क्रमचय, संचय व द्विपद प्रमेय

गणना समस्याएँ वे हैं जिन्हें अभ्यर्थी सर्वाधिक बार ग़लत करते हैं जबकि सही होने का निश्चय रखते हैं, और कारण लगभग सदा वही है: व्यवस्था गिनी गई जबकि केवल चयन महत्वपूर्ण था, या उलटा। अतः किसी भी गणना समस्या से पूछने योग्य प्रथम प्रश्न है क्या क्रम महत्वपूर्ण है? — हाँ तो क्रमचय, नहीं तो संचय। द्वितीय यह है कि पुनरावृत्ति अनुमत है या नहीं। कुछ भी लिखने से पूर्व उन दो का उत्तर दें और इस अध्याय का अधिकांश नियमित हो जाता है। तत्पश्चात् द्विपद प्रमेय संचयों का सीधा अनुप्रयोग है, इसीलिए दोनों विषय साथ हैं।

क्रमचय व संचय

किस स्थिति हेतु कौन सूत्र
स्थिति	गणना
n भिन्न वस्तुओं में r व्यवस्थित करें	ⁿPᵣ = n!/(n − r)!
n भिन्न वस्तुओं में r चुनें	ⁿCᵣ = n!/(r!(n − r)!)
पुनरावृत्ति अनुमत सहित n में r व्यवस्थित करें	nʳ
p व q समान सहित n वस्तुएँ व्यवस्थित करें	n!/(p! q!)
n भिन्न वस्तुएँ वृत्त में व्यवस्थित करें	(n − 1)!, या प्रतिबिंब मिलते हों तो (n−1)!/2
r समान वस्तुएँ n डिब्बों में बाँटें	^r+n−1C_n−1

🎯 वृत्तीय व्यवस्था (n − 1)! क्यों देती है, n! नहीं

वृत्त के परितः कोई प्रथम स्थान नहीं, अतः सबको एक स्थान बाईं ओर घुमाना ऐसी व्यवस्था देता है जो वास्तव में भिन्न नहीं। अतः प्रत्येक रैखिक व्यवस्था के n घूर्णन हैं जो सभी वही वृत्तीय बैठक वर्णित करते हैं, और n! को n से भाग देना (n − 1)! देता है। दो परिष्कार महत्वपूर्ण हैं। यदि वृत्त पलटाया जा सके — फूलों का हार, या माला, जहाँ दक्षिणावर्त व वामावर्त समान दिखते हैं — तो (n − 1)!/2 पाने हेतु पुनः 2 से भाग दें। परंतु यदि स्थान विभेद्य हों, जैसे क्रमांकित कुर्सियों वाली गोल मेज़ के परितः, तो घूर्णन अंततः भिन्न हैं व उत्तर n! पर लौट आता है। अतः प्रश्न सदा इस पर टिकता है कि स्थान भेदे जा सकते हैं या नहीं।

🧠 "कोई दो साथ नहीं" हेतु अंतराल, व "सदा साथ" हेतु समूहन

दो प्रतिबंध अधिकांश व्यवस्था प्रश्न सँभालते हैं, और प्रत्येक की मानक युक्ति है। "सदा साथ" हेतु आवश्यक वस्तुओं को एक खंड में बाँधें, परिणामी इकाइयाँ व्यवस्थित करें, तत्पश्चात् खंड की आंतरिक व्यवस्थाओं से गुणा करें — अतः दो विशिष्ट व्यक्ति निकटवर्ती सहित 5 व्यक्ति बैठाने के तरीक़ों की संख्या 4! × 2! है। "कोई दो साथ नहीं" हेतु पहले अप्रतिबंधित वस्तुएँ व्यवस्थित करें व तत्पश्चात् प्रतिबंधित वालों को उनके बीच अंतरालों में रखें: 5 लड़के व 3 लड़कियाँ जहाँ कोई दो लड़कियाँ निकटवर्ती न हों, लड़कों को 5! तरीक़ों से व्यवस्थित करें, जो 6 अंतराल बनाता है, और उनमें 3 को ⁶C₃ तरीक़ों से 3! क्रमों सहित चुनें। दोनों युक्तियों में कौन लागू है यह पहचानना प्रायः प्रश्न की सम्पूर्ण कठिनाई है।

तीन सर्वसमिकाएँ तुरंत उपलब्ध रखने योग्य हैं: ⁿCᵣ = ⁿC_n−r, जो r बड़ा होने पर कार्य आधा करती है; ⁿCᵣ + ⁿC_r−1 = ⁿ⁺¹Cᵣ, पास्कल नियम, जिससे त्रिभुज चलता है; और उपसमुच्चयों की कुल संख्या, ΣⁿCᵣ = 2ⁿ। यह भी ध्यान दें कि ⁿCᵣ, r के मध्य मान पर सर्वाधिक है, अतः पास्कल त्रिभुज की पंक्ति में सबसे बड़ा पद केंद्रीय है।

द्विपद प्रमेय

विस्तार (x + a)ⁿ = Σ ⁿCᵣ x^n−r aʳ में n + 1 पद हैं, और व्यापक पद T_r+1 = ⁿCᵣ x^n−r aʳ है। लगभग प्रत्येक प्रश्न वह व्यापक पद लिखकर, जो शर्त पूछी हो उसे लगाकर — x की कोई विशेष घात, x से स्वतंत्रता, कोई विशिष्ट गुणांक — और r हेतु हल करके उत्तरित होता है। पहले व्यापक पद लिखना इस खंड की सर्वाधिक विश्वसनीय एकल चाल है।

मानक द्विपद प्रश्न व उन पर कैसे आगे बढ़ें
क्या पूछा गया	विधि
x की दी घात का गुणांक	T_r+1 में x का घातांक उसके बराबर रखें व r हेतु हल करें
x से स्वतंत्र पद	x का घातांक शून्य रखें
मध्य पद	n सम एक मध्य पद देता है; n विषम दो देता है
(x + a)ⁿ में पदों की संख्या	n + 1
गुणांकों का योग	x = 1 व a = 1 रखें, 2ⁿ देते हुए
एकांतर चिह्नों सहित गुणांकों का योग	x = 1, a = −1 रखें, 0 देते हुए — अतः विषम व सम योग बराबर हैं

⚠️ सर्वाधिक गुणांक व सर्वाधिक पद भिन्न प्रश्न हैं

(1 + x)ⁿ में सर्वाधिक गुणांक केंद्रीय द्विपद गुणांक है, सम n हेतु ⁿC_n/2, और वह x पर बिल्कुल निर्भर नहीं। आंकिक विस्तार में सर्वाधिक पद x पर निर्भर है, क्योंकि x की घातें गुणांकों के सिकुड़ने से तेज़ या धीमे बढ़ सकती हैं; आप उसे अनुपात T_r+1/T_r निकालकर व यह ज्ञात करके पाते हैं कि वह 1 कहाँ पार करता है। अतः "(1 + 2x)¹⁰ में सर्वाधिक गुणांक ज्ञात करें" व "x = 3 पर (1 + 2x)¹⁰ में सर्वाधिक पद ज्ञात करें" के भिन्न उत्तर व भिन्न विधियाँ हैं। आरंभ से पूर्व दोनों में कौन पूछा जा रहा है यह पढ़ना पूरी व्यर्थ गणना बचाता है।

ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातांक हेतु विस्तार (1 + x)ⁿ अनंत श्रेणी बन जाता है और केवल तब वैध है जब |x| < 1, जो शर्त प्रयोग करते समय स्पष्ट रूप से कहने योग्य है। सर्वाधिक उपयोगी विशेष स्थितियाँ (1 − x)⁻¹ = 1 + x + x² + … व (1 − x)⁻² = 1 + 2x + 3x² + … हैं, और दोनों श्रेणी-योग समस्याओं में आती हैं। ध्यान दें कि यहाँ द्विपद गुणांक क्रमगुणित अर्थ में ⁿCᵣ नहीं रहे, क्योंकि n धन पूर्णांक नहीं है।

मुख्य बिंदु

पहले पूछें क्या क्रम महत्वपूर्ण है — हाँ तो क्रमचय, नहीं तो संचय — तत्पश्चात् क्या पुनरावृत्ति अनुमत है।
वृत्तीय व्यवस्था (n − 1)! देती है, वृत्त पलटाया जा सके तो पुनः आधा, परंतु स्थान क्रमांकित हों तो n!।
"सदा साथ" का अर्थ समूहन व गुणन; "कोई दो साथ नहीं" का अर्थ शेष व्यवस्थित करें व अंतराल प्रयोग करें।
ⁿCᵣ = ⁿC_n−r अंकगणित आधा करता है, और ⁿCᵣ + ⁿC_r−1 = ⁿ⁺¹Cᵣ ही पास्कल त्रिभुज के चलने का कारण है।
पहले व्यापक पद T_r+1 = ⁿCᵣ x^n−r aʳ लिखें — लगभग प्रत्येक द्विपद प्रश्न उससे निकलता है।
(x + a)ⁿ में n + 1 पद हैं; n विषम दो मध्य पद देता है, n सम एक।
सर्वाधिक गुणांक x से स्वतंत्र है; सर्वाधिक पद नहीं — जाँचें कौन पूछा गया।
ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातांक हेतु विस्तार अनंत है व उसे |x| < 1 चाहिए।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

गोल मेज़ के परितः 6 व्यक्तियों को बैठाने के तरीक़ों की संख्या है:
1. 720
2. 120
3. 60
4. 36
उत्तर देखें
उत्तर: B — 120
वृत्त के परितः कोई विशिष्ट प्रथम स्थान नहीं, अतः किसी रैखिक व्यवस्था के n घूर्णन सभी वही बैठक वर्णित करते हैं; 6! = 720 को 6 से भाग देना 120 = 5! देता है। उत्तर 720 केवल तब सही होता यदि कुर्सियाँ क्रमांकित होतीं, और 60 उस हार हेतु सही होता जो पलटाया भी जा सके — अतः प्रश्न की शब्दावली तय करती है कि तीनों में कौन लागू है।
शब्द ALLAHABAD के अक्षरों की व्यवस्थाओं की संख्या है:
1. 9!
2. 9!/(4! 2!)
3. 9!/4!
4. 9!/(4! 2! 2!)
उत्तर देखें
उत्तर: B — 9!/(4! 2!)
शब्द में 9 अक्षर हैं, A चार बार व L दो बार आता है, शेष एक-एक, अतः गणना 9!/(4! 2!) = 7560 है। केवल 4! से भाग देना दोहराए L को उपेक्षित करता है, और अतिरिक्त 2! से भाग देना तीसरा दोहराया अक्षर मान लेगा जो नहीं है — अतः ऐसे किसी प्रश्न में प्रथम चरण केवल प्रत्येक अक्षर गिनना है।
5 लड़के व 3 लड़कियाँ एक पंक्ति में कितने तरीक़ों से बैठाए जा सकते हैं कि कोई दो लड़कियाँ साथ न हों?
1. 5! × 3!
2. 5! × ⁶P₃
3. 8!
4. 8! − 3!
उत्तर देखें
उत्तर: B — 5! × ⁶P₃
पहले 5 लड़कों को 5! तरीक़ों से बैठाएँ; वह दोनों सिरों सहित 6 अंतराल बनाता है, और 3 लड़कियों को 3 भिन्न अंतराल भरने होंगे, जो ⁶P₃ तरीक़ों से हो सकता है क्योंकि लड़कियाँ विभेद्य हैं। अतः कुल 5! × ⁶P₃ = 120 × 120 है। विकल्प 5! × 3! तब लागू होता यदि सभी लड़कियों को एक विशेष खंड में बैठना होता, जो विपरीत प्रतिबंध है।
(x + y)¹⁵ के विस्तार में पदों की संख्या है:
1. 15
2. 16
3. 30
4. 32
उत्तर देखें
उत्तर: B — 16
y का घातांक 0 से 15 तक सम्मिलित चलता है, 16 पद देते हुए — गणना सदा n + 1 है। उत्तर 15, r = 0 पद भूलने से आता है, और 32 गुणांकों के योग से भ्रम है, जो भिन्न राशि है: x = y = 1 रखने पर गुणांक-योग के रूप में 2¹⁵ मिलता है, पदों की संख्या नहीं।
n विषम सहित (1 + x)ⁿ के विस्तार में कितने मध्य पद हैं?
1. एक
2. दो
3. कोई नहीं
4. वह x पर निर्भर है
उत्तर देखें
उत्तर: B — दो
n विषम सहित विस्तार में n + 1 पद हैं, सम गणना, अतः कोई एकल केंद्रीय स्थिति नहीं और (n+1)/2 व (n+3)/2 क्रमांकित दो पद मध्य साझा करते हैं। जब n सम हो तो पद-गणना n + 1 विषम है व ठीक एक पद मध्य में बैठता है। पदों की संख्या, x नहीं, इसे तय करती है, इसीलिए अंतिम विकल्प सही नहीं हो सकता।
(1 + x)¹⁰ के विस्तार में गुणांकों का योग है:
1. 10
2. 1024
3. 512
4. 100
उत्तर देखें
उत्तर: B — 1024
x = 1 प्रतिस्थापित करना x की प्रत्येक घात 1 कर देता है, अतः विस्तार गुणांकों के योग में सिमट जाता है, जो 2¹⁰ = 1024 है। मान 512, 2⁹ है, और वह अकेले विषम-क्रमांकित या सम-क्रमांकित गुणांकों का योग है — x = −1 रखना दर्शाता है कि वे दो योग बराबर हैं, अतः प्रत्येक कुल का आधा है।
अनंत श्रेणी के रूप में (1 + x)⁻² का विस्तार कब वैध है:
1. सभी वास्तविक x हेतु
2. |x| < 1
3. केवल x > 0
4. x पूर्णांक है
उत्तर देखें
उत्तर: B — |x| < 1
ऋणात्मक या भिन्नात्मक घातांक हेतु द्विपद विस्तार अनंत श्रेणी है और केवल |x| < 1 हेतु अभिसरित होती है; उस परास के बाहर पद बढ़ते हैं व श्रेणी अर्थहीन है। यह प्रतिबंध धन पूर्णांक घातांक हेतु नहीं उठता, जहाँ विस्तार n + 1 पदों के पश्चात् समाप्त होता है व प्रत्येक x हेतु ठीक है — इसीलिए जब घातांक धन पूर्णांक न हो तो शर्त कहनी ही चाहिए।
7 समान गेंदें 3 भिन्न डिब्बों में बाँटने के तरीक़ों की संख्या है:
1. 3⁷
2. ⁹C₂ = 36
3. 7!
4. 21
उत्तर देखें
उत्तर: B — ⁹C₂ = 36
चूँकि गेंदें समान हैं केवल प्रति डिब्बा गणनाएँ महत्वपूर्ण हैं, अतः समस्या 7 को तीन अऋण पूर्णांकों के क्रमित योग के रूप में लिखना है; मानक दंड-व-तारा तर्क ⁷⁺³⁻¹C₃₋₁ = ⁹C₂ = 36 देता है। उत्तर 3⁷ तब सही होता यदि गेंदें विभेद्य होतीं, क्योंकि तब प्रत्येक गेंद स्वतंत्र रूप से डिब्बा चुनती — अतः "भिन्न" के बजाय "समान" देखना ही सम्पूर्ण प्रश्न है।