अचरों की संख्या समीकरण की कोटि के बराबर है, क्योंकि प्रत्येक समाकलन ठीक एक लाता है। बिना अचर वाला हल विशिष्ट हल है, आरंभिक शर्त लगाकर प्राप्त। उलटा पढ़ने पर यह वक्रों के दिए कुल द्वारा संतुष्ट समीकरण की कोटि भी बताता है — दो-प्राचल कुल को द्वितीय-कोटि समीकरण चाहिए।

  5. (d²y/dx²)³ + (dy/dx)⁵ = 0 की कोटि व घात हैं:

    1. कोटि 2, घात 5
    2. कोटि 2, घात 3
    3. कोटि 3, घात 2
    4. कोटि 1, घात 5
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — कोटि 2, घात 3

    उपस्थित उच्चतम अवकलज द्वितीय है, अतः कोटि 2 है, और घात उस उच्चतम अवकलज की घात, अर्थात् 3। घातांक 5 प्रथम अवकलज का है व घात हेतु अप्रासंगिक — वह किस अवकलज पर है इसकी उपेक्षा कर समीकरण का सबसे बड़ा घातांक लेना मानक त्रुटि है, और उसे पकड़ने हेतु प्रथम विकल्प है।

  6. न्यूटन का शीतलन नियम अनूदित होता है:

    1. dT/dt = kT में
    2. dT/dt = −k(T − T_s) में, जहाँ T_s परिवेश ताप है
    3. dT/dt = −kt में
    4. T = kt + c में
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — dT/dt = −k(T − T_s) में, जहाँ T_s परिवेश ताप है

    शीतलन की दर वस्तु के ताप के परिवेश से आधिक्य के समानुपाती है, स्वयं ताप के नहीं, अतः चालक राशि अंतर T − T_s है व ऋण चिह्न वस्तु को उसके परिवेश की ओर ठंडा करता है। dT/dt = kT लिखना ऐसी वस्तु का वर्णन करेगा जिसका शीतलन ठंडा होने पर त्वरित होता, जो प्रेक्षित के उलटा है।

  7. कौन-सा समीकरण समघातीय है?

    1. (x² + y)dx = xy dy
    2. (x² + y²)dx = 2xy dy
    3. dy/dx = x + 3
    4. dy/dx + y = eˣ
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — (x² + y²)dx = 2xy dy

    द्वितीय विकल्प में प्रत्येक पद — x², y² व xy — की कुल घात दो है, अतः dy/dx अकेले y/x के फलन के रूप में लिखा जा सकता है व y = vx चर पृथक् करेगा। प्रथम विकल्प विफल है क्योंकि y की घात एक है जबकि x² की दो। तृतीय सीधे पृथक्करणीय है व चतुर्थ रैखिक, अतः प्रत्येक की समघातीय प्रतिस्थापन के बजाय अपनी विधि है।

  8. 2 dy/dx + 4y = x हेतु समाकलन गुणक है:

    1. e4x
    2. e2x
    3. ex/2
    4. e−2x
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — e^{2x}

    समीकरण को पहले 2 से भाग देना होगा कि dy/dx + 2y = x/2 मिले, अतः P = 2 व गुणक e2x है। मूल रूप से P को 4 पढ़ना e4x देता है, जो जाल है — मानक रूप को P पहचानने से पूर्व dy/dx का गुणांक ठीक 1 चाहिए, और वह सामान्यीकरण छोड़ना समाकलन गुणक ग़लत करने का सर्वाधिक सामान्य उपाय है।