अवकलन व अवकलजों के अनुप्रयोग

शृंखला नियम सुरक्षित हो जाने पर अवकलन स्वयं यांत्रिक है, अतः इस अध्याय के अंक लगभग पूर्णतः अनुप्रयोगों में हैं — और वे एक राशि, अवकलज के चिह्न को वक्र की आकृति के विषय में सूचना के रूप में पढ़ने पर सिमट जाते हैं। जहाँ f′ > 0 वहाँ फलन बढ़ता है, जहाँ f′ < 0 वहाँ घटता है, और जहाँ f′ = 0 वहाँ वह मुड़ सकता है। एकदिष्टता व उच्चिष्ठ–निम्निष्ठ का सम्पूर्ण विषय यही है। कठोर रहने योग्य एक बात यह है कि f′ = 0 चरम हेतु आवश्यक परंतु पर्याप्त नहीं है, और इस अध्याय के बहुत से प्रश्न उस अंतराल पर बने हैं। अंतिम खंड वही तंत्र शब्द-समस्या पर लगाता है, जहाँ कलन सरल है और कठिनाई पूर्णतः परिस्थिति से एक-चरीय फलन तक पहुँचने में है।

अवकलन की तकनीकें

नियम व मानक अवकलज
नियम या फलनअवकलज
गुणनफल uvu′v + uv′
भागफल u/v(u′v − uv′)/v²
शृंखला f(g(x))f′(g(x)) · g′(x)
sin x, cos x, tan xcos x, −sin x, sec²x
eˣ, aˣ, log xeˣ, aˣ log a, 1/x
sin⁻¹x, tan⁻¹x1/√(1 − x²), 1/(1 + x²)
🧠 जब भी चर घातांक में आए, लघुगणक लें
y = xsin x जैसा फलन घात नियम से अवकलित नहीं हो सकता, क्योंकि घातांक अचर नहीं, न चरघातांकी नियम से, क्योंकि आधार अचर नहीं। पहले लघुगणक लेना उसे log y = sin x · log x में बदल देता है, जो सामान्य गुणनफल है, और अंतर्निहित रूप से अवकलन y′/y और अतः y′ देता है। वही युक्ति y = x^x व (फलन)फलन रूप के किसी भी व्यंजक को सँभालती है। संकेत केवल यह है कि चर आधार व घातांक दोनों में आता है — उसे पकड़ें और विधि नियत है।

दो और स्थितियों के मानक उपचार हैं। x² + y² = 25 जैसे अंतर्निहित संबंध हेतु, y को x का फलन मानते हुए दोनों पक्षों को x के सापेक्ष अवकलित करें, व dy/dx हेतु हल करें। प्राचलिक युग्म x = f(t), y = g(t) हेतु dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) प्रयोग करें। ध्यान दें कि प्राचलिक वक्र का द्वितीय अवकलज (d²y/dt²)/(d²x/dt²) नहीं है — आपको dy/dx को t के सापेक्ष अवकलित करना व पुनः dx/dt से भाग देना होगा, और यह नियमित रूप से पूछी जाती चूक है।

एकदिष्टता, स्पर्श रेखाएँ व अभिलंब

फलन उस अंतराल पर वर्धमान है जहाँ f′(x) ≥ 0 और ह्रासमान जहाँ f′(x) ≤ 0, कठोर असमिकाएँ कठोर एकदिष्टता देती हैं। किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा की ढाल f′ है और अभिलंब की ढाल −1/f′, अतः x-अक्ष के समांतर स्पर्श रेखा हेतु f′ = 0 चाहिए और y-अक्ष के समांतर हेतु f′ का अपरिभाषित होना। दो वक्र प्रतिच्छेद-बिंदु पर लांबिक हैं जब वहाँ उनकी ढालों का गुणनफल −1 हो।

🎯 f′ = 0 उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ की गारंटी क्यों नहीं देता
लुप्त होता अवकलज केवल कहता है कि स्पर्श रेखा क्षैतिज है, और वक्र मुड़े बिना चपटा हो सकता है। f(x) = x³ हेतु अवकलज x = 0 पर लुप्त होता है, फिर भी फलन दोनों ओर बढ़ता है — बिंदु नति परिवर्तन बिंदु है, चरम नहीं। अतः f′ = 0 अभ्यर्थी पहचानता है, और उन्हें वर्गीकृत करने हेतु द्वितीय परीक्षण चाहिए: या बिंदु के आर-पार f′ का चिह्न-परिवर्तन जाँचें, या द्वितीय अवकलज प्रयोग करें, जहाँ f″ > 0 का अर्थ निम्निष्ठ व f″ < 0 का उच्चिष्ठ। जब f″ भी शून्य हो तो द्वितीय-अवकलज परीक्षण मौन है व केवल चिह्न-परिवर्तन परीक्षण उसे तय करता है, ठीक वही स्थिति x³ मूल बिंदु पर प्रस्तुत करता है।
⚠️ संवृत अंतराल पर अंत-बिंदु पृथक् रूप से जाँचने होंगे
अवकलज परीक्षण केवल प्रांत के अंतर्भाग में स्थानीय चरम ढूँढ़ता है। संवृत अंतराल [a, b] पर सतत फलन के सबसे बड़े व सबसे छोटे मान a या b पर भी हो सकते हैं, जहाँ अवकलज कुछ नहीं कहता क्योंकि कोई दो-पक्षीय प्रतिवेश नहीं। अतः [a, b] पर परम उच्चिष्ठ हेतु सही विधि है प्रत्येक स्थिर बिंदु तथा दोनों अंत-बिंदुओं पर f का मूल्यांकन, तत्पश्चात् सूची की तुलना। संवृत अंतराल पर फलन का सबसे बड़ा मान पूछता प्रश्न यह जाँच रहा है कि अंत-बिंदु सम्मिलित थे या नहीं, और विकल्प-सूची में प्रायः सबसे बड़ा आंतरिक मान चारे के रूप में होगा।

अवकलज परिवर्तन की दर के रूप में भी पढ़ा जाता है, संबंधित-दर प्रश्न इसी का उपयोग करते हैं: यदि गोलीय गुब्बारे का आयतन ज्ञात दर से बढ़े, तो dV/dt = 4πr² dr/dt दोनों दरें जोड़ता है व आपको त्रिज्या की वृद्धि-दर ज्ञात करने देता है। और छोटे परिवर्तनों हेतु सन्निकटन Δy ≈ f′(x)Δx शीघ्र त्रुटि-आकलन देता है — गोले की त्रिज्या में 1 % त्रुटि आयतन में लगभग 3 % त्रुटि उत्पन्न करती है, क्योंकि घातांक 3 आपेक्षिक त्रुटि को गुणा करता है।

अनुप्रयुक्त अनुकूलन — शब्द-समस्या को एक चर तक घटाना

ऊपर की सारी सामग्री उस फलन के चरम ढूँढ़ती है जो आपको दिया गया हो। अनुकूलन प्रश्न इसके बजाय आपको एक परिस्थिति देता है, और जैसे ही आपके पास फलन आ जाए गणित वही है — अतः सम्पूर्ण कठिनाई कलन से पहले वाले चरण में है। विधि इसी क्रम में चार चालें हैं। जिस राशि का अनुकूलन करना है उसे नाम दें और सूत्र के रूप में लिखें, भले उसमें दो चर हों। प्रतिबंध से उनमें से एक हटाएँ, जिससे राशि एक ही चर का फलन बन जाए। अवकलन करें, शून्य रखें, वर्गीकृत करें। फिर प्रांत जाँचें, क्योंकि कोई भौतिक चर प्रायः पूरी वास्तविक रेखा पर स्वतंत्र नहीं होता। अभ्यर्थी ये अंक चौथी चाल की अपेक्षा दूसरी चाल में कहीं अधिक बार खोते हैं।

🧠 दूसरा चर केवल प्रतिबंध ही हटाता है
बक्से की लंबाई, चौड़ाई व ऊँचाई होती है; डिब्बे की त्रिज्या व ऊँचाई। इस अध्याय के एक-चरीय उपकरणों से आप दो-चरीय व्यंजक का अवकलन नहीं कर सकते, अतः प्रश्न का वह वाक्य जो कुछ नियत करता है — "भुजा a की वर्गाकार शीट से", "नियत आयतन का", "त्रिज्या R के गोले में अंतर्निहित" — दृश्य-रचना नहीं है। वही समीकरण है जो दो चरों को एक बनाता है। समस्या एक बार अनुकूलित होने वाली राशि हेतु पढ़ें और दूसरी बार प्रतिबंध हेतु, और कुछ भी अवकलित करने से पूर्व दोनों लिख लें।
मानक परिणाम, और प्रत्येक जिस उत्तर पर ठहरता है
समस्याएक चर तक घटाकरउत्तर
परिमाप P सहित अधिकतम क्षेत्रफल का आयतA = w(P/2 − w)भुजा P/4 का वर्ग, क्षेत्रफल P²/16
भुजा a की वर्गाकार शीट से खुला बक्सा, प्रत्येक कोने से x काटकरV = x(a − 2x)², जहाँ 0 < x < a/2x = a/6, जिससे V = 2a³/27
नियत आयतन का बंद बेलनाकार डिब्बा, न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफलS = 2πr² + 2V/rh = 2r — ऊँचाई व्यास के बराबर
त्रिज्या R के गोले में अंतर्निहित अधिकतम आयतन का बेलनV = π(R² − h²/4)hh = 2R/√3, V = 4πR³/(3√3)
त्रिज्या R के गोले में अंतर्निहित अधिकतम आयतन का शंकुV = π(R² − (h − R)²)h/3h = 4R/3, V = 32πR³/81
⚠️ प्रांत समस्या का अंग है, और एक मूल प्रायः उससे बाहर होता है
बक्सा सबसे स्वच्छ उदाहरण देता है। V = x(a − 2x)² हेतु dV/dx = 0 रखने पर दो स्थिर बिंदु मिलते हैं, x = a/6 तथा x = a/2 — और x = a/2 वह बिंदु है जिस पर कटाई पूरी शीट हटा देती है व बक्से का आयतन शून्य हो जाता है। वह अवकलज का वैध मूल है और निरर्थक उत्तर, और इस प्रकार के प्रत्येक प्रश्न की विकल्प-सूची में रहता है। बचाव यह है कि प्रांत फलन के साथ ही लिख लें: यहाँ कटाई धनात्मक होनी चाहिए और कुछ शेष भी छोड़नी चाहिए, अतः 0 < x < a/2, और x = a/2 मूल्यांकित होने से पहले ही बाहर हो जाता है। जहाँ प्रांत संवृत अंतराल हो वहाँ अंत-बिंदु भी मूल्यांकित करने होंगे, ठीक ऊपर वाली टिप्पणी की भाँति — अनुकूलन समस्या कहानी पहने हुए संवृत-अंतराल चरम समस्या ही है।

तालिका से एक प्रेक्षण साथ ले जाना उपयोगी है, क्योंकि वह इनमें से कई को व्युत्पत्ति के बजाय विवेक-जाँच बना देता है: अनुकूलतम प्रायः सममित स्थिति होती है। अधिकतम क्षेत्रफल का आयत वर्ग है। न्यूनतम पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले डिब्बे की ऊँचाई उसके व्यास के बराबर होती है। गोले में बेलन व गोले में शंकु दोनों R के सरल अनुपातों पर ठहरते हैं। जब सममित दिखती समस्या की व्युत्पत्ति असम उत्तर पर पहुँचे, तो उस पर विश्वास करने से पहले बीजगणित को दुबारा देखना उचित है।

मुख्य बिंदु

  • शृंखला नियम अवकलन का अधिकांश उठाता है; गुणनफल व भागफल नियम शेष करते हैं।
  • जब चर आधार व घातांक दोनों में आए, अवकलन से पूर्व लघुगणक लें।
  • प्राचलिक वक्र हेतु dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt), परंतु द्वितीय अवकलज द्वितीय अवकलजों का अनुपात नहीं।
  • f′ > 0 का अर्थ वर्धमान, f′ < 0 ह्रासमान; अभिलंब की ढाल −1/f′।
  • f′ = 0 चरम हेतु आवश्यक परंतु पर्याप्त नहीं — मूल बिंदु पर x³ प्रत्युदाहरण है।
  • स्थिर बिंदु f′ के चिह्न-परिवर्तन से वर्गीकृत करें, या निम्निष्ठ हेतु f″ > 0 व उच्चिष्ठ हेतु f″ < 0 से।
  • संवृत अंतराल पर सदा अंत-बिंदु भी मूल्यांकित करें — परम चरम वहाँ हो सकता है।
  • आपेक्षिक त्रुटि घातांक से गुणित होती है: त्रिज्या में 1 % आयतन में लगभग 3 %।
  • शब्द-समस्या में प्रतिबंध ही दो चरों को एक तक घटाता है — अवकलन से पूर्व उसे ढूँढ़ें।
  • प्रांत फलन के साथ लिखें: अवकलज का प्रायः एक दूसरा मूल होता है जिसे परिस्थिति वर्जित करती है।
  • अनुकूलतम प्रायः सममित स्थिति होती है — वर्ग, या वह डिब्बा जिसकी ऊँचाई उसके व्यास के बराबर हो।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. f(x) = x³ हेतु बिंदु x = 0 है:

    1. स्थानीय उच्चिष्ठ
    2. स्थानीय निम्निष्ठ
    3. नति परिवर्तन बिंदु, चरम नहीं
    4. स्थिर बिंदु नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — नति परिवर्तन बिंदु, चरम नहीं

    अवकलज 3x², 0 पर लुप्त होता है, अतः वह स्थिर बिंदु है, परंतु 3x² दोनों ओर धनात्मक है, अतः फलन मुड़े बिना 0 से बढ़ता है। चूँकि f′ चिह्न नहीं बदलता कोई चरम नहीं, और द्वितीय-अवकलज परीक्षण अनिर्णायक है क्योंकि f″(0) = 0 भी — ठीक इसीलिए चिह्न-परिवर्तन परीक्षण दोनों में अधिक विश्वसनीय है।

  2. y = xsin x अवकलित करने हेतु सही प्रथम चरण है:

    1. घातांक sin x सहित घात नियम लगाएँ
    2. दोनों पक्षों का लघुगणक लें
    3. आधार x सहित चरघातांकी नियम लगाएँ
    4. भागफल नियम प्रयोग करें
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — दोनों पक्षों का लघुगणक लें

    न घात नियम न चरघातांकी नियम लागू होता है, क्योंकि घात नियम को अचर घातांक चाहिए व चरघातांकी नियम को अचर आधार, और यहाँ दोनों बदलते हैं। लघुगणक लेना log y = sin x · log x देता है, सामान्य गुणनफल जो सरलता से अवकलित होता है व y से गुणा करने पर y′ देता है। वही उपाय प्रत्येक (फलन)^(फलन) व्यंजक सँभालता है।

  3. जिस बिंदु पर f′(x) = 2 है वहाँ वक्र के अभिलंब की ढाल है:

    1. 2
    2. −2
    3. 1/2
    4. −1/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — −1/2

    अभिलंब स्पर्श रेखा पर लंब है, अतः उसकी ढाल स्पर्श-ढाल का ऋण व्युत्क्रम है, −1/2। 1/2 बताना चिह्न भूलता है व −2 उलटना भूलता है; दोनों दिए गए हैं क्योंकि प्रत्येक एक चरण कम है। संबंध यह भी समझाता है कि अभिलंब ठीक वहाँ ऊर्ध्वाधर क्यों है जहाँ स्पर्श रेखा क्षैतिज है, क्योंकि शून्य का व्युत्क्रम अपरिभाषित है।

  4. [a, b] पर सतत फलन का परम उच्चिष्ठ ज्ञात करने हेतु आपको उसका मूल्यांकन करना होगा:

    1. केवल स्थिर बिंदुओं पर
    2. स्थिर बिंदुओं व दोनों अंत-बिंदुओं पर
    3. केवल अंत-बिंदुओं पर
    4. उन बिंदुओं पर जहाँ f″ = 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — स्थिर बिंदुओं व दोनों अंत-बिंदुओं पर

    अवकलज परीक्षण आंतरिक मोड़-बिंदु ज्ञात करता है परंतु a या b पर कुछ नहीं कहता, जहाँ फलन का केवल एक-पक्षीय प्रतिवेश है, और संवृत अंतराल पर सबसे बड़ा मान वहाँ भी हो सकता है — जैसा [0, 1] पर f(x) = x हेतु होता है। अतः पूर्ण अभ्यर्थी-सूची प्रत्येक स्थिर बिंदु तथा दोनों अंत-बिंदु है, और उत्तर उनमें सबसे बड़ा मान।

  5. गोले की त्रिज्या मापने में 1 % त्रुटि उसके आयतन में लगभग कितनी त्रुटि उत्पन्न करती है:

    1. 1 %
    2. 2 %
    3. 3 %
    4. 1/3 %
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 3 %

    चूँकि V = (4/3)πr³, अवकलन dV/V = 3 dr/r देता है, अतः आपेक्षिक त्रुटि घातांक 3 से गुणित होकर लगभग 3 % हो जाती है। वही नियम पृष्ठ क्षेत्रफल हेतु 2 % देता है, जो r² के अनुपात में है। यह पहचानना कि आपेक्षिक त्रुटि घातांक के अनुपात में है, प्रश्नों के इस कुल को एकल गुणन में बदल देता है।

  6. प्राचलिक वक्र x = f(t), y = g(t) हेतु द्वितीय अवकलज d²y/dx² है:

    1. (d²y/dt²)/(d²x/dt²)
    2. dy/dx का t के सापेक्ष अवकलज, dx/dt से भाग
    3. (dy/dt)/(dx/dt) का वर्ग
    4. प्राचलिक वक्रों हेतु अपरिभाषित
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — dy/dx का t के सापेक्ष अवकलज, dx/dt से भाग

    प्रथम अवकलज dy/dx स्वयं t का फलन है, अतः उसे x के सापेक्ष अवकलित करने हेतु शृंखला नियम एक बार और चाहिए: d²y/dx² = [d(dy/dx)/dt] ÷ (dx/dt)। दोनों द्वितीय अवकलजों का अनुपात लेना स्वाभाविक दिखता शॉर्टकट है व केवल ग़लत है, इसीलिए वह प्रथम दिया गया — त्रुटि टिकी रहती है क्योंकि वह स्पष्ट असंगति के बजाय विश्वसनीय व्यंजक देती है।

  7. f(x) किसी अंतराल पर वर्धमान है जब उसमें सर्वत्र:

    1. f(x) > 0
    2. f′(x) ≥ 0
    3. f″(x) > 0
    4. f(x) धनात्मक व f″(x) > 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — f′(x) ≥ 0

    वर्धमान व्यवहार परिवर्तन की दिशा के विषय में है, जिसे प्रथम अवकलज मापता है, अतः सर्वत्र f′ ≥ 0 ठीक वही शर्त है। स्वयं f का मान अप्रासंगिक है — फलन पूर्णतः ऋणात्मक रहते हुए भी वर्धमान हो सकता है — और f″ > 0 नतोदरता वर्णित करता है, अतः वक्र ह्रासमान रहते हुए ऊपर-नतोदर हो सकता है, जैसे e−x है। दोनों अवकलजों को भिन्न गुणों को सौंपे रखना यहाँ अधिकांश भ्रम रोकता है।

  8. दो वक्र प्रतिच्छेद-बिंदु पर लांबिक हैं यदि वहाँ उनकी ढालों का गुणनफल हो:

    1. 1
    2. 0
    3. −1
    4. उनके अवकलजों के अनुपात के बराबर
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — −1

    लंब रेखाओं की ढालों का गुणनफल −1 होता है, और वक्रों की लांबिकता सामान्य बिंदु पर उनकी स्पर्श रेखाओं के लंब होने से परिभाषित है, अतः m₁m₂ = −1। 0 गुणनफल का अर्थ होगा एक स्पर्श रेखा क्षैतिज है, जो वक्रों को लंब केवल तब बनाता है जब दूसरी स्पर्श रेखा संयोगवश ऊर्ध्वाधर हो — वह स्थिति जिसे सामान्य शर्त अपरिभाषित ढालों से पहले ही सँभालती है।

  9. भुजा 12 सेमी की वर्गाकार शीट से प्रत्येक कोने से भुजा x का वर्ग काटकर व फ्लैप मोड़कर खुला बक्सा बनाया जाता है। आयतन अधिकतम होता है जब x हो:

    1. 2 सेमी
    2. 3 सेमी
    3. 4 सेमी
    4. 6 सेमी
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 2 सेमी

    आधार (12 − 2x) वर्ग है व ऊँचाई x, अतः V = x(12 − 2x)²। अवकलन करने पर स्थिर बिंदु x = 2 व x = 6 मिलते हैं, और भुजा a की शीट हेतु सामान्य परिणाम x = a/6 है। लुभावना 6 सेमी उसी अवकलज का दूसरा मूल है — वही कटाई जो पूरी शीट हटा देती है और शून्य आयतन का बक्सा छोड़ती है, और वह इस प्रकार के हर प्रश्न में विकल्प के रूप में आता है। फलन के साथ ही प्रांत 0 < x < 6 लिख लेना उसे मूल्यांकन से पहले ही बाहर कर देता है।

  10. उसी 12 सेमी शीट हेतु खुले बक्से का अधिकतम आयतन है:

    1. 100 घन सेमी
    2. 108 घन सेमी
    3. 128 घन सेमी
    4. 144 घन सेमी
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 128 घन सेमी

    x = 2 पर आधार 8 गुणा 8 है व ऊँचाई 2, अतः V = 2 × 64 = 128 घन सेमी। शेष विकल्प गढ़ी हुई संख्याएँ नहीं, गलत कटाइयों के आयतन हैं: x = 3 देता है 3 × 36 = 108 और x = 1 देता है 1 × 100 = 100, ठीक वही जो स्थिर बिंदु हल करने के बजाय अनुमान लगाने वाला अभ्यर्थी निकालेगा। सही सूत्र में अनुमानित x रखने पर विश्वसनीय संख्या मिलती है, इसीलिए वर्गीकरण का चरण छोड़ा नहीं जा सकता।

  11. नियत आयतन का बंद बेलनाकार डिब्बा न्यूनतम सामग्री से बनाना है। उसकी ऊँचाई h व त्रिज्या r में संबंध है:

    1. h = r
    2. h = 2r
    3. h = 4r
    4. h = r/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — h = 2r

    V = πr²h से h हटाने पर S = 2πr² + 2V/r मिलता है, और dS/dr = 0 देता है r³ = V/2π, जिससे h = V/πr² निकलकर 2r होता है — ऊँचाई व्यास के बराबर। परिणाम को r के सूत्र के बजाय इसी रूप में याद रखना उपयोगी है, क्योंकि यही सममित कथन है और प्रश्न यही पूछते हैं। विकल्प A उस डिब्बे का उत्तर है जिसमें ढक्कन न हो, जहाँ केवल एक वृत्ताकार फलक की सामग्री लगती है; अतः डिब्बा बंद है या नहीं यह पढ़ना प्रश्न का अंग है, विवरण नहीं।

  12. त्रिज्या R के गोले में अंतर्निहित किए जा सकने वाले अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई है:

    1. 2R/√3
    2. R√3
    3. 2R/3
    4. 4R/3
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 2R/√3

    बेलन को गोले के केंद्र में रखने पर r² + h²/4 = R², अतः V = π(R² − h²/4)h पहले ही केवल h का फलन है — घटाने का काम प्रतिबंध ने कर दिया। dV/dh = 0 रखने पर h² = 4R²/3, अतः h = 2R/√3, और आयतन 4πR³/(3√3) है, जो गोले के अपने आयतन का 1/√3 ≈ 0.577 है। विकल्प D पड़ोसी प्रसिद्ध प्रश्न का सही उत्तर है — उसी गोले में अधिकतम आयतन का शंकु, h = 4R/3 पर — और दोनों को मिला देना इस प्रश्न को खोने का सबसे सामान्य तरीका है।

  13. परिमाप 40 सेमी वाले सभी आयतों में अधिकतम क्षेत्रफल है:

    1. 75 वर्ग सेमी
    2. 96 वर्ग सेमी
    3. 100 वर्ग सेमी
    4. 160 वर्ग सेमी
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 100 वर्ग सेमी

    परिमाप w + l = 20 नियत करता है, अतः A = w(20 − w), जो w = 10 पर अधिकतम होता है — भुजा 10 का वर्ग व क्षेत्रफल 100 वर्ग सेमी। शेष विकल्प उसी परिमाप के वास्तविक आयतों के क्षेत्रफल हैं (12 × 8 = 96, 15 × 5 = 75), और इसी से वे लुभावने हैं: प्रत्येक "एक क्षेत्रफल" का सही उत्तर है, बस अधिकतम नहीं। यहाँ सममित स्थिति का जीतना संयोग नहीं — नियत परिमाप हेतु वर्ग सदैव क्षेत्रफल अधिकतम करता है, और यह तथ्य प्रश्नों के इस पूरे कुल को एक-पंक्ति जाँच बना देता है।