पदार्थों का वर्गीकरण, क्रिस्टलिकी, सघन-संकुलित संरचनाएँ तथा कार्बन

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर का है। यह XE2 पदार्थ विज्ञान के खंड XE2.1 के पहले चार शीर्षकों का उत्तर देता है; XE2 उन नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है जिनमें से परीक्षा में कोई भी दो चुने जाते हैं। पाठ्यक्रम में लिखा है: “Classification of Materials: Metals, ceramics, polymers and composites. Fundamentals of crystallography: Definitions of crystal, lattice and motif: Crystal=Lattice+Motif … Fourteen Bravais lattices … Miller and Miller-Bravais indices of crystallographic planes and directions. Close-packed crystal structures of elements: CCP, HCP and BCC structures; Stacking sequence of planes; Tetrahedral and octahedral voids. Crystalline and other ordered structures of carbon: Diamond and Graphite in terms of lattice and motif; Graphene and fullerene; Carbon nanotubes.” अध्याय सिखाता है कि आबंध पदार्थों को चार वर्गों में कैसे बाँटता है, क्रिस्टल जालक (lattice) और मोटिफ़ (motif) का योग कैसे है, कौन-सी सममिति 7 क्रिस्टल निकाय व 14 Bravais जालक देती है, तलों व दिशाओं का सूचकांक-संकेतन, FCC, HCP व BCC में गोलों का संकुलन, उनके बीच के अंतराल (voids) तथा कार्बन से बनी संरचनाएँ। संख्यात्मक प्रश्न तलीय घनत्व, संकुलन गुणांक, जालक प्राचल से घनत्व, अंतरातलीय दूरी, अंतराल-त्रिज्याएँ, फ़ुलरीन में परमाणु-गणना व नैनोट्यूब का व्यास हैं। यौगिक, बहुलक व दोष अगले दो अध्यायों में हैं।

1. पदार्थों का वर्गीकरण: धातुएँ, सिरेमिक, बहुलक व संमिश्र

पदार्थों को परमाणुओं के बीच के आबंध (bonding) के आधार पर बाँटा जाता है, क्योंकि आबंध ही तय करता है कि परमाणु कैसे व्यवस्थित होंगे और इसलिए पदार्थ कैसा व्यवहार करेगा। धातुओं में धात्विक आबंध होता है: साझा, विस्थानीकृत इलेक्ट्रॉनों के सागर में धनायन क्रोड। यह आबंध अदिशात्मक है, इसलिए परमाणु सघन या लगभग सघन संकुलित क्रिस्टलों में कसकर बैठते हैं; गतिशील इलेक्ट्रॉन उच्च विद्युत व ऊष्मीय चालकता तथा चमक देते हैं, और तल फिसल सकते हैं, जिससे तन्यता मिलती है। सिरेमिक धातुओं के अधातुओं के साथ यौगिक (ऑक्साइड, नाइट्राइड, कार्बाइड) या हीरे जैसे सहसंयोजी ठोस हैं; आयनिक व सहसंयोजी आबंध प्रबल व दिशात्मक होते हैं, अतः सिरेमिक कठोर, दृढ़, भंगुर, उच्च गलनांक वाले और प्रायः विद्युतरोधी होते हैं, तथा क्रिस्टलीय या काँचीय हो सकते हैं। बहुलक लंबी शृंखला वाले अणु हैं, अधिकांशतः कार्बन के साथ हाइड्रोजन व अन्य परमाणु, जो शृंखला के अनुदिश प्रबल सहसंयोजी आबंधों से किंतु शृंखलाओं के बीच केवल दुर्बल द्वितीयक आबंधों से जुड़े होते हैं; इसीलिए घनत्व, दृढ़ता व मृदुकरण ताप कम तथा आकार देना सरल होता है। संमिश्र (composites) दो या अधिक भिन्न प्रावस्थाओं, आधात्री (matrix) व प्रबलक (reinforcement), को मिलाते हैं ताकि वह गुण मिले जो अकेले किसी में नहीं है; काँच-तंतु प्रबलित बहुलक, सीमेंटित कार्बाइड (कोबाल्ट में WC कण) तथा कंक्रीट इसके उदाहरण हैं।

चारों वर्ग एक नज़र में (प्रारूपिक व्यवहार, सार्वभौमिक नियम नहीं)
वर्गआबंधप्रायः संरचनाप्रारूपिक व्यवहार
धातुएँधात्विकक्रिस्टलीय, सघन-संकुलित (FCC, HCP, BCC)चालक, तन्य, सुदृढ़
सिरेमिकआयनिक व सहसंयोजीक्रिस्टलीय या काँचीयकठोर, भंगुर, दुर्गलनीय, विद्युतरोधी
बहुलकसहसंयोजी शृंखलाएँ, दुर्बल द्वितीयक कड़ियाँअक्रिस्टलीय या अर्ध-क्रिस्टलीय शृंखलाएँहल्के, लचीले, निम्न मृदुकरण ताप
संमिश्रभिन्न प्रावस्थाओं के बीच अंतरापृष्ठआधात्री के साथ प्रबलकअंश व ज्यामिति से गुण नियोजित
⚠️ “प्रारूपिक” का अर्थ “सदैव” नहीं
परीक्षा के कथन तभी सुरक्षित हैं जब उनका दायरा बताया गया हो। इंडियम टिन ऑक्साइड सिरेमिक है जो विद्युत चालन करता है, डोप्ड पॉलीएसिटिलीन बहुलक है जो चालक है, और हीरा, एक सहसंयोजी सिरेमिक, ऊष्मा का उत्कृष्ट चालक है। पहले आबंध व संरचना से वर्गीकरण कीजिए और किसी गुण को प्रवृत्ति के रूप में पढ़िए।

2. क्रिस्टल = जालक + मोटिफ़ तथा अनुवाद द्वारा अनुमत सममिति

क्रिस्टल ऐसा ठोस है जिसके परमाणु दीर्घ-परास क्रम के साथ दिक्‌ में दोहराए जाते हैं। इस दोहराव को दो अलग विचारों में बाँटा जाता है। जालक (lattice) बिंदुओं की अनंत व्यूह है जिसके प्रत्येक बिंदु के परिवेश समान हैं। मोटिफ़ (motif, basis) वह परमाणु या परमाणु-समूह है जो प्रत्येक जालक बिंदु से एक ही ढंग से जुड़ा होता है। क्रिस्टल = जालक + मोटिफ़। प्रत्येक जालक बिंदु मूलबिंदु से अनुवाद R = u a + v b + w c द्वारा पहुँचा जाता है, जहाँ u, v, w पूर्णांक हैं और a, b, c जालक सदिश हैं।

जालक बिंदु परमाणु नहीं है। यह एक गणितीय बिंदु है; मोटिफ़ उस पर परमाणु रखता है, और एक जालक बिंदु पर एक परमाणु, कई परमाणु या विस्थापित समूह हो सकता है। तांबा FCC जालक है जिसका मोटिफ़ एक परमाणु है। हीरा FCC जालक है जिसका मोटिफ़ (0, 0, 0) व (¼, ¼, ¼) पर दो परमाणु हैं। मैग्नीशियम सरल हेक्सागोनल जालक है जिसका मोटिफ़ (0, 0, 0) व (⅓, ⅔, ½) पर दो परमाणु हैं। सेंधा नमक FCC जालक है जिसमें Na⁺ (0, 0, 0) पर और Cl⁻ (½, 0, 0) पर है; CsCl सरल घनीय जालक है जिसमें Cs⁺ व Cl⁻ क्रमशः (0, 0, 0) व (½, ½, ½) पर हैं।

⚠️ दो प्रचलित भूलें
CsCl BCC नहीं है: कोने का आयन व केंद्र का आयन भिन्न हैं, अतः वे समतुल्य जालक बिंदु नहीं हैं और जालक दो-आयन मोटिफ़ वाला सरल घनीय है। HCP Bravais जालक नहीं है: इसके मोटिफ़ के दोनों परमाणु भिन्न परिवेश में हैं, इसलिए कोई शुद्ध अनुवाद एक को दूसरे पर नहीं ले जाता।

सममिति संक्रिया किसी संरचना को स्वयं पर संपाती कर देती है: अनुवाद (translation), घूर्णन (n-गुना अर्थात् 360°/n), दर्पण तल में परावर्तन, एक बिंदु के सापेक्ष प्रतिलोमन (inversion) और इनके संयोजन। प्रत्येक जालक में अनुवाद अनिवार्य है और वही घूर्णनों को सीमित करता है। a दूरी पर दो पड़ोसी जालक बिंदु लीजिए और प्रत्येक को दूसरे के परितः विपरीत दिशाओं में α से घुमाइए। दोनों नए बिंदु पहली पंक्ति के समांतर एक पंक्ति पर a|1 − 2cos α| अंतर से स्थित होते हैं, जो a का पूर्ण गुणज होना चाहिए। अतः 1 − 2cos α = m (पूर्णांक), जिससे cos α = 1, ½, 0, −½, −1 और α = 360°, 60°, 90°, 120°, 180°। केवल 1-, 2-, 3-, 4- व 6-गुना अक्ष संभव हैं। आवर्ती क्रिस्टल में पाँच-गुना अक्ष वर्जित हैं; क्वासिक्रिस्टलों की पाँच-गुना विवर्तन सममिति अनुवादी आवर्तिता के अभाव के साथ आती है।

3. सात क्रिस्टल निकाय, एकक कोष्ठिकाएँ तथा 14 Bravais जालक

क्रिस्टल निकाय उसकी न्यूनतम सममिति से परिभाषित होता है; कोष्ठिका का आकार उसके बाद आता है। जिस क्रिस्टल की कोष्ठिका में संयोगवश a = b = c और 90° कोण हों पर चार 3-गुना अक्ष न हों, वह घनीय नहीं है।

क्रिस्टल निकाय व Bravais जालक (P आदिम, I अंतःकेंद्रित, F फलक-केंद्रित, C आधार-केंद्रित, R रॉम्बोहेड्रल)
निकायन्यूनतम सममितिकोष्ठिका की शर्तेंजालक
घनीयकाय विकर्णों के अनुदिश चार 3-गुना अक्षa = b = c; 90°, 90°, 90°P, I, F (3)
टेट्रागोनलएक 4-गुना अक्षa = b ≠ c; सभी 90°P, I (2)
ऑर्थोरोम्बिकतीन परस्पर लंबवत 2-गुना अक्षa ≠ b ≠ c; सभी 90°P, C, I, F (4)
हेक्सागोनलएक 6-गुना अक्षa = b ≠ c; α = β = 90°, γ = 120°P (1)
ट्राइगोनल (रॉम्बोहेड्रल)एक 3-गुना अक्षa = b = c; α = β = γ ≠ 90°R (1)
मोनोक्लिनिकएक 2-गुना अक्ष (या एक दर्पण तल)a ≠ b ≠ c; α = γ = 90° ≠ βP, C (2)
ट्राइक्लिनिककोई नहीं (केवल तत्समक या प्रतिलोमन)a ≠ b ≠ c; α ≠ β ≠ γP (1)

आदिम कोष्ठिका (primitive cell) में एक जालक बिंदु होता है: जालक बिंदु केवल कोनों पर, प्रत्येक आठ कोष्ठिकाओं में साझा, अतः 8 × ⅛ = 1। अनादिम (conventional) कोष्ठिका में अधिक होते हैं: अंतःकेंद्रण एक बिंदु जोड़ता है (I, प्रति कोष्ठिका 2), फलक-केंद्रण छह फलक बिंदु जोड़ता है जो प्रत्येक दो कोष्ठिकाओं में साझा हैं (F, प्रति कोष्ठिका 4), आधार-केंद्रण दो साझा बिंदु जोड़ता है (C, प्रति कोष्ठिका 2)। अनादिम कोष्ठिकाएँ इसलिए प्रयुक्त होती हैं कि वे पूरी सममिति दिखाती हैं। FCC की आदिम कोष्ठिका किनारे a/√2, भीतरी कोण 60° और आयतन a³/4 वाला रॉम्बोहेड्रॉन है; BCC की आदिम कोष्ठिका का आयतन a³/2 है। सात निकाय गुणा चार केंद्रण से 28 जालक बनते, पर अनेक दोहराव हैं या परिभाषक सममिति खो देते हैं: आधार-केंद्रित घनीय अपने 3-गुना अक्ष खो देता है और वह केवल सरल टेट्रागोनल जालक है, तथा फलक-केंद्रित टेट्रागोनल वही अंतःकेंद्रित टेट्रागोनल जालक है जिसे बड़ी कोष्ठिका पर खींचा गया है। शेष बचते हैं 14।

4. मिलर व मिलर-ब्रेवे सूचकांक तथा अंतरातलीय दूरी

  • तल (hkl): a, b, c पर अंतःखंड कोष्ठिका की कोर की इकाइयों में लीजिए; व्युत्क्रम लीजिए; भिन्न हटाकर सबसे छोटे पूर्णांक बनाइए; गोल कोष्ठक में लिखिए। किसी अक्ष के समांतर तल का अंतःखंड ∞ होता है, अतः सूचकांक 0। ऋणात्मक सूचकांक (छपाई में ऊपर रेखा के साथ, यहाँ ऋण चिह्न से) ऋणात्मक अंतःखंड बताता है। {hkl} समसममित तलों का कुल है।
  • दिशा [uvw]: सदिश (शीर्ष में से पुच्छ घटाकर) के घटक a, b, c की इकाइयों में, सबसे छोटे पूर्णांकों में, वर्ग कोष्ठक में; ⟨uvw⟩ कुल है। केवल घनीय क्रिस्टलों में [hkl] तल (hkl) पर लंबवत होती है। दिशा [uvw] तल (hkl) में तब होती है जब hu + kv + lw = 0।
  • घनीय क्रिस्टल में (hkl) तलों की दूरी: d = a/√(h² + k² + l²)। तल (hkl) अक्षों को a/h, b/k, c/l पर काटता है।

हल किया उदाहरण। एक तल a अक्ष को 2a पर, b अक्ष को 3b पर काटता है और c के समांतर है। अंतःखंड 2, 3, ∞; व्युत्क्रम ½, ⅓, 0; 6 से गुणा करने पर (3 2 0)। a = 0.400 nm के लिए d = 0.400/√(9 + 4) = 0.400/3.606 = 0.111 nm। अंतःखंडों को ही सूचकांक लिख देना, (2 3 0), सबसे प्रचलित भूल है।

हेक्सागोनल क्रिस्टल चार अक्षों का प्रयोग करते हैं: आधारी तल में 120° पर a₁, a₂, a₃, और c। तल (hkil), i = −(h + k) के साथ लिखे जाते हैं; दिशाएँ [uvtw], t = −(u + v) के साथ। अतिरिक्त सूचकांक समतुल्य तलों को समतुल्य दिखाता है: छह प्रिज़्म फलक (1 0 −1 0), (0 1 −1 0), (−1 1 0 0) और उनके ऋणात्मक हैं, सभी कुल {1 0 −1 0} के। तीन-सूचकांक दिशा [UVW] का रूपांतरण u = (2U − V)/3, v = (2V − U)/3, t = −(u + v), w = W से होता है। अतः a₁ दिशा [1 0 0] भिन्न हटाने पर [2 −1 −1 0] बनती है, और आधारी तल (0 0 0 1) है।

⚠️ तल-दूरी व परमाणु-परत दूरी एक नहीं
FCC व BCC में घन फलक के समांतर परमाणु-परतें a/2 दूरी पर हैं, जो d₂₀₀ है, d₁₀₀ = a नहीं। सूत्र उस कुल की दूरी देता है जिसका आपने नाम लिया; यह नहीं बताता कि उनमें से कौन-से तल परमाणुओं से पूरे भरे हैं। यह भी याद रखिए कि (hkl) तल है, [hkl] दिशा, और दोनों की लंबवतता केवल घनीय क्रिस्टलों में सही है।

5. सघन-संकुलित संरचनाएँ: CCP (FCC), HCP व BCC

परमाणुओं को R त्रिज्या के कठोर गोले मानिए जो सबसे सघन दिशा में स्पर्श करते हैं। सघन-संकुलित परत में प्रत्येक गोला छह अन्य को स्पर्श करता है (द्विविमीय संकुलन गुणांक π/(2√3) = 0.907)। दूसरी परत B परत A के त्रिकोणीय गड्ढों के आधे में बैठती है। तीसरी परत के दो विकल्प हैं: सीधे पहली के ऊपर, A, जिससे ABAB… = HCP बनता है; या अब भी खाली गड्ढों के ऊपर, C, जिससे ABCABC… = CCP बनता है, जो [111] काय विकर्ण के अनुदिश देखा गया FCC जालक है। सघन तल HCP में (0001) और FCC में {111} हैं; सघन दिशाएँ HCP में ⟨1 1 −2 0⟩ और FCC में ⟨110⟩ हैं। दोनों की समन्वय संख्या 12 व संकुलन गुणांक 0.7405 है। आदर्श HCP अक्षीय अनुपात c/a = √(8/3) = 1.633 है; वास्तविक HCP धातुएँ इससे कुछ हटती हैं।

कठोर-गोला घनीय व संबद्ध संरचनाएँ (n = प्रति अनादिम कोष्ठिका परमाणु)
संरचनासमन्वय संख्याnकोष्ठिका किनारा R मेंAPF
सरल घनीय61a = 2Rπ/6 = 0.524
BCC82a = 4R/√3 (⟨111⟩ में स्पर्श)π√3/8 = 0.680
FCC124a = 2√2 R (⟨110⟩ में स्पर्श)π/(3√2) = 0.740
HCP (हेक्सागोनल कोष्ठिका)126a = 2R, c = 1.633a0.740
हीरक घनीय48a = 8R/√3π√3/16 = 0.340

परमाणु संकुलन गुणांक APF = n (4πR³/3)/a³। FCC हेतु: n = 4, a = 2√2 R, अतः APF = (16πR³/3)/(16√2 R³) = π/(3√2) = 0.7405। BCC हेतु: n = 2, a = 4R/√3, APF = (8πR³/3)/(64R³/(3√3)) = π√3/8 = 0.680। BCC सघन-संकुलित नहीं है: उसके 8 निकटतम पड़ोसी हैं और 6 अगले-निकटतम पड़ोसी केवल 15% दूर हैं, और उसका सघनतम तल {110} है। घनत्व ρ = nA/(V_c N_A), जहाँ A (g/mol में), V_c कोष्ठिका का आयतन व N_A = 6.022 × 10²³ mol⁻¹। लोहा (BCC, a = 0.2866 nm, A = 55.85 g/mol): ρ = 2 × 55.85/[6.022 × 10²³ × (2.866 × 10⁻⁸ cm)³] = 7.88 g/cm³।

तलीय घनत्व प्रति इकाई क्षेत्रफल परमाणु हैं (क्षेत्रफल के भीतर पड़ने वाले अंश के अनुसार गिनकर)। FCC (111): भुजा a√2 वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल (√3/2)a² है और उसमें 3 × ⅙ + 3 × ½ = 2 परमाणु हैं, अतः PD = 4/(√3 a²) = 2.31/a²। BCC (110): आयत a × a√2 में 4 × ¼ + 1 = 2 परमाणु हैं, अतः PD = √2/a² = 1.41/a²। FCC ⟨110⟩ व BCC ⟨111⟩ के अनुदिश रैखिक घनत्व 1/(2R) है, जो सघनतम संकुलन है।

🎯 FCC लोहा BCC लोहे से सघन क्यों है
समान त्रिज्या के कठोर गोलों हेतु प्रति परमाणु आयतन FCC में (2√2 R)³/4 = 5.657R³ और BCC में (4R/√3)³/2 = 6.158R³ है, अतः BCC → FCC में आयतन 8.1% घटता है। वास्तविक लोहे में परिवर्तन कहीं कम है, क्योंकि प्रभावी परमाणु त्रिज्या दोनों संरचनाओं में समान नहीं होती; इसीलिए समान-त्रिज्या प्रतिरूप केवल अनुमान है।

6. चतुष्फलकीय व अष्टफलकीय अंतराल (voids)

स्पर्श करते गोलों के बीच की ख़ाली जगहें अंतराल (voids) हैं। चतुष्फलकीय अंतराल चार परमाणुओं से घिरा होता है (CN 4); अष्टफलकीय छह से (CN 6)। अंतराल त्रिज्या r वह सबसे बड़ा गोला है जो R त्रिज्या के अपने सब पड़ोसियों को स्पर्श करते हुए समा जाए। सघन-संकुलित संरचनाओं में प्रति परमाणु 1 अष्टफलकीय व 2 चतुष्फलकीय अंतराल होते हैं, चाहे स्टैकिंग FCC हो या HCP।

FCC/HCP व BCC में अंतराल
संरचनाअंतरालप्रति परमाणुप्रति घनीय कोष्ठिकाr/R
FCC (व HCP)चतुष्फलकीय280.225
FCC (व HCP)अष्टफलकीय140.414
BCCचतुष्फलकीय6120.291
BCCअष्टफलकीय (चपटा)360.155

व्युत्पत्तियाँ। FCC के अष्टफलकीय अंतराल कोष्ठिका के केंद्र व 12 किनारों के मध्य-बिंदुओं पर हैं: 1 + 12 × ¼ = 4। कोष्ठिका के किनारे के अनुदिश क्रम परमाणु, अंतराल, परमाणु है, अतः 2R + 2r = a = 2√2 R, जिससे r = (√2 − 1)R = 0.414R। FCC के चतुष्फलकीय अंतराल (¼, ¼, ¼)-प्रकार के बिंदुओं पर हैं, प्रति कोष्ठिका 8; कोने के परमाणु से दूरी √3a/4 = R + r है, जिससे r = (√6/2 − 1)R = 0.225R। BCC में अष्टफलकीय अंतराल फलक केंद्रों व किनारों के मध्य-बिंदुओं पर हैं (3 + 3 = 6 प्रति कोष्ठिका); दो निकटतम परमाणु (किनारे के मध्य-बिंदु वाले अंतराल के लिए कोने के परमाणु, फलक-केंद्र वाले के लिए दो अंतः-केंद्र परमाणु) अंतराल से a/2 दूर हैं, अतः R + r = a/2 जहाँ R = √3a/4, जिससे r = 0.155R। (½, ¼, 0)-प्रकार के बिंदुओं पर चतुष्फलकीय अंतराल (24 स्थान, प्रत्येक दो कोष्ठिकाओं में साझा, प्रति कोष्ठिका 12) निकटतम परमाणुओं से √5a/4 दूर हैं, जिससे r = 0.291R।

🎯 अंतराल क्यों महत्त्वपूर्ण हैं
कार्बन जैसे छोटे विलेय परमाणु अंतरालों में बैठते हैं। FCC लोहा (ऑस्टेनाइट) अपने 0.414R के अष्टफलकीय अंतरालों में अधिकतम लगभग 2 द्रव्यमान % कार्बन घोलता है; BCC लोहा (फ़ेराइट) अधिकतम केवल लगभग 0.02 द्रव्यमान % घोलता है, क्योंकि उसके अंतराल संख्या में अधिक होने पर भी सभी छोटे हैं (सबसे बड़ा 0.291R)। यही अंतराल त्रिज्याएँ, CN 4, 6 व 8 हेतु न्यूनतम त्रिज्या-अनुपात 0.225, 0.414 व 0.732 के रूप में, अगले अध्याय में आयनिक क्रिस्टलों हेतु Pauling के त्रिज्या-अनुपात नियम के रूप में लौटती हैं।

7. कार्बन: हीरा, ग्रेफ़ाइट, ग्रैफ़ीन, फ़ुलरीन व नैनोट्यूब

कार्बन के क्रमबद्ध रूप
रूपआबंधजालक व मोटिफ़मुख्य संख्याएँ
हीराsp³, चार पड़ोसीFCC जालक; मोटिफ़ C (0, 0, 0) व (¼, ¼, ¼) पर; प्रति कोष्ठिका 8 परमाणुa = 0.3567 nm; C–C = √3a/4 = 0.154 nm; APF 0.34
ग्रेफ़ाइटsp²: तीन σ आबंध व विस्थानीकृत π इलेक्ट्रॉनहेक्सागोनल जालक, 4-परमाणु मोटिफ़; मधुमक्खी-छत्ता परतें ABAB स्टैकिततल में C–C 0.142 nm; परत-दूरी 0.335 nm (c ≈ 0.67 nm); परतों के बीच van der Waals
ग्रैफ़ीनsp²एक परत: द्विविमीय हेक्सागोनल जालक, 2-परमाणु मधुमक्खी-छत्ता मोटिफ़जालक नियतांक 0.246 nm
फ़ुलरीन C₆₀sp² जैसा, वक्रितबंद आण्विक पिंजरा, छिन्न इकोसाहेड्रॉन: 12 पंचभुज, 20 षट्भुज60 परमाणु; व्यास लगभग 0.7 nm
कार्बन नैनोट्यूबsp²लपेटी हुई ग्रैफ़ीन चादर; कायरलता (n, m)d = a√(n² + nm + m²)/π, a = 0.246 nm

गुण संरचना से निकलते हैं। हीरे में दृढ़ त्रिविमीय सहसंयोजी जाल है, इसलिए वह ज्ञात सबसे कठोर पदार्थों में से एक, विद्युतरोधी और, विद्युतरोधी होते हुए भी असामान्य रूप से, ऊष्मा का उत्कृष्ट चालक है। ग्रेफ़ाइट परतों के भीतर प्रबलता से और परतों के बीच दुर्बलता से आबद्ध है: वह विषमदैशिक (anisotropic) है, π इलेक्ट्रॉनों के कारण परतों के अनुदिश अच्छा चालन करता है, और परतों के आर-पार सरलता से कर्तित होता है, इसीलिए ठोस स्नेहक का काम करता है। दोनों कार्बन हैं; वे जालक व मोटिफ़ में भिन्न हैं और इसलिए प्रत्येक गुण में।

फ़ुलरीन पिंजरे। प्रत्येक परमाणु के तीन आबंध हैं, अतः E = 3V/2। p पंचभुज व h षट्भुज हों तो V = (5p + 6h)/3 और F = p + h। तब Euler संबंध V − E + F = 2 से p/6 = 2 मिलता है, अतः प्रत्येक बंद पिंजरे में p = 12, जबकि h मुक्त है: C₆₀ में h = 20 (V = (60 + 120)/3 = 60) और C₇₀ में h = 25 (V = (60 + 150)/3 = 70)। नैनोट्यूब ग्रैफ़ीन जालक के कायरल सदिश C = n a₁ + m a₂ से निर्दिष्ट होते हैं: (n, n) आर्मचेयर, (n, 0) ज़िगज़ैग, शेष कायरल। व्यास d = a√(n² + nm + m²)/π है; (10, 10) हेतु d = 0.246 × √300/π = 1.36 nm। वक्रता प्रभाव अनदेखा करने पर नलिका धात्विक होती है जब n − m, 3 का गुणज हो, अन्यथा अर्धचालक।

मुख्य बिंदु

  • पदार्थ आबंध से वर्गीकृत होते हैं: धात्विक (धातुएँ), आयनिक व सहसंयोजी (सिरेमिक), दुर्बल कड़ियों वाली सहसंयोजी शृंखलाएँ (बहुलक) और बहु-प्रावस्था संयोजन (संमिश्र)। गुण प्रवृत्तियाँ हैं, नियम नहीं।
  • क्रिस्टल = जालक + मोटिफ़; जालक बिंदु गणितीय बिंदु है, परमाणु नहीं। अनुवाद सममिति केवल 1-, 2-, 3-, 4- व 6-गुना अक्ष देती है, और न्यूनतम सममिति 7 निकाय परिभाषित करती है जिनमें 14 Bravais जालक हैं (3, 2, 4, 1, 1, 2, 1)।
  • तल (hkl): अंतःखंडों के व्युत्क्रम को पूर्णांक बनाकर; दिशाएँ [uvw]: घटक; घनीय में d = a/√(h² + k² + l²) और [hkl] ⟂ (hkl)। हेक्सागोनल: i = −(h + k) तथा t = −(u + v)।
  • FCC (ABCABC) व HCP (ABAB) दोनों में CN 12 व APF 0.74; BCC में CN 8 व APF 0.68; हीरक घनीय में CN 4 व APF 0.34। घनत्व nA/(V_c N_A) है।
  • सघन-संकुलित संरचनाओं में प्रति परमाणु 1 अष्टफलकीय (0.414R) व 2 चतुष्फलकीय (0.225R) अंतराल होते हैं; BCC में 3 अष्टफलकीय (0.155R) व 6 चतुष्फलकीय (0.291R) हैं, सभी छोटे।
  • हीरा दो-परमाणु मोटिफ़ वाला FCC जालक है; ग्रेफ़ाइट चार-परमाणु मोटिफ़ वाला हेक्सागोनल जालक है; ग्रैफ़ीन एक मधुमक्खी-छत्ता परत है। प्रत्येक बंद फ़ुलरीन में 12 पंचभुज होते हैं, और नैनोट्यूब का व्यास a√(n² + nm + m²)/π है।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. क्रिस्टल में जालक बिंदु के बारे में कौन-सा कथन सही है?

    1. यह परमाणु का केंद्र है, इसलिए प्रत्येक क्रिस्टल में प्रति कोष्ठिका जालक बिंदुओं की संख्या प्रति कोष्ठिका परमाणुओं के बराबर होती है
    2. यह वह स्थान है जिस पर प्रत्येक क्रिस्टल संरचना में ठीक एक परमाणु होता है, और भिन्न-भिन्न जालक बिंदुओं पर भिन्न परमाणु बैठते हैं
    3. एक गणितीय बिंदु जिसका परिवेश प्रत्येक अन्य जालक बिंदु जैसा है; उसका मोटिफ़ एक परमाणु या परमाणुओं का समूह हो सकता है
    4. यह वह बिंदु है जहाँ दो या अधिक परमाणु स्पर्श करते हैं, अतः जालक बिंदु केवल वहीं होता है जहाँ कठोर गोले एक-दूसरे के संपर्क में हों
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — एक गणितीय बिंदु जिसका परिवेश प्रत्येक अन्य जालक बिंदु जैसा है; उसका मोटिफ़ एक परमाणु या परमाणुओं का समूह हो सकता है

    जालक समान परिवेश वाले बिंदुओं का समुच्चय है; परमाणु मोटिफ़ से आते हैं। हीरे की घनीय कोष्ठिका में 8 परमाणु हैं पर उसके FCC जालक में प्रति कोष्ठिका केवल 4 जालक बिंदु हैं, जो दिखाता है कि परमाणुओं व जालक बिंदुओं की संख्या बराबर होना आवश्यक नहीं। जालक बिंदु को परमाणु का केंद्र मान लेना ही लुभावनी भूल है।

  2. आवर्ती क्रिस्टल में पाँच-गुना घूर्णन अक्ष क्यों नहीं हो सकता?

    1. 72° का घूर्णन अनुवाद-आवर्ती जालक को स्वयं पर नहीं ले जा सकता: केवल वे कोण मान्य हैं जिनके लिए 1 − 2cos α पूर्णांक हो, अर्थात् 60°, 90°, 120°, 180°, 360°
    2. पाँच समान परमाणु किसी भी विमा में केंद्रीय बिंदु के चारों ओर समान दूरी पर नहीं रखे जा सकते, इसलिए पदार्थ में कहीं भी, चाहे क्रिस्टल हो, अणु हो या काँच, पाँच-गुना व्यवस्था संभव नहीं
    3. पाँच-गुना अक्ष कोष्ठिका में जालक बिंदुओं की विषम संख्या बाध्य करेगा, जबकि प्रत्येक पारंपरिक जालक कोष्ठिका इस प्रकार बनाई जाती है कि उसमें सम संख्या ही हो
    4. पाँच-गुना अक्ष हेतु कोष्ठिका में ठीक पाँच परमाणु होने चाहिए, और प्रकृति की किसी भी क्रिस्टल संरचना की कोष्ठिका में कुल इतने परमाणु नहीं हो सकते
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 72° का घूर्णन अनुवाद-आवर्ती जालक को स्वयं पर नहीं ले जा सकता: केवल वे कोण मान्य हैं जिनके लिए 1 − 2cos α पूर्णांक हो, अर्थात् 60°, 90°, 120°, 180°, 360°

    अनुवाद सममिति 1 − 2cos α = पूर्णांक से अनुमत घूर्णन तय करती है, जिससे केवल 1-, 2-, 3-, 4- व 6-गुना अक्ष मिलते हैं। अन्य विकल्प ऐसी ज्यामितीय या गणनात्मक बाधाएँ गढ़ते हैं जो हैं ही नहीं: पाँच परमाणु किसी बिंदु के चारों ओर वलय में बैठ सकते हैं (जैसे फ़ुलरीन के पंचभुज में), और जालक कोष्ठिकाओं में बिंदुओं की विषम संख्या हो सकती है, जैसे आदिम कोष्ठिका में 1।

  3. निम्नलिखित में से कौन 14 Bravais जालकों में नहीं है?

    1. फलक-केंद्रित ऑर्थोरोम्बिक
    2. आधार-केंद्रित घनीय
    3. अंतःकेंद्रित टेट्रागोनल
    4. आधार-केंद्रित मोनोक्लिनिक
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — आधार-केंद्रित घनीय

    घनीय कोष्ठिका के किसी फलक-युग्म को केंद्रित करने पर चारों 3-गुना अक्ष नष्ट हो जाते हैं, अतः जालक घनीय नहीं रहता; वह केवल सरल टेट्रागोनल जालक है (तल में किनारा a/√2, c = a)। शेष तीन वास्तविक हैं: ऑर्थोरोम्बिक के P, C, I व F सभी होते हैं, अंतःकेंद्रित टेट्रागोनल होता है, और आधार-केंद्रित मोनोक्लिनिक होता है।

  4. सात क्रिस्टल निकायों की सममिति-आधारित परिभाषा के अनुसार निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. कोई क्रिस्टल घनीय तभी है जब उसकी कोष्ठिका के काय विकर्णों के अनुदिश चार 3-गुना घूर्णन अक्ष हों
    2. जिस क्रिस्टल की एकक कोष्ठिका में a = b = c और α = β = γ = 90° हो, वह अपनी वास्तविक सममिति कुछ भी हो, घनीय ही होगा
    3. हेक्सागोनल क्रिस्टल की पहचान एक 6-गुना घूर्णन अक्ष से होती है
    4. मोनोक्लिनिक क्रिस्टल में तीन परस्पर लंबवत 2-गुना अक्ष होते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — कोई क्रिस्टल घनीय तभी है जब उसकी कोष्ठिका के काय विकर्णों के अनुदिश चार 3-गुना घूर्णन अक्ष हों; C — हेक्सागोनल क्रिस्टल की पहचान एक 6-गुना घूर्णन अक्ष से होती है

    निकाय न्यूनतम सममिति से परिभाषित होते हैं: घनीय हेतु चार 3-गुना अक्ष और हेक्सागोनल हेतु एक 6-गुना अक्ष। केवल मापीय रूप से घनीय कोष्ठिका क्रिस्टल को घनीय नहीं बना देती यदि सममिति कम है (तब वह, उदाहरणतः, संयोगवश समान किनारों वाला टेट्रागोनल या ऑर्थोरोम्बिक होगा)। तीन लंबवत 2-गुना अक्ष ऑर्थोरोम्बिक को परिभाषित करते हैं; मोनोक्लिनिक को केवल एक 2-गुना अक्ष चाहिए।

  5. घनीय क्रिस्टल में एक तल x अक्ष को 2a पर और y अक्ष को 3a पर काटता है तथा z अक्ष के समांतर है। इसके मिलर सूचकांक हैं

    1. (2 3 0)
    2. (3 2 ∞)
    3. (6 4 0)
    4. (3 2 0)
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — (3 2 0)

    अंतःखंड 2, 3, ∞ से व्युत्क्रम ½, ⅓, 0 मिलते हैं; 6 से गुणा करने पर भिन्न हटकर (3 2 0) बनता है। अंतःखंड ही लिख देना, (2 3 0), सबसे प्रचलित भूल है; (6 4 0) सबसे छोटे पूर्णांकों में नहीं है और आधी दूरी वाले भिन्न तल का वर्णन करेगा; सूचकांक में ∞ कभी नहीं लिखा जाता क्योंकि समांतर तल का सूचकांक 0 होता है।

  6. हेक्सागोनल क्रिस्टल के चार-सूचकांक मिलर-ब्रेवे संकेतन में a₁ अक्ष की दिशा, जो तीन सूचकांकों में [1 0 0] है, बनती है

    1. [1 0 −1 0]
    2. [2 −1 −1 0]
    3. [1 1 −2 0]
    4. [1 0 0 0]
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — [2 −1 −1 0]

    u = (2U − V)/3, v = (2V − U)/3, t = −(u + v), w = W में U, V, W = 1, 0, 0 रखें: u = ⅔, v = −⅓, t = −⅓, w = 0, जो 3 से गुणा करने पर [2 −1 −1 0] बनता है। [1 1 −2 0] a₁ + a₂ दिशा है (तीन सूचकांकों में [1 1 0]); [1 0 −1 0] a₁ से 30° हटकर है (तीन सूचकांकों में [2 1 0]); और [1 0 0 0] t = −(u + v) का उल्लंघन करती है।

  7. समान गोलों के हेक्सागोनल सघन संकुलन व घनीय सघन संकुलन में सही अंतर कौन-सा कथन बताता है?

    1. हेक्सागोनल संकुलन की समन्वय संख्या 12 है जबकि घनीय संकुलन की 8, क्योंकि केवल घनीय स्टैकिंग परतों को सीधे एक-दूसरे के ऊपर रखती है
    2. घनीय संकुलन 0.74 का संकुलन गुणांक पाता है जबकि हेक्सागोनल केवल लगभग 0.68, क्योंकि हेक्सागोनल व्यवस्था थोड़ी विकृत व्यवस्था है
    3. दोनों की समन्वय संख्या 12 व संकुलन गुणांक 0.74 है; वे केवल सघन परतों की स्टैकिंग में भिन्न हैं, HCP में ABAB… और CCP में ABCABC…
    4. हेक्सागोनल संकुलन अपने आधारी तलों की ABCABC… स्टैकिंग है और घनीय संकुलन अपने {111} तलों की ABAB… स्टैकिंग है, पर दोनों अन्यथा समरूप हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — दोनों की समन्वय संख्या 12 व संकुलन गुणांक 0.74 है; वे केवल सघन परतों की स्टैकिंग में भिन्न हैं, HCP में ABAB… और CCP में ABCABC…

    दोनों संरचनाएँ समान सघन परतों का उपयोग करती हैं; परत A व B के बाद तीसरी परत या तो A दोहराती है (HCP, ABAB…) या नई स्थिति C लेती है (CCP, ABCABC…)। परमाणु के पड़ोसियों की संख्या (12) और संकुलन गुणांक π/(3√2) = 0.7405 दोनों में समान हैं। जो कथन ABAB व ABCABC के नाम दोनों संरचनाओं में आपस में बदल देता है, वह ग़लत है।

  8. R त्रिज्या के कठोर गोलों के FCC क्रिस्टल में अंतरालों की प्रति परमाणु संख्या व त्रिज्याएँ हैं

    1. एक अष्टफलकीय अंतराल त्रिज्या 0.414R का और दो चतुष्फलकीय अंतराल त्रिज्या 0.225R के
    2. दो अष्टफलकीय अंतराल त्रिज्या 0.414R के और एक चतुष्फलकीय अंतराल त्रिज्या 0.225R का
    3. एक अष्टफलकीय अंतराल त्रिज्या 0.225R का और दो चतुष्फलकीय अंतराल त्रिज्या 0.414R के
    4. तीन अष्टफलकीय अंतराल त्रिज्या 0.155R के और छह चतुष्फलकीय अंतराल त्रिज्या 0.291R के
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — एक अष्टफलकीय अंतराल त्रिज्या 0.414R का और दो चतुष्फलकीय अंतराल त्रिज्या 0.225R के

    FCC कोष्ठिका में 4 परमाणु, 4 अष्टफलकीय अंतराल (1 + 12 × ¼) व 8 चतुष्फलकीय अंतराल हैं, अतः प्रति परमाणु 1 अष्टफलकीय व 2 चतुष्फलकीय। अष्टफलकीय अंतराल बड़ा है, r = (√2 − 1)R = 0.414R; चतुष्फलकीय r = (√6/2 − 1)R = 0.225R है। प्रति परमाणु 3 व 6 तथा त्रिज्याएँ 0.155R व 0.291R, BCC के मान हैं।

  9. FCC लोहा (ऑस्टेनाइट) BCC लोहे (फ़ेराइट) से कहीं अधिक अंतराकाशी कार्बन घोलता है, यद्यपि BCC में प्रति परमाणु अंतराल अधिक हैं। कौन-सा स्पष्टीकरण सही है?

    1. BCC लोहे में परमाणुओं के बीच कोई अंतराल है ही नहीं, क्योंकि उसकी समन्वय संख्या केवल 8 है और गोले सघन-संकुलित नहीं हैं, अतः कोई विलेय प्रवेश नहीं कर सकता
    2. कार्बन ऋणावेशित है और केवल चतुष्फलकीय अंतरालों में बैठ सकता है, जो FCC लोहे में होते हैं पर किसी भी BCC संरचना में पूरी तरह नहीं होते
    3. BCC लोहे में FCC लोहे से प्रति परमाणु कम अंतराल हैं, अतः प्रति परमाणु उपलब्ध अंतराकाशी स्थलों की संख्या ही घुल सकने वाली कार्बन को सीमित करती है
    4. BCC में प्रति परमाणु अंतराल अधिक हैं पर सभी FCC के अष्टफलकीय अंतराल (0.414R) से छोटे हैं (सबसे बड़ा, चतुष्फलकीय, 0.291R), इसलिए कार्बन BCC को कहीं अधिक विकृत करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: D — BCC में प्रति परमाणु अंतराल अधिक हैं पर सभी FCC के अष्टफलकीय अंतराल (0.414R) से छोटे हैं (सबसे बड़ा, चतुष्फलकीय, 0.291R), इसलिए कार्बन BCC को कहीं अधिक विकृत करता है

    BCC में प्रति परमाणु 3 अष्टफलकीय व 6 चतुष्फलकीय अंतराल हैं, जबकि FCC में 1 व 2, अतः स्थलों की संख्या सीमा नहीं है। आकार महत्त्वपूर्ण है: BCC का सबसे बड़ा अंतराल 0.291R है, जबकि FCC का अष्टफलकीय अंतराल 0.414R, इसलिए FCC में कार्बन परमाणु बहुत कम विकृति के साथ समा जाता है। यह कथन कि BCC में अंतराल नहीं या कम हैं, ग़लत है, और कार्बन उदासीन विलेय परमाणु के रूप में अंतरालों में बैठता है।

  10. a जालक प्राचल वाले घनीय जालक में, (hkl) तलों की दूरी d = a/√(h² + k² + l²) लेने पर, अनुपात d₁₁₁/d₂₀₀ है

    1. 0.866
    2. 1.414
    3. 1.155
    4. 0.577
    उत्तर देखें

    उत्तर: C — 1.155

    d₁₁₁ = a/√3 और d₂₀₀ = a/√4 = a/2, अतः d₁₁₁/d₂₀₀ = 2/√3 = 1.155। 0.866 व्युत्क्रम अनुपात है, 1.414 वर्गों के योग हेतु √2 लेने से आता है, और 0.577 केवल 1/√3 है, जो अकेले d₁₁₁/a है।

  11. एक कर्तन-औज़ार पदार्थ में कठोर टंगस्टन कार्बाइड कण तन्य कोबाल्ट आधात्री में जड़े हैं। इसे सबसे उचित रूप से वर्गीकृत किया जाएगा

    1. सिरेमिक के रूप में, क्योंकि टंगस्टन कार्बाइड एक कार्बाइड है, कार्बाइड सिरेमिक यौगिक होते हैं, और कठोर कार्बाइड कण ही कर्तन क्रिया में प्रमुख हैं
    2. संमिश्र के रूप में, क्योंकि दो भिन्न प्रावस्थाएँ मिलाई गई हैं जिससे गुणों का वह मिश्रण मिलता है जो अकेले किसी में नहीं
    3. बहुलक के रूप में, क्योंकि चूर्णों को दबाकर व गरम करके जुड़ी हुई संहति के रूप में आकार दिया जाता है, जैसे थर्मोप्लास्टिक संसाधित होते हैं
    4. एक-प्रावस्था धात्विक ठोस विलयन के रूप में, जिसमें टंगस्टन, कार्बन व कोबाल्ट परमाणु सब एक ही क्रिस्टल जालक साझा करते हैं और कोई अलग कण नहीं है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — संमिश्र के रूप में, क्योंकि दो भिन्न प्रावस्थाएँ मिलाई गई हैं जिससे गुणों का वह मिश्रण मिलता है जो अकेले किसी में नहीं

    सिरेमिक कार्बाइड कण कठोरता देते हैं और धातु आधात्री चिमड़ापन, और दोनों अलग प्रावस्थाएँ बनी रहती हैं, जो संमिश्र की परिभाषा है। इसे सिरेमिक कहना कोबाल्ट की उपेक्षा है; यह बहुलक नहीं है, और एक-प्रावस्था विलयन भी नहीं क्योंकि कार्बाइड व कोबाल्ट भिन्न प्रावस्थाएँ हैं।

  12. कार्बन की क्रमबद्ध संरचनाओं के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?

    1. हीरे में प्रत्येक कार्बन परमाणु के तीन निकटतम पड़ोसी हैं जो एक तल में व्यवस्थित हैं
    2. हीरे को FCC जालक के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसका मोटिफ़ दो कार्बन परमाणु हैं
    3. प्रत्येक एकल-भित्ति कार्बन नैनोट्यूब धात्विक है, उसके कायरल सूचकांक (n, m) कुछ भी हों
    4. ग्रेफ़ाइट की परतें दुर्बल van der Waals बलों से जुड़ी हैं, जिससे परतें एक-दूसरे पर फिसल सकती हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — हीरे को FCC जालक के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसका मोटिफ़ दो कार्बन परमाणु हैं; D — ग्रेफ़ाइट की परतें दुर्बल van der Waals बलों से जुड़ी हैं, जिससे परतें एक-दूसरे पर फिसल सकती हैं

    हीरा sp³ है जिसके चार चतुष्फलकीय पड़ोसी हैं और वह FCC जालक है जिसके दो परमाणु (0, 0, 0) व (¼, ¼, ¼) पर हैं; ग्रेफ़ाइट का दुर्बल अंतरापरत van der Waals आबंध सरल कर्तन देता है। नैनोट्यूब धात्विक तभी होता है जब n − m, 3 का गुणज हो (वक्रता प्रभाव अनदेखा करने पर), अतः अर्धचालक नलिकाएँ भी होती हैं। तल में तीन पड़ोसी ग्रेफ़ाइट या ग्रैफ़ीन का वर्णन है, हीरे का नहीं।

  13. घनीय क्रिस्टल में दिशा [uvw] तल (hkl) में तब होती है जब hu + kv + lw = 0। निम्नलिखित में से कौन-सी दिशाएँ (111) तल में हैं?

    1. [1 1 0]
    2. [1 −1 0]
    3. [1 1 −2]
    4. [1 0 0]
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — [1 −1 0]; C — [1 1 −2]

    (111) हेतु शर्त u + v + w = 0 है। [1 −1 0] से 1 − 1 + 0 = 0 और [1 1 −2] से 1 + 1 − 2 = 0 मिलता है, अतः दोनों तल में हैं। [1 1 0] से 2 और [1 0 0] से 1 मिलता है, अतः दोनों इसमें नहीं हैं।

  14. एक FCC धातु का जालक प्राचल a = 0.360 nm है। इसके (111) तल का तलीय घनत्व, प्रत्येक परमाणु को तल के पुनरावर्ती क्षेत्रफल के भीतर पड़ने वाले अंश से गिनते हुए, परमाणु प्रति nm² में ज्ञात कीजिए। उत्तर दशमलव के दो स्थानों तक दीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 17.82

    (111) तल भुजा a√2 = 0.5091 nm वाला त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल (√3/4)(a√2)² = (√3/2)a² = 0.11224 nm² है। उसमें 3 × ⅙ + 3 × ½ = 2 परमाणु हैं। PD = 2/0.11224 = 17.82 परमाणु/nm², जो 4/(√3 a²) = 4/(1.7321 × 0.1296) = 17.82 के बराबर है।

  15. सिलिकॉन की संरचना हीरक घनीय है जिसका जालक प्राचल a = 0.5431 nm है। परमाणु द्रव्यमान A = 28.09 g/mol और आवोगाद्रो संख्या N_A = 6.022 × 10²³ mol⁻¹ लीजिए। इसका घनत्व g/cm³ में दशमलव के दो स्थानों तक ज्ञात कीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.33

    हीरक घनीय कोष्ठिका में 8 परमाणु हैं (दो-परमाणु मोटिफ़ वाला FCC जालक)। V_c = (0.5431 × 10⁻⁷ cm)³ = 1.6019 × 10⁻²² cm³। ρ = nA/(V_c N_A) = 8 × 28.09/(1.6019 × 10⁻²² × 6.022 × 10²³) = 224.72/96.47 = 2.33 g/cm³। 4 परमाणु लेने पर (सादा FCC मानकर) इसका आधा मान आता।

  16. लोहा गरम करने पर BCC से FCC में बदलता है। दोनों संरचनाओं में परमाणुओं को समान त्रिज्या R के कठोर गोले मानिए (BCC: a = 4R/√3, प्रति कोष्ठिका 2 परमाणु; FCC: a = 2√2 R, प्रति कोष्ठिका 4 परमाणु)। BCC से FCC में जाने पर प्रति परमाणु आयतन कितने प्रतिशत घटता है? उत्तर दशमलव के एक स्थान तक दीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 8.1

    BCC में प्रति परमाणु आयतन = (4R/√3)³/2 = 12.317R³/2 = 6.158R³। FCC में = (2√2 R)³/4 = 22.627R³/4 = 5.657R³। कमी = (6.158 − 5.657)/6.158 = 0.0814, अर्थात् 8.1%। वास्तविक लोहा कहीं कम सिकुड़ता है क्योंकि संरचना के साथ प्रभावी परमाणु त्रिज्या बदलती है, अतः यह कठोर-गोला अनुमान है।

  17. एक बंद फ़ुलरीन पिंजरे में प्रत्येक कार्बन परमाणु ठीक तीन अन्य से आबद्ध है, और उसके फलक 12 पंचभुज व 25 षट्भुज हैं। पिंजरे में कितने कार्बन परमाणु हैं?

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 70

    प्रत्येक परमाणु तीन फलकों में साझा है, अतः V = (5 × 12 + 6 × 25)/3 = (60 + 150)/3 = 70। Euler संबंध से जाँच: E = 3V/2 = 105 और F = 37, अतः V − E + F = 70 − 105 + 37 = 2। यह C₇₀ है।

  18. एक एकल-भित्ति कार्बन नैनोट्यूब के कायरल सूचकांक (n, m) = (12, 6) हैं। ग्रैफ़ीन जालक नियतांक a = 0.246 nm और π = 3.1416 लीजिए तथा d = a√(n² + nm + m²)/π का प्रयोग कीजिए। इसका व्यास nm में दशमलव के दो स्थानों तक ज्ञात कीजिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.24

    n² + nm + m² = 144 + 72 + 36 = 252, और √252 = 15.875। d = 0.246 × 15.875/3.1416 = 3.905/3.1416 = 1.24 nm। n² + m² = 180 लेना (क्रॉस पद छोड़ देना) प्रचलित भूल है और 1.05 nm देती।