अनुक्रम व श्रेणी

अनुक्रम बीजगणित का सर्वाधिक सूत्र-सघन विषय है, और उसे सँभालने योग्य रखने का उपाय यह देखना है कि लगभग प्रत्येक सूत्र दो विचारों का परिणाम है: समांतर श्रेढ़ी प्रत्येक चरण में नियत मात्रा जोड़ती है, और गुणोत्तर नियत गुणक से गुणा करती है। शेष सब — हरात्मक श्रेढ़ियाँ, समांतर-गुणोत्तर श्रेणी, माध्य असमिका — उन दो से बना है। यहाँ लाभकारी एक आदत है सूत्र की ओर बढ़ने से पूर्व प्रकार पहचानना, क्योंकि इस अध्याय की सर्वाधिक सामान्य त्रुटि GP पर AP सूत्र लगाना या यह मान लेना है कि अनंत गुणोत्तर श्रेणी अभिसरित होती है जब वह नहीं होती।

समांतर व गुणोत्तर श्रेढ़ियाँ

मुख्य सूत्र साथ-साथ
राशि	AP	GP
n-वाँ पद	a + (n − 1)d	arⁿ⁻¹
n पदों का योग	(n/2)[2a + (n − 1)d]	r ≠ 1 हेतु a(rⁿ − 1)/(r − 1)
अनंत तक योग	d = 0 न हो तो अपसरित	a/(1 − r), केवल यदि \|r\| < 1
मध्य-पद गुण	प्रत्येक पद अपने पड़ोसियों का माध्य	प्रत्येक पद का वर्ग उसके पड़ोसियों का गुणनफल
उपयोगी समिति	पद a − d, a, a + d लें	पद a/r, a, ar लें

🧠 सममित पद चुनें और अज्ञात रद्द हो जाते हैं

जब प्रश्न कहे "AP में तीन संख्याओं का योग 15 व गुणनफल 80 है", तो उन्हें a − d, a, a + d लिखना योग तुरंत 3a बना देता है, अतः a = 5 एक पंक्ति में निकल आता है व केवल d शेष रहता है। वही युक्ति a/r, a, ar लिखी GP हेतु चलती है, जहाँ गुणनफल a³ बन जाता है। AP में चार पदों हेतु a − 3d, a − d, a + d, a + 3d लें कि योग पुनः d से मुक्त हो। यह युक्ति से अधिक चरों का चयन है, और वह युगपत समीकरणों को एकल में बदल देता है — इसीलिए उसके बिना भी बीजगणित सँभालने योग्य दिखने पर भी वह करने योग्य है।

⚠️ अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग केवल तब है जब |r| < 1

सूत्र a/(1 − r) इतनी बार बताया जाता है कि अभ्यर्थी उसे अनुपात जाँचे बिना लगा देते हैं, परंतु |r| ≥ 1 हेतु पद सिकुड़ते नहीं व श्रेणी का कोई परिमित योग ही नहीं। अतः r = 3/2 वाली श्रेणी देकर उसका अनंत तक योग पूछता प्रश्न आपसे यह पहचानने को कह रहा है कि ऐसा कोई योग नहीं है — और विकल्प-सूची में फिर भी सूत्र से गणित विश्वसनीय संख्या होगी। सीमांत स्थिति r = 1 पृथक् रूप से ध्यान देने योग्य है: श्रेणी a + a + a + … बन जाती है जो अपसरित होती है, और परिमित-योग सूत्र a(rⁿ − 1)/(r − 1) भी टूट जाता है, अतः r = 1 हेतु n पदों का योग केवल na है।

माध्य व AM–GM–HM असमिका

दो धन संख्याओं a व b हेतु समांतर माध्य (a + b)/2, गुणोत्तर माध्य √(ab) व हरात्मक माध्य 2ab/(a + b) है। दो संबंध निकलते हैं: G² = A × H, अतः गुणोत्तर माध्य स्वयं अन्य दो का गुणोत्तर माध्य है, और A ≥ G ≥ H, सर्वत्र समता केवल तब जब a = b। हरात्मक श्रेढ़ी केवल वह अनुक्रम है जिसके व्युत्क्रम AP बनाते हैं, इसीलिए प्रत्येक HP प्रश्न पहले पदों को उलटकर सर्वोत्तम हल होता है।

🎯 AM ≥ GM अनेक अधिकतम व न्यूनतम समस्याओं का सबसे तेज़ मार्ग क्यों है

असमिका कहती है कि धन संख्याओं हेतु समांतर माध्य गुणोत्तर माध्य से नीचे कभी नहीं गिर सकता, और समता केवल तब है जब सभी संख्याएँ बराबर हों। वही अंतिम उपवाक्य उपयोगी भाग है, क्योंकि वह आपको बिना किसी कलन के बताता है कि चरम कहाँ है। x > 0 हेतु x + 1/x न्यूनतम करने के लिए ध्यान दें कि x व 1/x का समांतर माध्य उनके गुणोत्तर माध्य से कम नहीं, जो 1 है, अतः योग कम से कम 2 है और ठीक तब 2 है जब x = 1/x, अर्थात् x = 1। वही तर्क नियत गुणनफल वाले योग का न्यूनतम, या नियत योग वाले गुणनफल का अधिकतम देता है — एक असमिका से प्रश्नों के दो पूरे कुल उत्तरित, और अवकलन से काफ़ी तेज़।

विशेष योग व दूरदर्शी संक्षेपण

रटने योग्य मानक योग
श्रेणी	योग
1 से n तक Σn	n(n + 1)/2
Σn²	n(n + 1)(2n + 1)/6
Σn³	[n(n + 1)/2]² — Σn का वर्ग
प्रथम n विषम संख्याओं का योग	n²
प्रथम n सम संख्याओं का योग	n(n + 1)
समांतर-गुणोत्तर, अनंत	\|r\| < 1 हेतु a/(1−r) + dr/(1−r)²

🧠 व्यापक पद को अंतर में बाँटें और श्रेणी ढह जाती है

Σ 1/(n(n+1)) जैसी श्रेणी हेतु सीधा योग कठिन दिखता है, परंतु पद को 1/n − 1/(n+1) लिखना लगभग सब कुछ रद्द कर देता है: 1 से n तक योग केवल 1 − 1/(n+1) बन जाता है। यह दूरदर्शी संक्षेपण है, और वह किसी भी ऐसे पद हेतु मानक विधि है जो क्रमागत टुकड़ों में गुणनखंडित हो — 1/(n(n+2)), ½ गुणक सहित बँटता है, और 1/(n(n+1)(n+2)) इसी प्रकार। संकेत कि संक्षेपण अभिप्रेत है वह हर है जो AP में पदों का गुणनफल हो। उसे पहचानना प्रत्यक्षतः दुर्गम योग को अंतिम बचे पद को प्रथम से घटाने में बदल देता है, और अनंत रूप भी इसी प्रकार आँके जाते हैं।

दो समापन बिंदु। समांतर-गुणोत्तर श्रेणी के पद (a + nd)rⁿ रूप के होते हैं, और मानक विधि है सम्पूर्ण श्रेणी को r से गुणा करना, घटाना, और उसे सादी GP में सिमटाना — वही चाल प्रत्येक ऐसी श्रेणी हेतु चलती है, अतः परिणाम रटने के बजाय एक बार अभ्यास करने योग्य है। और ध्यान दें कि श्रेणी के n पदों का योग स्वयं पद निर्धारित करता है: aₙ = Sₙ − S_n−1, इसी प्रकार Sₙ को बहुपद के रूप में देते प्रश्नों पर आगे बढ़ना अभिप्रेत है।

मुख्य बिंदु

AP नियत d जोड़ती है; GP नियत r से गुणा करती है। सूत्र चुनने से पूर्व प्रकार पहचानें।
तीन AP पद a − d, a, a + d व तीन GP पद a/r, a, ar लिखें — अज्ञात रद्द हो जाते हैं।
a/(1 − r) को |r| < 1 चाहिए; r ≥ 1 हेतु अनंत गुणोत्तर श्रेणी का कोई योग ही नहीं।
G² = A × H, और A ≥ G ≥ H, समता केवल तब जब संख्याएँ बराबर हों।
AM ≥ GM कलन के बिना चरम ज्ञात करता है, क्योंकि समता तय करती है कि वे कहाँ हैं।
HP वह अनुक्रम है जिसके व्युत्क्रम AP बनाते हैं — सदा पहले पद उलटें।
Σn³ = (Σn)², याद रखने योग्य संयोग क्योंकि वह पूरा सूत्र बचाता है।
AP पदों का गुणनफल वाला हर संक्षेपण का संकेत है — उसे अंतर में बाँटें।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

श्रेणी 2 + 3 + 4.5 + 6.75 + … का अनंत तक योग है:
1. −4
2. 8
3. 4
4. श्रेणी का कोई परिमित योग नहीं
उत्तर देखें
उत्तर: D — श्रेणी का कोई परिमित योग नहीं
सामान्य अनुपात 3/2 है, जो 1 से बड़ा है, अतः पद असीम बढ़ते हैं व कोई परिमित योग नहीं। a/(1 − r) आँख बंद कर लगाना 2/(1 − 1.5) = −4 देगा, धन पदों की श्रेणी हेतु ऋण उत्तर — वह परिणाम स्वयं संकेत होना चाहिए कि सूत्र अपनी वैधता-परास के बाहर प्रयुक्त हुआ है। अनंत तक योग बताने से पूर्व सदा |r| < 1 जाँचें।
x > 0 हेतु x + 4/x का न्यूनतम मान है:
1. 2
2. 4
3. 8
4. कोई न्यूनतम नहीं
उत्तर देखें
उत्तर: B — 4
AM ≥ GM से (x + 4/x)/2 ≥ √(x · 4/x) = 2, अतः x + 4/x ≥ 4, समता तब जब x = 4/x, अर्थात् x = 2। असमिका मान व वह बिंदु दोनों देती है जिस पर वह होता है, इसीलिए वह यहाँ अवकलन का स्थान लेती है। उत्तर 2 स्वयं गुणोत्तर माध्य है, उसका दुगुना नहीं, जो समांतर माध्य से 2 का गुणक छूटने पर सामान्य चूक है।
यदि A, G व H दो धन संख्याओं के समांतर, गुणोत्तर व हरात्मक माध्य हैं, तो:
1. A² = GH
2. G² = AH
3. H² = AG
4. सदा A = G = H
उत्तर देखें
उत्तर: B — G² = AH
A = (a+b)/2 व H = 2ab/(a+b) प्रतिस्थापित करने पर AH = ab = G² मिलता है, अतः गुणोत्तर माध्य अन्य दो का गुणोत्तर माध्य है। तीनों केवल विशेष स्थिति a = b में बराबर हैं; सामान्यतः कठोरतः A ≥ G ≥ H, इसीलिए अंतिम विकल्प भिन्न संख्याओं के किसी भी युग्म हेतु विफल है।
श्रेणी 1/(1·2) + 1/(2·3) + … + 1/(n(n+1)) का योग है:
1. n/(n + 1)
2. 1/(n + 1)
3. n(n + 1)/2
4. 1 + 1/(n + 1)
उत्तर देखें
उत्तर: A — n/(n + 1)
प्रत्येक पद 1/k − 1/(k+1) में बँटता है, अतः योग संक्षेपित होकर 1 − 1/(n+1) = n/(n+1) हो जाता है। हर का क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल होना बाँटने का संकेत है, और बँटने पर लगभग प्रत्येक पद अपने पड़ोसी से रद्द हो जाता है, केवल प्रथम व अंतिम छोड़ते हुए। तत्पश्चात् n → ∞ करना अनंत श्रेणी हेतु 1 देता है, जो उत्तर के रूप पर उपयोगी जाँच है।
AP में तीन संख्याओं का योग 15 है व सबसे छोटी 2 है। सबसे बड़ी है:
1. 5
2. 8
3. 10
4. 13
उत्तर देखें
उत्तर: B — 8
पदों को a − d, a, a + d लिखना योग 3a = 15 बना देता है, अतः मध्य पद तुरंत 5 है। सबसे छोटी 2 के बराबर होने से हमें d = 3 मिलता है, अतः सबसे बड़ी 5 + 3 = 8 है। सममित पद चुनना ही मध्य मान को एक चरण में निकालता है, a व d में दो युगपत समीकरणों की आवश्यकता के बजाय।
1 से n तक Σn³ बराबर है:
1. n(n + 1)(2n + 1)/6
2. [n(n + 1)/2]²
3. n²(n + 1)/2
4. n(n + 1)/2
उत्तर देखें
उत्तर: B — [n(n + 1)/2]²
प्रथम n घनों का योग प्रथम n पूर्णांकों के योग का वर्ग है, एक उल्लेखनीय सर्वसमिका जिसका अर्थ है कि आपको केवल Σn याद रखना है व तत्पश्चात् उसका वर्ग करना। प्रथम विकल्प Σn² है, जो पूर्णतः भिन्न योग है, और अंतिम स्वयं Σn — तीनों को अलग रखना क्षण योग्य है क्योंकि प्रश्न प्रायः उन्हें एक व्यंजक में जोड़ते हैं।
यदि श्रेणी के n पदों का योग Sₙ = n² + 2n है, तो उसका n-वाँ पद है:
1. n² + 2n
2. 2n + 1
3. 2n + 3
4. n + 2
उत्तर देखें
उत्तर: B — 2n + 1
aₙ = Sₙ − S_n−1 प्रयोग करने पर (n² + 2n) − ((n−1)² + 2(n−1)) = 2n + 1 मिलता है। परिणाम n में रैखिक है, जो पुष्टि करता है कि श्रेणी सामान्य अंतर 2 वाली AP है — उपयोगी संगति जाँच, क्योंकि द्विघात Sₙ सदा समांतर श्रेढ़ी से मेल खाता है। स्वयं Sₙ को पद बताना यहाँ मानक चूक है।
यदि a, b, c हरात्मक श्रेढ़ी में हैं, तो निम्न में कौन समांतर श्रेढ़ी में है?
1. स्वयं a, b, c
2. 1/a, 1/b, 1/c
3. a², b², c²
4. किसी भी k हेतु aᵏ, bᵏ, cᵏ
उत्तर देखें
उत्तर: B — 1/a, 1/b, 1/c
हरात्मक श्रेढ़ी अपने व्युत्क्रमों के समांतर श्रेढ़ी बनाने से परिभाषित है, अतः 1/a, 1/b, 1/c समांतर श्रेढ़ी में हैं व 2/b = 1/a + 1/c संतुष्ट करते हैं। इसीलिए किसी भी HP प्रश्न के साथ प्रथम चाल पद उलटना होनी चाहिए: तत्पश्चात् समस्या सामान्य AP समस्या बन जाती है, सभी परिचित सूत्र उपलब्ध सहित।