समुच्चय, संबंध व फलन

यह अध्याय परिभाषाओं जैसा दिखता है और वस्तुतः सम्पूर्ण प्रश्नपत्र का व्याकरण है। प्रत्येक आगामी विषय — प्रतिलोम त्रिकोणमिति, सीमाएँ, समाकलन, प्रायिकता — इस पर निर्भर है कि फलन का प्रांत ठीक क्या है और वह एकैकी या आच्छादक है या नहीं, क्योंकि वे दो गुण तय करते हैं कि प्रतिलोम है ही या नहीं। यहाँ बनाने योग्य सर्वाधिक उत्पादक आदत है फलन के साथ कुछ भी करने से पूर्व प्रांत लिख लेना। इस अध्याय में खोए अधिकांश अंक संकल्पनात्मक विफलताएँ नहीं बल्कि छूट हैं: वह वर्गमूल जिसका तर्क ऋणात्मक हो सकता है, वह हर जो लुप्त हो सकता है, किसी ऐसी राशि का लघुगणक जो कठोरतः धनात्मक नहीं।

समुच्चय व गणना

n अवयवों वाले समुच्चय के 2ⁿ उपसमुच्चय होते हैं, जिनमें 2ⁿ − 1 उचित व 2ⁿ − 1 अरिक्त हैं। m अवयवों के समुच्चय से n अवयवों के समुच्चय तक संबंधों की संख्या 2^(mn) है, क्योंकि संबंध m × n कार्तीय गुणन का कोई भी उपसमुच्चय है। ये तीन गणनाएँ सीधे एक-अंक प्रश्नों के रूप में आती हैं और तुरंत उपलब्ध रखने योग्य हैं।

🧠 समावेशन–अपवर्जन सूत्र लगभग प्रत्येक सर्वेक्षण समस्या हल करता है
दो समुच्चयों हेतु n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), और तीन हेतु n(A ∪ B ∪ C) = n(A) + n(B) + n(C) − n(A∩B) − n(B∩C) − n(C∩A) + n(A∩B∩C)। प्रतिरूप यह है कि विषम-आकार सर्वनिष्ठ जोड़े जाते व सम-आकार घटाए जाते हैं, जो किसी भी संख्या के समुच्चयों पर सामान्यीकृत होता है। व्यावहारिक उपयोग "कितने विद्यार्थी ठीक दो समाचारपत्र पढ़ते हैं" समस्याओं में है: ठीक दो का अर्थ है युग्मवार सर्वनिष्ठ घटा तीन गुना त्रिक सर्वनिष्ठ, क्योंकि तीनों युग्मों में प्रत्येक त्रिक क्षेत्र एक बार गिनता है। "कम से कम दो" को "ठीक दो" से भ्रमित करना मानक त्रुटि है, और वेन आरेख एक बार खींचना उसे स्थायी रूप से हटा देता है।

संबंध व तुल्यता

संबंध के संभव गुण
गुणशर्तपूर्णांकों पर उदाहरण
स्वतुल्यप्रत्येक a हेतु (a, a) ∈ R"a ≤ b" स्वतुल्य है; "a < b" नहीं
सममित(a, b) ∈ R से (b, a) ∈ R"a = b" सममित है; "a ≤ b" नहीं
संक्रामकR में (a, b) व (b, c) से (a, c) ∈ R"a, b को विभाजित करता है" संक्रामक है
तुल्यतातीनों एक साथ"a ≡ b (mod 5)" — ℤ को 5 वर्गों में विभाजित करता है
⚠️ रिक्त संबंध सममित व संक्रामक है परंतु स्वतुल्य नहीं
यह प्रिय है क्योंकि वह उजागर करता है कि आपने परिभाषाएँ शर्तों के रूप में पढ़ीं या नारों के रूप में। सममितता व संक्रामकता सशर्त कथन हैं — "यदि (a,b) R में है तो …" — और मिथ्या पूर्वकथन वाला सशर्त स्वतः सत्य है, अतः बिना किसी क्रमित युग्म वाला संबंध दोनों रिक्त रूप से संतुष्ट करता है। स्वतुल्यता सशर्त नहीं है: वह माँगती है कि प्रत्येक a हेतु (a,a) उपस्थित हो, अतः रिक्त संबंध किसी भी अरिक्त समुच्चय पर उसमें विफल है। प्रतिबिंब स्थिति भी पूछी जाती है: एक अवयव वाले समुच्चय पर रिक्त संबंध फिर भी स्वतुल्य नहीं, जबकि संबंध {(a,a)} तुल्यता संबंध है। प्रत्येक परिभाषा को वह तार्किक कथन मानकर पढ़ें जो वह है, और ये प्रश्न यांत्रिक हो जाते हैं।

फलन, प्रांत व प्रतिलोमनीयता

प्रत्येक बार जाँचने योग्य प्रांत प्रतिबंध
व्यंजकआवश्यकता
√f(x)f(x) ≥ 0
1/f(x)f(x) ≠ 0
log f(x)f(x) > 0 — कठोरतः, ≥ 0 नहीं
log_g(x) f(x)f > 0, g > 0 व g ≠ 1
sin⁻¹x या cos⁻¹x−1 ≤ x ≤ 1
tan xx ≠ (2n + 1)π/2
🎯 प्रतिलोम हेतु फलन को एकैकी व आच्छादक दोनों क्यों होना चाहिए
प्रतिलोम को सहप्रांत के प्रत्येक अवयव को प्रांत के ठीक एक अवयव पर लौटाना होगा। यदि फलन एकैकी नहीं है, तो दो निवेश एक निर्गत साझा करते हैं और प्रतिलोम नहीं जानेगा कि कौन लौटाए — इसीलिए f(x) = x² का ℝ पर प्रतिलोम नहीं परंतु [0, ∞) पर है। यदि वह आच्छादक नहीं है, तो किसी सहप्रांत अवयव का कोई पूर्वप्रतिबिंब नहीं और प्रतिलोम वहाँ अपरिभाषित होगा — इसीलिए f(x) = eˣ, ℝ तक प्रतिचित्रण के रूप में प्रतिलोमनीय नहीं परंतु (0, ∞) तक के रूप में है। अतः प्रांत सीमित करना एकैकीपन ठीक करता है व सहप्रांत सीमित करना आच्छादकता, और ठीक इसीलिए प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन मुख्य-मान परिसरों सहित आते हैं, सीधे परिभाषित होने के बजाय। "f को प्रतिलोमनीय बनाएँ" कहता प्रश्न पूछ रहा है कि दोनों प्रतिबंधों में कौन आवश्यक है।

परिमित समुच्चयों के बीच प्रतिचित्रण गिनना मानक प्रश्न-प्रकार है। m अवयवों के समुच्चय से n अवयवों के समुच्चय तक कुल nᵐ फलन हैं, n(n−1)…(n−m+1) एकैकी फलन (m > n हो तो शून्य), और आच्छादक फलनों हेतु गणना समावेशन–अपवर्जन से आती है। दो सरल जाँच समय बचाती हैं: यदि m > n तो कोई फलन एकैकी नहीं हो सकता, और यदि m < n तो कोई आच्छादक नहीं — अतः किसी भी अंकगणित से पूर्व प्रायः आधे विकल्प हटाए जा सकते हैं।

🧠 −x प्रतिस्थापित कर सम व विषम जाँचें, और उसका उपयोग समाकलन मारने हेतु करें
फलन सम है यदि f(−x) = f(x) और विषम यदि f(−x) = −f(x); अधिकांश फलन कोई नहीं हैं। लाभ बहुत बाद में आता है परंतु अब स्थापित करने योग्य है: सममित अंतराल [−a, a] पर विषम फलन का समाकलन ठीक शून्य है, अतः विषमता पहचानना कठिन निश्चित समाकलन को एक-पंक्ति उत्तर में बदल देता है। यह भी ध्यान दें कि sin x व tan x विषम हैं जबकि cos x सम, कि दो विषम फलनों का गुणनफल सम है, और कि सम व विषम दोनों होने वाला एकमात्र फलन f(x) = 0 है। समिति पहले पकड़ना सम्पूर्ण प्रश्नपत्र की सर्वाधिक लाभकारी आदतों में एक है।

मुख्य बिंदु

  • n अवयवों के समुच्चय के 2ⁿ उपसमुच्चय हैं; m-समुच्चय से n-समुच्चय तक 2^(mn) संबंध हैं।
  • समावेशन–अपवर्जन विषम-आकार सर्वनिष्ठ जोड़ता व सम-आकार घटाता है।
  • "ठीक दो" "कम से कम दो" नहीं है — तीन गुना त्रिक सर्वनिष्ठ घटाएँ।
  • रिक्त संबंध रिक्त रूप से सममित व संक्रामक है, परंतु अरिक्त समुच्चय पर कभी स्वतुल्य नहीं।
  • सदा पहले प्रांत लिखें: √ को ≥ 0 चाहिए, हर को ≠ 0, log को कठोरतः > 0।
  • प्रतिलोम केवल तब है जब f एकैकी व आच्छादक हो — प्रांत, या सहप्रांत, या दोनों सीमित करें।
  • m-समुच्चय से n-समुच्चय तक: कुल nᵐ फलन, और m > n हो तो कोई एकैकी प्रतिचित्रण नहीं।
  • [−a, a] पर विषम फलन का समाकलन शून्य है — समाकलन से पूर्व समिति पकड़ें।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 3 अवयवों वाले समुच्चय से 2 अवयवों वाले समुच्चय तक संबंधों की संख्या है:

    1. 6
    2. 8
    3. 64
    4. 9
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 64

    संबंध कार्तीय गुणन का कोई भी उपसमुच्चय है, जिसमें यहाँ 3 × 2 = 6 क्रमित युग्म हैं, अतः उपसमुच्चयों की संख्या 2⁶ = 64 है। उत्तर 8, 2³ है, जो केवल प्रथम समुच्चय के उपसमुच्चय गिनता है, और 6 गुणन का आकार है, उसके उपसमुच्चयों की संख्या नहीं — दोनों वैसी निकट-चूक हैं जो एक चरण पहले रुकने से आती है।

  2. अरिक्त समुच्चय A पर रिक्त संबंध है:

    1. स्वतुल्य परंतु सममित नहीं
    2. सममित व संक्रामक परंतु स्वतुल्य नहीं
    3. तुल्यता संबंध
    4. न सममित न संक्रामक
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — सममित व संक्रामक परंतु स्वतुल्य नहीं

    सममितता व संक्रामकता सशर्त कथन हैं, और कोई क्रमित युग्म न होने पर पूर्वकथन कभी संतुष्ट नहीं होते, अतः दोनों रिक्त रूप से ठीक हैं। स्वतुल्यता अशर्त है — उसे A में प्रत्येक a हेतु (a, a) चाहिए — और रिक्त संबंध उनमें कोई नहीं देता, अतः वह विफल है। अतः तीन आवश्यकताओं में दो संतुष्ट करने के बावजूद संबंध तुल्यता संबंध नहीं है।

  3. f(x) = log(x − 2) + √(5 − x) का प्रांत है:

    1. [2, 5]
    2. (2, 5]
    3. (2, 5)
    4. [2, 5)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — (2, 5]

    लघुगणक को कठोरतः x − 2 > 0 चाहिए, अतः x > 2 और अंत-बिंदु 2 अपवर्जित; वर्गमूल को 5 − x ≥ 0 चाहिए, अतः x ≤ 5 और अंत-बिंदु 5 सम्मिलित। सर्वनिष्ठ लेने पर (2, 5] मिलता है। जाल लघुगणक को वर्गमूल जैसा मानकर [2, 5] लिखना है — log को कठोरतः धन तर्क चाहिए, क्योंकि log 0 अपरिभाषित है।

  4. f(x) = x² द्वारा दिया f : ℝ → ℝ है:

    1. एकैकी व आच्छादक
    2. एकैकी परंतु आच्छादक नहीं
    3. न एकैकी न आच्छादक
    4. आच्छादक परंतु एकैकी नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — न एकैकी न आच्छादक

    वह एकैकी नहीं है क्योंकि f(2) = f(−2) = 4, और आच्छादक नहीं क्योंकि किसी वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता, अतः सहप्रांत का सम्पूर्ण ऋण अर्धांश अप्राप्त रहता है। प्रांत को [0, ∞) तक सीमित करना उसे एकैकी बनाता है व सहप्रांत को [0, ∞) तक सीमित करना आच्छादक — दोनों करें और फलन प्रतिलोमनीय हो जाता है, ठीक इसी प्रकार √x परिभाषित है।

  5. 100 लोगों के समूह में 65 A पढ़ते हैं, 45 B पढ़ते हैं व 20 दोनों। कितने कोई नहीं पढ़ते?

    1. 10
    2. 20
    3. 0
    4. 30
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 10

    समावेशन–अपवर्जन से n(A ∪ B) = 65 + 45 − 20 = 90, अतः 100 − 90 = 10 कोई नहीं पढ़ते। अतिव्यापन घटाए बिना 65 व 45 जोड़ना 110 देता है, स्वयं समूह से अधिक, जो तुरंत संकेत है कि सर्वनिष्ठ हटाना ही होगा — जब भी उपयोग कुल से अधिक हों वह उपयोगी जाँच है।

  6. 4 अवयवों वाले समुच्चय से 3 अवयवों वाले समुच्चय तक एकैकी फलनों की संख्या है:

    1. 81
    2. 24
    3. 0
    4. 12
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 0

    एकैकी फलन को चारों निवेशों में प्रत्येक हेतु भिन्न प्रतिबिंब चाहिए, परंतु सहप्रांत केवल तीन मान देता है, अतः पिजनहोल सिद्धांत से दो निवेश टकराने ही होंगे और ऐसा कोई फलन नहीं है। उत्तर 81, 3⁴ है, फलनों की कुल संख्या, जो पूर्णतः भिन्न गणना है — कुछ भी गणना करने से पूर्व m > n जाँचना इस प्रकार के प्रश्न तुरंत तय कर देता है।

  7. ℤ पर संबंध "a ≡ b (mod 3)" है:

    1. स्वतुल्य व सममित परंतु संक्रामक नहीं
    2. तुल्यता संबंध जो ℤ को 3 वर्गों में विभाजित करता है
    3. केवल सममित
    4. संक्रामक परंतु स्वतुल्य नहीं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — तुल्यता संबंध जो ℤ को 3 वर्गों में विभाजित करता है

    प्रत्येक पूर्णांक स्वयं के सर्वांगसम है अतः संबंध स्वतुल्य है; यदि a − b, 3 से विभाज्य है तो b − a भी, सममितता देते हुए; और यदि 3, a − b व b − c दोनों को विभाजित करता है तो वह उनका योग a − c भी विभाजित करता है, संक्रामकता देते हुए। तुल्यता संबंध होने से वह पूर्णांकों को शेषफल 0, 1 व 2 के तीन अवशेष वर्गों में विभाजित करता है — और प्रत्येक तुल्यता संबंध अपने समुच्चय को ठीक इसी प्रकार विभाजित करता है।

  8. कौन-सा फलन विषम है?

    1. f(x) = x² + 1
    2. f(x) = x³ + x
    3. f(x) = cos x
    4. f(x) = |x|
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — f(x) = x³ + x

    −x प्रतिस्थापित करने पर (−x)³ + (−x) = −(x³ + x) = −f(x) मिलता है, जो विषम की परिभाषा है। अन्य तीनों f(−x) = f(x) संतुष्ट करते हैं और अतः सम हैं। विषमता पहचानना जाँच योग्य है क्योंकि [−a, a] जैसे सममित अंतराल पर विषम फलन का समाकलन लुप्त हो जाता है, श्रमसाध्य समाकलन को एकल चरण में बदलते हुए।