समाकलन व निश्चित समाकल

अवकलन प्रक्रिया है; समाकलन खोज है। आप जो भी व्यंजक लिख सकें उसके अवकलन का नियम है, परंतु उसके समाकलन का ऐसा कोई नियम नहीं, अतः यहाँ कौशल प्रतिरूप पहचान है — यह तय करना कि दिया समाकल पाँच-छह मानक तकनीकों में किसकी माँग कर रहा है। इसीलिए इस अध्याय में अभ्यास किसी अन्य से अधिक महत्वपूर्ण है, और इसीलिए संकेत सीखना योग्य है: असमान फलनों का गुणनफल खंडशः समाकलन सुझाता है, संयुक्त फलन प्रतिस्थापन, परिमेय फलन आंशिक भिन्न। तत्पश्चात् निश्चित समाकल द्वितीय स्तर जोड़ते हैं, जहाँ समिति गुण कठिन समाकल को पूर्णतः शून्य कर सकते हैं।

तकनीक का चयन

समाकल्य आपको क्या बता रहा है
समाकल्य में संकेततकनीक
अपने अवकलज सहित संयुक्त फलनप्रतिस्थापन
दो असमान फलनों का गुणनफलखंडशः समाकलन, ∫u dv = uv − ∫v du
उचित परिमेय फलनआंशिक भिन्न
मूल के नीचे या हर में द्विघातवर्ग पूर्ण करें, तत्पश्चात् मानक रूप
केवल ज्या व कोज्या, एक विषम घात कासम-घात वाले हेतु प्रतिस्थापन
हर में a sin x + b cos xt = tan(x/2) प्रतिस्थापित करें
🧠 ILATE तय करता है कि खंडशः समाकलन में कौन गुणनखंड अवकलित करें
खंडशः समाकलन केवल तब चलता है जब द्वितीय समाकल प्रथम से सरल हो, जिसका अर्थ है आपको वह गुणनखंड अवकलित करना होगा जो सरल हो जाए व उसका समाकलन जो सँभालने योग्य रहे। क्रम प्रतिलोम, लघुगणकीय, बीजीय, त्रिकोणमितीय, चरघातांकी बताता है कि किसे u लें: जो उस सूची में पहले आए। अतः ∫x log x dx में लघुगणक अवकलित होता है व x समाकलित, जबकि ∫x eˣ dx में बीजीय x अवकलित होता है। चयन उलटा करना केवल धीमा नहीं — वह प्रायः आरंभ किए समाकल से कठिन समाकल देता है, जो उपयोगी संकेत है कि आपने ग़लत चुना व बदलना चाहिए।

दो मानक परिणाम तैयार रखने योग्य हैं क्योंकि वे निरंतर आते हैं: ∫eˣ(f(x) + f′(x)) dx = eˣf(x), जो प्रतिरूप पकड़ लेने पर प्रत्यक्षतः असुविधाजनक समाकल को एक पंक्ति में बदल देता है, और ∫dx/(x² + a²) = (1/a)tan⁻¹(x/a)। यह भी ध्यान दें कि ∫dx/x = log|x| मापांक सहित, log x नहीं — लघुगणक का प्रांत उसे आवश्यक बनाता है, और मापांक छोड़ना छोटी परंतु बार-बार दंडित चूक है।

निश्चित समाकल व उनके गुण

कार्य छोटा करते गुण
गुणकथन
उलटाव∫ₐᵇ f = −∫_bᵃ f
विभाजनकिसी भी c हेतु ∫ₐᵇ f = ∫ₐᶜ f + ∫_cᵇ f
राजा गुण∫ₐᵇ f(x)dx = ∫ₐᵇ f(a + b − x)dx
सममित अंतराल पर विषम फलन∫−aᵃ f = 0
सममित अंतराल पर सम फलन∫−aᵃ f = 2∫₀ᵃ f
T आवर्त वाला आवर्ती f∫₀nT f = n∫₀^T f
🎯 राजा गुण कुछ असंभव समाकलों को तुच्छ क्यों बना देता है
x को a + b − x से बदलना अंतराल को स्वयं पर परावर्तित करता है, अतः समाकल अपरिवर्तित है — परंतु समाकल्य पूर्णतः भिन्न दिख सकता है। तत्पश्चात् मूल व परावर्तित रूप जोड़ना कभी-कभी कठिन भाग पूर्णतः रद्द कर देता है। चिरसम्मत स्थिति ∫₀π/2 dx/(1 + tan x) है: परावर्तन ∫₀π/2 dx/(1 + cot x) देता है, और दोनों समाकल्यों का योग ठीक 1 है, अतः समाकल का दुगुना π/2 है व उत्तर π/4 — कुछ भी समाकलित किए बिना प्राप्त। इसे आज़माने का संकेत ऐसा समाकल्य है जो [0, π/2] या [0, π] जैसे सममित दिखते अंतराल पर सभी सामान्य तकनीकों का प्रतिरोध करे।
⚠️ क्षेत्रफल समाकल के मान के समान नहीं है
निश्चित समाकल अक्ष के नीचे क्षेत्रफल को ऋणात्मक गिनता है, अतः [0, 2π] पर f(x) = sin x हेतु समाकल ठीक शून्य है जबकि घिरा क्षेत्रफल 4। यदि प्रश्न वक्र से परिबद्ध क्षेत्रफल पूछे, तो आपको ज्ञात करना होगा कि वक्र अक्ष कहाँ काटता है, प्रत्येक खंड पर पृथक् समाकलन करना व परम मान जोड़ना। वही सावधानी दो वक्रों के बीच क्षेत्रफल पर लागू है: (ऊपरी − निचला) समाकलित करें, और यदि वक्र अंतराल के भीतर कटें, तो कटान-बिंदु पर बाँटें, क्योंकि उसके पश्चात् भूमिकाएँ उलट जाती हैं। चिह्नित समाकल को क्षेत्रफल बताना इस अध्याय की सर्वाधिक विश्वसनीय रूप से दंडित त्रुटियों में एक है।

दो और उपकरण आते हैं। लाइब्नित्स नियम उस समाकल को अवकलित करता है जिसकी सीमाओं में चर हो: d/dx ∫a(x)b(x) f(t)dt = f(b(x))b′(x) − f(a(x))a′(x), इसी प्रकार उन प्रश्नों पर आगे बढ़ा जाता है जो फलन को समाकल के रूप में परिभाषित करते हैं। और निश्चित समाकल योग की सीमा के रूप में आँका जा सकता है, जो कभी-कभी अभिप्रेत विधि होती है जब व्यंजक lim (1/n)Σ f(r/n) के रूप में प्रस्तुत हो — उसे ∫₀¹ f(x)dx पहचानना कठिन सीमा को नियमित समाकल में बदल देता है।

मुख्य बिंदु

  • समाकल्य में संकेत पढ़ें: संयुक्त का अर्थ प्रतिस्थापन, गुणनफल का खंडशः, परिमेय का आंशिक भिन्न।
  • ILATE तय करता है कौन गुणनखंड अवकलित करें; कठिनतर द्वितीय समाकल का अर्थ आपने ग़लत चुना।
  • ∫eˣ(f + f′)dx = eˣf पकड़ने योग्य है, और ∫dx/x = log|x| मापांक सहित।
  • राजा गुण ∫ₐᵇf(x)dx = ∫ₐᵇf(a+b−x)dx मूल में जोड़ने पर कठिन भाग रद्द कर सकता है।
  • विषम फलन का [−a, a] पर समाकल शून्य है; सम फलन आधे-अंतराल समाकल का दुगुना देता है।
  • निश्चित समाकल अक्ष के नीचे क्षेत्रफल ऋणात्मक गिनता है — क्षेत्रफल हेतु बाँटें व परम मान लें।
  • वक्रों के बीच क्षेत्रफल हेतु (ऊपरी − निचला) समाकलित करें, जहाँ वक्र कटें वहाँ बाँटते हुए।
  • लाइब्नित्स चर सीमाओं वाले समाकल को अवकलित करता है; lim (1/n)Σf(r/n) ही ∫₀¹f(x)dx है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. ∫−ππ sin³x dx का मान है:

    1. 4/3
    2. 0
    3. 2
    4. π
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0

    sin³x विषम है, क्योंकि x को −x से बदलना चिह्न बदलता है, और अंतराल [−π, π] मूल बिंदु के परितः सममित है, अतः दोनों अर्धांशों के योगदान ठीक रद्द हो जाते हैं व समाकल शून्य है। पहले विषमता पकड़ना इसे एक-पंक्ति उत्तर बना देता है; sin³x का सीधा समाकलन संभव है परंतु पूर्णतः अनावश्यक। ध्यान दें कि घिरा क्षेत्रफल शून्य नहीं — केवल चिह्नित समाकल है।

  2. ∫x log x dx में खंडशः समाकलन को अवकलित करना चाहिए:

    1. x
    2. log x
    3. कोई भी समान रूप से चलता है
    4. कोई नहीं — खंडशः लागू नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — log x

    ILATE से लघुगणकीय गुणनखंड बीजीय से पूर्व आता है, अतः log x को u लिया जाता व 1/x तक अवकलित किया जाता है जबकि x का x²/2 तक समाकलन; तत्पश्चात् शेष समाकल केवल ∫x/2 dx है। दूसरी ओर चुनने हेतु log x का समाकलन करना पड़ेगा, जो मूल समस्या से कठिन है — और वही कठिनाई स्वयं संकेत है कि चयन ग़लत था।

  3. 0 से 2π तक y = sin x व x-अक्ष से घिरा क्षेत्रफल है:

    1. 0
    2. 2
    3. 4
    4. 2π
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 4

    [0, 2π] पर समाकल शून्य है क्योंकि द्वितीय चाप अक्ष के नीचे है व प्रथम को रद्द करता है, परंतु क्षेत्रफल धन राशि है, अतः आपको π पर बाँटकर परम मान जोड़ने होंगे: 2 + 2 = 4। यह निश्चित समाकल के मान व उस क्षेत्रफल के बीच मानक भेद है जिसे वह प्रायः समझ लिया जाता है, और विकल्प 0 ठीक एक को दूसरे से बदलना पकड़ने हेतु दिया गया है।

  4. ∫₀π/2 dx/(1 + tan x) बराबर है:

    1. π/2
    2. π/4
    3. 1
    4. log 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — π/4

    a = 0 व b = π/2 सहित राजा गुण लगाना tan x को cot x से बदल देता है, और दोनों समाकल्य ठीक 1 का योग देते हैं, अतः 2I = ∫₀π/2dx = π/2 व I = π/4। कोई प्रतिअवकलज कभी आवश्यक नहीं। इसे आज़माने का संकेत वह समाकल्य था जो x → π/2 − x के अंतर्गत सममित अंतराल पर प्रतिस्थापन व खंडशः का प्रतिरोध करता है।

  5. ∫dx/x बराबर है:

    1. log x + C
    2. log|x| + C
    3. 1/x + C
    4. x log x + C
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — log|x| + C

    प्रतिअवकलज वहाँ वैध होना चाहिए जहाँ 1/x परिभाषित है, x < 0 सहित, और log x वहाँ अपरिभाषित है — अतः मापांक आवश्यक है, सजावटी नहीं। उसे छोड़ना ऐसा उत्तर देता है जो केवल धन अर्ध-रेखा पर सही है, और ऋण परासों पर निश्चित समाकल वाले प्रश्न विशेष रूप से वह छूट उजागर करने हेतु रचे जाते हैं।

  6. ∫eˣ(sin x + cos x) dx बराबर है:

    1. eˣ sin x + C
    2. eˣ cos x + C
    3. eˣ(sin x − cos x) + C
    4. 2eˣ sin x + C
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — eˣ sin x + C

    कोष्ठक का रूप f + f′ है, f = sin x सहित, अतः मानक परिणाम ∫eˣ(f + f′)dx = eˣf सीधे लागू है व eˣ sin x देता है। प्रतिरूप पहचानना खंडशः समाकलन के दो चक्र टालता है, जो वही उत्तर बहुत धीमे पहुँचेंगे। उलटा पढ़ा वही परिणाम इस आकार के किसी भी उत्तर की अवकलन-जाँच का शीघ्र उपाय है।

  7. यदि f का आवर्त T है, तो ∫₀3T f(x)dx बराबर है:

    1. ∫₀^T f(x)dx
    2. 3∫₀^T f(x)dx
    3. 0
    4. T∫₀^T f(x)dx
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 3∫₀^T f(x)dx

    प्रत्येक क्रमिक आवर्त ठीक समान मात्रा देता है, अतः तीन पूर्ण आवर्तों पर समाकलन एक पर समाकल का तीन गुना देता है। यह आवर्ती फलनों के दीर्घ-अंतराल समाकल तुरंत बना देता है, और वह विषम-फलन गुण से उपयोगी रूप से जुड़ता है: यदि फलन प्रत्येक आवर्त पर विषम भी हो, तो कुल शून्य है।

  8. lim(n→∞) (1/n)[f(1/n) + f(2/n) + … + f(n/n)] बराबर है:

    1. f(1)
    2. ∫₀¹ f(x)dx
    3. ∫₀^n f(x)dx
    4. सीमा नहीं है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ∫₀¹ f(x)dx

    व्यंजक [0, 1] पर 1/n चौड़ाई के n बराबर उप-अंतरालों सहित रीमान योग है, अतः उसकी सीमा 0 से 1 तक f का निश्चित समाकल है। इस आकार के योग को समाकल पहचानना अभिप्रेत मार्ग है जब भी योग की सीमा बाहर 1/n व भीतर r/n सहित आए — योग का सीधा मूल्यांकन करने का प्रयास लगभग सदा निराशाजनक है।