त्रिकोणमिति — सर्वसमिकाएँ, समीकरण व प्रतिलोम फलन

त्रिकोणमिति वह विषय है जो अनेक सर्वसमिकाएँ अस्पष्ट रूप से जानने के बजाय थोड़ी सर्वसमिकाएँ अत्यंत अच्छी तरह जानने को सर्वाधिक पुरस्कृत करता है। उनमें तीन — पाइथागोरस सर्वसमिका, संयुक्त-कोण सूत्र व गुणनखंडन सूत्र — लगभग शेष सब बनाते हैं, और द्विक-कोण व अर्ध-कोण परिणाम पृथक् रूप से संचित करने के बजाय उन्हें व्युत्पन्न कर सकना योग्य है। अध्याय का उत्तरार्ध, त्रिकोणमितीय समीकरण व प्रतिलोम फलन, वहीं वास्तव में अंक खोए जाते हैं, और एक कारण से: त्रिकोणमितीय समीकरण के अनंत हल होते हैं, और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन का ठीक एक। उन दो तथ्यों को अलग रखना ही अधिकांश कौशल है।

कंठस्थ जानने योग्य सर्वसमिकाएँ

जनक सर्वसमिकाएँ
कुलसर्वसमिका
पाइथागोरसsin²θ + cos²θ = 1; 1 + tan²θ = sec²θ; 1 + cot²θ = cosec²θ
संयुक्त कोणsin(A ± B) = sinA cosB ± cosA sinB; cos(A ± B) = cosA cosB ∓ sinA sinB
द्विक कोणsin2θ = 2sinθcosθ; cos2θ = 1 − 2sin²θ = 2cos²θ − 1
त्रिक कोणsin3θ = 3sinθ − 4sin³θ; cos3θ = 4cos³θ − 3cosθ
योग से गुणनफलsinA + sinB = 2 sin((A+B)/2) cos((A−B)/2)
a sinθ + b cosθ का परिसर−√(a² + b²) से +√(a² + b²)
🧠 कोई भी a sinθ + b cosθ एकल ज्या-तरंग है, जो उसके सभी चरम तय कर देती है
a sinθ + b cosθ को R = √(a² + b²) सहित R sin(θ + φ) लिखें, और सम्पूर्ण व्यंजक R आयाम की एक ज्या-वक्र बन जाता है। वह तुरंत उसका अधिकतम +R, न्यूनतम −R व θ के वे मान देता है जहाँ प्रत्येक होता है — कोई कलन आवश्यक नहीं। अतः 3 sinθ + 4 cosθ का अधिकतम 5 है, और sinθ + cosθ का अधिकतम √2। वही रूपांतरण बताता है कि a sinθ + b cosθ = c जैसे समीकरण का कोई हल ही कब नहीं, अर्थात् जब |c| > √(a² + b²), जो हल करने योग्य दिखते परंतु न होने वाले प्रश्न रचने का प्रिय उपाय है।

त्रिभुज हेतु ज्या नियम a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R व कोज्या नियम a² = b² + c² − 2bc cosA अधिकांश समस्याएँ सँभालते हैं, क्षेत्रफल ½ab sinC या हीरोन सूत्र से। ध्यान दें कि ज्या नियम तब संदिग्ध हो सकता है जब आपको दो भुजाएँ व असम्मिलित कोण दिया हो, क्योंकि दो भिन्न त्रिभुज उपयुक्त हो सकते हैं — वास्तविक संदिग्धता, त्रुटि नहीं, और जिसका प्रश्न कभी-कभी उपयोग करते हैं।

त्रिकोणमितीय समीकरण

व्यापक हल
समीकरणव्यापक हल
sin θ = 0θ = nπ
cos θ = 0θ = (2n + 1)π/2
tan θ = 0θ = nπ
sin θ = sin αθ = nπ + (−1)ⁿα
cos θ = cos αθ = 2nπ ± α
tan θ = tan αθ = nπ + α
⚠️ त्रिकोणमितीय समीकरण का वर्ग करना या निरसन उसका हल-समुच्चय बदल देता है
दो हेर-फेर नियमित रूप से अंक ले जाते हैं। दोनों पक्षों का वर्ग करना बाह्य मूल लाता है, क्योंकि वह +x को −x से भेद नहीं सकता, अतः प्राप्त प्रत्येक हल मूल समीकरण में पुनः प्रतिस्थापित कर जाँचना होगा। सामान्य गुणनखंड का निरसन मूल खो देता है: sin θ cos θ = sin θ को sin θ से भाग देना sin θ = 0 वाले सभी हल त्याग देता है, और वे प्रायः विकल्पों में होते हैं। सुरक्षित विधि निरसन के बजाय गुणनखंडन है — sin θ (cos θ − 1) = 0 लिखें व प्रत्येक गुणनखंड शून्य रखें — कि कोई शाखा चुपचाप न फेंकी जाए। "[0, 2π] में हलों की संख्या" पूछते प्रश्न ठीक खोया या अतिरिक्त मूल पकड़ने हेतु बने हैं।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन

प्रांत व मुख्य परिसर
फलनप्रांतमुख्य परिसर
sin⁻¹x[−1, 1][−π/2, π/2]
cos⁻¹x[−1, 1][0, π] — कभी ऋणात्मक नहीं
tan⁻¹xसभी वास्तविक(−π/2, π/2), विवृत
cot⁻¹xसभी वास्तविक(0, π)
sec⁻¹x|x| ≥ 1π/2 को छोड़कर [0, π]
cosec⁻¹x|x| ≥ 10 को छोड़कर [−π/2, π/2]
🎯 sin⁻¹(sin x) सदा x क्यों नहीं है
प्रतिलोम ज्या [−π/2, π/2] में मान लौटाता है और कुछ नहीं, अतः sin⁻¹(sin x), x के बराबर केवल तब है जब x पहले से उस परास में हो। x = 3π/4 हेतु sin x = 1/√2 और उसका sin⁻¹, π/4 है, 3π/4 नहीं — फलन ने निवेश को अपने मुख्य परास में मोड़ दिया है। सामान्य नियम है पहले कोण को मुख्य परास तक सिमटाना, sin(π − x) = sin x या जो सर्वसमिका लागू हो उसका प्रयोग करते हुए, और तत्पश्चात् ही प्रतिलोम लगाना। यह विषय की सर्वाधिक पूछी सूक्ष्मता है, और वही सावधानी cos⁻¹(cos x) पर लागू है, जो [0, π] में मान लौटाता है अतः 7π/4 को स्वयं के बजाय π/4 पर भेजता है।

तीन संबंध आवर्तित होते हैं: sin⁻¹x + cos⁻¹x = π/2, tan⁻¹x + cot⁻¹x = π/2 व sec⁻¹x + cosec⁻¹x = π/2, सभी उचित प्रांतों पर वैध। योग सूत्र tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹((x + y)/(1 − xy)) केवल तब ठीक है जब xy < 1; यदि xy > 1 तो मुख्य परास में लौटने हेतु π जोड़ना या घटाना होगा, और वह संशोधन भूलना sin⁻¹(sin x) मोड़ के पश्चात् यहाँ दूसरी सर्वाधिक सामान्य त्रुटि है।

मुख्य बिंदु

  • पाइथागोरस, संयुक्त-कोण व गुणनखंडन सर्वसमिकाएँ अच्छी तरह सीखें; शेष उनसे व्युत्पन्न करें।
  • a sinθ + b cosθ, √(a² + b²) आयाम की एकल तरंग है, अतः उसका परिसर −R से +R है।
  • a sinθ + b cosθ = c का कोई हल नहीं जब |c| > √(a² + b²) — हल करने से पूर्व जाँचें।
  • sin θ = sin α, nπ + (−1)ⁿα देता है, cos θ = cos α, 2nπ ± α, tan θ = tan α, nπ + α।
  • त्रिकोणमितीय समीकरण में गुणनखंड कभी न निरसित करें — गुणनखंडन करें, अन्यथा मूलों के पूरे कुल खो जाते हैं।
  • वर्ग करना बाह्य मूल लाता है, अतः प्रत्येक हल मूल समीकरण में जाँचना होगा।
  • cos⁻¹, [0, π] में मान लौटाता है व कभी ऋणात्मक नहीं; sin⁻¹, [−π/2, π/2] में एक लौटाता है।
  • sin⁻¹(sin x) = x केवल यदि x पहले से मुख्य परास में हो — पहले कोण सिमटाएँ।

अभ्यास प्रश्न (8)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. 3 sin θ + 4 cos θ का अधिकतम मान है:

    1. 3
    2. 4
    3. 5
    4. 7
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 5

    कोई भी व्यंजक a sin θ + b cos θ, R = √(a² + b²) = √(9 + 16) = 5 सहित R sin(θ + φ) लिखा जा सकता है, अतः मान −5 व 5 के बीच दोलन करता है। उत्तर 7 गुणांकों को ऐसे जोड़ने से आता है जैसे ज्या व कोज्या दोनों उसी θ पर 1 तक पहुँच सकते, जो वे नहीं कर सकते — दोनों शिखर चौथाई आवर्त दूर हैं।

  2. sin⁻¹(sin 3π/4) बराबर है:

    1. 3π/4
    2. π/4
    3. −π/4
    4. π/2
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — π/4

    प्रतिलोम ज्या केवल [−π/2, π/2] में मान लौटाता है, और 3π/4 उस अंतराल के बाहर है, अतः सर्वसमिका sin⁻¹(sin x) = x लागू नहीं होती। sin(3π/4) = sin(π − 3π/4) = sin(π/4) प्रयोग करना कोण को मुख्य परास तक सिमटाता है, π/4 देते हुए। 3π/4 उत्तर देना मानक त्रुटि है व दोनों फलनों को अशर्त प्रतिलोम मानने से आती है।

  3. समीकरण 2 sin θ + 3 cos θ = 4 के:

    1. [0, 2π] में ठीक दो हल
    2. अनंत हल
    3. कोई हल नहीं
    4. ठीक एक हल
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — कोई हल नहीं

    बायाँ पक्ष केवल −√(4 + 9) = −√13 ≈ −3.61 व +√13 ≈ 3.61 के बीच मान ले सकता है, अतः वह 4 के बराबर कभी नहीं हो सकता व समीकरण का कोई हल नहीं। |c|, √(a² + b²) से अधिक है या नहीं यह जाँचना एक पंक्ति लेता है व किसी भी बीजगणित से पूर्व प्रश्न बाहर कर देता है — वह आदत असंगत समीकरण के हेर-फेर से प्राप्त उत्तरों से भी बचाती है।

  4. sin θ cos θ = sin θ हल करते समय दोनों पक्षों को sin θ से भाग देना:

    1. वैध है व सभी हल देता है
    2. sin θ = 0 वाले हल खो देता है
    3. बाह्य हल लाता है
    4. समीकरण को सर्वसमिका में बदल देता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — sin θ = 0 वाले हल खो देता है

    sin θ से भाग देना चुपचाप मान लेता है कि sin θ ≠ 0, अतः सभी हल θ = nπ त्याग दिए जाते हैं। सही मार्ग है sin θ (cos θ − 1) = 0 के रूप में गुणनखंडन करना व प्रत्येक गुणनखंड शून्य रखना, जो दोनों कुल रखता है: प्रथम से θ = nπ व द्वितीय से θ = 2nπ। वर्ग करना बाह्य मूल लाता है; निरसन उलटा करता है व वास्तविक मूल हटाता है।

  5. cos⁻¹x का मुख्य परिसर है:

    1. [−π/2, π/2]
    2. [0, π]
    3. (−π/2, π/2)
    4. (0, π)
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — [0, π]

    प्रतिलोम कोज्या [0, π] में मान लेने हेतु परिभाषित है, दोनों अंत-बिंदु सम्मिलित सहित क्योंकि cos⁻¹1 = 0 व cos⁻¹(−1) = π। वह परिसर कभी ऋणात्मक नहीं, इसीलिए ऋण संख्या का cos⁻¹ ऋण के बजाय अधिक कोण है। अंतराल [−π/2, π/2] sin⁻¹ का है व विवृत अंतराल (−π/2, π/2) tan⁻¹ का।

  6. sin⁻¹x + cos⁻¹x बराबर है:

    1. π
    2. π/2
    3. 0
    4. वह x पर निर्भर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — π/2

    [−1, 1] में प्रत्येक x हेतु दोनों प्रतिलोम फलन पूरक हैं व ठीक π/2 का योग देते हैं, इसीलिए कोई भी सदा दूसरे के पदों में पुनः लिखा जा सकता है। वही पूरक संबंध tan⁻¹x + cot⁻¹x व sec⁻¹x + cosec⁻¹x हेतु उनके प्रांतों पर ठीक है, और उसका प्रयोग प्रायः दो भिन्न प्रतिलोम फलन युक्त व्यंजक सरल करने का सबसे तेज़ उपाय है।

  7. सूत्र tan⁻¹x + tan⁻¹y = tan⁻¹((x + y)/(1 − xy)) कब वैध है:

    1. सदा
    2. xy < 1
    3. x व y दोनों धनात्मक हैं
    4. x = y
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — xy < 1

    जब xy > 1 तो दोनों कोणों का योग मुख्य परास (−π/2, π/2) छोड़ देता है, अतः सादा सूत्र ग़लत शाखा पर उतरता है व उसे ठीक करने हेतु π जोड़ना या घटाना होगा। अतः शर्त xy < 1 कथन का भाग है, तकनीकी बात नहीं, और xy > 1 सहित मान देते प्रश्न यह जाँच रहे हैं कि संशोधन लगाया गया या नहीं।

  8. किसी भी त्रिभुज में a/sin A बराबर है:

    1. परित्रिज्या R
    2. 2R, परित्रिज्या का दुगुना
    3. अंतःत्रिज्या r
    4. त्रिभुज का क्षेत्रफल
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — 2R, परित्रिज्या का दुगुना

    ज्या नियम कहता है a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, जहाँ R परिगत वृत्त की त्रिज्या है, अतः सामान्य अनुपात स्वयं परित्रिज्या के बजाय परित्रिज्या का दुगुना है। यह रूप उपयोगी है क्योंकि वह भुजाओं व कोणों के बीच बदलता है और साथ ही R देता है, जिसे अनेक त्रिभुज समस्याएँ सीधे पूछती हैं।