In an ionic crystal, which point defect leaves the density essentially unchanged while keeping the crystal electrically neutral?

A Frenkel defect, in which an ion leaves its site and occupies an interstitial void, creating a vacancy-interstitial pair

A Schottky defect, in which a cation vacancy and an anion vacancy form together and the ions go to the surface, leaving the lattice otherwise intact

A single cation vacancy created alone, with the charge balance restored by the electrons in the conduction band

A Frenkel defect, in which an ion leaves its site and occupies an interstitial void, creating a vacancy-interstitial pair

A substitutional impurity of lower charge, which always shrinks the lattice and so raises the density of the crystal

A crystal contains vacancies in thermodynamic equilibrium at every temperature above 0 K, but dislocations are never present in equilibrium. What is the reason?

Vacancies cost little energy and gain entropy that outweighs it, whereas a dislocation costs energy along its whole length and gains too little entropy

A vacancy is a zero-dimensional defect, and the second law of thermodynamics permits only zero-dimensional defects in equilibrium, forbidding every line defect in a closed system

Dislocations are always generated by plastic deformation, so a crystal can never be free of them whatever its history, and annealing only rearranges them

A vacancy lowers the internal energy of the crystal by relieving strain, while a dislocation always raises it by a larger amount, so vacancies are favoured at all temperatures

In an ionic solid, a Schottky pair has formation energy Q_S = 2.4 eV, and the equilibrium fraction of pairs is n_S/N = exp(−Q_S/2kT). Take k = 8.617 × 10⁻⁵ eV/K and T = 800 K. The fraction n_S/N is closest to

2.8 × 10⁻⁸, which is exp(−Q_S/2kT) with Q_S/2kT = 17.4

7.6 × 10⁻¹⁶, which is exp(−Q_S/kT), without the factor 2 for a pair

2.8 × 10⁻⁸, which is exp(−Q_S/2kT) with Q_S/2kT = 17.4

2.3 × 10⁻⁶, which results from using 800 as a Celsius temperature, that is 1073 K

5.8 × 10⁻³¹, which is exp(−2Q_S/kT), counting the energy of a pair twice

A dislocation line is parallel to its Burgers vector everywhere along its length. Which statement is correct?

It is a screw dislocation, which has no unique slip plane and can cross-slip to another plane containing the line

It is an edge dislocation, which has a unique slip plane and can climb by absorbing vacancies at high temperature

It is a mixed dislocation, with equal edge and screw components, and so it cannot glide on any plane containing the Burgers vector

It is a pure edge dislocation whose extra half-plane lies parallel to the line direction, so it has no well-defined slip plane

It is a screw dislocation, which has no unique slip plane and can cross-slip to another plane containing the line

In an FCC crystal, which of the following dislocation reactions is energetically favourable under the criterion that energy is proportional to |b|² and the Burgers vectors must balance?

(a/2)[1 −1 0] → (a/6)[2 −1 −1] + (a/6)[1 −2 1], with |b|² falling from a²/2 to a²/3

(a/2)[1 1 0] → (a/2)[1 0 1] + (a/2)[0 1 −1], since the vectors add up correctly

a[1 0 0] → (a/2)[1 1 0] + (a/2)[1 −1 0], since it splits into two vectors that are each shorter than a

(a/2)[1 −1 0] → (a/6)[2 −1 −1] + (a/6)[1 −2 1], with |b|² falling from a²/2 to a²/3

(a/2)[1 −1 0] → (a/6)[2 −1 −1] + (a/6)[1 −2 −1], since both partials are short

Which statement about dislocation motion is correct?

Climb of an edge dislocation is non-conservative and needs vacancy diffusion, so it matters mainly at high temperature

Glide of an edge dislocation requires vacancy diffusion, which is why slip stops at low temperature, as for creep

Climb is conservative, since the extra half-plane merely shifts sideways with no atoms added or removed and no change in its length

Screw dislocations climb readily at room temperature by absorbing interstitials at their extra half-plane, as edge dislocations do

Climb of an edge dislocation is non-conservative and needs vacancy diffusion, so it matters mainly at high temperature

In the simple bond-breaking model of an FCC crystal, only nearest-neighbour bonds count. The numbers of broken bonds per surface atom are 3, 4 and 5, and the planar densities are 2.31/a², 2.00/a² and 1.41/a², for the (111), (100) and (110) surfaces respectively. Which surface has the lowest and which the highest surface energy?

Lowest (111), highest (110), because it loses the most bonds per atom

Lowest (100), highest (110), because the cube face is the simplest plane

Lowest (110), highest (111), because the close-packed plane has the densest atoms

A low-angle tilt boundary is a wall of edge dislocations with Burgers vector b, spaced D = b/θ for a small misorientation θ in radians. If the misorientation of such a boundary is doubled, the spacing of its dislocations becomes

half as large, because D = b/θ varies inversely with θ

four times as large, because the energy of the boundary scales with θ²

twice as large, because a bigger angle needs more room for the extra half-planes

half as large, because D = b/θ varies inversely with θ

unchanged, because the Burgers vector alone fixes the spacing

Which of the following statements about point defects are correct?

A Frenkel defect consists of a vacancy and an interstitial of the same ion, created as a pair

In a metal at equilibrium the self-interstitial concentration is far below the vacancy concentration, because the formation energy of a self-interstitial is much higher

A Frenkel defect consists of a vacancy and an interstitial of the same ion, created as a pair

A Schottky defect increases the density of the crystal because ions are packed into extra interstitial sites

A Schottky defect in NaCl is a single isolated Na⁺ vacancy that leaves the crystal with a net negative charge

In a metal at equilibrium the self-interstitial concentration is far below the vacancy concentration, because the formation energy of a self-interstitial is much higher

Which of the following statements about dislocations are correct?

In an edge dislocation the Burgers vector is perpendicular to the dislocation line

A dislocation that curves in its slip plane keeps the same Burgers vector everywhere along the line, although its edge and screw character change

In an edge dislocation the Burgers vector is perpendicular to the dislocation line

A screw dislocation can climb out of its slip plane by absorbing vacancies, just as an edge dislocation does

A dislocation that curves in its slip plane keeps the same Burgers vector everywhere along the line, although its edge and screw character change

A dislocation line can terminate abruptly in the middle of a perfect crystal without meeting a surface, a boundary or another dislocation

Which of the following statements about surface defects are correct?

An intrinsic stacking fault in FCC, made by removing one close-packed layer, creates a thin region of HCP-type stacking

A coherent twin boundary has a much lower energy than a typical high-angle grain boundary, because nearest-neighbour bonds are preserved

A low-angle tilt boundary is an array of edge dislocations

An intrinsic stacking fault in FCC, made by removing one close-packed layer, creates a thin region of HCP-type stacking

A coherent twin boundary has a much lower energy than a typical high-angle grain boundary, because nearest-neighbour bonds are preserved

An incoherent phase boundary has a lower energy than a coherent one, because the lattices need not match

A low-angle tilt boundary is an array of edge dislocations

क्रिस्टलीय पदार्थों में दोष: बिंदु, रेखा तथा पृष्ठ दोष

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर का है। यह XE2 पदार्थ विज्ञान (नौ वैकल्पिक अनुभागों में से एक, जिनमें से परीक्षा में कोई दो चुने जाते हैं) के Section XE2.1 के अंतिम शीर्षक का उत्तर देता है: “Defects in Crystalline Materials: Zero-dimensional or point defects: Vacancies, interstitials, substitutional atoms, Frenkel and Schottky defects; Equilibrium concentration of point defects. One-dimensional or line defects: Dislocations: edge, screw and mixed. Burgers vector and Burgers circuit; Burgers vectors of stable dislocations in simple cubic, body-centred cubic and face-centred cubic lattices; Dislocations meeting at a node; Line energy of a dislocation. Dislocation motion: glide and climb. Two-dimensional or surface defects: Free surfaces, Grain boundaries, twin boundaries, stacking faults, phase boundary; Surface energy of a free surface in terms of a simple bond breaking model.” इसमें दोषों के तीन वर्ग, बिंदु दोष साम्यावस्था में क्यों होते हैं, विस्थापन (dislocation) का वर्णन कैसे होता है और वह कैसे गति करता है, तथा पृष्ठ या आंतरिक अंतरापृष्ठ महँगा क्यों होता है, यह सिखाया गया है। संख्यात्मक प्रश्न हैं: रिक्ति सांद्रता व उसकी ताप-निर्भरता, Burgers सदिश का परिमाण, विस्थापन की रेखा-ऊर्जा और टूटे आबंधों से पृष्ठ ऊर्जा।

बिंदु दोष: रिक्तियाँ, अंतराकाशी, Frenkel तथा Schottky

बिंदु दोष एक या दो परमाण्विक स्थलों तक सीमित विक्षोभ है। रिक्ति एक खाली जालक स्थल है। स्व-अंतराकाशी विलायक का वह परमाणु है जो अंतराल में ठूँसा गया है; वह जालक को इतना विकृत करता है कि उसकी निर्माण-ऊर्जा रिक्ति से कई गुना होती है, इसलिए साम्यावस्था में स्व-अंतराकाशी दुर्लभ हैं। अंतराकाशी अशुद्धि अंतराल में छोटा बाहरी परमाणु है (लोहे में C, N, H), और प्रतिस्थापनीय अशुद्धि जालक स्थल पर बाहरी परमाणु है। प्रत्येक दोष अपने आसपास जालक को विकृत करता है, और प्रत्येक इलेक्ट्रॉनों के लिए प्रकीर्णन केंद्र, विसरण का स्रोत या विस्थापनों के लिए अवरोधक स्थल का काम करता है।

आयनिक क्रिस्टल में दोषों को क्रिस्टल विद्युत-उदासीन रखना होता है। Frenkel दोष एक ही आयन की रिक्ति और अंतराकाशी का युग्म है: एक आयन, प्रायः छोटा धनायन, अपने स्थल से हटकर अंतराल में बैठता है, अतः रिक्ति और अंतराकाशी जोड़े में बनते हैं (AgCl)। आयतन लगभग अपरिवर्तित रहता है। Schottky दोष रिक्तियों का वह समुच्चय है, NaCl में एक धनायन रिक्ति और एक ऋणायन रिक्ति, जो सूत्र के आवेश-संतुलन को बनाए रखे, और विस्थापित आयन पृष्ठ या अन्य स्थलों पर चले जाते हैं। इससे नए जालक स्थल जुड़ते हैं, अतः घनत्व घटता है। दोनों स्टॉइकियोमितीय (stoichiometric) हैं, क्योंकि कोई शुद्ध आवेश नहीं बनता।

⚠️ घनत्व: Frenkel बनाम Schottky

Frenkel युग्म केवल क्रिस्टल के भीतर एक आयन को स्थानांतरित करता है, अतः घनत्व व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तित रहता है। Schottky दोष आंतरिक आयनों को पृष्ठ पर पहुँचाता है, अतः नियत द्रव्यमान पर आयतन बढ़ता है और घनत्व घटता है। इनमें से किसी को भी स्टॉइकियोमिति के परिवर्तन से न जोड़ें।

रिक्तियों की साम्य सांद्रता

रिक्तियाँ वह एकमात्र दोष हैं जो क्रिस्टल में साम्यावस्था में होता है, क्योंकि वे 0 K से ऊपर प्रत्येक ताप पर मुक्त ऊर्जा घटाती हैं। N स्थलों में n रिक्तियाँ बनाने में ऊर्जा nQ लगती है (Q प्रति रिक्ति निर्माण ऊर्जा है) पर विन्यासात्मक एन्ट्रॉपी S = k ln[N!/(n!(N − n)!)] बढ़ती है, अतः G = nQ − TS का एक न्यूनतम होता है। Stirling सन्निकटन से dG/dn = 0 पर n/(N − n) = exp(−Q/kT) मिलता है, और n ≪ N होने से,

n/N = exp(−Q/kT)। यहाँ k = 1.38 × 10⁻²³ J/K = 8.617 × 10⁻⁵ eV/K; प्रति मोल Q के लिए k के स्थान पर R = 8.314 J/(mol K) लें। सांद्रता T के साथ चरघातांकी बढ़ती है और अनेक धातुओं के गलनांक के निकट लगभग 10⁻⁴ तक पहुँचती है। ln(n/N) बनाम 1/T का आलेख −Q/k ढाल की सरल रेखा है, जो Q निकालने की मानक विधि है। प्रति इकाई आयतन स्थलों की संख्या N = N_A ρ/A है।

हल उदाहरण। Q = 0.90 eV, T = 1000 K: Q/kT = 0.90/(8.617 × 10⁻⁵ × 1000) = 10.44, अतः n/N = e⁻¹⁰·⁴⁴ = 2.91 × 10⁻⁵। यदि Q = 1.0 eV के साथ ताप 900 K से 1200 K हो जाए तो अनुपात exp[(Q/k)(1/900 − 1/1200)] = exp[11 605 × 2.778 × 10⁻⁴] = exp(3.224) = 25 है। ताप में 33 % वृद्धि से रिक्ति सांद्रता 25 गुना हो जाती है।

आयनिक क्रिस्टल। निर्माण ऊर्जा Q_S वाले Schottky युग्म के लिए n_S ≈ N exp(−Q_S/2kT) है, और Frenkel युग्म के लिए n_F ≈ √(N N_i) exp(−Q_F/2kT), जहाँ N_i अंतराकाशी स्थलों की संख्या है। गुणक 2 इसलिए आता है कि प्रत्येक घटना दो दोष बनाती है। तेज़ शीतलन (quenching) निम्न ताप के साम्य मान से कहीं अधिक रिक्ति सांद्रता को बनाए रख सकता है, जो फिर ऐनीलन से घटती है।

⚠️ केल्विन, और eV बनाम J

T हमेशा केल्विन में रखें और Q व k की इकाइयाँ मिलाएँ: Q eV में हो तो k = 8.617 × 10⁻⁵ eV/K, या Q J/mol में हो तो R। Q के eV में होने पर 1.38 × 10⁻²³ लेना, या युग्म (Schottky या Frenkel) के लिए गुणक 2 भूल जाना, दो सबसे सामान्य भूलें हैं।

विस्थापन: अपरूपण (edge), पेंच (screw) और मिश्रित, तथा Burgers सदिश

विस्थापन (dislocation) एक रेखा दोष है, स्लिप तल के उस भाग की सीमा जो फिसल चुका है और उस भाग की जो नहीं फिसला। अपरूपण (edge) विस्थापन क्रिस्टल में डाले गए परमाणुओं के एक अतिरिक्त अर्ध-तल का किनारा है; अर्ध-तल की ओर जालक संपीडित और दूसरी ओर तनित होता है। पेंच (screw) विस्थापन वह रेखा है जिसके गिर्द तल कुंडलाकार ढलान की तरह घूमते हैं, ताकि रेखा का एक चक्कर लगाने पर आप एक तल-अंतराल ऊपर पहुँच जाएँ। मिश्रित विस्थापन में दोनों लक्षण होते हैं; स्लिप तल में वक्र विस्थापन रेखा वहाँ शुद्ध edge है जहाँ रेखा स्लिप सदिश के लंबवत है, वहाँ शुद्ध screw है जहाँ समांतर है, और बीच में मिश्रित।

Burgers सदिश b जालक विकृति को मापता है। इसे पाने के लिए पूर्ण क्रिस्टल में प्रत्येक जालक दिशा में N कदमों का बंद परिपथ खींचें; उन्हीं कदमों का क्रम विस्थापन रेखा के गिर्द खींचें तो वह बंद नहीं होता। बंद न होने का अंतर, अंत से आरंभ तक (परिपाटी FS/RH: finish से start, परिपथ रेखा-दिशा के सापेक्ष दाएँ हाथ के नियम से खींचा गया), b है। Edge विस्थापन: b ⟂ रेखा। Screw विस्थापन: b ∥ रेखा। रेखा व b के बीच कोण φ वाले मिश्रित विस्थापन के लिए screw घटक b cos φ और edge घटक b sin φ है। स्लिप तल में रेखा और b दोनों होते हैं, अतः edge विस्थापन का एक अद्वितीय स्लिप तल होता है, जबकि screw विस्थापन, जिसमें b और रेखा समांतर हैं, उसे समाहित करने वाले किसी भी तल में हो सकता है और इसलिए क्रॉस-स्लिप कर सकता है।

b रेखा के अनुदिश संरक्षित है: विस्थापन पर हर जगह उसका मान समान रहता है, चरित्र बदलने पर भी।
विस्थापन क्रिस्टल के भीतर समाप्त नहीं हो सकता: उसे लूप में बंद होना होगा, मुक्त पृष्ठ या सीमा तक पहुँचना होगा, या नोड पर अन्य विस्थापनों से मिलना होगा।
घनत्व प्रति इकाई आयतन रेखा-लंबाई है, m⁻² में: ऐनीलित धातुओं में लगभग 10¹⁰ से 10¹² m⁻² और भारी शीत-कर्म के बाद लगभग 10¹⁵ से 10¹⁶ m⁻² तक।

स्थायी विस्थापनों के Burgers सदिश, नोड तथा रेखा-ऊर्जा

रेखा-ऊर्जा। विस्थापन के चारों ओर प्रति इकाई लंबाई प्रत्यास्थ विकृति ऊर्जा लगभग E ≈ αGb² है, G अपरूपण गुणांक और α लगभग 0.5 से 1 के बीच। अधिक सटीक रूप से, screw विस्थापन के लिए E = Gb² ln(R/r₀)/4π और edge के लिए E = Gb² ln(R/r₀)/[4π(1 − ν)], जो ν ≈ 1/3 पर screw मान का लगभग 1.5 गुना है। चूँकि E ∝ b², स्थायी विस्थापन का Burgers सदिश सबसे छोटा जालक स्थानांतरण सदिश होता है, और लंबे b वाला विस्थापन टूटकर अपनी ऊर्जा घटा सकता है: b₁ → b₂ + b₃ तब अनुकूल है जब |b₁|² > |b₂|² + |b₃|²।

स्थायी विस्थापन का Burgers सदिश
जालक	b	\|b\|	कारण
सरल घनीय	a⟨100⟩	a	सबसे छोटा जालक सदिश घन का किनारा है
BCC	(a/2)⟨111⟩	√3 a/2	परमाणु अंतः-विकर्ण के अनुदिश स्पर्श करते हैं
FCC	(a/2)⟨110⟩	a/√2	परमाणु फलक-विकर्ण के अनुदिश स्पर्श करते हैं

BCC में a⟨100⟩ सदिश अधिक लंबा है (|b|² = a², जबकि 3a²/4), अतः (a/2)⟨111⟩ विस्थापन की ऊर्जा कम है। FCC में (a/2)[1 −1 0] Shockley आंशिक विस्थापनों (a/6)[2 −1 −1] + (a/6)[1 −2 1] में टूट सकता है: सदिश सही जुड़ते हैं, और |b|² a²/2 से घटकर a²/6 + a²/6 = a²/3 हो जाता है। आंशिक विस्थापन एक-दूसरे को प्रतिकर्षित करते हैं और उनके बीच के स्टैकिंग-दोष फीते से अलग टिके रहते हैं।

नोड। जहाँ विस्थापन मिलते हैं, Burgers सदिश Frank के नियम का पालन करते हैं: नोड की ओर निर्देशित रेखाओं के b का योग बाहर की ओर निर्देशित रेखाओं के योग के बराबर होता है (सभी बाहर की ओर निर्देशित हों तो Σb = 0)। FCC में (a/2)[1 0 1] नोड पर दो रेखाओं (a/2)[0 1 1] और (a/2)[1 −1 0] से मिल सकता है: (0 + 1, 1 − 1, 1 + 0) a/2 = (a/2)[1 0 1]। रेखा-ऊर्जा का हल उदाहरण। a = 0.3615 nm वाली FCC धातु के लिए b = a/√2 = 0.2556 nm है। G = 48 GPa और E = Gb²/2 से: E = 0.5 × 48 × 10⁹ × (0.2556 × 10⁻⁹)² = 1.57 × 10⁻⁹ J/m।

🎯 विस्थापन कभी ‘साम्यावस्था’ में क्यों नहीं होते

विस्थापन की प्रति इकाई लंबाई ऊर्जा (लगभग 10⁻⁹ J/m, या पार किए गए प्रत्येक परमाण्विक तल पर कुछ eV) उस एन्ट्रॉपी से कहीं अधिक है जो वह पा सकता है। अतः रिक्तियों के विपरीत विस्थापनों का कोई साम्य घनत्व नहीं होता, और ऐनीलन उन्हें हटाता है। रेखा-ऊर्जा रेखा-तनाव का भी काम करती है, जो वक्र विस्थापन को छोटा करना चाहती है।

विस्थापन की गति: glide तथा climb

Glide (स्लिप) स्लिप तल में गति है, वह तल जिसमें रेखा और b हैं। यह संरक्षी है: परमाणु केवल अंतराल के एक अंश जितना खिसकते हैं, कुछ जोड़ा या हटाया नहीं जाता, और केवल अपरूपण प्रतिबल चाहिए, विसरण नहीं। अपरूपण प्रतिबल में edge विस्थापन b के समांतर glide करता है और screw विस्थापन b के लंबवत glide करता है, फिर भी दोनों समान दिशा में b जितनी स्लिप उत्पन्न करते हैं। स्लिप सघन तलों पर और सघन दिशाओं में होती है, FCC में {111}⟨110⟩, BCC में {110}⟨111⟩ (अन्य के साथ) और HCP में (0001)⟨11-20⟩, क्योंकि वहाँ ऊर्जा और आवश्यक प्रतिबल सबसे कम हैं। जब क्रिस्टल पूरे तल पर एक Burgers सदिश जितना फिसलता है तो पृष्ठ पर b ऊँचाई की सीढ़ी बन जाती है।

Climb edge विस्थापन की अपने स्लिप तल के लंबवत गति है, उस तल से बाहर जिसमें b है। यह असंरक्षी है: अतिरिक्त अर्ध-तल परमाणु पाकर या खोकर बढ़ता या घटता है। जब रिक्तियाँ विसरित होकर अर्ध-तल के सिरे पर पहुँचकर अवशोषित होती हैं तो अर्ध-तल छोटा होता है और विस्थापन ऊपर चढ़ता है; रिक्तियों का उत्सर्जन (या अंतराकाशी का अवशोषण) उसे नीचे उतारता है। Climb के लिए परमाण्विक विसरण चाहिए, अतः यह केवल उच्च ताप पर मायने रखता है, जहाँ यह क्रीप और पुनःप्राप्ति को नियंत्रित करता है। Screw विस्थापन में अतिरिक्त अर्ध-तल नहीं होता और वह climb नहीं कर सकता; वह क्रॉस-स्लिप से अवरोधों से बचता है।

Glide और climb की तुलना
लक्षण	Glide	Climb
गति का तल	स्लिप तल (रेखा व b सहित)	स्लिप तल के लंबवत
विस्थापन प्रकार	Edge, screw और मिश्रित	केवल edge घटक
द्रव्य परिवहन	कोई नहीं (संरक्षी)	रिक्ति विसरण (असंरक्षी)
प्रेरक स्थिति	स्लिप तल पर अपरूपण प्रतिबल	उच्च ताप और विसरण

मुक्त पृष्ठ तथा पृष्ठ ऊर्जा का आबंध-भंग मॉडल

मुक्त पृष्ठ के परमाणुओं के पड़ोसी कम हो जाते हैं, इसलिए वे कम प्रबलता से बँधे होते हैं और पृष्ठ पर अतिरिक्त ऊर्जा होती है, पृष्ठ ऊर्जा γ (J/m²), जो धातुओं में लगभग 1 J/m² की कोटि की है। सरल आबंध-भंग मॉडल में केवल निकटतम-पड़ोसी आबंध गिने जाते हैं, प्रत्येक की ऊर्जा ε, और पृष्ठ बिना शिथिलन (relaxation) का पूर्ण कटाव है। क्रिस्टल को काटने से आबंध टूटते हैं और दो पृष्ठ बनते हैं, अतः प्रत्येक पृष्ठ को प्रत्येक टूटे आबंध की आधी ऊर्जा लगती है: जिस पृष्ठ परमाणु ने n_b आबंध खोए हैं उसकी अतिरिक्त ऊर्जा n_b ε/2 है, और प्रति इकाई क्षेत्रफल

γ = (n_b ε/2) × (प्रति इकाई क्षेत्रफल पृष्ठ परमाणु)। FCC क्रिस्टल (12 निकटतम पड़ोसी) में टूटे आबंधों की संख्या (111) पृष्ठ के लिए 3, (100) के लिए 4 और (110) के लिए 5 है। तलीय घनत्वों (111) के लिए 4/(√3 a²) = 2.31/a², (100) के लिए 2/a² और (110) के लिए √2/a² = 1.41/a² के साथ γ(100)/γ(111) = (4 × 2)/(3 × 2.309) = 1.155। सघन तल में सबसे कम आबंध टूटते हैं और ऊर्जा सबसे कम होती है, इसीलिए क्रिस्टल सघन फलक दिखाना पसंद करते हैं।

हल उदाहरण। एक मॉडल FCC ठोस में a = 0.400 nm और आबंध ऊर्जा ε = 0.30 eV है। (111) पृष्ठ के लिए n_b = 3 और तलीय घनत्व 4/(√3 × 0.160) = 14.43 nm⁻² है। γ = (3 × 0.30/2) × 14.43 = 6.50 eV/nm²। चूँकि 1 eV/nm² = 0.1602 J/m², γ = 1.04 J/m²।

⚠️ आधा आबंध, और सही तलीय घनत्व

गुणक ½ भूल जाने से उत्तर दुगुना हो जाता है, और गलत तल के आबंध गिनना या FCC (100) पृष्ठ के लिए 2/a² के स्थान पर घन-फलक घनत्व 1/a² लेना सामान्य भूलें हैं। मॉडल शिथिलन और अगले-निकटतम आबंधों की उपेक्षा करता है, अतः इसे अनुपातों व प्रवृत्तियों के लिए प्रयोग करें, सटीक मानों के लिए नहीं।

कण सीमाएँ, ट्विन सीमाएँ, स्टैकिंग दोष तथा प्रावस्था सीमाएँ

कण सीमा (grain boundary) एक ही प्रावस्था के भिन्न अभिविन्यास वाले दो क्रिस्टलों को अलग करती है। निम्न-कोण सीमा (अभिविन्यास-अंतर θ लगभग 10° से 15° से कम) विस्थापनों की पंक्ति है: झुकाव (tilt) सीमा Burgers सदिश b वाले edge विस्थापनों की दीवार है, जिनकी दूरी D = b/[2 sin(θ/2)] ≈ b/θ (θ रेडियन में) है, और ऐंठन (twist) सीमा screw विस्थापनों का जाल है। विस्थापन जितने पास होंगे, कोण और ऊर्जा उतनी अधिक होगी, जब तक क्रोड अतिव्यापित न हों और उच्च-कोण सीमा की ऊर्जा θ से लगभग स्वतंत्र न हो जाए। कण सीमाओं की ऊर्जा मुक्त पृष्ठ से कम होती है, पर वे तीव्र विसरण, अशुद्धि पृथक्करण और अधिमान्य एचिंग के स्थल हैं।

ट्विन सीमा (twin boundary) वह तल है जिसके आर-पार जालक अपना ही दर्पण-प्रतिबिंब है। FCC में सुसंगत ट्विन {111} पर होता है, और स्टैकिंग ABCABC से बदलकर ABCABCBACBA हो जाती है, दर्पण वाली परत दोनों ओर उभयनिष्ठ होती है; सीमा के प्रत्येक परमाणु के निकटतम-पड़ोसी आबंध बने रहते हैं, अतः उसकी ऊर्जा प्रारूपिक कण सीमा से बहुत कम होती है। स्टैकिंग दोष (stacking fault) सघन तलों के स्टैकिंग क्रम की स्थानीय त्रुटि है जिसमें जालक अन्यथा अक्षत रहता है। FCC में एक तल हटाने पर ABCABABCABC बनता है, जो आंतरिक दोष है; उसके आसपास की परतें A B A B HCP स्टैकिंग का पतला क्षेत्र बनाती हैं। दोष की प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊर्जा होती है, जिसे स्टैकिंग-दोष ऊर्जा कहते हैं। निम्न दोष-ऊर्जा आंशिक विस्थापनों के बीच चौड़े फीते बनाती है, क्रॉस-स्लिप कठिन करती है और ट्विनिंग के पक्ष में होती है।

प्रावस्था सीमा (phase boundary) दो भिन्न प्रावस्थाओं (भिन्न संरचना या संघटन) को अलग करती है। यह सुसंगत है यदि जालक तल उसके आर-पार सतत चलें और जालक बेमेल से छोटी प्रत्यास्थ विकृति हो (न्यूनतम ऊर्जा), अर्ध-सुसंगत है यदि अंतराल पर बेमेल विस्थापन विकृति शिथिल करें, और असुसंगत है यदि जालक बिल्कुल मेल न खाएँ (उच्चतम ऊर्जा)। अतः ऊर्जा का क्रम है: सुसंगत ट्विन < सुसंगत प्रावस्था सीमा < अर्ध-सुसंगत < निम्न-कोण सीमा < उच्च-कोण सीमा ≲ असुसंगत प्रावस्था सीमा < मुक्त पृष्ठ, जो प्रारूपिक मानों का व्यापक क्रम है, प्रत्येक पदार्थ के लिए नियम नहीं।

पृष्ठ दोष एक नज़र में
दोष	इसके आर-पार क्या बदलता है	ऊर्जा
मुक्त पृष्ठ	क्रिस्टल से निर्वात; आबंध टूटे	उच्चतम
उच्च-कोण कण सीमा	अभिविन्यास, वही प्रावस्था	उच्च, कोण से लगभग स्वतंत्र
निम्न-कोण सीमा	छोटा झुकाव या ऐंठन, विस्थापनों के रूप में	कोण के साथ बढ़ती
सुसंगत ट्विन	जालक का दर्पण-प्रतिबिंब	निम्न
स्टैकिंग दोष	केवल स्टैकिंग क्रम	FCC धातुओं में निम्न, धातु पर निर्भर
प्रावस्था सीमा	संरचना या संघटन	सुसंगत < अर्ध-सुसंगत < असुसंगत

मुख्य बिंदु

रिक्तियाँ साम्यावस्था में होती हैं, n/N = exp(−Q/kT), T केल्विन में और k व Q मिलती इकाइयों में; Schottky या Frenkel युग्म में Q/2kT आता है क्योंकि वह दो दोष बनाता है। स्व-अंतराकाशी दुर्लभ हैं क्योंकि उनकी ऊर्जा अधिक है।
Frenkel युग्म घनत्व अपरिवर्तित रखते हैं; Schottky दोष उसे घटाते हैं। दोनों आवेश-संतुलन और सूत्र बनाए रखते हैं।
Edge विस्थापन में b ⟂ रेखा, screw में b ∥ रेखा, और b Burgers परिपथ का बंद न होने का अंतर है। b रेखा के अनुदिश नियत है, और नोड पर Σb अंदर = Σb बाहर।
रेखा-ऊर्जा ≈ प्रति इकाई लंबाई αGb², अतः स्थायी विस्थापन का सबसे छोटा जालक सदिश होता है: a⟨100⟩ (SC), (a/2)⟨111⟩ (BCC), (a/2)⟨110⟩ (FCC); FCC में विस्थापन |b| = a/√6 वाले Shockley आंशिक विस्थापनों में टूटता है।
Glide अपरूपण प्रतिबल में स्लिप तल में संरक्षी गति है; climb असंरक्षी, केवल edge, स्लिप तल के लंबवत और उच्च ताप पर रिक्ति विसरण से नियंत्रित गति है।
आबंध-भंग मॉडल में पृष्ठ ऊर्जा γ = (n_b ε/2) × तलीय घनत्व है, सघन तल के लिए न्यूनतम; कण सीमाएँ, ट्विन, स्टैकिंग दोष और प्रावस्था सीमाएँ ऐसे अंतरापृष्ठ हैं जिन्हें इस आधार पर क्रमबद्ध किया जाता है कि वे जालक संरेखण कितना नष्ट करते हैं।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

आयनिक क्रिस्टल में कौन-सा बिंदु दोष घनत्व को लगभग अपरिवर्तित रखता है और क्रिस्टल को विद्युत-उदासीन भी रखता है?
1. Schottky दोष, जिसमें एक धनायन रिक्ति और एक ऋणायन रिक्ति साथ बनती हैं और आयन पृष्ठ पर चले जाते हैं, जालक अन्यथा अक्षत रहता है
2. अकेली बनी एक धनायन रिक्ति, जिसका आवेश-संतुलन चालन बैंड के इलेक्ट्रॉनों से पुनः स्थापित होता है
3. Frenkel दोष, जिसमें एक आयन अपना स्थल छोड़कर अंतराकाशी अंतराल में बैठता है और रिक्ति-अंतराकाशी युग्म बनाता है
4. कम आवेश की प्रतिस्थापनीय अशुद्धि, जो सदैव जालक को सिकोड़ती है और इस प्रकार क्रिस्टल का घनत्व बढ़ाती है
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उत्तर: C — Frenkel दोष, जिसमें एक आयन अपना स्थल छोड़कर अंतराकाशी अंतराल में बैठता है और रिक्ति-अंतराकाशी युग्म बनाता है
Frenkel युग्म केवल क्रिस्टल के भीतर एक आयन को स्थानांतरित करता है, अतः द्रव्यमान व आयतन लगभग समान रहते हैं। Schottky दोष आयनों को पृष्ठ पर ले जाता है और जालक स्थलों की संख्या बढ़ाता है, अतः घनत्व गिरता है। अकेली धनायन रिक्ति शुद्ध आवेश छोड़ती और कम आवेश की अशुद्धि के लिए क्षतिपूरक दोष चाहिए तथा वह सदैव जालक को नहीं सिकोड़ती।
किसी क्रिस्टल में 0 K से ऊपर प्रत्येक ताप पर रिक्तियाँ ऊष्मागतिक साम्य में रहती हैं, पर विस्थापन कभी साम्य में नहीं होते। इसका कारण क्या है?
1. रिक्तियों की ऊर्जा लागत कम होती है और उन्हें मिली एन्ट्रॉपी उसे पीछे छोड़ देती है, जबकि विस्थापन की ऊर्जा लागत उसकी पूरी लंबाई पर लगती है और एन्ट्रॉपी बहुत कम मिलती है
2. रिक्ति शून्य-विमीय दोष है, और ऊष्मागतिकी का द्वितीय नियम साम्य में केवल शून्य-विमीय दोषों की अनुमति देता है, बंद निकाय में प्रत्येक रेखा दोष वर्जित है
3. विस्थापन सदैव प्लास्टिक विरूपण से उत्पन्न होते हैं, अतः क्रिस्टल अपने इतिहास के बावजूद कभी उनसे मुक्त नहीं हो सकता, और ऐनीलन उन्हें केवल पुनर्व्यवस्थित करता है
4. रिक्ति विकृति शिथिल कर क्रिस्टल की आंतरिक ऊर्जा घटाती है, जबकि विस्थापन उसे सदैव अधिक मात्रा से बढ़ाता है, अतः रिक्तियाँ सभी तापों पर अनुकूल हैं
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उत्तर: A — रिक्तियों की ऊर्जा लागत कम होती है और उन्हें मिली एन्ट्रॉपी उसे पीछे छोड़ देती है, जबकि विस्थापन की ऊर्जा लागत उसकी पूरी लंबाई पर लगती है और एन्ट्रॉपी बहुत कम मिलती है
मुक्त ऊर्जा G = nQ − TS का न्यूनतम परिमित रिक्ति अंश पर होता है क्योंकि n = 0 से S तेज़ी से बढ़ती है। विस्थापन की ऊर्जा लगभग प्रति इकाई लंबाई Gb² है, जो क्रिस्टल के आर-पार रेखा के लिए उस एन्ट्रॉपी से कहीं अधिक है जो वह जोड़ सकता है, इसलिए ऐनीलन विस्थापन हटाता है। रिक्ति द्वारा आंतरिक ऊर्जा घटाने वाला विकल्प गलत है, क्योंकि रिक्ति बनाने में ऊर्जा Q लगती है।
एक आयनिक ठोस में Schottky युग्म की निर्माण ऊर्जा Q_S = 2.4 eV है, और युग्मों का साम्य अंश n_S/N = exp(−Q_S/2kT) है। k = 8.617 × 10⁻⁵ eV/K और T = 800 K लें। अंश n_S/N निकटतम है
1. 7.6 × 10⁻¹⁶, जो exp(−Q_S/kT) है, युग्म के लिए गुणक 2 के बिना
2. 2.8 × 10⁻⁸, जो exp(−Q_S/2kT) है, जहाँ Q_S/2kT = 17.4
3. 2.3 × 10⁻⁶, जो 800 को सेल्सियस ताप मानने, यानी 1073 K लेने से आता है
4. 5.8 × 10⁻³¹, जो exp(−2Q_S/kT) है, युग्म की ऊर्जा को दो बार गिनने पर
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उत्तर: B — 2.8 × 10⁻⁸, जो exp(−Q_S/2kT) है, जहाँ Q_S/2kT = 17.4
Q_S/2kT = 2.4/(2 × 8.617 × 10⁻⁵ × 800) = 2.4/0.13787 = 17.41, अतः n_S/N = e⁻¹⁷·⁴¹ = 2.8 × 10⁻⁸। गुणक 2 छोड़ने पर 7.6 × 10⁻¹⁶, 1073 K लेने पर 2.3 × 10⁻⁶ और ऊर्जा दुगुनी करने पर 5.8 × 10⁻³¹ आता है, प्रत्येक एक अलग भूल का परिणाम है।
एक विस्थापन रेखा अपनी पूरी लंबाई में अपने Burgers सदिश के समांतर है। कौन-सा कथन सही है?
1. यह edge विस्थापन है, जिसका अद्वितीय स्लिप तल है और जो उच्च ताप पर रिक्तियाँ अवशोषित कर climb कर सकता है
2. यह मिश्रित विस्थापन है, जिसमें edge और screw घटक बराबर हैं, और इसलिए वह b वाले किसी तल पर glide नहीं कर सकता
3. यह शुद्ध edge विस्थापन है जिसका अतिरिक्त अर्ध-तल रेखा-दिशा के समांतर है, अतः उसका कोई सुपरिभाषित स्लिप तल नहीं है
4. यह screw विस्थापन है, जिसका अद्वितीय स्लिप तल नहीं है और जो रेखा वाले किसी अन्य तल पर क्रॉस-स्लिप कर सकता है
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उत्तर: D — यह screw विस्थापन है, जिसका अद्वितीय स्लिप तल नहीं है और जो रेखा वाले किसी अन्य तल पर क्रॉस-स्लिप कर सकता है
b ∥ रेखा screw विस्थापन को परिभाषित करता है। रेखा वाले प्रत्येक तल में b भी होता है, अतः अद्वितीय स्लिप तल नहीं है, और रेखा क्रॉस-स्लिप कर सकती है। Edge विस्थापन में b ⟂ रेखा होता है, मिश्रित में मध्यवर्ती कोण, और केवल edge विस्थापन (अपने अतिरिक्त अर्ध-तल के साथ) climb कर सकता है।
एक FCC धातु का जालक स्थिरांक a = 0.404 nm है। उसके स्थायी (पूर्ण) स्लिप विस्थापन के Burgers सदिश का परिमाण निकटतम है
1. 0.202 nm, जो a/2 है
2. 0.286 nm, जो a/√2 है
3. 0.404 nm, जो a है
4. 0.350 nm, जो √3 a/2 है
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उत्तर: B — 0.286 nm, जो a/√2 है
FCC में स्थायी विस्थापन का b = (a/2)⟨110⟩ है, सबसे छोटा जालक सदिश, अतः |b| = (a/2)√2 = a/√2 = 0.404/1.414 = 0.286 nm। √3 a/2 BCC का मान है, a/2 घन के किनारे का केवल आधा है और FCC का जालक सदिश नहीं है, और a अधिक ऊर्जा वाला लंबा जालक सदिश है।
FCC क्रिस्टल में Burgers सदिश (a/2)[1 0 1] वाला विस्थापन एक नोड में प्रवेश करता है और नोड से बाहर जाने वाले दो विस्थापनों में टूट जाता है। उनमें से एक का Burgers सदिश (a/2)[0 1 1] है। दूसरे का Burgers सदिश है
1. (a/2)[1 −1 0]
2. (a/2)[1 1 2]
3. (a/2)[1 1 0]
4. (a/2)[0 −1 1]
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उत्तर: A — (a/2)[1 −1 0]
Frank का नियम, Σb अंदर = Σb बाहर, देता है b₃ = b₁ − b₂ = (a/2)[1 − 0, 0 − 1, 1 − 1] = (a/2)[1 −1 0], जो FCC का स्थायी Burgers सदिश भी है। दोनों सदिशों को जोड़ने पर (a/2)[1 1 2] मिलता है, जो योग है, अंतर नहीं, और स्थायी सदिशों से लंबा है; (a/2)[1 1 0] और (a/2)[0 −1 1] सदिशों को संतुलित नहीं करते।
FCC क्रिस्टल में, इस कसौटी पर कि ऊर्जा |b|² के अनुपाती है और Burgers सदिश संतुलित होने चाहिए, निम्न में से कौन-सी विस्थापन अभिक्रिया ऊर्जा की दृष्टि से अनुकूल है?
1. (a/2)[1 1 0] → (a/2)[1 0 1] + (a/2)[0 1 −1], क्योंकि सदिश सही जुड़ते हैं
2. a[1 0 0] → (a/2)[1 1 0] + (a/2)[1 −1 0], क्योंकि यह दो ऐसे सदिशों में टूटता है जो प्रत्येक a से छोटे हैं
3. (a/2)[1 −1 0] → (a/6)[2 −1 −1] + (a/6)[1 −2 1], जिसमें |b|² a²/2 से घटकर a²/3 हो जाता है
4. (a/2)[1 −1 0] → (a/6)[2 −1 −1] + (a/6)[1 −2 −1], क्योंकि दोनों आंशिक सदिश छोटे हैं
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उत्तर: C — (a/2)[1 −1 0] → (a/6)[2 −1 −1] + (a/6)[1 −2 1], जिसमें |b|² a²/2 से घटकर a²/3 हो जाता है
Shockley अभिक्रिया सदिशों को संतुलित करती है, (2 + 1, −1 − 2, −1 + 1)/6 = (3, −3, 0)/6, और Σ|b|² को a²/2 से घटाकर a²/6 + a²/6 = a²/3 कर देती है। पहली अभिक्रिया संतुलित है पर Σ|b|² को a²/2 से बढ़ाकर a² कर देती है। a[1 0 0] वाली अभिक्रिया संतुलित है पर Σ|b|² a² पर अपरिवर्तित रहता है, अतः ऊर्जा लाभ नहीं है। अंतिम संतुलित नहीं है, क्योंकि (3, −3, −2)/6, (1/2, −1/2, 0) नहीं है।
विस्थापन की गति के बारे में कौन-सा कथन सही है?
1. Edge विस्थापन के glide के लिए रिक्ति विसरण चाहिए, इसीलिए निम्न ताप पर स्लिप रुक जाती है, जैसे क्रीप के लिए
2. Climb संरक्षी है, क्योंकि अतिरिक्त अर्ध-तल बिना परमाणु जोड़े या हटाए और बिना लंबाई बदले केवल बगल में खिसकता है
3. Screw विस्थापन कमरे के ताप पर अपने अतिरिक्त अर्ध-तल पर अंतराकाशी अवशोषित कर सरलता से climb करते हैं, जैसे edge विस्थापन करते हैं
4. Edge विस्थापन का climb असंरक्षी है और रिक्ति विसरण माँगता है, अतः मुख्यतः उच्च ताप पर मायने रखता है
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उत्तर: D — Edge विस्थापन का climb असंरक्षी है और रिक्ति विसरण माँगता है, अतः मुख्यतः उच्च ताप पर मायने रखता है
Climb edge विस्थापन को अतिरिक्त अर्ध-तल के सिरे पर परमाणु जोड़कर या हटाकर उसके स्लिप तल से बाहर ले जाता है, जिसके लिए रिक्तियों का विसरण चाहिए और जो ऊष्मा-सक्रियित है। Glide संरक्षी है और विसरण नहीं माँगता, और screw विस्थापन में अतिरिक्त अर्ध-तल नहीं होता, अतः वह climb कर ही नहीं सकता।
FCC क्रिस्टल के सरल आबंध-भंग मॉडल में केवल निकटतम-पड़ोसी आबंध गिने जाते हैं। (111), (100) और (110) पृष्ठों के लिए प्रति पृष्ठ परमाणु टूटे आबंधों की संख्या क्रमशः 3, 4 और 5 है, और तलीय घनत्व 2.31/a², 2.00/a² और 1.41/a² हैं। किस पृष्ठ की ऊर्जा सबसे कम और किसकी सबसे अधिक है?
1. सबसे कम (111), सबसे अधिक (100)
2. सबसे कम (111), सबसे अधिक (110), क्योंकि उसमें प्रति परमाणु सर्वाधिक आबंध टूटते हैं
3. सबसे कम (100), सबसे अधिक (110), क्योंकि घन फलक सबसे सरल तल है
4. सबसे कम (110), सबसे अधिक (111), क्योंकि सघन तल में परमाणु सबसे घने हैं
उत्तर देखें
उत्तर: A — सबसे कम (111), सबसे अधिक (100)
γ ∝ n_b × तलीय घनत्व: (111) के लिए 3 × 2.31 = 6.93, (100) के लिए 4 × 2.00 = 8.00 और (110) के लिए 5 × 1.41 = 7.07, ε/(2a²) की इकाइयों में। अतः (111) सबसे कम और (100) सबसे अधिक है। (110) पृष्ठ में प्रति परमाणु सर्वाधिक आबंध टूटते हैं, जो लुभावनी भूल है, पर उसमें प्रति इकाई क्षेत्रफल परमाणु कम हैं, जो इस हानि की भरपाई करता है।
निम्न-कोण झुकाव सीमा Burgers सदिश b वाले edge विस्थापनों की दीवार है, जिनकी दूरी छोटे अभिविन्यास-अंतर θ (रेडियन में) के लिए D = b/θ है। यदि ऐसी सीमा का अभिविन्यास-अंतर दुगुना कर दिया जाए तो उसके विस्थापनों की दूरी हो जाती है
1. चार गुनी, क्योंकि सीमा की ऊर्जा θ² के अनुसार बदलती है
2. दुगुनी, क्योंकि बड़े कोण के लिए अतिरिक्त अर्ध-तलों को अधिक स्थान चाहिए
3. आधी, क्योंकि D = b/θ, θ के व्युत्क्रमानुपाती है
4. अपरिवर्तित, क्योंकि केवल Burgers सदिश ही दूरी तय करता है
उत्तर देखें
उत्तर: C — आधी, क्योंकि D = b/θ, θ के व्युत्क्रमानुपाती है
D = b/θ, अतः θ दुगुना करने पर D आधा हो जाता है: अभिविन्यास-अंतर जितना बड़ा, विस्थापन उतने घने। दूरी θ के साथ नहीं बढ़ती, केवल b पर नहीं बल्कि θ पर भी निर्भर है, और उसमें θ² का कोई अनुपात नहीं है।
बिंदु दोषों के बारे में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?
1. Frenkel दोष में एक ही आयन की रिक्ति और अंतराकाशी होती है, जो जोड़े में बनते हैं
2. Schottky दोष क्रिस्टल का घनत्व बढ़ाता है क्योंकि आयन अतिरिक्त अंतराकाशी स्थलों में ठूँस दिए जाते हैं
3. NaCl में Schottky दोष एक अकेली Na⁺ रिक्ति है जो क्रिस्टल को शुद्ध ऋणावेश देती है
4. साम्यावस्था में धातु में स्व-अंतराकाशी सांद्रता रिक्ति सांद्रता से बहुत कम होती है, क्योंकि स्व-अंतराकाशी की निर्माण ऊर्जा बहुत अधिक है
उत्तर देखें
उत्तर: A — Frenkel दोष में एक ही आयन की रिक्ति और अंतराकाशी होती है, जो जोड़े में बनते हैं; D — साम्यावस्था में धातु में स्व-अंतराकाशी सांद्रता रिक्ति सांद्रता से बहुत कम होती है, क्योंकि स्व-अंतराकाशी की निर्माण ऊर्जा बहुत अधिक है
Frenkel दोष रिक्ति-अंतराकाशी युग्म हैं, और स्व-अंतराकाशी की ऊर्जा रिक्तियों की कई गुना है, इसलिए साम्यावस्था में दुर्लभ हैं। Schottky दोष आयनों को पृष्ठ पर हटाता है और इसलिए घनत्व घटाता है, और NaCl में वह धनायन व ऋणायन रिक्तियों का युग्म है, जो उदासीन है, अकेली आवेशित रिक्ति नहीं।
विस्थापनों के बारे में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?
1. Edge विस्थापन में Burgers सदिश विस्थापन रेखा के लंबवत होता है
2. Screw विस्थापन रिक्तियाँ अवशोषित कर अपने स्लिप तल से बाहर climb कर सकता है, ठीक edge विस्थापन की तरह
3. स्लिप तल में मुड़ने वाले विस्थापन का Burgers सदिश रेखा पर हर जगह वही रहता है, यद्यपि उसका edge और screw चरित्र बदलता है
4. विस्थापन रेखा पूर्ण क्रिस्टल के बीच में, किसी पृष्ठ, सीमा या अन्य विस्थापन से मिले बिना, अचानक समाप्त हो सकती है
उत्तर देखें
उत्तर: A — Edge विस्थापन में Burgers सदिश विस्थापन रेखा के लंबवत होता है; C — स्लिप तल में मुड़ने वाले विस्थापन का Burgers सदिश रेखा पर हर जगह वही रहता है, यद्यपि उसका edge और screw चरित्र बदलता है
b ⟂ रेखा edge प्रकार परिभाषित करता है, और b रेखा के अनुदिश स्थिर रहता है जबकि वक्र रेखा पर b और रेखा के बीच का कोण बदलता है। Screw विस्थापन में अतिरिक्त अर्ध-तल नहीं होता और वह climb नहीं कर सकता। विस्थापन क्रिस्टल के भीतर समाप्त नहीं हो सकता: वह लूप में बंद होता है, पृष्ठ या सीमा से निकलता है, या नोड पर अन्य से मिलता है।
पृष्ठ दोषों के बारे में निम्न में से कौन-से कथन सही हैं?
1. FCC में आंतरिक स्टैकिंग दोष, जो एक सघन परत हटाने से बनता है, HCP-प्रकार की स्टैकिंग का पतला क्षेत्र बनाता है
2. सुसंगत ट्विन सीमा की ऊर्जा प्रारूपिक उच्च-कोण कण सीमा से बहुत कम होती है, क्योंकि निकटतम-पड़ोसी आबंध बने रहते हैं
3. असुसंगत प्रावस्था सीमा की ऊर्जा सुसंगत से कम होती है, क्योंकि जालकों को मेल खाने की आवश्यकता नहीं होती
4. निम्न-कोण झुकाव सीमा edge विस्थापनों की पंक्ति है
उत्तर देखें
उत्तर: A — FCC में आंतरिक स्टैकिंग दोष, जो एक सघन परत हटाने से बनता है, HCP-प्रकार की स्टैकिंग का पतला क्षेत्र बनाता है; B — सुसंगत ट्विन सीमा की ऊर्जा प्रारूपिक उच्च-कोण कण सीमा से बहुत कम होती है, क्योंकि निकटतम-पड़ोसी आबंध बने रहते हैं; D — निम्न-कोण झुकाव सीमा edge विस्थापनों की पंक्ति है
ABCABCABC से एक परत हटाने पर ABCABABC… बनता है, जिसमें स्थानीय HCP-प्रकार स्टैकिंग है। सुसंगत ट्विन सभी निकटतम-पड़ोसी आबंध बनाए रखता है, अतः उसकी लागत उच्च-कोण सीमा से बहुत कम है, और झुकाव सीमा edge विस्थापनों की दीवार है। असुसंगत प्रावस्था सीमा की ऊर्जा प्रावस्था सीमाओं में सर्वाधिक है, क्योंकि जालक बिल्कुल मेल नहीं खाते।
एक धातु में रिक्ति की निर्माण ऊर्जा Q = 0.90 eV है। k = 8.617 × 10⁻⁵ eV/K लें और n/N = exp(−Q/kT) प्रयोग करें। T = 1000 K पर साम्य रिक्ति अंश ज्ञात कीजिए, 10⁻⁵ की इकाई में (उदाहरणतः उत्तर 3.00 का अर्थ 3.00 × 10⁻⁵ है), दो दशमलव स्थानों तक।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 2.91
Q/kT = 0.90/(8.617 × 10⁻⁵ × 1000) = 0.90/0.08617 = 10.444। n/N = e⁻¹⁰·⁴⁴⁴ = 2.911 × 10⁻⁵, अतः उत्तर 10⁻⁵ की इकाई में 2.91 है। Q के eV में होने पर k = 1.38 × 10⁻²³ लेने से घातांक अत्यधिक बड़ा हो जाता।
एक धातु की रिक्ति निर्माण ऊर्जा Q = 1.0 eV है, k = 8.617 × 10⁻⁵ eV/K के साथ। ताप 900 K से 1200 K करने पर साम्य रिक्ति सांद्रता कितने गुना बढ़ती है? अनुपात निकटतम पूर्णांक में दीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 25
अनुपात exp[(Q/k)(1/T₁ − 1/T₂)] है, जहाँ Q/k = 1.0/(8.617 × 10⁻⁵) = 11 605 K और (1/900 − 1/1200) = 2.7778 × 10⁻⁴ K⁻¹। घातांक 3.2236 है और e³·²²³⁶ = 25.1, अतः उत्तर 25 है।
कमरे के ताप पर लोहा BCC है जिसका जालक स्थिरांक a = 0.2866 nm है। स्थायी विस्थापन का Burgers सदिश (a/2)⟨111⟩ है। उसके Burgers सदिश का परिमाण nm में तीन दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 0.248
|b| = (a/2)√(1² + 1² + 1²) = (√3/2)a = 0.8660 × 0.2866 = 0.2482 nm, जो अंतः-विकर्ण का आधा है और BCC में निकटतम-पड़ोसी दूरी के बराबर है। a स्वयं लेने पर 0.287 आता।
एक FCC धातु के लिए a = 0.3615 nm और अपरूपण गुणांक G = 48 GPa है। b = a/√2 वाला स्थायी विस्थापन लें और उसकी प्रति इकाई लंबाई रेखा-ऊर्जा का अनुमान E = Gb²/2 लें। E को 10⁻⁹ J/m की इकाई में दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 1.57
b = 0.3615/√2 = 0.2556 nm = 2.556 × 10⁻¹⁰ m, अतः b² = 6.534 × 10⁻²⁰ m²। E = 0.5 × 48 × 10⁹ × 6.534 × 10⁻²⁰ = 1.568 × 10⁻⁹ J/m, अतः उत्तर 1.57 है। b = a लेने पर E का अनुमान 2 गुना अधिक आता।
एक मॉडल FCC ठोस के लिए a = 0.400 nm है। सरल आबंध-भंग मॉडल में प्रत्येक निकटतम-पड़ोसी आबंध की ऊर्जा ε = 0.30 eV है, और (111) फलक के पृष्ठ परमाणु ने 3 आबंध खोए हैं; प्रत्येक पृष्ठ को प्रत्येक टूटे आबंध की आधी ऊर्जा लगती है। (111) तल का तलीय घनत्व 4/(√3 a²) और 1 eV/nm² = 0.1602 J/m² लें। पृष्ठ ऊर्जा J/m² में दो दशमलव स्थानों तक ज्ञात कीजिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 1.04
प्रति पृष्ठ परमाणु ऊर्जा = 3 × 0.30/2 = 0.45 eV। तलीय घनत्व = 4/(1.7321 × 0.1600) = 14.43 परमाणु/nm²। γ = 0.45 × 14.43 = 6.495 eV/nm² = 6.495 × 0.1602 = 1.04 J/m²। गुणक ½ छोड़ने पर 2.08 आता।