सम्मिश्र संख्याएँ व द्विघात समीकरण

सम्मिश्र संख्याएँ किसी भी अन्य बीजगणित विषय से अधिक दृष्टिकोण-परिवर्तन को पुरस्कृत करती हैं। a + ib के रूप में देखने पर वे बीजगणित समस्या हैं और कार्य भारी है; मापांक व कोणांक सहित समतल में बिंदुओं के रूप में देखने पर वे ज्यामिति बन जाती हैं, और अधिकांश JEE प्रश्न एक-दो पंक्तियों में सिमट जाते हैं। |z − a| = r वृत्त है, |z − a| = |z − b| लंब समद्विभाजक है, और arg((z−a)/(z−b)) = θ चाप है। अध्याय का द्विघात अर्धांश अधिक परिचित है, परंतु वह एक जाल छिपाता है जिसे शीघ्र नामित करना योग्य है: मूलों व गुणांकों का संबंध केवल तब ठीक है जब अग्र गुणांक वास्तव में शून्येतर हो, और प्रश्न अभ्यर्थियों के उसे जाँचना भूलने पर बने होते हैं।

मापांक, कोणांक व ज्यामिति

z = x + iy हेतु मापांक |z| = √(x² + y²) है, मूल बिंदु से दूरी, और कोणांक वह कोण जो सदिश धन वास्तविक अक्ष से बनाता है। ध्रुवीय रूप में z = r(cos θ + i sin θ) = reiθ, और गुणन बन जाता है मापांक गुणा करें, कोणांक जोड़ें — ध्रुवीय रूप के समय बचाने का सम्पूर्ण कारण यही है। दो सर्वसमिकाएँ निकलती हैं: |z₁z₂| = |z₁||z₂| व |z^n| = |z|^n।

समीकरण से सीधे बिंदुपथ पढ़ना
शर्तबिंदुपथ
|z − a| = ra पर केंद्रित r त्रिज्या का वृत्त
|z − a| = |z − b|a व b को जोड़ते खंड का लंब समद्विभाजक
|z − a| + |z − b| = ka व b नाभियों सहित दीर्घवृत्त, यदि k > |a − b|
| |z − a| − |z − b| | = ka व b नाभियों सहित अतिपरवलय
arg(z − a) = θa से θ कोण पर किरण
arg((z−a)/(z−b)) = π/2ab पर व्यास वाला वृत्त, a व b को छोड़कर
🎯 त्रिभुज असमिका की ऊपरी के साथ निचली सीमा भी क्यों है
चूँकि सम्मिश्र संख्याएँ सदिशों की तरह जुड़ती हैं, |z₁ + z₂| ≤ |z₁| + |z₂|, समता केवल तब जब दोनों एक ही दिशा संकेत करें — अर्थात् जब उनके कोणांक बराबर हों। समान रूप से, |z₁ + z₂| ≥ | |z₁| − |z₂| |, समता तब जब वे विपरीत दिशाओं में संकेत करें। अतः नियत मापांकों की दो सम्मिश्र संख्याओं का योग दोनों ओर परिबद्ध है, और |z| = 2 दिए होने पर |z + 1/z| या |z − 3| का अधिकतम या न्यूनतम पूछते प्रश्न आपसे सदिश संरेखित या विरोधी करने को कह रहे हैं। दो तीर खींचकर "एक ही दिशा या विपरीत" पूछना पृष्ठ भर बीजगणित को एक रेखाचित्र से बदल देता है।

दे मॉयवर प्रमेय कहता है (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ, जो k = 0 से n − 1 हेतु इकाई के n-वें मूल e2πik/n देता है। वे मूल एकक वृत्त पर सम n-भुज के शीर्षों पर बैठते हैं, उनका योग शून्य है और उनका गुणनफल (−1)n+1। विशेष रूप से घनमूलों हेतु 1 + ω + ω² = 0 व ω³ = 1, और अकेले वे दो तथ्य ω वाले अधिकांश प्रश्न निपटा देते हैं — ω की कोई भी घात 3 से मॉड्यूलो सिमट जाती है, अतः ω¹⁰⁰ = ω।

द्विघात समीकरण — मूल व गुणांक

a ≠ 0 सहित ax² + bx + c = 0 हेतु मूलों का योग −b/a व गुणनफल c/a है। विविक्तकर D = b² − 4ac उनकी प्रकृति तय करता है: D > 0 दो भिन्न वास्तविक मूल देता है, D = 0 एक पुनरावृत्त मूल, D < 0 सम्मिश्र मूलों का संयुग्मी युग्म। यदि a, b व c परिमेय हों व D पूर्ण वर्ग हो तो मूल परिमेय हैं; अन्यथा वे अपरिमेय संयुग्मी हैं।

⚠️ −b/a प्रयोग करने से पूर्व जाँचें कि अग्र गुणांक शून्येतर है
जो प्रश्न (k − 1)x² + kx + 1 = 0 देकर मूल बराबर करने वाला k का मान पूछता है वह केवल विविक्तकर समस्या नहीं है। यदि k = 1 तो समीकरण रैखिक समीकरण x + 1 = 0 में अपभ्रष्ट हो जाता है, जिसका एक मूल है और कोई "बराबर मूल" नहीं — अतः D = 0 हल करने से पूर्व ही k = 1 अपवर्जित करना होगा। जब भी किसी गुणांक में प्राचल हो वही सावधानी लागू है: पहले शर्त a ≠ 0 कहें, बाद में हल करें। परीक्षक अपभ्रष्ट मान विकल्पों में ठीक इसलिए रखते हैं कि वह बीजगणित संतुष्ट करते हुए पूर्वकथन का उल्लंघन करता है।
मूलों पर शर्तें, बीजगणित में अनूदित
आवश्यकतालगाने योग्य शर्तें
दोनों मूल धनात्मकD ≥ 0, योग > 0 व गुणनफल > 0
दोनों मूल ऋणात्मकD ≥ 0, योग < 0 व गुणनफल > 0
विपरीत चिह्नों के मूलकेवल गुणनफल < 0 — D > 0 स्वतः निकलता है
दोनों मूल k से बड़ेD ≥ 0, af(k) > 0 व −b/2a > k
k मूलों के बीच हैaf(k) < 0 — कुछ और आवश्यक नहीं
🧠 मूलों हेतु हल करने के बजाय af(k) का चिह्न प्रयोग करें
परवलय af(x) ऊपर की ओर खुलता है, अतः वह केवल अपने दो मूलों के कठोरतः बीच ऋणात्मक है। वह एक प्रेक्षण अर्थ रखता है कि af(k) < 0 ठीक वही शर्त है कि k मूलों के बीच है — मूल ढूँढ़ने की आवश्यकता नहीं, विविक्तकर निकालने की भी नहीं, क्योंकि चिह्न-परिवर्तन दो वास्तविक मूलों के अस्तित्व हेतु बाध्य करता है। इसी प्रकार सही ओर शीर्ष सहित af(k) > 0 दोनों मूल k के एक ओर रखता है। यह "प्राचल का परिसर ज्ञात करें" प्रश्नों के पूरे कुल को एक व्यंजक का मूल्यांकन व उसका चिह्न पढ़ने में बदल देता है, जो प्राचल के पदों में द्विघात हल करने से बहुत तेज़ व बहुत कम त्रुटि-प्रवण है।

दो संरचनात्मक तथ्य अध्याय पूर्ण करते हैं। यदि वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात का एक सम्मिश्र मूल हो, तो संयुग्मी स्वतः दूसरा है — अतः वास्तविक द्विघात के ठीक एक सम्मिश्र मूल कभी नहीं हो सकते, और उसे संभावना के रूप में देता प्रश्न असंभव कुछ दे रहा है। और यदि दो द्विघातों के दोनों मूल सामान्य हों तो उनके गुणांक समानुपाती हैं, a₁/a₂ = b₁/b₂ = c₁/c₂; यदि ठीक एक मूल सामान्य हो, तो उनके बीच x² विलोपित करने पर वह मूल (c₁a₂ − c₂a₁)/(a₁b₂ − a₂b₁) मिलता है।

मुख्य बिंदु

  • ध्रुवीय रूप में गुणन मापांक गुणा करता व कोणांक जोड़ता है — इसीलिए वह समय बचाता है।
  • |z − a| = r वृत्त है व |z − a| = |z − b| लंब समद्विभाजक — रूप से बिंदुपथ पढ़ें।
  • त्रिभुज असमिका दो-तरफ़ा है: | |z₁|−|z₂| | ≤ |z₁+z₂| ≤ |z₁|+|z₂|, संरेखण पर समता।
  • इकाई के n-वें मूलों का योग शून्य है; घनमूलों हेतु 1 + ω + ω² = 0 व ω³ = 1।
  • मूलों का योग −b/a व गुणनफल c/a है — परंतु a ≠ 0 की पुष्टि के पश्चात् ही।
  • विपरीत चिह्नों के मूलों हेतु केवल गुणनफल < 0 चाहिए; तत्पश्चात् D > 0 स्वतः निकलता है।
  • af(k) < 0 ठीक वही शर्त है कि k मूलों के बीच है — उन्हें ढूँढ़ने की आवश्यकता नहीं।
  • एक सम्मिश्र मूल वाले वास्तविक द्विघात का दूसरा मूल सदा उसका संयुग्मी होता है।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. |z − 1| = |z + 1| संतुष्ट करते z का बिंदुपथ है:

    1. 1 त्रिज्या का वृत्त
    2. काल्पनिक अक्ष
    3. वास्तविक अक्ष
    4. एकल बिंदु
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — काल्पनिक अक्ष

    शर्त कहती है z, 1 व −1 से समदूरस्थ है, अतः वह उन्हें जोड़ते खंड के लंब समद्विभाजक पर है — रेखा x = 0, जो काल्पनिक अक्ष है। |z − a| = |z − b| को लंब समद्विभाजक पहचानना प्रश्न देखते ही उत्तर देता है; x व y में विस्तार वही परिणाम देता है परंतु कई पंक्तियाँ लेता है।

  2. यदि ω इकाई का अवास्तविक घनमूल है, तो ω¹⁰⁰ बराबर है:

    1. 1
    2. ω
    3. ω²
    4. 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — ω

    चूँकि ω³ = 1, ω की घातें 3 आवर्त से दोहराती हैं, अतः केवल घातांक का 3 से भाग पर शेषफल महत्वपूर्ण है। चूँकि 100 = 3 × 33 + 1, हमें ω¹⁰⁰ = ω¹ = ω मिलता है। घातांक को 3 से मॉड्यूलो सिमटाना इस प्रकार के किसी भी प्रश्न की सम्पूर्ण तकनीक है, और वह विशाल घातों तक उठाए ω हेतु भी समान रूप से चलती है।

  3. x² + px + q = 0 (p, q वास्तविक) के मूल विपरीत चिह्नों के हैं यदि:

    1. केवल p > 0
    2. q < 0
    3. p² − 4q = 0
    4. q > 0 व p < 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — q < 0

    मूलों का गुणनफल q है, और गुणनफल ठीक तब ऋणात्मक है जब दोनों गुणनखंडों के चिह्न विपरीत हों, अतः q < 0 आवश्यक व पर्याप्त दोनों है। ध्यान दें कि कोई पृथक् विविक्तकर शर्त आवश्यक नहीं: ऋण गुणनफल मूलों को वास्तविक होने हेतु बाध्य करता है, क्योंकि सम्मिश्र मूलों के संयुग्मी युग्म का गुणनफल |z|² है जो धनात्मक है। वह पहचानना अनावश्यक शर्त लगाने से बचाता है।

  4. (k − 1)x² + kx + 1 = 0 के बराबर मूल होने हेतु k का ग्राह्य मान है:

    1. k = 1 या k = 2
    2. केवल k = 2
    3. केवल k = 1
    4. k का कोई मान नहीं चलता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — केवल k = 2

    विविक्तकर k² − 4(k − 1) = 0 रखने पर k² − 4k + 4 = 0 मिलता है, अतः k = 2 दो बार। बीजगणित k = 1 की अनुमति भी देता दिखता है, परंतु k = 1 पर x² पद लुप्त हो जाता है व समीकरण रैखिक x + 1 = 0 बन जाता है, जिसका बराबर मूलों के बजाय एकल मूल है — अतः अग्र गुणांक शून्येतर होने की पूर्व शर्त पर k = 1 अपवर्जित करना होगा। हल करने से पूर्व a ≠ 0 जाँचना ही दोनों उत्तरों को पृथक् करता है।

  5. यदि |z| = 2, तो |z − 3| का अधिकतम मान है:

    1. 1
    2. 2
    3. 5
    4. 6
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 5

    बिंदु z मूल बिंदु के परितः 2 त्रिज्या के वृत्त पर है, और |z − 3| वास्तविक अक्ष पर बिंदु 3 से उसकी दूरी है; वह दूरी तब सर्वाधिक है जब z व्यासतः विपरीत हो, z = −2 पर, 5 देते हुए, और z = 2 पर न्यूनतम, 1 देते हुए। तुल्य रूप से त्रिभुज असमिका |z − 3| को |3| − |z| = 1 व |3| + |z| = 5 के बीच परिबद्ध करती है, जो बीजगणितीय रूप से पढ़ा वही उत्तर है।

  6. n ≥ 2 हेतु इकाई के सभी n-वें मूलों का योग है:

    1. 1
    2. 0
    3. n
    4. −1
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 0

    इकाई के n-वें मूल xⁿ − 1 = 0 के मूल हैं, जिसका xn−1 गुणांक शून्य है, अतः मूल-योग संबंध से उनका कुल शून्य है। ज्यामितीय रूप से वे मूल बिंदु पर केंद्रित सम n-भुज के शीर्ष हैं, और शीर्षों के सममित समुच्चय तक सदिश ठीक रद्द हो जाते हैं — कोई भी तर्क मूल सूचीबद्ध किए बिना उत्तर देता है।

  7. यदि 3, x² − px + 2 = 0 के मूलों के बीच है, तो:

    1. f(3) > 0
    2. f(3) < 0, अर्थात् p > 11/3
    3. p = 11/3
    4. ऐसा कोई p नहीं है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — f(3) < 0, अर्थात् p > 11/3

    चूँकि अग्र गुणांक धनात्मक है, परवलय केवल अपने मूलों के कठोरतः बीच ऋणात्मक है, अतः 3 का उनके बीच होना अर्थ रखता है f(3) < 0। वह 9 − 3p + 2 < 0 है, p > 11/3 देते हुए। कोई पृथक् विविक्तकर शर्त आवश्यक नहीं, क्योंकि जिस मान पर परवलय अक्ष से नीचे झुकता है वह दो वास्तविक मूलों की गारंटी देता है — ठीक वही af(k) परीक्षण को इतना किफ़ायती बनाता है।

  8. वास्तविक गुणांकों वाले द्विघात का एक मूल 2 + 3i है। उसका दूसरा मूल है:

    1. पुनः 2 + 3i
    2. 2 − 3i
    3. −2 + 3i
    4. वह निर्धारित नहीं किया जा सकता
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2 − 3i

    वास्तविक गुणांकों वाले बहुपद हेतु सम्मिश्र मूल सदा संयुग्मी युग्मों में आते हैं, अतः दूसरा मूल 2 − 3i होना चाहिए। इसीलिए वास्तविक द्विघात के ठीक एक सम्मिश्र मूल कभी नहीं हो सकते — तब मूलों का योग व गुणनफल वास्तविक होने में विफल होंगे, गुणांकों के वास्तविक होने का विरोध करते हुए। वह आपको समीकरण तुरंत x² − 4x + 13 = 0 के रूप में पुनर्निर्मित करने भी देता है।