Crystals A and B have the same bonding energy per atom (the same depth of the potential well U(r)), but the well of A is narrower, with a larger curvature (d²U/dr²) at the equilibrium separation r₀ than the well of B. Their equilibrium spacings are equal. Which statement about their Young’s moduli is correct?

E_A > E_B, because E ≈ S₀/r₀ and the bond stiffness S₀ is the curvature of U(r) at r₀

E_B > E_A, because a wider well lets the atoms vibrate over a larger range and so holds them more firmly

E_A = E_B, because the modulus depends only on the depth of the well, which is the same for both

E_A > E_B, because E ≈ S₀/r₀ and the bond stiffness S₀ is the curvature of U(r) at r₀

No comparison is possible, because the modulus is fixed by the dislocation density of each crystal

Frenkel’s model for a perfect crystal predicts a shear strength of about G/2π, but annealed pure metal crystals yield at a stress thousands of times smaller. What is the accepted resolution of this discrepancy?

Slip occurs by dislocation glide, which strains only the bonds along the line at any instant, not a whole plane at once

The shear modulus G of a real crystal is several thousand times smaller than the value that was used in the Frenkel estimate

Frenkel’s calculation describes tensile cleavage of bonds, which has no connection with shear of the lattice planes at all

Vacancies weaken every bond in the crystal, so all the bonds across a slip plane break together at a much lower stress

At room temperature a polycrystal of an HCP metal such as magnesium is much less ductile than a polycrystal of an FCC metal such as copper. Which reason is correct?

Easy slip is confined to three basal systems, fewer than the five independent systems an arbitrary shape change needs

Slip in HCP metals can occur only along directions that are not close-packed, which raises the critical resolved shear stress

HCP crystals contain no close-packed planes, so dislocations cannot glide on any plane at all, at any temperature

The Burgers vector of every dislocation in HCP is larger than the atomic spacing, so the Peierls stress is infinite

Easy slip is confined to three basal systems, fewer than the five independent systems an arbitrary shape change needs

A single crystal is loaded in uniaxial tension along an axis perpendicular to the slip direction of a given slip system (so λ = 90°). Which statement about slip on that system is correct?

No slip occurs on that system at any tensile stress, because cos λ = 0 makes the resolved shear stress zero

Slip begins at σ = 2τ_CRSS, the lowest yield stress any orientation can give, since the Schmid factor has its maximum

No slip occurs on that system at any tensile stress, because cos λ = 0 makes the resolved shear stress zero

Slip begins at σ = τ_CRSS, because the whole load then acts along the slip plane as a pure shear

Slip is only delayed, because τ_CRSS itself rises towards infinity as λ approaches 90°

Among the four classical routes of strengthening a metal (strain hardening, solid-solution hardening, precipitation hardening and grain-size refinement), which is generally credited with raising the yield strength and the toughness together?

Grain-size refinement, because more boundaries block both dislocation motion and crack extension

Strain hardening, because the extra dislocations also blunt the tips of cracks and so resist their extension

Precipitation hardening, because coherent particles make the crack paths much longer at peak ageing

Grain-size refinement, because more boundaries block both dislocation motion and crack extension

Solid-solution hardening, because the solute strain fields smooth out the stress concentrations at flaws

An age-hardenable alloy is held at a fixed ageing temperature and its hardness is measured against time. It rises to a peak and then falls. Which explanation of the fall (over-ageing) is correct?

The precipitates coarsen and their spacing L grows, so dislocations bow between them more easily, Δτ ≈ Gb/L

The precipitates dissolve completely back into the matrix at the ageing temperature, restoring a single-phase solid solution

Prolonged ageing multiplies the dislocation density, and the Taylor term then reduces the hardness

The elastic modulus of the matrix falls with ageing time, and hardness is proportional to the modulus

A glass plate with an internal crack of total length 2a fractures in tension at stress σ_f. An identical plate has an internal crack of total length 8a. Using the Griffith criterion for the same plane-stress conditions, its fracture stress is

σ_f/2, because σ_f ∝ a^(−1/2) and the crack length has increased fourfold

σ_f/4, because the stress concentration at the tip grows in proportion to the crack length

σ_f/16, because the elastic energy released varies as the square of the crack length

σ_f/√2, because only the half-length of the crack enters the energy balance

σ_f/2, because σ_f ∝ a^(−1/2) and the crack length has increased fourfold

Continuous aligned carbon fibres (E_f = 230 GPa) occupy a volume fraction of 0.60 in an epoxy matrix (E_m = 3.0 GPa). The composite is loaded perpendicular to the fibres and the two phases carry the same stress (iso-stress). Its modulus in that direction, in GPa, is closest to

7.4, from 1/E = V_f/E_f + V_m/E_m

139, the weighted sum E_f V_f + E_m V_m

7.4, from 1/E = V_f/E_f + V_m/E_m

5.0, from the same expression with the two volume fractions swapped

117, the simple average of the two moduli

A component is cycled between a maximum stress of 240 MPa (tension) and a minimum stress of −60 MPa (compression). Its stress amplitude σ_a and stress ratio R = σ_min/σ_max are

σ_a = 150 MPa and R = −0.25, because the amplitude is half the range

σ_a = 300 MPa and R = −0.25, because the amplitude is the full range

σ_a = 150 MPa and R = −4, because R is the ratio of the larger stress to the smaller

σ_a = 150 MPa and R = −0.25, because the amplitude is half the range

σ_a = 90 MPa and R = −0.25, because the amplitude is the mean stress

A fine-grained ceramic creeps at a moderate temperature and low stress by Coble creep, in which atoms diffuse along grain boundaries and the strain rate is linear in stress. If the grain size is doubled with temperature and stress unchanged, the creep rate becomes

1/8 of its value, since Coble creep rate varies as d⁻³

1/4 of its value, since the rate varies as d⁻² for all diffusional creep

1/2 of its value, since the number of boundaries per unit length halves

Unchanged, since creep depends only on stress and temperature, not on the microstructure

Which of the following statements about strengthening mechanisms are correct?

Plastic deformation raises the dislocation density, and the resulting strain hardening makes σ_y rise roughly as √ρ

In solid-solution hardening the strain field around a misfitting solute atom interacts elastically with dislocations and hinders their glide

Grain boundaries strengthen because dislocations pile up against them and cannot pass easily into a neighbouring grain of different orientation

Plastic deformation raises the dislocation density, and the resulting strain hardening makes σ_y rise roughly as √ρ

In solid-solution hardening the strain field around a misfitting solute atom interacts elastically with dislocations and hinders their glide

Grain boundaries strengthen because dislocations pile up against them and cannot pass easily into a neighbouring grain of different orientation

A precipitation-hardened alloy is strongest when the precipitates are as large as possible, so ageing for longer always increases the strength

Which of the following statements about creep of a crystalline metal at constant stress and high temperature are correct?

In primary creep the strain rate falls with time because strain hardening outpaces recovery

In secondary (steady-state) creep the nearly constant rate reflects a balance between hardening and recovery

In primary creep the strain rate falls with time because strain hardening outpaces recovery

In secondary (steady-state) creep the nearly constant rate reflects a balance between hardening and recovery

Dislocation creep has a stress exponent n of exactly 1 and a strong dependence on grain size

Tertiary creep is a stage of falling strain rate in which the metal becomes stronger until the test is stopped

Which of the following are expected to lengthen the fatigue life of a steel shaft cycled at a fixed stress amplitude?

Shot peening the surface to introduce compressive residual stress

Polishing the surface to remove scratches and machining marks

Cutting a keyway with sharp internal corners instead of generous fillet radii

Shot peening the surface to introduce compressive residual stress

Leaving a tensile residual stress in the surface after welding or grinding

Polishing the surface to remove scratches and machining marks

यांत्रिक गुण: प्रत्यास्थता, सर्पण, सुदृढ़ीकरण, विभंजन, श्रांति, विसर्पण तथा संयुक्त पदार्थ

यह अध्याय XE2 पदार्थ विज्ञान के खंड XE2.3 (पदार्थों के गुण एवं अनुप्रयोग) के पहले अनुच्छेद का उत्तर देता है, जो अभियांत्रिकी विज्ञान (XE) पेपर के नौ वैकल्पिक खंडों में से एक है; परीक्षा में अभ्यर्थी इनमें से कोई दो चुनता है: “यांत्रिक गुण: प्रत्यास्थ व सुघट्य विरूपण; परमाण्वीय आबंधन व प्रत्यास्थता; पूर्ण क्रिस्टलों की अपरूपण सामर्थ्य; सर्पण व डिस्लोकेशन गति द्वारा सुघट्य विरूपण; सुदृढ़ीकरण क्रियाविधियाँ: विकृति-कठोरीकरण, ठोस विलयन कठोरीकरण, अवक्षेपण कठोरीकरण, कण-आकार परिष्करण; ग्रिफ़िथ विभंजन सिद्धांत (पाठ में ‘Grifith’ छपा है); श्रांति: चक्रीय भारण, S-N वक्र, दरार का आरंभ व प्रसार; क्रिस्टलीय पदार्थों में विसर्पण: विसर्पण की अवस्थाएँ व क्रियाविधियाँ; संयुक्त पदार्थ: कण व तंतु प्रबलित संयुक्त पदार्थ; प्रत्यास्थता गुणांक (मिश्रण नियम)।” यह सिखाता है कि आबंध की कठोरता गुणांक कैसे तय करती है, वास्तविक क्रिस्टल फ्रेंकेल सामर्थ्य से इतना नीचे क्यों पराभव करते हैं, श्मिड का नियम, चारों सुदृढ़ीकरण क्रियाविधियाँ, ग्रिफ़िथ ऊर्जा-संतुलन, श्रांति, विसर्पण, तथा संयुक्त पदार्थों की समविकृति व समप्रतिबल सीमाएँ। संख्यात्मक प्रश्न एकल क्रिस्टल का पराभव प्रतिबल, हॉल-पेच मापन, ग्रिफ़िथ प्रतिबल, log-log S-N आयु, अरहीनियस विसर्पण तथा मिश्रण नियम हैं।

1. प्रत्यास्थ व सुघट्य विरूपण; परमाण्वीय आबंधन व प्रत्यास्थता

प्रत्यास्थ विरूपण पुनः प्राप्य है और छोटी विकृति पर रैखिक: तनन में σ = Eε, अपरूपण में τ = Gγ, पार्श्व विकृति = −νε, तथा G = E/[2(1 + ν)]। यह केवल आबंधों का खिंचना है; कोई परमाणु पड़ोसी नहीं बदलता, और भार हटाने पर सब लौट आता है। सुघट्य विरूपण स्थायी है: परमाणु नए पड़ोसियों पर पहुँचते हैं, क्रिस्टलों में सर्पण से, लगभग स्थिर आयतन पर। धातुएँ आधे प्रतिशत से भी कम प्रत्यास्थ विकृति पर पराभव करती हैं, पर फिर दसियों प्रतिशत सुघट्य विकृति सह सकती हैं। पराभव प्रतिबल σ_y प्रत्यास्थ परास का अंत चिह्नित करता है।

आबंध से गुणांक कैसे बनता है। पृथक्करण r पर दो परमाणुओं की ऊर्जा U(r) का न्यूनतम r₀ पर है। बल F = −dU/dr, r₀ पर शून्य है और r₀ के निकट रैखिक, F ≈ −S₀(r − r₀), जहाँ आबंध-कठोरता S₀ = (d²U/dr²), r₀ पर। सरल व्यूह में प्रत्येक परमाणु भार के अभिलंब r₀² क्षेत्रफल का स्वामी है, अतः σ = F/r₀² व ε = (r − r₀)/r₀, जिससे E ≈ S₀/r₀। गुणांक कूप की r₀ पर वक्रता से तय होता है, गहराई से नहीं; चूँकि गहरे कूप तीखे भी होते हैं, E गलनांक व आबंध-सामर्थ्य के साथ बढ़ता है।

आबंधन व गुणांक (सन्निकट मान)
पदार्थ	प्रमुख आबंधन	E (GPa)
हीरा	सहसंयोजी, अति कठोर	≈ 1000
टंगस्टन	धात्विक, उच्च गलनांक	≈ 400
इस्पात (सभी श्रेणियाँ)	धात्विक	≈ 200
ऐलुमिनियम	धात्विक	≈ 70
पॉलिएथिलीन	शृंखला के अनुदिश सहसंयोजी, शृंखलाओं के बीच दुर्बल द्वितीयक आबंध	1 से कम

⚠️ गुणांक संरचना-असंवेदी है; पराभव प्रतिबल नहीं

E आबंधन व क्रिस्टल संरचना पर निर्भर है, अतः कण-आकार, डिस्लोकेशन घनत्व व ऊष्मा उपचार इसे मुश्किल से बदलते हैं: सभी इस्पातों में E ≈ 200 GPa। अधिक कठोर पुर्ज़े हेतु दूसरा पदार्थ या गहरा परिच्छेद चाहिए, अधिक सामर्थ्यवान इस्पात नहीं। इसके विपरीत पराभव सामर्थ्य सूक्ष्म संरचना से दस गुना तक बदलती है।

2. पूर्ण क्रिस्टल की अपरूपण सामर्थ्य, सर्पण व श्मिड का नियम

फ्रेंकेल का आकलन। परमाणुओं के एक तल को अगले पर सरकाइए: अपरूपण प्रतिबल विस्थापन x में आवर्ती है, τ = τ_max sin(2πx/b), जहाँ b सर्पण-दिशा में परमाणु-अंतराल है और a तलों के बीच की दूरी। छोटे x पर हुक का नियम τ = Gγ = Gx/a देता है। x = 0 पर ढालें बराबर करने पर τ_max·2π/b = G/a, अतः b ≈ a हेतु τ_th = Gb/(2πa) ≈ G/2π ≈ G/6 (बेहतर विभव लगभग G/30 से G/10 देते हैं)। तांबे हेतु G ≈ 48 GPa, अतः आकलन कई GPa है, फिर भी शुद्ध अनीलित तांबे का क्रिस्टल लगभग 0.5 MPa के क्रांतिक वियोजित अपरूपण प्रतिबल पर पराभव कर देता है, हज़ारों गुना कम।

यह अंतर डिस्लोकेशनों से पटता है। डिस्लोकेशन सर्पित क्षेत्र को एक बार में परमाणुओं की एक पंक्ति आगे बढ़ाता है, अतः रेखा के अनुदिश केवल कुछ आबंध एक साथ तनित होते हैं, जैसे कालीन को लहर धकेलकर खिसकाना। जालक घर्षण (पाइयर्ल्स प्रतिबल) सघन-संकुलित तलों में सघन-संकुलित दिशाओं में सबसे कम है, जहाँ तल सबसे दूर होते हैं और b सबसे छोटा; यही सर्पण तंत्र हैं। सुघट्य अपरूपण दर ओरोवन समीकरण γ̇ = ρ_m b v̄ का पालन करती है, जहाँ ρ_m गतिशील डिस्लोकेशनों का घनत्व और v̄ उनकी औसत चाल है।

सामान्य संरचनाओं के सर्पण तंत्र
संरचना	सर्पण तल व दिशा	तंत्रों की संख्या
FCC (Al, Cu, Ni) संरचना	{111} ⟨110⟩: 4 तल × 3 दिशाएँ	12
BCC (α-Fe, W)	{110} ⟨111⟩: 6 तल × 2 दिशाएँ (उच्च ताप पर {112}, {123} भी)	{110} पर 12
HCP (Mg, Zn)	आधारी (0001) ⟨11-20⟩: 1 तल × 3 दिशाएँ	3

श्मिड का नियम। एकल क्रिस्टल को अनुप्रस्थ-काट A₀ पर बल F से खींचिए, अतः σ = F/A₀। मान लें φ भार-अक्ष व सर्पण-तल के अभिलंब के बीच का कोण है, और λ भार-अक्ष व सर्पण-दिशा के बीच का कोण। सर्पण-तल का क्षेत्रफल A₀/cos φ है और सर्पण-दिशा के अनुदिश बल-घटक F cos λ, अतः वियोजित अपरूपण प्रतिबल τ_R = σ cos φ cos λ। सर्पण तब आरंभ होता है जब τ_R क्रांतिक वियोजित अपरूपण प्रतिबल τ_CRSS तक पहुँचे, जो दिए गए ताप व शुद्धता पर पदार्थ-स्थिरांक है: σ_y = τ_CRSS/(cos φ cos λ)। श्मिड गुणक m = cos φ cos λ का अधिकतम मान φ = λ = 45° पर 0.5 है। हल उदाहरण: τ_CRSS = 0.5 MPa व φ = 40°, λ = 50° से m = 0.766 × 0.643 = 0.49, अतः σ_y ≈ 1.0 MPa।

⚠️ दोनों कोण मायने रखते हैं, और उनका योग 90° होना आवश्यक नहीं

φ + λ = 90° तभी होता है जब भार-अक्ष, तल-अभिलंब व सर्पण-दिशा एक ही तल में हों। सामान्यतः φ + λ ≥ 90° और m, 0.5 से कम होता है। तल-अभिलंब के अनुदिश (φ = 0) या सर्पण-दिशा के लंबवत (λ = 90°) भारित क्रिस्टल में m = 0 है और σ कितना भी बड़ा हो वह उस तंत्र पर सर्पित नहीं हो सकता।

3. सुदृढ़ीकरण: विकृति, विलेय, अवक्षेप व कण-आकार

प्रत्येक सुदृढ़ीकरण क्रियाविधि एक ही ढंग से काम करती है: वह डिस्लोकेशनों के मार्ग में अवरोध रखती है, ताकि उन्हें गतिमान रखने हेतु अधिक प्रतिबल चाहिए। इनमें से कोई E नहीं बदलती। वन-कठोरीकरण हेतु टेलर संबंध Δτ = αGb√ρ है, जहाँ ρ डिस्लोकेशन घनत्व (m⁻²) है और α लगभग 0.2 से 0.5 का स्थिरांक।

चारों क्रियाविधियों की तुलना
क्रियाविधि	अवरोध व संबंध	मूल्य व सीमा
विकृति (कार्य) कठोरीकरण	डिस्लोकेशन बढ़ते व उलझते हैं; सुघट्य विकृति से ρ बढ़ता है; σ_y ∝ √ρ	तन्यता घटती है; अनीलन पर पुनःक्रिस्टलन से हट जाती है
ठोस विलयन कठोरीकरण	विलेय के विकृति-क्षेत्र (आमाप-असंगति) डिस्लोकेशनों से अंतर्क्रिया करते हैं; विलेय मात्रा व असंगति से सामर्थ्य बढ़ती है	विद्युत चालकता तीव्रता से घटती है
अवक्षेपण कठोरीकरण	सूक्ष्म कण: छोटे संसक्त कण कटते हैं; बड़े कठोर कणों को डिस्लोकेशन झुककर लाँघते हैं, अंतराल L हेतु Δτ ≈ Gb/L	क्रांतिक आमाप पर शिखर; अति-जरण से कण स्थूल होकर नरम करते हैं
कण-आकार परिष्करण	सीमाएँ डिस्लोकेशनों को रोकती हैं, जो ढेर लगाते हैं; σ_y = σ₀ + k_y d^(−1/2)	एकमात्र क्रियाविधि जो सामर्थ्य व दृढ़ता दोनों बढ़ाती है; उच्च ताप पर विफल (विसर्पण)

हॉल-पेच हल उदाहरण। σ₀ = 50 MPa व k_y = 0.6 MPa·m^(1/2) लें। d = 25 µm हेतु d^(−1/2) = (25 × 10⁻⁶)^(−1/2) = 200 m^(−1/2), अतः σ_y = 50 + 0.6 × 200 = 170 MPa। d = 6.25 µm (चार गुना छोटा) हेतु d^(−1/2) = 400, अतः σ_y = 50 + 240 = 290 MPa: d को चौथाई करने पर कण-सीमा पद दोगुना होता है, पूरा पराभव प्रतिबल नहीं।

⚠️ तीन प्रचलित भूलें

हॉल-पेच d^(−1/2) प्रयोग करता है, 1/d नहीं, और k_y की इकाई d की इकाई से मेल खानी चाहिए। यह नैनोक्रिस्टलों (d लगभग दस से बीस नैनोमीटर से कम) में काम करना बंद कर देता है, जहाँ सीमा-सर्पण धातु को नरम कर सकता है। शीत-कर्षण ρ बढ़ाता है; पुनःक्रिस्टलन अनीलन उसे हटाता है।

4. प्रतिबल सांद्रण व ग्रिफ़िथ का विभंजन सिद्धांत

प्रतिबल सांद्रण। दूरस्थ तनन σ में किसी पट्टिका में दीर्घवृत्ताकार छिद्र हेतु, जिसकी अर्ध-अक्ष a भार के लंबवत और b भार के अनुदिश है, शीर्ष पर प्रतिबल σ_tip = σ(1 + 2a/b) = σ(1 + 2√(a/ρ_t)) है, जहाँ ρ_t = b²/a शीर्ष-त्रिज्या है। वृत्ताकार छिद्र (a = b) 3σ देता है; तीखी दरार, जिसकी ρ_t परमाणु-आमाप की है, अत्यंत सांद्रण देती है। तन्य धातु पराभव से शीर्ष को कुंद कर लेती है; सिरेमिक या काँच नहीं कर सकते, अतः वे अपनी सैद्धांतिक सामर्थ्य σ_th ≈ √(Eγ_s/a₀) (लगभग E/10) से बहुत कम नाममात्र प्रतिबल पर टूट जाते हैं।

ग्रिफ़िथ ऊर्जा-संतुलन। दरार तभी बढ़ती है जब मुक्त हुई प्रत्यास्थ ऊर्जा कम से कम नए पृष्ठ का मूल्य चुकाए। समतल प्रतिबल में पतली पट्टिका हेतु, जिसमें कुल लंबाई 2a की आंतरिक दरार है, प्रति इकाई मोटाई: मुक्त प्रत्यास्थ ऊर्जा = πσ²a²/E, जुड़ी पृष्ठ ऊर्जा = 4aγ_s (लंबाई 2a के दो फलक)। कुल ऊर्जा U = U₀ − πσ²a²/E + 4aγ_s। dU/da = 0 रखने पर −2πσ²a/E + 4γ_s = 0, अतः σ_f = √(2Eγ_s/(πa)), जहाँ a अर्ध-लंबाई है। समतल विकृति हेतु E के स्थान पर E/(1 − ν²) रखें। समतुल्य कथन: K = σ√(πa) = K_c पर विभंजन, जहाँ K_c = √(2Eγ_s)।

परिणाम का अर्थ। σ_f ∝ a^(−1/2), अतः दोष की लंबाई दोगुनी करने पर विभंजन प्रतिबल अपने मान का 1/√2 = 0.71 रह जाता है, और सामर्थ्य सबसे बड़े दोष से तय होती है। E = 70 GPa, γ_s = 1.0 J/m² व a = 10 µm वाले काँच हेतु: σ_f = √(2 × 70 × 10⁹ × 1.0/(π × 10 × 10⁻⁶)) = √(4.46 × 10¹⁵) ≈ 67 MPa, जो खरोंचे काँच की वास्तविक वहन-क्षमता के निकट है। संपीडन में दरारें बंद होती हैं, इसीलिए सिरेमिक संपीडन में सशक्त व तनन में दुर्बल हैं। धातुओं व बहुलकों में सुघट्य कार्य γ_p ≫ γ_s होता है, और ओरोवन-इर्विन संशोधन γ_s के स्थान पर (γ_s + γ_p) रखता है; शुद्ध ग्रिफ़िथ सिद्धांत भंगुर ठोसों हेतु है।

5. श्रांति (fatigue): चक्रीय भारण, S-N वक्र, आरंभ व प्रसार

श्रांति बार-बार के प्रतिबल में विफलता है, प्रायः पराभव प्रतिबल से कम अधिकतम प्रतिबल पर। प्रतिबल-चक्र हेतु: σ_m = (σ_max + σ_min)/2 (माध्य), σ_a = (σ_max − σ_min)/2 (आयाम), Δσ = σ_max − σ_min (परास) = 2σ_a, और प्रतिबल अनुपात R = σ_min/σ_max (पूर्णतः उत्क्रमित भारण हेतु R = −1)। उदाहरण: σ_max = 300 MPa व σ_min = −100 MPa से σ_m = 100 MPa, σ_a = 200 MPa व R = −1/3।

S-N वक्र प्रतिबल आयाम को विफलता तक चक्रों की संख्या N_f के सापेक्ष लघुगणकीय अक्ष पर आलेखित करता है। इस्पात व टाइटेनियम मिश्रधातुएँ सहनसीमा (endurance limit) σ_e दर्शाती हैं, एक पठार जिसके नीचे आयु व्यावहारिक रूप से अनंत है (इस्पातों हेतु प्रायः तनन सामर्थ्य का लगभग आधा)। ऐलुमिनियम, तांबा व मैग्नीशियम मिश्रधातुएँ कोई सीमा नहीं दर्शातीं; उनकी श्रांति सामर्थ्य 10⁸ चक्र जैसी बताई गई आयु पर उद्धृत होती है। परिमित-आयु क्षेत्र log σ_a बनाम log N पर सरल रेखा है (बैस्क्विन रूप σ_a = A N^(−b))। उदाहरण: 10³ चक्र पर 600 MPa व 10⁶ पर 300 MPa से b = log(600/300)/3 = 0.100, अतः 400 MPa पर N = 10³ × (600/400)^(1/0.1) ≈ 5.7 × 10⁴ चक्र।

आरंभ। चक्रीय सर्पण सतह पर स्थायी सर्पण पट्टियों में केंद्रित होता है, जिससे अंतर्वेधन व बहिर्वेधन बनते हैं जो सूक्ष्म-दरारें बन जाते हैं, प्रायः खाँचे, खरोंच, अंतर्वेश या कोने पर। प्रथम अवस्था की वृद्धि कुछ कणों तक क्रिस्टलीय अपरूपण तल के अनुदिश चलती है।
प्रसार। द्वितीय अवस्था में दरार अधिकतम तननी प्रतिबल के लंबवत बढ़ती है, प्रति चक्र एक धारीदार रेखा (striation)। पेरिस नियम स्थिर क्षेत्र में दर देता है, da/dN = C(ΔK)^m, जहाँ ΔK = YΔσ√(πa) और तन्य धातुओं हेतु m प्रायः 2 से 4। Δσ दोगुना करने पर दर 2^m गुनी हो जाती है।
अंतिम विभंजन तब आकस्मिक अतिभार से होता है जब घटे परिच्छेद पर K_max, K_c तक पहुँचे; सतह पर चिकने बीच-चिह्न व खुरदुरा अंतिम क्षेत्र दिखता है। आयु पॉलिश सतह, संपीडनी अवशिष्ट प्रतिबल (शॉट-पीनिंग, केस-कठोरीकरण), उदार फ़िलेट त्रिज्या व कम तननी माध्य प्रतिबल से सुधरती है; संक्षारण इसे घटाता है।

⚠️ आयाम, परास और सहनसीमा

S-N वक्र प्रायः आयाम σ_a के सापेक्ष खींचे जाते हैं, परास के नहीं; देखें कि प्रश्न कौन-सा देता है। केवल लौह व टाइटेनियम मिश्रधातुओं में वास्तविक सहनसीमा होती है। m = 4 पर Δσ में 10 प्रतिशत वृद्धि दरार-वृद्धि आयु को लगभग एक-तिहाई घटा देती है।

6. विसर्पण (creep): अवस्थाएँ व क्रियाविधियाँ

विसर्पण स्थिर प्रतिबल में धीमी, समय-आश्रित सुघट्य विकृति है, जो धातुओं में लगभग 0.4 T_m (परम ताप) से ऊपर सार्थक होती है, जैसे टरबाइन ब्लेड, बॉयलर व भाप-पाइपों में। विकृति-समय वक्र की तीन अवस्थाएँ हैं: प्राथमिक (दर घटती है, कठोरीकरण पुनर्प्राप्ति पर भारी), द्वितीयक (स्थिर-अवस्था, न्यूनतम विसर्पण दर, कठोरीकरण व पुनर्प्राप्ति संतुलित; यही अभिकल्पन राशि है) तथा तृतीयक (ग्रीवा-निर्माण, आंतरिक रिक्तियों व कण-सीमा दरारों से दर बढ़ती है, अंत में विभंग)। स्थिर भार के विसर्पण परीक्षण में तृतीयक अवस्था कुछ इसलिए भी आती है कि परिच्छेद पतला होने से वास्तविक प्रतिबल बढ़ता है।

स्थिर-अवस्था दर। ε̇_s = A σⁿ exp(−Q_c/RT), अरहीनियस रूप। जालक-विसरण-नियंत्रित विसर्पण में Q_c स्व-विसरण की सक्रियण ऊर्जा के निकट होता है। स्थिर σ पर T को T₁ से T₂ करने पर दर exp[(Q_c/R)(1/T₁ − 1/T₂)] गुनी हो जाती है। उदाहरण: Q_c = 300 kJ/mol, 800 K से 900 K, R = 8.314 J/mol·K: exp[(300000/8.314)(1/800 − 1/900)] = exp(5.01) ≈ 150, अतः 100 K की वृद्धि दर को लगभग 150 गुना कर देती है। विभंग हेतु लार्सन-मिलर प्राचल P = T(C + log₁₀ t_r), जहाँ T केल्विन में, t_r घंटों में और C ≈ 20, दिए गए प्रतिबल पर स्थिर रहता है; अतः 900 K पर 1000 h (P = 20 700) लगभग 850 K पर 2.3 × 10⁴ h के बराबर है।

विसर्पण क्रियाविधियाँ
क्रियाविधि	प्रतिबल घातांक n व कण-आकार निर्भरता	पथ व परास
डिस्लोकेशन (घात-नियम) विसर्पण: सर्पण के साथ आरोहण	n ≈ 3 से 8; कण-आकार पर निर्भर नहीं	जालक विसरण; उच्च प्रतिबल
नैबैरो-हेरिंग विसर्पण	n = 1; दर ∝ 1/d²	कणों के भीतर जालक विसरण; उच्च T, निम्न प्रतिबल
कोबल विसर्पण	n = 1; दर ∝ 1/d³	कण-सीमा विसरण; सूक्ष्म कण, निम्न T

🎯 विसर्पण हॉल-पेच का उल्टा क्यों चाहता है

उच्च ताप पर कण-सीमाएँ तीव्र विसरण-पथ हैं और सर्पित होती हैं, अतः सूक्ष्म-कण धातु अधिक तेज़ी से विसर्पित होती है। विसर्पण-प्रतिरोधी अभिकल्पन में उच्च गलनांक, स्थूल कण या अनुप्रस्थ सीमाओं से रहित एकल क्रिस्टल (टरबाइन ब्लेड), ठोस विलयन तत्त्व व स्थायी कठोर कण प्रयुक्त होते हैं जिन्हें लाँघकर डिस्लोकेशन आसानी से आरोहण नहीं कर पाते।

7. संयुक्त पदार्थ: कण व तंतु प्रबलन; मिश्रण नियम

संयुक्त पदार्थ एक आधात्री (matrix) (धातु, सिरेमिक या बहुलक) को प्रबलक से जोड़ता है, ताकि ऐसे गुण मिलें जो किसी एक में नहीं। कण-प्रबलित संयुक्त पदार्थों में बड़े-कण प्रकार हैं, जहाँ कण भार बाँटते हैं (कंक्रीट, WC-Co सर्मेट), तथा परिक्षेपण-सुदृढ़ प्रकार, जिनमें सूक्ष्म कण (10 से 100 nm) अवक्षेपों की भाँति डिस्लोकेशन रोकते हैं। तंतु-प्रबलित संयुक्त पदार्थ सतत संरेखित, लघु या यादृच्छिक तंतु (बहुलक आधात्री में काँच, कार्बन, ऐरामिड) प्रयोग करते हैं; कठोर, सशक्त तंतु भार वहन करते हैं और आधात्री उसे स्थानांतरित करती है; तंतु क्रांतिक लंबाई l_c = σ_f d/(2τ_c) से लंबे चाहिए, जहाँ d तंतु-व्यास, σ_f तंतु-सामर्थ्य और τ_c अंतरापृष्ठीय अपरूपण सामर्थ्य है।

मिश्रण नियम आयतन-अंश V_f व V_m = 1 − V_f वाले संरेखित सतत-तंतु संयुक्त पदार्थ हेतु। तंतुओं के अनुदिश भारण (समविकृति, फ़ॉइग्ट, ऊपरी सीमा): तंतु व आधात्री समान विकृत होते हैं, E_∥ = E_f V_f + E_m V_m, और भार का बँटवारा F_f/F_m = E_f V_f/(E_m V_m)। तंतुओं के आर-पार भारण (समप्रतिबल, रॉयस, निचली सीमा): दोनों समान प्रतिबल वहन करते हैं, 1/E_⊥ = V_f/E_f + V_m/E_m। घनत्व साधारण भारित माध्य है, ρ_c = ρ_f V_f + ρ_m V_m। कोई भी कण संयुक्त पदार्थ इन दोनों सीमाओं के बीच रहता है।

हल उदाहरण: एपॉक्सी (E_m = 3 GPa) में काँच तंतु (E_f = 70 GPa), V_f = 0.5। E_∥ = 0.5 × 70 + 0.5 × 3 = 36.5 GPa। E_⊥ = 1/(0.5/70 + 0.5/3) = 1/(0.00714 + 0.1667) = 5.75 GPa। तंतु अक्षीय भार का 35/36.5 = 96 प्रतिशत वहन करता है, फिर भी तंतुओं के आर-पार संयुक्त पदार्थ आधात्री से केवल लगभग दोगुना कठोर है। संरेखित संयुक्त पदार्थ प्रबल रूप से विषमदैशिक होते हैं।

⚠️ कौन-सी सीमा कौन-सी है

समानांतर (समविकृति) व्यवस्था सबसे अधिक कठोर संभव है और श्रेणी (समप्रतिबल) व्यवस्था सबसे अधिक नम्य, अतः ऊपरी सीमा गुणांकों का साधारण भारित माध्य है और निचली सीमा नम्यताओं का भारित माध्य।

मुख्य बिंदु

प्रत्यास्थता गुणांक r₀ पर अंतरापरमाण्वीय विभव की वक्रता का अनुसरण करता है (E ≈ S₀/r₀) और सूक्ष्म संरचना से असंवेदी है; पराभव सामर्थ्य इसका उलटा है।
फ्रेंकेल τ_th ≈ G/2π देता है; वास्तविक क्रिस्टल 10³ से 10⁴ गुना कम पर पराभव करते हैं क्योंकि डिस्लोकेशन एक बार में एक पंक्ति चलते हैं। सर्पण सघन-संकुलित तलों व दिशाओं में होता है, और σ cos φ cos λ = τ_CRSS पर आरंभ होता है (श्मिड गुणक ≤ 0.5)।
सभी सुदृढ़ीकरण क्रियाविधियाँ डिस्लोकेशनों को अवरुद्ध करती हैं: विकृति-कठोरीकरण हेतु टेलर Δτ = αGb√ρ, विलेयों हेतु असंगति-क्षेत्र, अवक्षेपों हेतु कटना या ओरोवन झुकाव (Gb/L), और कण-परिष्करण हेतु σ_y = σ₀ + k_y d^(−1/2), जो एकमात्र है जो दृढ़ता भी बढ़ाती है।
ग्रिफ़िथ: लंबाई 2a की आंतरिक दरार हेतु σ_f = √(2Eγ_s/(πa)); सामर्थ्य a^(−1/2) के अनुसार बदलती है और सबसे बड़े दोष से तय होती है। तन्य ठोसों हेतु γ_s + γ_p लें।
श्रांति आयु सतह पर आरंभ और da/dN = C(ΔK)^m का पालन करते द्वितीय-अवस्था प्रसार में बँटती है, फिर अतिभार विभंजन; केवल लौह व टाइटेनियम मिश्रधातुओं में सहनसीमा होती है।
विसर्पण की प्राथमिक, द्वितीयक (न्यूनतम दर) व तृतीयक अवस्थाएँ हैं; ε̇ = Aσⁿ exp(−Q_c/RT); डिस्लोकेशन विसर्पण d-स्वतंत्र है, नैबैरो-हेरिंग d⁻² व कोबल d⁻³ के अनुसार। संयुक्त पदार्थ का गुणांक समविकृति (E_f V_f + E_m V_m) व समप्रतिबल सीमाओं के बीच रहता है।

अभ्यास प्रश्न (18)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

क्रिस्टल A व B में प्रति परमाणु आबंधन ऊर्जा समान है (विभव कूप U(r) की गहराई समान), पर A का कूप संकरा है, अर्थात साम्य पृथक्करण r₀ पर उसकी वक्रता (d²U/dr²) B के कूप से अधिक है। दोनों के साम्य अंतराल समान हैं। उनके यंग गुणांकों के बारे में कौन-सा कथन सही है?
1. E_B > E_A, क्योंकि चौड़ा कूप परमाणुओं को बड़े परास में कंपन करने देता है और इसलिए उन्हें अधिक दृढ़ता से थामता है
2. E_A = E_B, क्योंकि गुणांक केवल कूप की गहराई पर निर्भर है, जो दोनों की समान है
3. E_A > E_B, क्योंकि E ≈ S₀/r₀ है और आबंध-कठोरता S₀, r₀ पर U(r) की वक्रता है
4. कोई तुलना संभव नहीं, क्योंकि गुणांक प्रत्येक क्रिस्टल के डिस्लोकेशन घनत्व से तय होता है
उत्तर देखें
उत्तर: C — E_A > E_B, क्योंकि E ≈ S₀/r₀ है और आबंध-कठोरता S₀, r₀ पर U(r) की वक्रता है
छोटे विस्थापनों हेतु बल F ≈ −S₀(r − r₀) है, जहाँ S₀ = (d²U/dr²), r₀ पर, और समान अंतरालों हेतु E ≈ S₀/r₀। संकरे कूप में S₀ अधिक है, अतः गुणांक भी अधिक। गहराई से E तय होने वाला लुभावना उत्तर आबंध-ऊर्जा को आबंध-कठोरता समझ बैठता है; वास्तविक पदार्थों में दोनों इसलिए सहसंबद्ध हैं कि गहरे कूप प्रायः तीखे भी होते हैं। गुणांक संरचना-असंवेदी है, अतः डिस्लोकेशन घनत्व उसे तय नहीं करता।
पूर्ण क्रिस्टल हेतु फ्रेंकेल का मॉडल लगभग G/2π की अपरूपण सामर्थ्य बताता है, पर अनीलित शुद्ध धातु क्रिस्टल हज़ारों गुना कम प्रतिबल पर पराभव कर देते हैं। इस विसंगति का स्वीकृत समाधान क्या है?
1. सर्पण डिस्लोकेशन गमन से होता है, जो किसी क्षण केवल रेखा के अनुदिश आबंधों को तनित करता है, पूरे तल को एक साथ नहीं
2. वास्तविक क्रिस्टल का अपरूपण गुणांक G, फ्रेंकेल आकलन में प्रयुक्त किए गए मान से कई हज़ार गुना कम होता है
3. फ्रेंकेल की गणना आबंधों के तननी विदलन का वर्णन करती है, जिसका जालक तलों के अपरूपण से कोई संबंध ही नहीं
4. रिक्तियाँ क्रिस्टल के हर आबंध को दुर्बल कर देती हैं, अतः सर्पण तल के आर-पार सभी आबंध एक साथ बहुत कम प्रतिबल पर टूट जाते हैं
उत्तर देखें
उत्तर: A — सर्पण डिस्लोकेशन गमन से होता है, जो किसी क्षण केवल रेखा के अनुदिश आबंधों को तनित करता है, पूरे तल को एक साथ नहीं
फ्रेंकेल आकलन मानता है कि पूरा तल एक साथ अपने पड़ोसी पर सरकता है। डिस्लोकेशन सर्पित क्षेत्र को एक बार में परमाणुओं की एक पंक्ति आगे बढ़ाते हैं, अतः आवश्यक प्रतिबल गतिमान रेखा के जालक घर्षण से तय होता है और कई कोटि कम होता है। वास्तविक क्रिस्टलों का G वही है जो है (धातुओं में दसियों GPa) और रिक्तियाँ सभी आबंध दुर्बल करने हेतु बहुत विरल हैं।
कमरे के ताप पर Mg जैसी HCP धातु का बहुक्रिस्टल, Cu जैसी FCC धातु के बहुक्रिस्टल से बहुत कम तन्य होता है। कौन-सा कारण सही है?
1. HCP धातुओं में सर्पण केवल उन दिशाओं में हो सकता है जो सघन-संकुलित नहीं हैं, जिससे क्रांतिक वियोजित अपरूपण प्रतिबल बढ़ता है
2. HCP क्रिस्टलों में कोई सघन-संकुलित तल नहीं होता, अतः डिस्लोकेशन किसी भी ताप पर किसी भी तल पर सर्पित नहीं हो सकते
3. HCP में प्रत्येक डिस्लोकेशन का बर्गर्स सदिश परमाणु-अंतराल से बड़ा होता है, अतः पाइयर्ल्स प्रतिबल अनंत होता है
4. सुगम सर्पण तीन आधारी तंत्रों तक सीमित है, जो मनमाने आकार-परिवर्तन हेतु चाहिए पाँच स्वतंत्र तंत्रों से कम हैं
उत्तर देखें
उत्तर: D — सुगम सर्पण तीन आधारी तंत्रों तक सीमित है, जो मनमाने आकार-परिवर्तन हेतु चाहिए पाँच स्वतंत्र तंत्रों से कम हैं
आधारी तल (0001) व तीन ⟨11-20⟩ दिशाएँ सघन-संकुलित व सुगम हैं, पर केवल दो स्वतंत्र तंत्र देती हैं; बहुक्रिस्टल को कणों के मनमाने आकार-परिवर्तन बिना दरार के अनुसरण करने हेतु पाँच चाहिए, और अनाधारी तंत्रों का क्रांतिक प्रतिबल कमरे के ताप पर बहुत अधिक है। HCP में सघन-संकुलित तल हैं और सर्पण सघन दिशाओं में होता है, अतः अन्य कारण संरचना को गलत बताते हैं।
एकल क्रिस्टल को दिए गए सर्पण तंत्र की सर्पण-दिशा के लंबवत अक्ष पर एकाक्षीय तनन में भारित किया जाता है (अर्थात λ = 90°)। उस तंत्र पर सर्पण के बारे में कौन-सा कथन सही है?
1. सर्पण σ = 2τ_CRSS पर आरंभ होता है, जो किसी भी अभिविन्यास का न्यूनतम पराभव प्रतिबल है, क्योंकि श्मिड गुणक अधिकतम है
2. उस तंत्र पर किसी भी तननी प्रतिबल पर सर्पण नहीं होता, क्योंकि cos λ = 0 वियोजित अपरूपण प्रतिबल को शून्य कर देता है
3. सर्पण σ = τ_CRSS पर आरंभ होता है, क्योंकि तब पूरा भार सर्पण तल के अनुदिश शुद्ध अपरूपण की तरह कार्य करता है
4. सर्पण केवल विलंबित होता है, क्योंकि λ के 90° के निकट पहुँचने पर τ_CRSS स्वयं अनंत की ओर बढ़ता है
उत्तर देखें
उत्तर: B — उस तंत्र पर किसी भी तननी प्रतिबल पर सर्पण नहीं होता, क्योंकि cos λ = 0 वियोजित अपरूपण प्रतिबल को शून्य कर देता है
τ_R = σ cos φ cos λ, और cos 90° = 0, अतः प्रत्येक σ पर τ_R = 0; वह तंत्र निष्क्रिय है और अन्य तंत्रों को चलना होगा। श्मिड गुणक का अधिकतम 0.5 होने हेतु φ = λ = 45° चाहिए। τ_CRSS दिए ताप व शुद्धता पर पदार्थ-स्थिरांक है; यह अभिविन्यास पर निर्भर नहीं, और सर्पण-दिशा के लंबवत भार उसके अनुदिश कोई अपरूपण बल नहीं देता।
धातु को सुदृढ़ करने के चार प्रचलित मार्गों (विकृति-कठोरीकरण, ठोस विलयन कठोरीकरण, अवक्षेपण कठोरीकरण व कण-आकार परिष्करण) में से किसे सामान्यतः पराभव सामर्थ्य व दृढ़ता को साथ-साथ बढ़ाने वाला माना जाता है?
1. विकृति-कठोरीकरण, क्योंकि अतिरिक्त डिस्लोकेशन दरारों के शीर्ष को भी कुंद करते हैं और उनके विस्तार का प्रतिरोध करते हैं
2. अवक्षेपण कठोरीकरण, क्योंकि शिखर जरण पर संसक्त कण दरार-पथों को बहुत लंबा कर देते हैं
3. कण-आकार परिष्करण, क्योंकि अधिक सीमाएँ डिस्लोकेशन गति व दरार-विस्तार दोनों को रोकती हैं
4. ठोस विलयन कठोरीकरण, क्योंकि विलेय के विकृति-क्षेत्र दोषों पर प्रतिबल सांद्रणों को समतल कर देते हैं
उत्तर देखें
उत्तर: C — कण-आकार परिष्करण, क्योंकि अधिक सीमाएँ डिस्लोकेशन गति व दरार-विस्तार दोनों को रोकती हैं
महीन कण σ_y को σ₀ + k_y d^(−1/2) से बढ़ाते हैं और दरारों को सीमाओं पर दिशा बदलने को भी बाध्य करते हैं, अतः दृढ़ता सामान्यतः सामर्थ्य के साथ बढ़ती है। विकृति-कठोरीकरण व अवक्षेपण कठोरीकरण, और प्रायः ठोस विलयन कठोरीकरण, तन्यता व दृढ़ता को कुछ घटाते हैं; इनमें से कोई प्रतिबल सांद्रण नहीं मिटाता।
एक जरण-कठोरीकरण योग्य मिश्रधातु को स्थिर जरण ताप पर रखा जाता है और समय के साथ उसकी कठोरता मापी जाती है। वह शिखर तक बढ़कर फिर घटती है। इस गिरावट (अति-जरण) की कौन-सी व्याख्या सही है?
1. अवक्षेप स्थूल होते हैं और उनका अंतराल L बढ़ता है, अतः डिस्लोकेशन उनके बीच अधिक सरलता से झुकते हैं, Δτ ≈ Gb/L
2. अवक्षेप जरण ताप पर पूरी तरह आधात्री में पुनः घुल जाते हैं और एकल-प्रावस्था ठोस विलयन लौट आता है
3. दीर्घ जरण डिस्लोकेशन घनत्व को कई गुना करता है, और तब टेलर पद कठोरता को घटा देता है
4. जरण-समय के साथ आधात्री का प्रत्यास्थता गुणांक घटता है, और कठोरता गुणांक के समानुपाती है
उत्तर देखें
उत्तर: A — अवक्षेप स्थूल होते हैं और उनका अंतराल L बढ़ता है, अतः डिस्लोकेशन उनके बीच अधिक सरलता से झुकते हैं, Δτ ≈ Gb/L
सॉल्वस से नीचे स्थिर ताप पर कण बढ़ते (स्थूल होते) हैं जबकि उनका संख्या-घनत्व घटता है, अतः L बढ़ता है; जब कण इतने बड़े हों कि डिस्लोकेशन ओरोवन झुकाव से उन्हें लाँघें, तब सुदृढ़ीकरण Gb/L, L बढ़ने पर घटता है। घुलने हेतु सॉल्वस से ऊपर का ताप चाहिए, जरण डिस्लोकेशन नहीं बढ़ाता, और गुणांक जरण से लगभग अप्रभावित रहता है।
कुल लंबाई 2a की आंतरिक दरार वाली काँच की पट्टिका तनन में प्रतिबल σ_f पर टूटती है। एक वैसी ही पट्टिका में कुल लंबाई 8a की आंतरिक दरार है। उन्हीं समतल-प्रतिबल दशाओं में ग्रिफ़िथ निकष से उसका विभंजन प्रतिबल है
1. σ_f/4, क्योंकि शीर्ष पर प्रतिबल सांद्रण दरार की लंबाई के अनुपात में बढ़ता है
2. σ_f/16, क्योंकि मुक्त प्रत्यास्थ ऊर्जा दरार की लंबाई के वर्ग के अनुसार बदलती है
3. σ_f/√2, क्योंकि ऊर्जा-संतुलन में केवल दरार की अर्ध-लंबाई आती है
4. σ_f/2, क्योंकि σ_f ∝ a^(−1/2) है और दरार की लंबाई चार गुनी हो गई है
उत्तर देखें
उत्तर: D — σ_f/2, क्योंकि σ_f ∝ a^(−1/2) है और दरार की लंबाई चार गुनी हो गई है
σ_f = √(2Eγ_s/(πa)) ∝ a^(−1/2)। 2a से 8a होने पर a चार गुना होता है, अतः σ_f घटकर σ_f/√4 = σ_f/2 रह जाता है। मुक्त ऊर्जा a² के अनुसार बढ़ती है पर पृष्ठ ऊर्जा a के अनुसार, और दोनों का संतुलन व्युत्क्रम वर्गमूल देता है; अकेला प्रतिबल सांद्रण का तर्क भिन्न, गलत, निर्भरता देता।
सतत संरेखित कार्बन तंतु (E_f = 230 GPa) एपॉक्सी आधात्री (E_m = 3.0 GPa) में 0.60 आयतन-अंश घेरते हैं। संयुक्त पदार्थ को तंतुओं के लंबवत भारित किया जाता है और दोनों प्रावस्थाएँ समान प्रतिबल वहन करती हैं (समप्रतिबल)। उस दिशा में इसका गुणांक, GPa में, निकटतम है
1. 139, भारित योग E_f V_f + E_m V_m
2. 7.4, 1/E = V_f/E_f + V_m/E_m से
3. 5.0, उसी व्यंजक से दोनों आयतन-अंश आपस में बदलकर
4. 117, दोनों गुणांकों का साधारण माध्य
उत्तर देखें
उत्तर: B — 7.4, 1/E = V_f/E_f + V_m/E_m से
समप्रतिबल से 1/E⊥ = 0.60/230 + 0.40/3.0 = 0.002609 + 0.13333 = 0.13594 GPa⁻¹, अतः E⊥ = 7.36 GPa, लगभग 7.4। 139 GPa समविकृति (अक्षीय) सीमा है, सबसे लुभावना गलत विकल्प; अनुप्रस्थ भारण मृदु आधात्री से नियंत्रित होता है, अतः गुणांक एपॉक्सी के निकट ही रहता है।
किसी पुर्ज़े को अधिकतम 240 MPa (तनन) व न्यूनतम −60 MPa (संपीडन) प्रतिबल के बीच चक्रित किया जाता है। उसका प्रतिबल आयाम σ_a और प्रतिबल अनुपात R = σ_min/σ_max हैं
1. σ_a = 300 MPa व R = −0.25, क्योंकि आयाम पूरा परास है
2. σ_a = 150 MPa व R = −4, क्योंकि R बड़े प्रतिबल का छोटे से अनुपात है
3. σ_a = 150 MPa व R = −0.25, क्योंकि आयाम परास का आधा है
4. σ_a = 90 MPa व R = −0.25, क्योंकि आयाम माध्य प्रतिबल है
उत्तर देखें
उत्तर: C — σ_a = 150 MPa व R = −0.25, क्योंकि आयाम परास का आधा है
परास 240 − (−60) = 300 MPa है, आयाम उसका आधा 150 MPa, माध्य प्रतिबल (240 − 60)/2 = 90 MPa, और R = σ_min/σ_max = −60/240 = −0.25। 300 MPa वाला विकल्प परास है, 90 MPa वाला माध्य, और R = −4 परिभाषा उलट देता है।
एक सूक्ष्म-कण सिरेमिक मध्यम ताप व निम्न प्रतिबल पर कोबल विसर्पण से विसर्पित होता है, जिसमें परमाणु कण-सीमाओं के अनुदिश विसरित होते हैं और विकृति दर प्रतिबल में रैखिक है। ताप व प्रतिबल अपरिवर्तित रख कण-आकार दोगुना करने पर विसर्पण दर हो जाती है
1. अपने मान की 1/8, क्योंकि कोबल विसर्पण दर d⁻³ के अनुसार बदलती है
2. अपने मान की 1/4, क्योंकि सभी विसरणी विसर्पण में दर d⁻² के अनुसार बदलती है
3. अपने मान की 1/2, क्योंकि प्रति इकाई लंबाई सीमाओं की संख्या आधी हो जाती है
4. अपरिवर्तित, क्योंकि विसर्पण केवल प्रतिबल व ताप पर निर्भर है, सूक्ष्म संरचना पर नहीं
उत्तर देखें
उत्तर: A — अपने मान की 1/8, क्योंकि कोबल विसर्पण दर d⁻³ के अनुसार बदलती है
कोबल विसर्पण (कण-सीमा विसरण) में ε̇ ∝ σ D_gb/d³, अतः d दोगुना करने पर दर 2³ = 8 से विभाजित होती है। d⁻² नियम नैबैरो-हेरिंग विसर्पण (जालक विसरण) का है, लुभावना विकल्प; प्रश्न कण-सीमा विसरण बताता है। केवल डिस्लोकेशन (घात-नियम) विसर्पण कण-आकार से स्वतंत्र है।
सुदृढ़ीकरण क्रियाविधियों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. सुघट्य विरूपण डिस्लोकेशन घनत्व बढ़ाता है, और परिणामी विकृति-कठोरीकरण से σ_y लगभग √ρ के अनुसार बढ़ता है
2. ठोस विलयन कठोरीकरण में असंगत विलेय परमाणु के चारों ओर का विकृति-क्षेत्र डिस्लोकेशनों से प्रत्यास्थ अंतर्क्रिया कर उनके सर्पण में बाधा डालता है
3. कण-सीमाएँ इसलिए सुदृढ़ करती हैं कि डिस्लोकेशन उनके विरुद्ध ढेर लगाते हैं और भिन्न अभिविन्यास के पड़ोसी कण में आसानी से नहीं जा पाते
4. अवक्षेपण-कठोरीकृत मिश्रधातु तब सर्वाधिक सशक्त होती है जब अवक्षेप यथासंभव बड़े हों, अतः अधिक समय तक जरण सदैव सामर्थ्य बढ़ाता है
उत्तर देखें
उत्तर: A — सुघट्य विरूपण डिस्लोकेशन घनत्व बढ़ाता है, और परिणामी विकृति-कठोरीकरण से σ_y लगभग √ρ के अनुसार बढ़ता है; B — ठोस विलयन कठोरीकरण में असंगत विलेय परमाणु के चारों ओर का विकृति-क्षेत्र डिस्लोकेशनों से प्रत्यास्थ अंतर्क्रिया कर उनके सर्पण में बाधा डालता है; C — कण-सीमाएँ इसलिए सुदृढ़ करती हैं कि डिस्लोकेशन उनके विरुद्ध ढेर लगाते हैं और भिन्न अभिविन्यास के पड़ोसी कण में आसानी से नहीं जा पाते
टेलर कठोरीकरण Δτ = αGb√ρ देता है; विलेय क्षेत्र व कण-सीमाएँ वर्णन के अनुसार सर्पण में बाधा डालते हैं। अवक्षेपण वाला कथन गलत है: सामर्थ्य क्रांतिक कण-आकार पर शिखर पाती है और अति-जरण में घटती है क्योंकि कण स्थूल होते हैं और अंतराल L बढ़ता है, अतः अधिक जरण सदैव सुदृढ़ नहीं करता।
स्थिर प्रतिबल व उच्च ताप पर किसी क्रिस्टलीय धातु के विसर्पण के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सही हैं?
1. प्राथमिक विसर्पण में विकृति दर समय के साथ घटती है क्योंकि विकृति-कठोरीकरण पुनर्प्राप्ति से आगे रहता है
2. द्वितीयक (स्थिर-अवस्था) विसर्पण में लगभग स्थिर दर कठोरीकरण व पुनर्प्राप्ति के संतुलन को दर्शाती है
3. डिस्लोकेशन विसर्पण का प्रतिबल घातांक n ठीक 1 होता है और कण-आकार पर प्रबल निर्भरता होती है
4. तृतीयक विसर्पण घटती विकृति दर की अवस्था है जिसमें परीक्षण रुकने तक धातु अधिक सशक्त होती जाती है
उत्तर देखें
उत्तर: A — प्राथमिक विसर्पण में विकृति दर समय के साथ घटती है क्योंकि विकृति-कठोरीकरण पुनर्प्राप्ति से आगे रहता है; B — द्वितीयक (स्थिर-अवस्था) विसर्पण में लगभग स्थिर दर कठोरीकरण व पुनर्प्राप्ति के संतुलन को दर्शाती है
प्राथमिक व द्वितीयक अवस्थाओं वाले कथन मानक वर्णन हैं। डिस्लोकेशन (घात-नियम) विसर्पण में n लगभग 3 से 8 होता है और कण-आकार पर निर्भरता नहीं; n = 1 व कण-आकार निर्भरता विसरणी विसर्पण की है। तृतीयक विसर्पण ग्रीवा-निर्माण, रिक्तियों व कण-सीमा दरारों से त्वरित होती अवस्था है, जो विभंग में समाप्त होती है।
स्थिर प्रतिबल आयाम पर चक्रित इस्पात शाफ़्ट की श्रांति आयु बढ़ाने वाले कौन-से उपाय अपेक्षित हैं?
1. उदार फ़िलेट त्रिज्याओं के स्थान पर तीखे भीतरी कोनों वाला कुंजी-पथ काटना
2. संपीडनी अवशिष्ट प्रतिबल उत्पन्न करने हेतु सतह की शॉट-पीनिंग करना
3. वेल्डिंग या ग्राइंडिंग के बाद सतह में तननी अवशिष्ट प्रतिबल छोड़ देना
4. खरोंचें व मशीनन-चिह्न हटाने हेतु सतह को पॉलिश करना
उत्तर देखें
उत्तर: B — संपीडनी अवशिष्ट प्रतिबल उत्पन्न करने हेतु सतह की शॉट-पीनिंग करना; D — खरोंचें व मशीनन-चिह्न हटाने हेतु सतह को पॉलिश करना
श्रांति दरारें सतह पर प्रतिबल-वर्धकों पर आरंभ होती हैं। संपीडनी अवशिष्ट प्रतिबल चक्र के प्रभावी तननी भाग को घटाता है, और पॉलिश उन सूक्ष्म-खाँचों को हटाती है जहाँ दरारें शुरू होती हैं। तीखे कोने स्थानीय प्रतिबल बढ़ाते हैं, और तननी अवशिष्ट प्रतिबल माध्य प्रतिबल में जुड़ता है, अतः दोनों आयु घटाते हैं।
एक एकल क्रिस्टल को एकाक्षीय तनन में खींचा जाता है। तननी अक्ष व सर्पण-तल के अभिलंब के बीच कोण 60° है और तननी अक्ष व सर्पण-दिशा के बीच कोण 45°। क्रांतिक वियोजित अपरूपण प्रतिबल 12.0 MPa है। जिस तननी प्रतिबल पर सर्पण आरंभ होता है वह ____ MPa है (उत्तर दशमलव के एक स्थान तक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 33.9
श्मिड गुणक m = cos 60° × cos 45° = 0.5 × 0.7071 = 0.3536। सर्पण तब आरंभ होता है जब σ m = τ_CRSS, अतः σ = 12.0/0.3536 = 33.94 MPa, जो दशमलव के एक स्थान तक 33.9 है।
एक बहुक्रिस्टलीय धातु हॉल-पेच संबंध σ_y = σ₀ + k_y d^(−1/2) का पालन करती है, जहाँ d माध्य कण-व्यास mm में है। d = 0.0625 mm पर इसका पराभव प्रतिबल 160 MPa और d = 0.0100 mm पर 250 MPa है। d = 0.0016 mm (1.6 µm) पर इसका पराभव प्रतिबल ____ MPa है (उत्तर पूर्ण संख्या में)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 475
0.0625 mm हेतु d^(−1/2) = 4 mm^(−1/2) और 0.0100 mm हेतु 10। तब k_y = (250 − 160)/(10 − 4) = 15 MPa·mm^(1/2) व σ₀ = 160 − 15 × 4 = 100 MPa। d = 0.0016 mm हेतु d^(−1/2) = 1/0.04 = 25, अतः σ_y = 100 + 15 × 25 = 475 MPa।
एक पतली काँच की पट्टिका (समतल प्रतिबल) में कुल लंबाई 2a = 2.0 µm की आंतरिक, मोटाई-भेदी दरार है। E = 70 GPa व पृष्ठ ऊर्जा γ_s = 1.0 J/m² लें, और ग्रिफ़िथ निकष σ_f = √(2Eγ_s/(πa)) प्रयोग करें, जहाँ a दरार की अर्ध-लंबाई है। विभंजन प्रतिबल ____ MPa है (उत्तर पूर्ण संख्या में)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 211
अर्ध-लंबाई a = 1.0 µm = 1.0 × 10⁻⁶ m। σ_f = √(2 × 70 × 10⁹ × 1.0/(π × 1.0 × 10⁻⁶)) = √(4.456 × 10¹⁶) = 2.111 × 10⁸ Pa = 211 MPa। a के स्थान पर पूरी लंबाई 2.0 µm लेने पर 149 MPa आता, जो प्रचलित भूल है।
किसी इस्पात के S-N वक्र के परिमित-आयु क्षेत्र में log σ_a, log N के साथ रैखिक बदलता है। प्रतिबल आयाम N = 10⁴ चक्रों पर 400 MPa और N = 10⁶ चक्रों पर 300 MPa है। 340 MPa के प्रतिबल आयाम पर श्रांति आयु N का आधार-10 लघुगणक ____ है (उत्तर दशमलव के दो स्थानों तक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
उत्तर देखें
उत्तर: 5.13
ढाल: N के 2 दशकों में log σ_a, log(400/300) = 0.12494 घटता है, अतः घातांक b = 0.06247 प्रति दशक। 400 MPa से 340 MPa तक log(400/340) = 0.07058। आयु के अतिरिक्त दशक = 0.07058/0.06247 = 1.1298। अतः log N = 4 + 1.1298 = 5.13 (N ≈ 1.35 × 10⁵ चक्र)।
सतत संरेखित काँच तंतु (E_f = 70 GPa) बहुलक-आधात्री संयुक्त पदार्थ (E_m = 3.0 GPa) का आयतन से 40 प्रतिशत हैं। संयुक्त पदार्थ को तंतु-दिशा के अनुदिश भारित किया जाता है और तंतु व आधात्री समान विकृत होते हैं। इसका प्रत्यास्थता गुणांक ____ GPa है (उत्तर दशमलव के एक स्थान तक)।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 29.8
समविकृति भारण से E_∥ = E_f V_f + E_m V_m = 70 × 0.40 + 3.0 × 0.60 = 28.0 + 1.8 = 29.8 GPa।