आव्यूह व सारणिक

आव्यूह JEE के सर्वाधिक विश्वसनीय अंक-दाता विषयों में हैं, क्योंकि प्रश्न प्रक्रियात्मक हैं व प्रक्रियाएँ छोटी। सम्पूर्ण अध्याय खोलता एक विचार यह है कि सारणिक बताता है कि आव्यूह पूर्ववत् किया जा सकता है या नहीं: यदि |A| ≠ 0 तो प्रतिलोम है व रैखिक निकाय का ठीक एक हल है, और यदि |A| = 0 तो नहीं और निकाय या विफल है या उसके अनंत हल हैं। यहाँ लगभग प्रत्येक प्रश्न यह पूछने का प्रच्छन्न उपाय है कि कोई सारणिक लुप्त होता है या नहीं। उसके अतिरिक्त, अधिकांश खोए अंक एक आदत से आते हैं: यह मानना कि आव्यूह गुणन सामान्य गुणन जैसा व्यवहार करता है, जो वह नहीं करता।

आव्यूह बीजगणित व सादृश्य कहाँ टूटता है

⚠️ आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं, और AB = 0 का अर्थ A या B शून्य नहीं
संख्याओं के तीन परिचित नियम आव्यूहों हेतु विफल होते हैं, और पेपर तीनों जाँचता है। सामान्यतः AB ≠ BA, अतः (A + B)² = A² + AB + BA + B² और A² + 2AB + B² नहीं, जब तक A व B संयोगवश क्रमविनिमय न करें। AB = 0 से A = 0 या B = 0 नहीं निकलता — इकाइयों का आव्यूह गुणा शून्य-योग पंक्तियों वाला आव्यूह लुप्त हो सकता है जबकि कोई गुणनखंड नहीं। और AB = AC से B = C नहीं निकलता जब तक A प्रतिलोमनीय न हो, क्योंकि निरसन हेतु A⁻¹ से गुणा करना पड़ता है, जिसे |A| ≠ 0 चाहिए। इनमें प्रत्येक मानक जाल है, और सुरक्षित आदत है किसी आव्यूह व्यंजक का निरसन या विस्तार पहले यह पूछे बिना कभी न करें कि जिस आव्यूह का आप निरसन कर रहे हैं वह प्रतिलोमनीय है या नहीं।
विशेष आव्यूह व उन्हें क्या परिभाषित करता है
प्रकारपरिभाषापरिणाम
सममितAᵗ = AA + Aᵗ सदा सममित है
विषम-सममितAᵗ = −Aविकर्ण प्रविष्टियाँ सब शून्य; विषम कोटि पर |A| = 0
लांबिकAAᵗ = I|A| = ±1
वर्गसमA² = A|A| 0 या 1 है
शून्यंभावीकिसी k हेतु Aᵏ = 0अनिवार्यतः |A| = 0
स्वप्रतिलोमीA² = IA अपना ही प्रतिलोम है

प्रत्येक वर्ग आव्यूह अनन्य रूप से सममित व विषम-सममित भाग के योग में बँटता है: A = ½(A + Aᵗ) + ½(A − Aᵗ)। दो कोटि-तथ्य पकड़ने योग्य हैं: विषम कोटि के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक सदा शून्य होता है, अतः वह कभी प्रतिलोमनीय नहीं हो सकता, और परिवर्त गुणनफल उलटता है, (AB)ᵗ = BᵗAᵗ, ठीक जैसे प्रतिलोम करता है, (AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹।

सारणिक व उनके गुण

वे गुण जो आपको विस्तार से बचाते हैं
संक्रियासारणिक पर प्रभाव
दो पंक्तियाँ या स्तंभ बदलेंचिह्न बदलता है
दो पंक्तियाँ समान या समानुपातीसारणिक शून्य है
एक पंक्ति को k से गुणा करेंसारणिक k से गुणित
सम्पूर्ण n × n आव्यूह को k से गुणा करेंkⁿ|A| — k|A| नहीं
एक पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ेंसारणिक अपरिवर्तित — मुख्य सरलीकरण उपकरण
परिवर्तसारणिक अपरिवर्तित
🧠 विस्तार से पूर्व शून्य पंक्ति बनाती पंक्ति-संक्रिया खोजें
चूँकि एक पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ना सारणिक अपरिवर्तित छोड़ता है, जिस सारणिक की पंक्तियों में छिपा रैखिक संबंध हो वह एकल चरण में शून्य तक सिमट सकता है। यदि प्रत्येक पंक्ति की प्रविष्टियों का योग समान मान हो, तो सभी स्तंभ प्रथम में जोड़ना उस स्तंभ को अचर बना देता है, जो प्रायः तुरंत समानुपाती युग्म उजागर करता है। इसीलिए भयावह दिखते सारणिक — मानो a, b, c में द्विघातों की तीन पंक्तियाँ — बार-बार शून्य निकलते हैं, और इसीलिए प्रथम चाल सदा विस्तार के बजाय संरचना खोजना होनी चाहिए। 3 × 3 का विस्तार छह गुणनफल लेता है; समानुपाती युग्म पकड़ना कुछ नहीं।

दो गुणात्मक तथ्य आवर्तित होते हैं। |AB| = |A||B|, अतः |Aⁿ| = |A|ⁿ, और n × n आव्यूह हेतु |adj A| = |A|n−1। प्रतिलोम A⁻¹ = adj(A)/|A| है, जो ठीक तब है जब |A| ≠ 0। और शीर्षों (x₁,y₁), (x₂,y₂), (x₃,y₃) वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल पंक्तियों (x₁, y₁, 1) आदि वाले सारणिक के परम मान का आधा है — अतः तीनों बिंदु ठीक तब संरेख हैं जब वह सारणिक लुप्त हो, जो उपलब्ध सबसे तेज़ संरेखता परीक्षण है।

रैखिक निकाय हल करना

क्रैमर नियम व तीन स्थितियाँ
स्थितिशर्तपरिणाम
संगत, अनन्य हलΔ ≠ 0x = Δ₁/Δ, y = Δ₂/Δ, z = Δ₃/Δ
असंगतΔ = 0 व कोई Δᵢ ≠ 0कोई हल नहीं — तलों का कोई सामान्य बिंदु नहीं
अनंत हलΔ = 0 व प्रत्येक Δᵢ = 0हलों की रेखा या तल
समघात, केवल तुच्छΔ ≠ 0x = y = z = 0 एकमात्र हल
समघात, अतुच्छΔ = 0अनंत हल हैं
🎯 समघात निकाय का "कोई हल नहीं" कभी क्यों नहीं होता
समघात निकाय के सभी अचर पद शून्य हैं, अतः x = y = z = 0 उसे सदा संतुष्ट करता है — तुच्छ हल निःशुल्क है। उसका अर्थ है समघात निकाय कभी असंगत नहीं हो सकता, और उसके विषय में पूछने योग्य एकमात्र प्रश्न यह है कि अतुच्छ हल भी है या नहीं, जो ठीक तब होता है जब Δ = 0। इसीलिए समघात निकायों पर प्रश्न सदा यह रूप लेते हैं "k का वह मान ज्ञात करें जिस हेतु निकाय का अतुच्छ हल हो": वे आपसे Δ = 0 हल करने को कह रहे हैं और कुछ नहीं। वह पहचानना तुरंत तीन में दो स्थितियाँ विचार से हटा देता है और स्थिति-विश्लेषण को एक सारणिक में बदल देता है।
⚠️ अकेला Δ = 0 अनंत हलों का अर्थ नहीं रखता
यह अध्याय की सर्वाधिक सामान्य त्रुटि है। जब Δ = 0 तो निकाय का या कोई हल नहीं या अनंत, और वह कौन है यह पूर्णतः अंश-सारणिकों पर निर्भर है: यदि कोई Δᵢ शून्येतर हो तो निकाय असंगत है, और केवल यदि वे सब लुप्त हों तो अनंत हल हैं। ज्यामितीय रूप से, Δ = 0 वाले तीन तल बिना सामान्य बिंदु के त्रिकोणीय प्रिज़्म बना सकते हैं, या वे सभी एक सामान्य रेखा रख सकते हैं। अतः जो प्रश्न आपको Δ = 0 देकर हलों की संख्या पूछता है वह तब तक अपूर्ण है जब तक आपने कम से कम एक Δᵢ न जाँचा हो — और Δ = 0 से सीधे "अनंत" उत्तर देना ठीक वही अनुक्रिया है जिसे पकड़ने हेतु विकल्प-सूची बनी है।

मुख्य बिंदु

  • सामान्यतः AB ≠ BA, AB = 0 से A या B लुप्त होना आवश्यक नहीं, और A का निरसन |A| ≠ 0 चाहता है।
  • विषम-सममित आव्यूह का विकर्ण शून्य होता है, और विषम कोटि वाले का सारणिक सदा शून्य।
  • n × n आव्यूह को k से गुणा करना सारणिक को kⁿ से गुणा करता है, k से नहीं।
  • एक पंक्ति का गुणज दूसरी में जोड़ना सारणिक अपरिवर्तित छोड़ता है — मुख्य सरलीकरण उपकरण।
  • n × n आव्यूह हेतु |AB| = |A||B|, |Aⁿ| = |A|ⁿ व |adj A| = |A|n−1।
  • तीन बिंदु ठीक तब संरेख हैं जब क्षेत्रफल सारणिक लुप्त हो।
  • Δ ≠ 0 अनन्य हल देता है; Δ = 0 या कोई हल नहीं या अनंत — Δᵢ जाँचें।
  • समघात निकाय कभी असंगत नहीं; उसका अतुच्छ हल ठीक तब है जब Δ = 0।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. यदि A, |A| = 2 वाला 3 × 3 आव्यूह है, तो |3A| बराबर है:

    1. 6
    2. 18
    3. 54
    4. 2
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 54

    आव्यूह को अदिश से गुणा करना उसकी तीनों पंक्तियों में प्रत्येक को उस अदिश से गुणा करता है, और प्रत्येक पंक्ति एक गुणक देती है, अतः सारणिक 3³ = 27 से गुणित होता है, 27 × 2 = 54 देते हुए। उत्तर 6 अदिश को ऐसा मानने से आता है जैसे उसने सारणिक को केवल एक बार गुणा किया, जो मानक चूक है — घातांक आव्यूह की कोटि से मेल खाना चाहिए।

  2. तीन रैखिक समीकरणों के निकाय में Δ = 0 व Δ₁ ≠ 0 है। निकाय:

    1. का अनन्य हल है
    2. के अनंत हल हैं
    3. का कोई हल नहीं
    4. वर्गीकृत नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — का कोई हल नहीं

    Δ = 0 सहित अनन्य-हल स्थिति बाहर हो जाती है, और अनंत हलों हेतु प्रत्येक अंश-सारणिक का भी लुप्त होना आवश्यक है। चूँकि Δ₁ शून्येतर है, निकाय असंगत है व उसका कोई हल नहीं — ज्यामितीय रूप से तीनों तल बिना सामान्य बिंदु के प्रिज़्म घेरते हैं। Δᵢ जाँचे बिना Δ = 0 से सीधे "अनंत" पर छलाँगना वही त्रुटि है जिसे पकड़ने हेतु यह प्रश्न अभिकल्पित है।

  3. कोटि 3 के विषम-सममित आव्यूह का सारणिक है:

    1. सदा शून्य
    2. सदा 1
    3. सदा धनात्मक
    4. कोई भी वास्तविक संख्या
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सदा शून्य

    विषम-सममित आव्यूह हेतु Aᵗ = −A, अतः सारणिक लेने पर |A| = |Aᵗ| = |−A| = (−1)³|A| = −|A| मिलता है, जो विषम कोटि हेतु |A| = 0 के लिए बाध्य करता है। तर्क सम कोटि हेतु विफल होता है, जहाँ (−1)ⁿ, +1 है व सारणिक शून्येतर हो सकता है — इसीलिए प्रश्न में नामित कोटि सम्पूर्ण आशय है।

  4. तीन अज्ञातों में तीन समीकरणों के समघात निकाय का अतुच्छ हल तब और केवल तब है जब:

    1. Δ ≠ 0
    2. Δ = 0
    3. Δ = 1
    4. सभी Δᵢ ≠ 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — Δ = 0

    समघात निकाय सदा तुच्छ हल स्वीकारता है, अतः वह कभी असंगत नहीं; एकमात्र प्रश्न यह है कि दूसरा हल है या नहीं, और उसके लिए गुणांक आव्यूह का व्युत्क्रमणीय-रहित होना आवश्यक है, Δ = 0। यदि Δ ≠ 0 तो आव्यूह प्रतिलोमनीय है व तुच्छ हल एकमात्र है। इसीलिए ऐसे प्रश्न प्राचल हेतु एकल सारणिक समीकरण हल करने पर सिमट जाते हैं।

  5. |A| = 4 वाले 3 × 3 आव्यूह A हेतु |adj A| बराबर है:

    1. 4
    2. 12
    3. 16
    4. 64
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 16

    n × n आव्यूह हेतु |adj A| = |A|n−1, अतः n = 3 सहित उत्तर 4² = 16 है। संबंध A·adj A = |A|I से निकलता है, जिसका सारणिक |A|·|adj A| = |A|ⁿ देता है। |adj A| = |A| बताना सामान्य चूक है, और वह संयोगवश केवल 2 × 2 आव्यूह हेतु सही है, जहाँ n − 1 = 1।

  6. यदि दो शून्येतर वर्ग आव्यूहों A व B हेतु AB = 0, तो:

    1. यह असंभव है
    2. A व B दोनों व्युत्क्रमणीय-रहित होने चाहिए
    3. A, B में कम से कम एक शून्य आव्यूह होना चाहिए
    4. A, −B के बराबर होना चाहिए
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — A व B दोनों व्युत्क्रमणीय-रहित होने चाहिए

    सारणिक लेने पर |A||B| = 0 मिलता है, अतः कम से कम एक सारणिक शून्य है; और वस्तुतः यदि कोई प्रतिलोमनीय होता तो आप उसके प्रतिलोम से गुणा कर दूसरे को शून्य आव्यूह होने हेतु बाध्य कर सकते, पूर्वकथन का विरोध करते हुए — अतः दोनों व्युत्क्रमणीय-रहित होने चाहिए। संख्याओं के विपरीत, आव्यूहों का गुणनफल किसी गुणनखंड के लुप्त होने के बिना लुप्त हो सकता है, ठीक इसीलिए प्रतिलोमनीयता के बिना आव्यूह निरसन अवैध है।

  7. बिंदु (1,2), (3,6) व (5,10) हैं:

    1. 2 क्षेत्रफल वाले त्रिभुज के शीर्ष
    2. संरेख
    3. समकोण त्रिभुज के शीर्ष
    4. संवृत्तीय
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — संरेख

    पंक्तियों (1,2,1), (3,6,1) व (5,10,1) सहित सारणिक बनाने पर शून्य मिलता है, अतः घिरा क्षेत्रफल शून्य है व तीनों बिंदु एक रेखा पर हैं — यहाँ y = 2x। सारणिक परीक्षण संरेखता हेतु उपलब्ध सबसे तेज़ जाँच है व उसे कोई ढाल-तुलना नहीं चाहिए, जो उसे तब भी उपयोगी बनाता है जब कोई खंड संयोगवश ऊर्ध्वाधर हो।

  8. वर्ग आव्यूहों A व B हेतु (AB)⁻¹ बराबर है:

    1. A⁻¹B⁻¹
    2. B⁻¹A⁻¹
    3. (BA)⁻¹
    4. AB
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — B⁻¹A⁻¹

    गुणा करके जाँचें: (AB)(B⁻¹A⁻¹) = A(BB⁻¹)A⁻¹ = AA⁻¹ = I, अतः क्रम उलटना ही चाहिए। बजाय A⁻¹B⁻¹ लिखना A⁻¹ व B को निकटवर्ती छोड़ेगा, रद्द करने योग्य कुछ नहीं, और चूँकि आव्यूह गुणन क्रमविनिमेय नहीं, दोनों व्यंजक वास्तव में भिन्न हैं। परिवर्त वैसा ही व्यवहार करता है, (AB)ᵗ = BᵗAᵗ सहित।