Which of the following observations about metals is NOT explained by the classical Drude model of conduction?

The very small share of conduction electrons in the heat capacity of a metal at room temperature

Current density proportional to the applied electric field in a metal wire, J = σE, with σ independent of E

Conductivity rising in proportion to the density of conduction electrons, at a fixed relaxation time

The very small share of conduction electrons in the heat capacity of a metal at room temperature

Joule heating of a wire carrying current, as electrons give up their drift energy to the lattice in collisions

In the free-electron model of a metal at T = 0, the electron density is raised to twice its value (for example by applying pressure, with the electrons unchanged in number). By what factor does the Fermi energy change?

It becomes 2^(2/3) times, about 1.59

It becomes 2^(1/3) times, about 1.26

It becomes four times, a factor of 4

In band theory, what separates an intrinsic semiconductor from an insulator?

Only the size of the band gap relative to k_BT, which sets the density of thermally excited carriers

The conduction band of a semiconductor is already partly filled at 0 K, whereas that of an insulator is empty

The valence band of a semiconductor is only half full at 0 K, whereas that of an insulator is completely full

A semiconductor has no forbidden band at all, while an insulator has a wide one

Two conduction bands near their minima are E₁(k) = Ak² and E₂(k) = 4Ak², with the same constant A. Electrons in both bands have the same relaxation time τ. Using m* = ħ²/(d²E/dk²), what is the ratio of electron mobilities μ₂/μ₁?

4, because m* is four times smaller and μ = eτ/m* is four times larger

1/4, because the more strongly curved band has a heavier carrier

2, because the mass scales as the square root of the curvature

16, because the mobility scales as the square of the curvature

4, because m* is four times smaller and μ = eτ/m* is four times larger

A silicon crystal is doped with a small amount of boron. Which description is correct?

Boron is an acceptor; holes become the majority carriers and the Hall coefficient is positive

Boron is a donor; it creates an n-type crystal with a negative Hall coefficient

Boron is an acceptor; holes become the majority carriers and the Hall coefficient is positive

Boron is an acceptor; its levels lie just below the conduction band and electrons are the majority carriers

Boron is neutral in silicon and changes only the lattice constant, leaving the carrier density unchanged

A pure (undoped) semiconductor has equal electron and hole concentrations, n = p, but μ_e = 3 μ_h. The Hall coefficient of this sample is

Negative, because the more mobile electrons dominate: R_H ∝ (pμ_h² − nμ_e²)

Positive, because holes carry positive charge and are present in equal number

Exactly zero, because equal numbers of electrons and holes always cancel the Hall voltage

Negative, because the more mobile electrons dominate: R_H ∝ (pμ_h² − nμ_e²)

Undefined, since the Hall effect exists only when a single carrier type is present

The permittivity of a polar ceramic is measured over a wide frequency range. At the lowest frequencies ε_r is large, and it falls in steps. In the step that occurs in the microwave region the slowest dipoles can no longer follow the field. Which mechanism stops contributing at this step?

Orientational polarisation of permanent dipoles, which cannot rotate fast enough

Electronic polarisation, because the electron cloud is the heaviest object that moves

Ionic polarisation, which always ends at the audio range

All mechanisms together, since ε_r falls to zero beyond the microwave range

Which crystal is certain NOT to show the direct piezoelectric effect?

A rock-salt-type cubic crystal, whose structure has a centre of inversion symmetry

Quartz, whose crystal structure has no centre of symmetry at all

A poled lead zirconate titanate ceramic used in transducers

Zinc oxide in its hexagonal wurtzite structure

Which of the following statements about the free-electron (Fermi gas) model of a metal are correct?

The Fermi surface is a sphere of radius k_F = (3π²n)^(1/3) in k-space

At T = 0 every state below E_F is occupied by two electrons of opposite spin and every state above is empty

The density of states rises as √E, and at E_F equals 3n/(2E_F) per unit volume

The Fermi surface is a sphere of radius k_F = (3π²n)^(1/3) in k-space

At T = 0 every state below E_F is occupied by two electrons of opposite spin and every state above is empty

The density of states rises as √E, and at E_F equals 3n/(2E_F) per unit volume

At room temperature the average conduction electron has thermal energy of order E_F, so all electrons take part in heat conduction

Which of the following statements about semiconductors are correct?

In an intrinsic semiconductor the carrier density grows with temperature mainly through the factor exp(−E_g/2k_BT)

In thermal equilibrium the product np equals n_i² even in a doped crystal, so raising n by donor doping lowers p

In an intrinsic semiconductor the carrier density grows with temperature mainly through the factor exp(−E_g/2k_BT)

In thermal equilibrium the product np equals n_i² even in a doped crystal, so raising n by donor doping lowers p

A donor-doped crystal carries a net negative charge, because it has extra electrons

The resistivity of a pure metal falls with rising temperature as more electrons are excited across a gap

Which of the following statements about dielectric, piezoelectric and ferroelectric behaviour are correct?

Piezoelectricity requires a crystal structure without a centre of symmetry

Barium titanate above its Curie temperature is paraelectric, with a permittivity that follows the Curie-Weiss law

For a non-magnetic, weakly absorbing solid at optical frequency, ε_r is approximately the square of the refractive index

Piezoelectricity requires a crystal structure without a centre of symmetry

Barium titanate above its Curie temperature is paraelectric, with a permittivity that follows the Curie-Weiss law

Every piezoelectric crystal is also ferroelectric, because both have a spontaneous polarisation that can be reversed

For a non-magnetic, weakly absorbing solid at optical frequency, ε_r is approximately the square of the refractive index

इलेक्ट्रॉनिक गुण: ड्रूडे व क्वांटम मुक्त-इलेक्ट्रॉन मॉडल, बैंड, अर्धचालक, हॉल प्रभाव तथा परावैद्युत

यह अध्याय अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के वैकल्पिक खंड XE2 पदार्थ विज्ञान के खंड XE2.3 (पदार्थों के गुण एवं अनुप्रयोग) के दूसरे अनुच्छेद का उत्तर देता है: “इलेक्ट्रॉनिक गुण: ड्रूडे मॉडल व विद्युत चालकता का चिरसम्मत वर्णन, चिरसम्मत सिद्धांत की कमियाँ, फ़र्मी ऊर्जा, फ़र्मी पृष्ठ व अवस्था घनत्व सहित क्वांटम यांत्रिकीय वर्णन। अचालकों, चालकों व अर्धचालकों को समझाने हेतु अनुमत व वर्जित ऊर्जा बैंडों द्वारा बैंड सिद्धांत, प्रभावी द्रव्यमान की अवधारणा, नैज व अपद्रव्यी अर्धचालक, चालकता की ताप-निर्भरता, वाहक सांद्रता व गतिशीलता, अपवाह बनाम विसरण धारा, सरल धातु या अर्धचालक हेतु हॉल प्रभाव। परावैद्युत व्यवहार, दाब-विद्युत व लौह-विद्युत व्यवहार।” यह ड्रूडे परिणाम σ = ne²τ/m और उसकी विफलता, फ़र्मी गैस, बैंड सिद्धांत व प्रभावी द्रव्यमान, नैज व अपमिश्रित अर्धचालक, अपवाह व विसरण, हॉल गुणांक व उसका चिह्न, तथा परावैद्युत, दाब-विद्युत व लौह-विद्युत अनुक्रिया पढ़ाता है। संख्यात्मक प्रश्न धातु की फ़र्मी ऊर्जा, ड्रूडे श्रांति-काल, n व μ से चालकता, n_i का ताप-अनुमापन तथा हॉल वाहक घनत्व हैं।

1. ड्रूडे मॉडल: चिरसम्मत विद्युत चालन और उसकी विफलताएँ

ड्रूडे मॉडल। चालन इलेक्ट्रॉन घनत्व n की एक चिरसम्मत गैस बनाते हैं जो जालक से प्रकीर्णित होती है। संघट्टों के बीच इलेक्ट्रॉन क्षेत्र E में त्वरित होता है; औसत समय τ (श्रांति-काल) बाद संघट्ट उसका अपवाह वेग औसतन शून्य कर देता है। स्थायी अवस्था: m v_d/τ = eE, अतः v_d = (eτ/m)E। धारा घनत्व J = n e v_d है, जिससे σ = ne²τ/m = neμ मिलता है, जहाँ गतिशीलता μ = eτ/m (इकाई m²/V·s)। प्रतिरोधकता ρ = 1/σ है। गतिशीलता प्रति इकाई क्षेत्र अपवाह चाल है; यह चाल के समान नहीं है।

हल उदाहरण (ताँबा)। n = 8.5 × 10²⁸ m⁻³, σ = 5.9 × 10⁷ S/m, m = 9.109 × 10⁻³¹ kg, e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C लें। तब τ = σm/(ne²) = (5.9 × 10⁷ × 9.109 × 10⁻³¹)/(8.5 × 10²⁸ × 2.566 × 10⁻³⁸) = 2.46 × 10⁻¹⁴ s, और μ = eτ/m = 4.3 × 10⁻³ m²/V·s। E = 1 V/m पर v_d = μE ≈ 4 mm/s: इलेक्ट्रॉन बहुत धीरे अपवाहित होते हैं यद्यपि संकेत प्रकाश-चाल के निकट चलता है।

विशिष्ट ऊष्मा: चिरसम्मत समविभाजन इलेक्ट्रॉनों को जालक के 3R के ऊपर प्रति मोल इलेक्ट्रॉन 3/2 R देता है; मापे गए धातुओं में ऐसी अतिरिक्त ऊष्मा-धारिता लगभग नहीं दिखती (कक्ष ताप पर इलेक्ट्रॉनिक भाग चिरसम्मत मान का लगभग 1 प्रतिशत है)।
ताप-निर्भरता: v ∝ √T लेने पर ड्रूडे ρ ∝ √T का पूर्वानुमान देता है, जबकि शुद्ध धातुएँ कक्ष ताप के निकट ρ ∝ T दर्शाती हैं।
माध्य मुक्त पथ: मॉडल मानता है कि इलेक्ट्रॉन आयन क्रोडों से टकराते हैं, जिससे पथ एक परमाण्वीय अंतराल का आता है; निम्न ताप पर वास्तविक पथ हज़ारों अंतरालों का होता है, अतः आयनों से संघट्ट वाला चित्र गलत है।
अन्य: यह अचालकों व अर्धचालकों, कुछ धातुओं में धनात्मक हॉल गुणांक, या धातुओं के पाउली (ताप-स्वतंत्र) अनुचुंबकत्व की व्याख्या नहीं कर पाता।

⚠️ अपवाह चाल, फ़र्मी चाल नहीं है

ताँबे में इलेक्ट्रॉन सदा यादृच्छिक दिशाओं में लगभग 10⁶ m/s (फ़र्मी चाल) से चलते हैं। आरोपित क्षेत्र में शुद्ध अपवाह केवल मिलीमीटर प्रति सेकंड है। J = n e v_d में कभी v_F का प्रयोग न करें।

2. क्वांटम मुक्त-इलेक्ट्रॉन गैस: फ़र्मी ऊर्जा, फ़र्मी पृष्ठ, अवस्था घनत्व

इलेक्ट्रॉन फ़र्मियॉन हैं: पाउली सिद्धांत से प्रत्येक अनुमत तरंग-सदिश अवस्था में दो इलेक्ट्रॉन (ऊपर व नीचे चक्रण) रह सकते हैं। T = 0 पर N इलेक्ट्रॉन नीचे से ऊपर फ़र्मी ऊर्जा E_F तक अवस्थाएँ भरते हैं। मुक्त इलेक्ट्रॉनों के घन में अवस्थाएँ k-आकाश में एक गोले, फ़र्मी गोले, को भरती हैं, जिसका पृष्ठ फ़र्मी पृष्ठ है और त्रिज्या k_F = (3π²n)^(1/3) है। तब E_F = ħ²k_F²/2m = (ħ²/2m)(3π²n)^(2/3) और फ़र्मी चाल v_F = ħk_F/m है। E_F केवल n पर निर्भर है, n^(2/3) से बढ़ती है, और धातुओं में कुछ eV की होती है (T_F = E_F/k_B ≈ 10⁴ से 10⁵ K)।

हल उदाहरण। n = 8.5 × 10²⁸ m⁻³ (ताँबा) हेतु k_F = (3π² × 8.5 × 10²⁸)^(1/3) = 1.36 × 10¹⁰ m⁻¹। तब E_F = (1.055 × 10⁻³⁴)² × (1.36 × 10¹⁰)²/(2 × 9.109 × 10⁻³¹) = 1.13 × 10⁻¹⁸ J = 7.06 eV (ħ = 1.055 × 10⁻³⁴ J·s, 1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J लेकर), और v_F = 1.58 × 10⁶ m/s, अतः T_F ≈ 8 × 10⁴ K। कक्ष ताप (k_BT = 0.026 eV) अति सूक्ष्म विक्षोभ है: गैस अपघटित (degenerate) है।

अवस्था घनत्व। तीन विमाओं में प्रति इकाई ऊर्जा प्रति इकाई आयतन अवस्थाओं की संख्या g(E) = (1/2π²)(2m/ħ²)^(3/2) √E है (चक्रण सहित), अतः g ∝ √E। E_F तक समाकलन से n = (2/3) g(E_F) E_F मिलता है, अर्थात् g(E_F) = 3n/(2E_F)। T > 0 पर अधिभोग फ़र्मी-डिरैक फलन f(E) = 1/[exp((E − E_F)/k_BT) + 1] है; केवल E_F के लगभग k_BT के भीतर के इलेक्ट्रॉन अवस्था बदल सकते हैं। ऊष्मा-धारिता में इलेक्ट्रॉनों का T/T_F अंश भाग लेता है, अतः C_el = γT छोटी है (इससे ड्रूडे की विशिष्ट-ऊष्मा विफलता सुधरती है), और चालन हेतु प्रासंगिक चाल v_F तथा प्रकीर्णन-काल E_F पर के इलेक्ट्रॉनों का है।

🧠 त्वरित अनुमापन

E_F ∝ n^(2/3)। इलेक्ट्रॉन घनत्व दुगुना करने पर E_F 2^(2/3) = 1.59 गुना हो जाती है। जूल को 1.602 × 10⁻¹⁹ से भाग देकर E_F eV में रखें और जाँचें कि धातुओं हेतु यह लगभग 1 से 15 eV के परास में है।

3. बैंड सिद्धांत: अनुमत व वर्जित बैंड, अचालक, चालक, अर्धचालक, प्रभावी द्रव्यमान

क्रिस्टल में इलेक्ट्रॉन आवर्त विभव में चलता है। ब्रिलुइन-ज़ोन सीमा (एक विमा में k = nπ/a) के निकट तरंग-सदिश k वाली ब्लॉख तरंगें ब्रैग परावर्तित होती हैं, जिससे वहाँ ऊर्जा अंतराल (gap) खुलता है। फलस्वरूप अनुमत बैंड वर्जित बैंडों से पृथक होते हैं; प्रत्येक बैंड में प्रति आदिम कोष्ठिका 2 इलेक्ट्रॉन आते हैं। ठोस चालन करेगा या नहीं, यह सर्वोच्च अधिकृत बैंड कितना भरा है इस पर निर्भर है, क्योंकि केवल आंशिक भरे बैंड में ही रिक्त अवस्थाएँ होती हैं जिनका क्षेत्र उपयोग कर सके।

T = 0 पर बैंड-भराव द्वारा वर्गीकरण
वर्ग	बैंड चित्र	T के साथ चालकता प्रवृत्ति
धातु	सर्वोच्च बैंड आंशिक भरा या बैंड अतिव्यापित; फ़र्मी स्तर बैंड के भीतर	T के साथ घटती (अधिक जालक प्रकीर्णन, μ घटती)
अचालक	संयोजकता बैंड पूर्ण, चालन बैंड रिक्त, अंतराल E_g बड़ा (लगभग 4 eV या अधिक)	नगण्य; गर्म करने पर तीव्र बढ़ती
अर्धचालक	अचालक जैसा पर E_g लगभग 0.5 से 3 eV (Si 1.12, Ge 0.67, GaAs 1.42 eV, 300 K पर)	T के साथ तीव्र बढ़ती क्योंकि वाहक ऊष्मीय रूप से उत्तेजित होते हैं

प्रभावी द्रव्यमान। बैंड-किनारे के निकट E(k) परवलयिक होता है और इलेक्ट्रॉन बलों पर ऐसे प्रतिक्रिया करता है मानो उसका द्रव्यमान m\* = ħ²/(d²E/dk²) हो। संकरा, तीव्र वक्रता वाला बैंड छोटा m\* (हल्के, गतिशील वाहक) देता है; चपटा बैंड बड़ा m\*। संयोजकता बैंड के शीर्ष पर वक्रता ऋणात्मक है, अतः वहाँ इलेक्ट्रॉन ऋणात्मक द्रव्यमान से प्रतिक्रिया करते हैं; रिक्त अवस्था को होल (hole) कहते हैं, जो आवेश +e व धनात्मक द्रव्यमान वाला कण है। होल p-प्रकार चालन बनाते हैं और धनात्मक हॉल गुणांक देते हैं। μ = eτ/m\* होने से छोटा प्रभावी द्रव्यमान उच्च गतिशीलता देता है।

⚠️ पूर्ण बैंड धारा नहीं ले जाता

बेरिलियम व मैग्नीशियम में प्रति परमाणु दो संयोजी इलेक्ट्रॉन होते हैं और ये एक बैंड भर देते, फिर भी बैंड अतिव्यापित होने से ये चालन करते हैं। अतिव्यापन जाँचे बिना यह न मानें कि संयोजी इलेक्ट्रॉनों की सम संख्या का अर्थ अचालक है।

4. नैज व अपद्रव्यी अर्धचालक: वाहक, अपमिश्रण और ताप

नैज अर्धचालक में अंतराल के पार उत्तेजित इलेक्ट्रॉन बराबर संख्या में होल छोड़ते हैं, अतः n = p = n_i। बैंड-किनारे के प्रभावी घनत्वों N_c व N_v के साथ द्रव्य-क्रिया नियम लागू है, np = n_i² = N_cN_v exp(−E_g/k_BT), और N_c, N_v ∝ T^(3/2) होने से n_i ∝ T^(3/2) exp(−E_g/2k_BT)। चरघातांकी भाग हावी रहता है: सिलिकन (E_g = 1.12 eV, k_B = 8.617 × 10⁻⁵ eV/K) हेतु 300 K से 360 K के बीच n_i₂/n_i₁ = (360/300)^1.5 × exp[(1.12/(2 × 8.617 × 10⁻⁵))(1/300 − 1/360)] = 1.315 × 36.97 = 48.6। 60 K की वृद्धि n_i को लगभग 49 गुना कर देती है।

अपद्रव्यी (extrinsic) अर्धचालक अपमिश्रित होते हैं। दाता (समूह V, जैसे Si में P या As) चालन बैंड के ठीक नीचे एक इलेक्ट्रॉन जोड़ता है (n-प्रकार, n ≈ N_D, और p = n_i²/N_D अल्पसंख्यक वाहक)। ग्राही (समूह III, जैसे B) संयोजकता बैंड के ठीक ऊपर होल बनाता है (p-प्रकार, p ≈ N_A, n = n_i²/N_A)। चालकता σ = e(nμ_e + pμ_h) है। उदाहरण: N_D = 2.0 × 10²² m⁻³ व μ_e = 0.12 m²/V·s वाला n-प्रकार सिलिकन (होल नगण्य) σ = 1.602 × 10⁻¹⁹ × 2.0 × 10²² × 0.12 = 384 S/m देता है।

ताप पर अपमिश्रित अर्धचालक
क्षेत्र	वाहक	σ का व्यवहार
हिमन (निम्न T)	अपमिश्रक पूर्ण आयनित नहीं; n, T के साथ बढ़ता है	T के साथ बढ़ती
अपद्रव्यी या संतृप्ति	n ≈ N_D स्थिर; जालक प्रकीर्णन μ घटाता है	लगभग समतल, थोड़ी घटती
नैज (उच्च T)	n_i अपमिश्रण से अधिक; n = p	तीव्र बढ़ती; 1/T के विरुद्ध ln σ की प्रवणता −E_g/2k_B

🎯 गतिशीलता का अपना ताप-नियम है

जालक (फ़ोनॉन) प्रकीर्णन μ ∝ T^(−3/2) देता है; आयनित-अपद्रव्य प्रकीर्णन μ ∝ T^(3/2)। अतः अपमिश्रित क्रिस्टल में μ किसी ताप पर शिखर पर होती है। धातु में n स्थिर है, इसलिए σ केवल μ का अनुसरण करती है और T के साथ घटती है, जबकि अर्धचालक में n की चरघातांकी वृद्धि μ की गिरावट पर भारी पड़ती है।

5. अपवाह व विसरण धारा, आइंस्टाइन संबंध, हॉल प्रभाव

वाहक क्षेत्र में अपवाह (drift) से और सांद्रता-प्रवणता के विरुद्ध विसरण (diffusion) से चलते हैं। इलेक्ट्रॉनों हेतु कुल धारा घनत्व J_n = n e μ_n E + e D_n (dn/dx) है, और होलों हेतु J_p = p e μ_p E − e D_p (dp/dx), जहाँ D विसरण गुणांक है। आइंस्टाइन संबंध दोनों को जोड़ता है: D/μ = k_BT/e, जो 300 K पर 0.0259 V है। μ_e = 0.135 m²/V·s हेतु D_e = 0.135 × 0.0259 = 3.5 × 10⁻³ m²/s। एकसमान अपमिश्रित छड़ में केवल अपवाह होता है; p-n संधि पर साम्य में विसरण व अपवाह धाराएँ संतुलित होती हैं, अतः शुद्ध धारा शून्य है।

हॉल प्रभाव। मोटाई t (B के अनुदिश) की पट्टी x के अनुदिश धारा I ले जाती है, B z के अनुदिश है। चुंबकीय बल वाहकों को पार्श्व में विक्षेपित करता है, आवेश फलकों पर जमता है, और तब तक अनुप्रस्थ हॉल वोल्टता बनती है जब तक वैद्युत बल चुंबकीय बल को संतुलित न कर दे। आवेश q व घनत्व n के एक प्रकार के वाहक हेतु: V_H = IB/(n q t) और हॉल गुणांक R_H = V_H t/(IB) = 1/(nq)। इलेक्ट्रॉनों हेतु R_H = −1/(ne) (ऋणात्मक); होलों हेतु R_H = +1/(pe) (धनात्मक)। अतः R_H का चिह्न बहुसंख्यक वाहक पहचानता है और |R_H| घनत्व देता है। हॉल गतिशीलता μ_H = |R_H| σ है। ताँबे हेतु R_H = −1/(8.5 × 10²⁸ × 1.602 × 10⁻¹⁹) = −7.3 × 10⁻¹¹ m³/C।

⚠️ मोटाई, चौड़ाई नहीं

V_H = IB/(nqt) में t चुंबकीय क्षेत्र के अनुदिश की विमा है, वह चौड़ाई नहीं जिसके आर-पार V_H मापी जाती है। जहाँ दोनों वाहक मायने रखते हैं, वहाँ R_H = (pμ_h² − nμ_e²)/[e(pμ_h + nμ_e)²], इसलिए ताप या अपमिश्रण द्वारा n और p का संतुलन बदलने पर R_H शून्य हो सकती है या चिह्न बदल सकती है।

6. परावैद्युत व्यवहार तथा ध्रुवण क्रियाविधियाँ

परावैद्युत में मुक्त वाहक नहीं होते; क्षेत्र E में इसके आवेश विस्थापित होकर ध्रुवण (प्रति आयतन द्विध्रुव आघूर्ण) P = ε₀χE = ε₀(ε_r − 1)E देते हैं। विस्थापन D = ε₀E + P = ε₀ε_rE है। समांतर-पट्टिका संधारित्र हेतु C = ε_rε₀A/d, अतः परावैद्युत स्थिरांक ε_r वह गुणक है जिससे परावैद्युत धारिता बढ़ाता है। उदाहरण (ε₀ = 8.854 × 10⁻¹² F/m): ε_r = 5 व E = 2 × 10⁶ V/m से P = 8.854 × 10⁻¹² × 4 × 2 × 10⁶ = 7.08 × 10⁻⁵ C/m²। ध्रुवणीयता α व घनत्व N के परमाणुओं की तनु गैस हेतु ε_r − 1 ≈ Nα/ε₀; सघन अध्रुवीय ठोसों हेतु क्लॉज़ियस-मोसोटी रूप (ε_r − 1)/(ε_r + 2) = Nα/3ε₀ प्रयुक्त होता है।

ध्रुवण क्रियाविधियाँ, सबसे मंद से सबसे तीव्र
क्रियाविधि	उद्गम	क्षेत्र का अनुसरण लगभग इस आवृत्ति तक
आयतनी आवेश (अंतरापृष्ठीय)	कण-सीमाओं व अंतरापृष्ठों पर फँसा आवेश	निम्न आवृत्तियाँ, श्रव्य परास तक
अभिविन्यासी (द्विध्रुवी)	स्थायी द्विध्रुव (जैसे जल) क्षेत्र की ओर घूमते हैं; T के साथ घटता	माइक्रोवेव परास तक
आयनिक	आयनिक क्रिस्टल में धनायन व ऋणायन विस्थापित	अवरक्त, लगभग 10¹² से 10¹³ Hz
इलेक्ट्रॉनिक	इलेक्ट्रॉन-मेघ नाभिक के सापेक्ष खिसकता है; सभी पदार्थों में उपस्थित	प्रकाशिक व पराबैंगनी, लगभग 10¹⁵ Hz

आवृत्ति बढ़ने पर ε_r सोपानों में घटता है, सबसे मंद क्रियाविधि पहले छूटती है; प्रत्येक सोपान के साथ परावैद्युत हानि (tan δ = ε″/ε′) में शिखर आता है। प्रकाशिक आवृत्ति पर केवल इलेक्ट्रॉनिक क्रियाविधि शेष रहती है, अतः ε_r(प्रकाशिक) = n², अपवर्तनांक का वर्ग।

7. दाब-विद्युत व लौह-विद्युत व्यवहार

दाब-विद्युत (piezoelectric) क्रिस्टल आरोपित प्रतिबल पर आवेश (ध्रुवण) विकसित करता है, और आरोपित क्षेत्र में विकृत होता है (प्रतिलोम प्रभाव)। इसके लिए क्रिस्टल संरचना सममिति-केंद्र रहित होनी चाहिए, ताकि यांत्रिक विस्थापन धनात्मक व ऋणात्मक आवेश-केंद्रों को एक-दूसरे के सापेक्ष खिसका दे। प्रत्यक्ष प्रभाव: P = dσ (d, C/N में); प्रतिलोम: विकृति = dE (d, m/V में)। उदाहरण: क्वार्ट्ज़, ZnO व लेड ज़िर्कोनेट टाइटेनेट (PZT)। उपयोग: संवेदक, पराश्रव्य ट्रांसड्यूसर, प्रज्वलक व क्वार्ट्ज़ दोलित्र।

लौह-विद्युत (ferroelectric) एक दाब-विद्युत (वस्तुतः ध्रुवीय) क्रिस्टल है जिसमें स्वतः ध्रुवण होता है जिसे आरोपित क्षेत्र उलट सकता है। क्षेत्र के विरुद्ध ध्रुवण अवशिष्ट ध्रुवण P_r व निग्राहिता क्षेत्र E_c वाला शैथिल्य पाश (hysteresis loop) बनाता है। संरेखित द्विध्रुवों के डोमेन बनते हैं, जैसे लौह-चुंबकों में। क्यूरी ताप T_C से ऊपर क्रिस्टल अनुविद्युत (paraelectric) हो जाता है और उसकी विद्युतशीलता क्यूरी-वाइस नियम ε_r ≈ C/(T − T_C) का पालन करती है। बेरियम टाइटेनेट मानक उदाहरण है (T_C लगभग 120 °C; T_C से नीचे Ti आयन ऑक्सीजन अष्टफलक में केंद्र से हटा रहता है)। T_C के निकट ε_r बहुत उच्च होती है; उपयोग संधारित्रों व स्मृतियों में है।

⚠️ वर्गों का अंतर्विन्यास

प्रत्येक लौह-विद्युत दाब-विद्युत होता है, पर प्रत्येक दाब-विद्युत लौह-विद्युत नहीं: क्वार्ट्ज़ दाब-विद्युत है पर उसका ध्रुवण उत्क्रमित नहीं किया जा सकता। केंद्र-सममित क्रिस्टल इनमें से कुछ भी नहीं हो सकता। T_C से ऊपर लौह-विद्युत स्वतः ध्रुवण खो देता है, और यदि उस प्रावस्था में सममिति-केंद्र है तो दाब-विद्युतता भी।

मुख्य बिंदु

ड्रूडे: σ = ne²τ/m = neμ, जहाँ μ = eτ/m; अपवाह चाल mm/s है जबकि फ़र्मी चाल लगभग 10⁶ m/s। ड्रूडे इलेक्ट्रॉनिक विशिष्ट ऊष्मा, ρ ∝ T, माध्य मुक्त पथ, अचालकों व धनात्मक हॉल चिह्नों पर विफल है।
मुक्त इलेक्ट्रॉन गैस: E_F = (ħ²/2m)(3π²n)^(2/3) ∝ n^(2/3), g(E) ∝ √E, g(E_F) = 3n/2E_F; केवल E_F के लगभग k_BT के भीतर के इलेक्ट्रॉन मायने रखते हैं, इसीलिए धातुओं की इलेक्ट्रॉनिक ऊष्मा-धारिता छोटी है।
बैंड ब्लॉख तरंगों के ब्रैग परावर्तन से बनते हैं; आंशिक भरा बैंड चालन करता है, पूर्ण बैंड नहीं (अतिव्यापन द्विसंयोजी धातुओं को बचा लेता है)। m\* = ħ²/(d²E/dk²); होल संयोजकता बैंड की रिक्त अवस्थाएँ हैं।
अर्धचालक: n_i ∝ T^(3/2) exp(−E_g/2k_BT), np = n_i², σ = e(nμ_e + pμ_h); अपमिश्रण बहुसंख्यक वाहक तय करता है, और T बढ़ने पर हिमन, संतृप्ति व नैज क्षेत्र आते हैं।
धारा अपवाह और विसरण का योग है, जिसमें D/μ = k_BT/e। हॉल: R_H = 1/(nq) = V_Ht/(IB); इलेक्ट्रॉनों हेतु ऋणात्मक, होलों हेतु धनात्मक, और t, B के अनुदिश मोटाई है।
परावैद्युत: P = ε₀(ε_r − 1)E; आवृत्ति के साथ क्रियाविधियाँ छूटती हैं (आयतनी आवेश, अभिविन्यासी, आयनिक, इलेक्ट्रॉनिक)। दाब-विद्युतता हेतु सममिति-केंद्र नहीं होना चाहिए; लौह-विद्युत में T_C से नीचे उत्क्रमणीय स्वतः ध्रुवण जुड़ता है।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

धातुओं के बारे में निम्नलिखित में से कौन-सा प्रेक्षण ड्रूडे के चिरसम्मत चालन मॉडल द्वारा समझाया नहीं जा पाता?
1. धातु के तार में आरोपित विद्युत क्षेत्र के समानुपाती धारा घनत्व, J = σE, जहाँ σ, E से स्वतंत्र है
2. स्थिर श्रांति-काल पर, चालन इलेक्ट्रॉनों के घनत्व के अनुपात में चालकता का बढ़ना
3. कक्ष ताप पर धातु की ऊष्मा-धारिता में चालन इलेक्ट्रॉनों का अत्यल्प अंश
4. धारावाही तार का जूल तापन, जब इलेक्ट्रॉन संघट्टों में अपनी अपवाह ऊर्जा जालक को दे देते हैं
उत्तर देखें
उत्तर: C — कक्ष ताप पर धातु की ऊष्मा-धारिता में चालन इलेक्ट्रॉनों का अत्यल्प अंश
ड्रूडे ओम का नियम, σ ∝ n और जूल तापन संघट्टों से सीधे देता है। परंतु इलेक्ट्रॉनों को चिरसम्मत गैस मानने पर प्रत्येक को 3/2 k_B मिलता है, जो जालक की ऊष्मा-धारिता में स्पष्ट जुड़ता; मापी गई धातुओं में यह लगभग नहीं दिखता। इसे समझाने हेतु पाउली सिद्धांत व फ़र्मी-डिरैक सांख्यिकी चाहिए।
किसी धातु के मुक्त-इलेक्ट्रॉन मॉडल में T = 0 पर इलेक्ट्रॉन घनत्व को दुगुना किया जाता है (जैसे दाब लगाकर, इलेक्ट्रॉनों की संख्या अपरिवर्तित रहे)। फ़र्मी ऊर्जा किस गुणक से बदलती है?
1. यह दुगुनी हो जाती है, गुणक 2
2. यह 2^(2/3) गुनी हो जाती है, लगभग 1.59
3. यह 2^(1/3) गुनी हो जाती है, लगभग 1.26
4. यह चार गुनी हो जाती है, गुणक 4
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उत्तर: B — यह 2^(2/3) गुनी हो जाती है, लगभग 1.59
E_F = (ħ²/2m)(3π²n)^(2/3), अतः E_F ∝ n^(2/3) और n दुगुना करने पर 2^(2/3) = 1.587। गुणक 2^(1/3) k_F में परिवर्तन है, E_F में नहीं, और E_F, n के रैखिक नहीं है।
बैंड सिद्धांत में नैज अर्धचालक को अचालक से क्या अलग करता है?
1. केवल k_BT के सापेक्ष बैंड अंतराल का परिमाण, जो ऊष्मीय उत्तेजित वाहकों का घनत्व तय करता है
2. अर्धचालक का चालन बैंड 0 K पर ही आंशिक भरा होता है, जबकि अचालक का रिक्त
3. अर्धचालक का संयोजकता बैंड 0 K पर केवल आधा भरा होता है, जबकि अचालक का पूर्णतः भरा
4. अर्धचालक में कोई वर्जित बैंड होता ही नहीं, जबकि अचालक में चौड़ा होता है
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उत्तर: A — केवल k_BT के सापेक्ष बैंड अंतराल का परिमाण, जो ऊष्मीय उत्तेजित वाहकों का घनत्व तय करता है
दोनों में 0 K पर संयोजकता बैंड पूर्ण व चालन बैंड रिक्त होता है; अंतर अंतराल का है (Si हेतु लगभग 1 eV, अचालक हेतु कई eV), जो तय करता है कि k_BT कितने वाहक उत्तेजित कर सकती है। आंशिक भरा बैंड धातु का वर्णन है। अर्धचालक में वर्जित अंतराल होता है।
दो चालन बैंड अपने न्यूनतम के निकट E₁(k) = Ak² व E₂(k) = 4Ak² हैं, A वही स्थिरांक है। दोनों बैंडों के इलेक्ट्रॉनों का श्रांति-काल τ समान है। m* = ħ²/(d²E/dk²) लेकर इलेक्ट्रॉन गतिशीलताओं का अनुपात μ₂/μ₁ क्या है?
1. 1/4, क्योंकि अधिक वक्रता वाले बैंड का वाहक भारी होता है
2. 2, क्योंकि द्रव्यमान वक्रता के वर्गमूल के अनुसार बदलता है
3. 16, क्योंकि गतिशीलता वक्रता के वर्ग के अनुसार बदलती है
4. 4, क्योंकि m* चार गुना छोटा है और μ = eτ/m* चार गुनी है
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उत्तर: D — 4, क्योंकि m* चार गुना छोटा है और μ = eτ/m* चार गुनी है
बैंड 1 हेतु d²E/dk² = 2A और बैंड 2 हेतु 8A, अतः m₂ = m₁/4। समान τ पर μ = eτ/m* से μ₂/μ₁ = 4। भ्रामक 1/4 नियम उलट देता है: प्रबल वक्रता का अर्थ हल्का वाहक है, भारी नहीं।
सिलिकन क्रिस्टल को थोड़े बोरॉन से अपमिश्रित किया गया है। कौन-सा वर्णन सही है?
1. बोरॉन दाता है; यह ऋणात्मक हॉल गुणांक वाला n-प्रकार क्रिस्टल बनाता है
2. बोरॉन ग्राही है; होल बहुसंख्यक वाहक बनते हैं और हॉल गुणांक धनात्मक है
3. बोरॉन ग्राही है; इसके स्तर चालन बैंड के ठीक नीचे हैं और इलेक्ट्रॉन बहुसंख्यक वाहक हैं
4. बोरॉन सिलिकन में उदासीन है और केवल जालक-स्थिरांक बदलता है, वाहक घनत्व अपरिवर्तित रहता है
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उत्तर: B — बोरॉन ग्राही है; होल बहुसंख्यक वाहक बनते हैं और हॉल गुणांक धनात्मक है
बोरॉन समूह III में है और सिलिकन से एक संयोजी इलेक्ट्रॉन कम रखता है, अतः संयोजकता बैंड से इलेक्ट्रॉन ग्रहण कर होल छोड़ता है: p-प्रकार, R_H > 0। ग्राही स्तर संयोजकता बैंड-किनारे के ठीक ऊपर होते हैं, चालन बैंड के नीचे नहीं।
300 K पर n-प्रकार सिलिकन नमूने में N_D = 5.0 × 10²¹ m⁻³ दाता अपमिश्रित हैं, सभी आयनित। नैज सांद्रता n_i = 1.5 × 10¹⁶ m⁻³ है। द्रव्य-क्रिया नियम से होल सांद्रता लगभग है
1. 4.5 × 10¹⁰ m⁻³
2. 1.5 × 10¹⁶ m⁻³
3. 5.0 × 10²¹ m⁻³
4. 2.3 × 10³² m⁻³
उत्तर देखें
उत्तर: A — 4.5 × 10¹⁰ m⁻³
n ≈ N_D = 5.0 × 10²¹ m⁻³ और p = n_i²/n = (1.5 × 10¹⁶)²/(5.0 × 10²¹) = 2.25 × 10³²/5.0 × 10²¹ = 4.5 × 10¹⁰ m⁻³। 1.5 × 10¹⁶ तभी होता जब क्रिस्टल नैज होता; 2.3 × 10³², n_i² है जिसमें भाग देना छूट गया।
एक शुद्ध (अनपमिश्रित) अर्धचालक में इलेक्ट्रॉन व होल सांद्रताएँ बराबर हैं, n = p, पर μ_e = 3 μ_h। इस नमूने का हॉल गुणांक है
1. धनात्मक, क्योंकि होल धनात्मक आवेश ले जाते हैं और बराबर संख्या में हैं
2. ठीक शून्य, क्योंकि इलेक्ट्रॉनों व होलों की बराबर संख्याएँ सदा हॉल वोल्टता निरस्त कर देती हैं
3. ऋणात्मक, क्योंकि अधिक गतिशील इलेक्ट्रॉन हावी हैं: R_H ∝ (pμ_h² − nμ_e²)
4. अपरिभाषित, क्योंकि हॉल प्रभाव केवल तब होता है जब एक ही प्रकार का वाहक हो
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उत्तर: C — ऋणात्मक, क्योंकि अधिक गतिशील इलेक्ट्रॉन हावी हैं: R_H ∝ (pμ_h² − nμ_e²)
R_H = (pμ_h² − nμ_e²)/[e(pμ_h + nμ_e)²]। n = p हो तो अंश n(μ_h² − μ_e²) = n μ_h²(1 − 9) < 0, अतः R_H ऋणात्मक है। यह तभी शून्य होती जब μ_e = μ_h होती। मिश्रित चालन में हॉल प्रभाव भली-भाँति परिभाषित है; वह बस प्रत्येक वाहक को μ² से भारित करता है।
300 K पर p-प्रकार सिलिकन छड़ में होलों की गतिशीलता μ_h = 0.045 m²/V·s है, जहाँ k_BT/e = 0.02585 V। आइंस्टाइन संबंध से होल विसरण गुणांक D_h है
1. 1.74 m²/s
2. 5.7 × 10⁻² m²/s
3. 4.5 × 10⁻² m²/s
4. 1.16 × 10⁻³ m²/s
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उत्तर: D — 1.16 × 10⁻³ m²/s
D = μ k_BT/e = 0.045 × 0.02585 = 1.163 × 10⁻³ m²/s। गुणा करने के बजाय भाग देने पर 0.045/0.02585 = 1.74 आता है, और अन्य विकल्प k_BT/e गुणक छोड़ देते हैं।
एक ध्रुवीय सिरेमिक की विद्युतशीलता विस्तृत आवृत्ति परास में मापी जाती है। निम्नतम आवृत्तियों पर ε_r बड़ी होती है और सोपानों में घटती है। माइक्रोवेव क्षेत्र में आने वाले सोपान में मंदतम द्विध्रुव क्षेत्र का अनुसरण नहीं कर पाते। इस सोपान पर कौन-सी क्रियाविधि योगदान देना बंद करती है?
1. स्थायी द्विध्रुवों का अभिविन्यासी ध्रुवण, जो पर्याप्त तेज़ी से घूम नहीं पाते
2. इलेक्ट्रॉनिक ध्रुवण, क्योंकि इलेक्ट्रॉन-मेघ चलने वाली सबसे भारी वस्तु है
3. आयनिक ध्रुवण, जो सदा श्रव्य परास पर समाप्त हो जाता है
4. सभी क्रियाविधियाँ एक साथ, क्योंकि माइक्रोवेव परास से आगे ε_r शून्य हो जाती है
उत्तर देखें
उत्तर: A — स्थायी द्विध्रुवों का अभिविन्यासी ध्रुवण, जो पर्याप्त तेज़ी से घूम नहीं पाते
स्थायी द्विध्रुव को जालक या तरल में घुमाना मंद प्रक्रिया है और माइक्रोवेव परास तक छूट जाती है। आयनिक ध्रुवण अवरक्त तक और इलेक्ट्रॉनिक पराबैंगनी तक बना रहता है, अतः ये दोनों शेष रहते हैं। इलेक्ट्रॉन-मेघ सबसे हल्का चलने वाला भाग है, भारी नहीं, और ε_r कभी 1 से नीचे नहीं जाती।
कौन-सा क्रिस्टल निश्चित रूप से प्रत्यक्ष दाब-विद्युत प्रभाव नहीं दिखाएगा?
1. सेंधा-नमक प्रकार का घन क्रिस्टल, जिसकी संरचना में प्रतिलोमन सममिति-केंद्र है
2. क्वार्ट्ज़, जिसकी क्रिस्टल संरचना में सममिति-केंद्र बिल्कुल नहीं है
3. ट्रांसड्यूसरों में प्रयुक्त ध्रुवित लेड ज़िर्कोनेट टाइटेनेट सिरेमिक
4. षट्कोणीय वर्टज़ाइट संरचना में ज़िंक ऑक्साइड
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उत्तर: A — सेंधा-नमक प्रकार का घन क्रिस्टल, जिसकी संरचना में प्रतिलोमन सममिति-केंद्र है
प्रतिबल में केंद्र-सममित क्रिस्टल धनात्मक व ऋणात्मक आवेश-केंद्रों को साथ-साथ खिसकाता है, अतः कोई शुद्ध द्विध्रुव नहीं बनता: दाब-विद्युतता नहीं। क्वार्ट्ज़, वर्टज़ाइट ZnO व ध्रुवित PZT में सममिति-केंद्र नहीं है और ये दाब-विद्युत हैं।
किसी धातु के मुक्त-इलेक्ट्रॉन (फ़र्मी गैस) मॉडल के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. फ़र्मी पृष्ठ k-आकाश में त्रिज्या k_F = (3π²n)^(1/3) का गोला है
2. T = 0 पर E_F से नीचे की प्रत्येक अवस्था में विपरीत चक्रण के दो इलेक्ट्रॉन होते हैं और ऊपर की प्रत्येक अवस्था रिक्त होती है
3. अवस्था घनत्व √E के अनुसार बढ़ता है, और E_F पर प्रति इकाई आयतन 3n/(2E_F) होता है
4. कक्ष ताप पर औसत चालन इलेक्ट्रॉन की ऊष्मीय ऊर्जा E_F की कोटि की होती है, अतः सभी इलेक्ट्रॉन ऊष्मा-चालन में भाग लेते हैं
उत्तर देखें
उत्तर: A — फ़र्मी पृष्ठ k-आकाश में त्रिज्या k_F = (3π²n)^(1/3) का गोला है; B — T = 0 पर E_F से नीचे की प्रत्येक अवस्था में विपरीत चक्रण के दो इलेक्ट्रॉन होते हैं और ऊपर की प्रत्येक अवस्था रिक्त होती है; C — अवस्था घनत्व √E के अनुसार बढ़ता है, और E_F पर प्रति इकाई आयतन 3n/(2E_F) होता है
फ़र्मी गोले, T = 0 अधिग्रहण और अवस्था-घनत्व वाले कथन मॉडल के मानक परिणाम हैं। सभी इलेक्ट्रॉनों के ऊष्मीय रूप से सक्रिय होने का दावा गलत है: k_BT लगभग 0.026 eV है जबकि E_F कई eV है, अतः केवल E_F के निकट का छोटा अंश (लगभग T/T_F) ऊष्मीय रूप से उत्तेजित हो सकता है।
अर्धचालकों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. नैज अर्धचालक में वाहक घनत्व ताप के साथ मुख्यतः गुणक exp(−E_g/2k_BT) के कारण बढ़ता है
2. ऊष्मीय साम्य में अपमिश्रित क्रिस्टल में भी गुणनफल np, n_i² के बराबर रहता है, अतः दाता अपमिश्रण से n बढ़ाने पर p घटता है
3. दाता-अपमिश्रित क्रिस्टल पर शुद्ध ऋणात्मक आवेश होता है, क्योंकि उसमें अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन हैं
4. शुद्ध धातु की प्रतिरोधकता ताप बढ़ने पर घटती है क्योंकि अधिक इलेक्ट्रॉन अंतराल के पार उत्तेजित होते हैं
उत्तर देखें
उत्तर: A — नैज अर्धचालक में वाहक घनत्व ताप के साथ मुख्यतः गुणक exp(−E_g/2k_BT) के कारण बढ़ता है; B — ऊष्मीय साम्य में अपमिश्रित क्रिस्टल में भी गुणनफल np, n_i² के बराबर रहता है, अतः दाता अपमिश्रण से n बढ़ाने पर p घटता है
exp(−E_g/2k_BT) वृद्धि वाला और np = n_i² वाला कथन सही हैं। दाता-अपमिश्रित क्रिस्टल के कुल ऋणात्मक होने का दावा गलत है: प्रत्येक आयनित दाता धनात्मक आयन छोड़ता है, अतः क्रिस्टल कुल मिलाकर उदासीन रहता है। शुद्ध धातु की प्रतिरोधकता के T बढ़ने पर घटने का दावा गलत है: धातु में उत्तेजित करने हेतु अंतराल नहीं होता, n स्थिर है और जालक प्रकीर्णन बढ़ने से ρ, T के साथ बढ़ती है।
परावैद्युत, दाब-विद्युत व लौह-विद्युत व्यवहार के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. दाब-विद्युतता हेतु क्रिस्टल संरचना में सममिति-केंद्र नहीं होना चाहिए
2. बेरियम टाइटेनेट अपने क्यूरी ताप से ऊपर अनुविद्युत होता है, जिसकी विद्युतशीलता क्यूरी-वाइस नियम का पालन करती है
3. प्रत्येक दाब-विद्युत क्रिस्टल लौह-विद्युत भी होता है, क्योंकि दोनों में उत्क्रमणीय स्वतः ध्रुवण होता है
4. अचुंबकीय, दुर्बल अवशोषी ठोस हेतु प्रकाशिक आवृत्ति पर ε_r लगभग अपवर्तनांक का वर्ग होती है
उत्तर देखें
उत्तर: A — दाब-विद्युतता हेतु क्रिस्टल संरचना में सममिति-केंद्र नहीं होना चाहिए; B — बेरियम टाइटेनेट अपने क्यूरी ताप से ऊपर अनुविद्युत होता है, जिसकी विद्युतशीलता क्यूरी-वाइस नियम का पालन करती है; D — अचुंबकीय, दुर्बल अवशोषी ठोस हेतु प्रकाशिक आवृत्ति पर ε_r लगभग अपवर्तनांक का वर्ग होती है
सममिति-केंद्र, बेरियम टाइटेनेट की पैराविद्युत प्रावस्था और ε_r ≈ n² वाले कथन सही हैं। हर दाब-विद्युत के लौह-विद्युत होने का दावा गलत है: क्वार्ट्ज़ दाब-विद्युत है, पर उसका ध्रुवण स्वतः या उत्क्रमणीय नहीं, अतः वह लौह-विद्युत नहीं। लौह-विद्युत, दाब-विद्युतों का उपसमुच्चय हैं।
किसी धातु का मुक्त-इलेक्ट्रॉन घनत्व n = 2.65 × 10²⁸ m⁻³ है। T = 0 पर मुक्त-इलेक्ट्रॉन मॉडल लें, ħ = 1.055 × 10⁻³⁴ J·s, m = 9.109 × 10⁻³¹ kg और 1 eV = 1.602 × 10⁻¹⁹ J के साथ। फ़र्मी ऊर्जा ____ eV है (दो दशमलव स्थानों तक उत्तर दें)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 3.24
k_F = (3π² × 2.65 × 10²⁸)^(1/3) = (7.846 × 10²⁹)^(1/3) = 9.22 × 10⁹ m⁻¹। E_F = ħ²k_F²/2m = (1.113 × 10⁻⁶⁸ × 8.51 × 10¹⁹)/(1.8218 × 10⁻³⁰) = 5.20 × 10⁻¹⁹ J = 3.24 eV।
ताँबे में n = 8.5 × 10²⁸ m⁻³ और कक्ष ताप पर चालकता σ = 5.9 × 10⁷ S/m है। ड्रूडे मॉडल लें, m = 9.109 × 10⁻³¹ kg और e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C के साथ। श्रांति-काल ____ × 10⁻¹⁴ s है (दो दशमलव स्थानों तक उत्तर दें)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 2.46
τ = σm/(ne²) = (5.9 × 10⁷ × 9.109 × 10⁻³¹)/(8.5 × 10²⁸ × (1.602 × 10⁻¹⁹)²) = 5.374 × 10⁻²³/(2.181 × 10⁻⁹) = 2.46 × 10⁻¹⁴ s।
एक पतली पट्टी 5.0 mA धारा ले जाती है और चुंबकीय क्षेत्र B = 0.50 T उसके फलक के लंबवत, मोटाई की दिशा में लगा है। B के अनुदिश मोटाई t = 0.20 mm है और मापी गई हॉल वोल्टता 12.5 mV है। केवल एक प्रकार का वाहक है, e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C। वाहक घनत्व ____ × 10²¹ m⁻³ है (दो दशमलव स्थानों तक उत्तर दें)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 6.24
V_H = IB/(n e t), अतः n = IB/(e t V_H) = (5.0 × 10⁻³ × 0.50)/(1.602 × 10⁻¹⁹ × 2.0 × 10⁻⁴ × 12.5 × 10⁻³) = 2.5 × 10⁻³/(4.005 × 10⁻²⁵) = 6.24 × 10²¹ m⁻³।
एक n-प्रकार सिलिकन नमूने में दाता घनत्व N_D = 3.0 × 10²² m⁻³ है, सभी आयनित, और इलेक्ट्रॉन गतिशीलता μ_e = 0.12 m²/V·s है। होल का योगदान नगण्य है। e = 1.602 × 10⁻¹⁹ C लेकर चालकता ____ S/m है (पूर्णांक में उत्तर दें)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 577
σ = n e μ_e = 3.0 × 10²² × 1.602 × 10⁻¹⁹ × 0.12 = 4.806 × 10³ × 0.12 = 576.7 S/m, जो पूर्णांक में 577 है।
सिलिकन की नैज वाहक सांद्रता n_i ∝ T^(3/2) exp(−E_g/2k_BT) लें, जहाँ E_g = 1.12 eV (T से स्वतंत्र) और k_B = 8.617 × 10⁻⁵ eV/K। अनुपात n_i(360 K)/n_i(300 K) ____ है (एक दशमलव स्थान तक उत्तर दें)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 48.6
(360/300)^1.5 = 1.3145। घातांक = (1.12/(2 × 8.617 × 10⁻⁵)) × (1/300 − 1/360) = 6498.8 × 5.5556 × 10⁻⁴ = 3.6104, और exp(3.6104) = 36.98। अनुपात 1.3145 × 36.98 = 48.6।