परिकल्पना परीक्षण II: अनभिनत व UMPU परीक्षण, चरघातांकी कुल, संभाविता अनुपात परीक्षण व बृहत्-प्रतिदर्श परीक्षण

GATE सांख्यिकी पेपर के खंड 9 का दूसरा अध्याय वह समेटता है जो पाठ्यक्रम UMP परीक्षणों के बाद नामित करता है: एकसमान सर्वाधिक शक्तिशाली अनभिनत परीक्षण, चरघातांकी कुलों हेतु UMPU परीक्षण (द्वि-पक्षीय व उपद्रव-प्राचल स्थितियाँ), विल्क्स सन्निकटन सहित संभाविता अनुपात परीक्षण, तथा बृहत्-प्रतिदर्श परीक्षण — वाल्ड, स्कोर व संभाविता अनुपात प्रतिदर्शज तथा माध्यों, अनुपातों व प्वासों दरों हेतु z-परीक्षण। प्रसामान्य सिद्धांत के t, काई-वर्ग व F परीक्षण यहाँ उसी रूप में आते हैं जो वे हैं: संभाविता अनुपात व UMPU परीक्षण।

1. अनभिनत परीक्षण व UMPU परीक्षण

स्तर-α परीक्षण अनभिनत है यदि उसकी शक्ति H₁ के प्रत्येक θ पर कम से कम α हो (और H₀ पर अधिक से अधिक α): H₀ सत्य होने पर अस्वीकार की संभावना कभी असत्य होने से अधिक नहीं। UMP परीक्षण स्वतः अनभिनत है (φ ≡ α से तुलना करें)। अनभिनत स्तर-α परीक्षणों में जो UMP हो वह UMPU है। σ ज्ञात सहित N(μ, σ²) हेतु |√n(X̄ − μ₀)/σ| > zα/2 पर अस्वीकार करने वाला द्वि-पक्षीय परीक्षण H₀: μ = μ₀ बनाम μ ≠ μ₀ हेतु UMPU है, यद्यपि कोई UMP परीक्षण विद्यमान नहीं।

एक-प्राचल चरघातांकी कुल f = h(x)c(θ)eθT(x), H₀: θ = θ₀ बनाम θ ≠ θ₀: UMPU परीक्षण T < c₁ या T > c₂ पर अस्वीकार करता है, c₁, c₂ (व यादृच्छिकीकरण) Eθ₀φ = α तथा Eθ₀[Tφ] = α Eθ₀T से निर्धारित — दूसरा प्रतिबंध कहता है कि θ₀ पर शक्ति फलन का अवकलज शून्य है, अतः वहाँ उसका न्यूनतम है। T का शून्य बंटन सममित हो तो यह समान पुच्छों तक घटता है; अन्यथा नहीं। H₀: θ₁ ≤ θ ≤ θ₂ बनाम θ बाहर हेतु UMPU परीक्षण का वही द्वि-पक्षीय रूप है, θ₁ व θ₂ दोनों पर आमाप α सहित।

उपद्रव प्राचल: बहुप्राचल चरघातांकी कुलों में उपद्रव प्राचल हेतु पर्याप्त प्रतिदर्शज पर सप्रतिबंधन UMPU परीक्षण देता है। इसी प्रकार पारंपरिक प्रसामान्य परीक्षण इष्टतम हैं: σ अज्ञात सहित माध्यों हेतु एक- व द्वि-प्रतिदर्श t-परीक्षण, μ अज्ञात सहित σ² हेतु काई-वर्ग परीक्षण ((n − 1)S²/σ₀² पर आधारित, यथार्थ UMPU रूप में असमान पुच्छ प्रायिकताओं सहित), तथा दो प्रसरणों के अनुपात हेतु F-परीक्षण।

2. संभाविता अनुपात परीक्षण

संभाविता अनुपात Λ(x) = supθ∈Θ₀ L(θ)/supθ∈Θ L(θ) ∈ [0, 1], H₀ के अंतर्गत सर्वोत्तम समंजन की समग्र सर्वोत्तम से तुलना करता है; LRT छोटे Λ पर अस्वीकार करता है। यह मानक परीक्षण पुनः उत्पन्न करता है: σ ज्ञात सहित N(μ, σ²) हेतु −2 ln Λ = n(X̄ − μ₀)²/σ², अतः यह द्वि-पक्षीय Z-परीक्षण है (n = 25, X̄ = 10.6, μ₀ = 10, σ = 2 से 2.25); σ अज्ञात सहित Λ, |t| का ह्रासमान फलन है, t-परीक्षण; प्रसरण हेतु यह Σ(Xᵢ − X̄)²/σ₀² पर आधारित परीक्षण है जो दोनों पुच्छों में अस्वीकार करता है।

विल्क्स प्रमेय: नियमितता व H₀ के अंतर्गत −2 ln Λ → χ²_r, जहाँ r = dim Θ − dim Θ₀, H₀ द्वारा निर्धारित प्राचलों की संख्या। n = 10, ΣX = 30 व H₀: λ = 2 वाले प्वासों आँकड़ों हेतु −2 ln Λ = 2[ΣX ln(X̄/λ₀) − n(X̄ − λ₀)] = 2[30 ln 1.5 − 10] = 4.33, χ²₁ (5% बिंदु 3.84) से तुलना: अस्वीकार।

3. वाल्ड, स्कोर व संभाविता अनुपात: बृहत्-प्रतिदर्श त्रयी

H₀: θ = θ₀ के तीन अनंतस्पर्शी रूप से समतुल्य परीक्षण
परीक्षणप्रतिदर्शजआवश्यकता
संभाविता अनुपात−2 ln Λ = 2[ln L(θ̂) − ln L(θ₀)], लघु-संभाविता का अंतरदोनों समंजन
वाल्ड(θ̂ − θ₀)² nI(θ̂), θ̂ पर सूचनाकेवल अप्रतिबंधित MLE θ̂
स्कोर (राव)U(θ₀)²/(nI(θ₀)), स्कोर U = ∂ ln L/∂θकेवल θ₀ — कोई MLE नहीं

H₀ के अंतर्गत तीनों अनंतस्पर्शी रूप से समान स्वातंत्र्य-कोटियों वाले χ² हैं और बड़े n हेतु प्रथम कोटि तक सहमत हैं; वे परिमित प्रतिदर्शों में और जो निकालना पड़ता है उसमें भिन्न हैं। अनुपात हेतु स्कोर परीक्षण शून्य मानक त्रुटि √(p₀(1 − p₀)/n) और वाल्ड परीक्षण आकलित √(p̂(1 − p̂)/n) प्रयोग करता है।

4. बृहत्-प्रतिदर्श z-परीक्षण

बृहत्-प्रतिदर्श परीक्षण (z की N(0, 1) से तुलना)
परिकल्पनाप्रतिदर्शज
एक अनुपात, p = p₀(p̂ − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n)
दो अनुपात, p₁ = p₂(p̂₁ − p̂₂)/√(p̄(1 − p̄)(1/n₁ + 1/n₂)), p̄ pooled
प्वासों माध्य, λ = λ₀(X̄ − λ₀)/√(λ₀/n)
दो माध्य(X̄₁ − X̄₂)/√(S₁²/n₁ + S₂²/n₂)

उदाहरण: p₀ = 0.5 के विरुद्ध 400 में 220 सफलताएँ z = 0.05/0.025 = 2 देती हैं। 120 व 100 सफलताओं वाले 200-200 के दो समूह p̄ = 0.55, मानक त्रुटि √(0.2475 × 0.01) = 0.0497 व z = 0.1/0.0497 = 2.01 तक संयोजित होते हैं। λ₀ = 2 के विरुद्ध X̄ = 2.5 वाला 50 का प्वासों प्रतिदर्श z = 0.5/0.2 = 2.5 देता है। छोटे प्रसामान्य प्रतिदर्शों हेतु यथार्थ परीक्षण इनका स्थान लेते हैं: n = 16 हेतु t = (53 − 50)/(8/4) = 1.5, तथा n = 11, S² = 20, σ₀² = 10 हेतु प्रसरण प्रतिदर्शज (n − 1)S²/σ₀² = 10 × 20/10 = 20, जिसकी χ²₁₀ से तुलना करनी है।

⚠️ हर में कौन-सा प्रसरण जाता है
p = p₀ के परीक्षण में मानक त्रुटि H₀ के अंतर्गत, p₀ से निकाली जाती है — शून्य परिकल्पना प्रसरण बताती है। विश्वास्यता अंतराल में कोई परिकल्पित मान नहीं, अतः p̂ प्रयुक्त होता है। H₀: p₁ = p₂ के अंतर्गत दो अनुपातों हेतु प्रतिदर्शों को संयोजित करें; असंयोजित मानक त्रुटि p₁ − p₂ के अंतराल की है।

मुख्य बिंदु

  • अनभिनत: H₁ पर शक्ति ≥ α। UMP ⇒ अनभिनत; द्वि-पक्षीय Z-परीक्षण UMPU है, यद्यपि UMP नहीं।
  • θ = θ₀ हेतु चरघातांकी-कुल UMPU: E φ = α व E[Tφ] = αE T सहित [c₁, c₂] के बाहर अस्वीकार; सप्रतिबंधन उपद्रव प्राचल हटाता है (t, χ², F परीक्षण)।
  • LRT: Λ = supH₀L/sup L; −2 ln Λ → χ²_r, r प्रतिबंधों की संख्या (विल्क्स)।
  • वाल्ड अप्रतिबंधित MLE, स्कोर केवल θ₀, LRT दोनों प्रयोग करता है; तीनों अनंतस्पर्शी रूप से समान df वाले χ² हैं।
  • अनुपात हेतु z मानक त्रुटि में p₀ प्रयोग करता है; H₀ के अंतर्गत दो अनुपात संयोजित होते हैं; प्वासों √(λ₀/n) प्रयोग करता है।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. अनभिनत परीक्षणों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. UMP स्तर-α परीक्षण अनभिनत है
    2. σ ज्ञात सहित N(μ, σ²) हेतु समान-पुच्छ द्वि-पक्षीय Z-परीक्षण H₀: μ = μ₀ बनाम μ ≠ μ₀ हेतु UMPU है
    3. अनभिनत स्तर-α परीक्षण की शक्ति विकल्प के प्रत्येक बिंदु पर कम से कम α है
    4. प्रत्येक कुल में प्रत्येक संयुक्त परिकल्पना हेतु UMPU परीक्षण विद्यमान है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — UMP स्तर-α परीक्षण अनभिनत है; B — σ ज्ञात सहित N(μ, σ²) हेतु समान-पुच्छ द्वि-पक्षीय Z-परीक्षण H₀: μ = μ₀ बनाम μ ≠ μ₀ हेतु UMPU है; C — अनभिनत स्तर-α परीक्षण की शक्ति विकल्प के प्रत्येक बिंदु पर कम से कम α है

    (A) उसकी शक्ति कम से कम φ ≡ α जितनी, अर्थात् कम से कम α है। (B) प्रसामान्य सममित शून्य बंटन वाला चरघातांकी कुल है, अतः UMPU प्रतिबंध समान पुच्छ देते हैं। (C) परिभाषा। (D) असत्य: अस्तित्व प्रमेय चरघातांकी कुलों को समेटते हैं (दो पार्श्व प्रतिबंधों सहित); उनके बाहर UMPU परीक्षण का विद्यमान होना आवश्यक नहीं, और किसी मनमाने कुल व परिकल्पना हेतु उसकी कोई गारंटी नहीं।

  2. 3 × 4 आसंग सारणी में स्वतंत्रता के काई-वर्ग परीक्षण हेतु स्वातंत्र्य-कोटियों की संख्या ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6

    (r − 1)(c − 1) = 2 × 3 = 6: पूर्ण मॉडल में 11 मुक्त कोष्ठ प्रायिकताएँ हैं, स्वतंत्रता में (3 − 1) + (4 − 1) = 5, और विल्क्स गणना 11 − 5 = 6 है। rc − 1 = 11 लेना H₀ के अंतर्गत आकलित प्राचल भूलता है।

  3. X₁, …, X₁₀ i.i.d. प्वासों(λ) हैं, ΣXᵢ = 30 सहित। H₀: λ = 2 बनाम λ ≠ 2 हेतु संभाविता अनुपात प्रतिदर्शज −2 ln Λ, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4.33

    λ̂ = 3। ln L(λ) = ΣX ln λ − nλ + अचर, अतः −2 ln Λ = 2[30 ln(3/2) − 10(3 − 2)] = 2[30 × 0.40547 − 10] = 2 × 2.1640 = 4.33। यह χ²₁,₀.₀₅ = 3.84 से अधिक है। −n(λ̂ − λ₀) पद छोड़ना 24.3 देता है।

  4. 400 प्रयासों में 220 सफलताएँ हैं। H₀: p = 0.5 हेतु बृहत्-प्रतिदर्श परीक्षण प्रतिदर्शज z = (p̂ − p₀)/√(p₀(1 − p₀)/n) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    p̂ = 0.55, मानक त्रुटि √(0.25/400) = 0.025, z = 0.05/0.025 = 2। मानक त्रुटि में p̂ लेना (वाल्ड रूप) √(0.2475/400) = 0.0249 व z = 2.01 देता है — निकट, पर प्रश्न शून्य मानक त्रुटि निर्दिष्ट करता है।

  5. 200-200 के दो स्वतंत्र प्रतिदर्शों में 120 व 100 सफलताएँ हैं। H₀: p₁ = p₂ के अंतर्गत संयोजित अनुपात प्रयोग करते हुए z प्रतिदर्शज, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.01

    p̄ = 220/400 = 0.55; SE = √(0.55 × 0.45 × (1/200 + 1/200)) = √0.002475 = 0.04975; z = (0.60 − 0.50)/0.04975 = 2.01। असंयोजित SE √(0.24/200 + 0.25/200) = 0.0495 लेना 2.02 देता है।

  6. प्रसामान्य समष्टि से 16 के प्रतिदर्श में X̄ = 53 व S = 8 है। H₀: μ = 50 हेतु t प्रतिदर्शज, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.5

    t = (X̄ − μ₀)/(S/√n) = 3/(8/4) = 1.5, 15 स्वातंत्र्य-कोटियों सहित। S/√n के स्थान पर S से भाग देना 0.375 देता है।

  7. X₁, …, Xₙ i.i.d. N(μ, σ²) हैं, μ अज्ञात। H₀: σ² = σ₀² बनाम σ² ≠ σ₀² का संभाविता अनुपात परीक्षण H₀ अस्वीकार करता है जब:

    1. Σ(Xᵢ − X̄)²/σ₀² बहुत छोटा या बहुत बड़ा हो
    2. केवल Σ(Xᵢ − X̄)²/σ₀² बहुत बड़ा हो
    3. |X̄ − μ₀| बड़ा हो
    4. ΣXᵢ²/σ₀² बहुत बड़ा हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — Σ(Xᵢ − X̄)²/σ₀² बहुत छोटा या बहुत बड़ा हो

    V = Σ(Xᵢ − X̄)²/σ₀² सहित Λ = (V/n)n/2 e−(V − n)/2, जो छोटा है जब V/n किसी भी दिशा में 1 से दूर हो — χ²n−1 प्रतिदर्शज में द्वि-पुच्छ परीक्षण। केवल उपरि-पुच्छ परीक्षण एक-पक्षीय विकल्प σ² > σ₀² हेतु है; ΣXᵢ² तभी सही होता जब μ = 0 ज्ञात हो।

  8. प्रसामान्य समष्टि से 11 के प्रतिदर्श में S² = 20 है। H₀: σ² = 10 हेतु काई-वर्ग प्रतिदर्शज (n − 1)S²/σ₀² ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 20

    (11 − 1) × 20/10 = 20, χ²₁₀ से तुलना हेतु; यह उपरि 5% बिंदु 18.307 से अधिक है, अतः 5% पर σ² > 10 के विरुद्ध H₀ अस्वीकार। n − 1 के स्थान पर n = 11 लेना 22 देता है।

  9. H₀: θ = θ₀ के वाल्ड, स्कोर व संभाविता अनुपात परीक्षणों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं (सामान्य नियमितता प्रतिबंधों के अंतर्गत)?

    1. H₀ के अंतर्गत तीनों प्रतिदर्शज अनंतस्पर्शी रूप से समान स्वातंत्र्य-कोटियों वाले χ² हैं
    2. स्कोर परीक्षण को अप्रतिबंधित MLE चाहिए
    3. वाल्ड परीक्षण अप्रतिबंधित MLE से बनता है
    4. बड़े n हेतु H₀ के अंतर्गत −2 ln Λ व वाल्ड प्रतिदर्शज लगभग समान हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — H₀ के अंतर्गत तीनों प्रतिदर्शज अनंतस्पर्शी रूप से समान स्वातंत्र्य-कोटियों वाले χ² हैं; C — वाल्ड परीक्षण अप्रतिबंधित MLE से बनता है; D — बड़े n हेतु H₀ के अंतर्गत −2 ln Λ व वाल्ड प्रतिदर्शज लगभग समान हैं

    (A) मानक अनंतस्पर्शी परिणाम। (B) असत्य: स्कोर परीक्षण U(θ₀) व I(θ₀) केवल शून्य मान पर निकालता है — उसका व्यावहारिक लाभ। (C) यह (θ̂ − θ₀) को उसकी आकलित मानक त्रुटि की इकाइयों में मापता है। (D) θ̂ के परितः ln L का द्वितीय-कोटि टेलर प्रसार −2 ln Λ = n I(θ̂)(θ̂ − θ₀)² + o_p(1) देता है।

  10. स्वतंत्र प्रसामान्य प्रतिदर्शों में S₁² = 12 (n₁ = 11) व S₂² = 4 (n₂ = 16) है। H₀: σ₁² = σ₂² हेतु F प्रतिदर्शज, बड़े प्रसरण को अंश में रखते हुए, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3

    F = S₁²/S₂² = 12/4 = 3, (n₁ − 1, n₂ − 1) = (10, 15) स्वातंत्र्य-कोटियों सहित। मानक विचलन लेना √3 = 1.73 देता है; F प्रतिदर्शज प्रसरणों का अनुपात है।

  11. प्राकृतिक प्रतिदर्शज T वाले एक-प्राचल चरघातांकी कुल हेतु H₀: θ = θ₀ बनाम θ ≠ θ₀ का UMPU स्तर-α परीक्षण T < c₁ या T > c₂ पर अस्वीकार करता है। अचर निर्धारित होते हैं:

    1. Eθ₀φ(T) = α तथा Eθ₀[Tφ(T)] = α Eθ₀T से
    2. प्रत्येक स्थिति में Pθ₀(T < c₁) = Pθ₀(T > c₂) = α/2 से
    3. केवल Eθ₀φ(T) = α से
    4. c₁ = Eθ₀T − zα/2 व c₂ = Eθ₀T + zα/2 से
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — E_{θ₀}φ(T) = α तथा E_{θ₀}[Tφ(T)] = α E_{θ₀}T से

    आमाप α एक समीकरण देता है; अनभिनतता शक्ति फलन को θ₀ पर न्यूनतम, अर्थात् वहाँ शून्य अवकलज, बाध्य करती है, जो चरघातांकी कुल हेतु Eθ₀[Tφ] = αEθ₀T है। समान पुच्छ दूसरा प्रतिबंध केवल तब संतुष्ट करते हैं जब T का शून्य बंटन सममित हो; केवल आमाप एक अचर मुक्त छोड़ देता है।

  12. प्वासों(λ) समष्टि से 50 के प्रतिदर्श में X̄ = 2.5 है। H₀: λ = 2 हेतु बृहत्-प्रतिदर्श प्रतिदर्शज z = (X̄ − λ₀)/√(λ₀/n), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.5

    H₀ के अंतर्गत X̄ का प्रसरण λ₀/n = 2/50 = 0.04, SE = 0.2, अतः z = 0.5/0.2 = 2.5। n से भाग दिए बिना √λ₀ लेना 0.35 देता है।

  13. X₁, …, X₂₅ i.i.d. N(μ, 4) हैं, X̄ = 10.6 सहित। H₀: μ = 10 बनाम μ ≠ 10 हेतु संभाविता अनुपात प्रतिदर्शज −2 ln Λ, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2.25

    −2 ln Λ = n(X̄ − μ₀)²/σ² = 25 × 0.36/4 = 2.25 — z = 0.6/0.4 = 1.5 का वर्ग, इसीलिए यहाँ LRT ठीक द्वि-पक्षीय Z-परीक्षण है। σ² = 4 के स्थान पर σ = 2 लेना 4.5 देता है।

  14. विल्क्स प्रमेय से −2 ln Λ के सीमांत χ² बंटन की स्वातंत्र्य-कोटियाँ बराबर हैं:

    1. H₀ द्वारा निर्धारित प्राचलों की संख्या (dim Θ − dim Θ₀)
    2. प्रतिदर्श आमाप घटा एक
    3. पूर्ण मॉडल में प्राचलों की संख्या
    4. सदा 1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — H₀ द्वारा निर्धारित प्राचलों की संख्या (dim Θ − dim Θ₀)

    सीमा H₀ द्वारा लगाए प्रतिबंधों को गिनती है: तीन मुक्त माध्यों में μ₁ = μ₂ = μ₃ का परीक्षण दो विषमताएँ निर्धारित करता है, χ²₂ देते हुए। प्रतिदर्श आमाप सन्निकटन की यथार्थता पर प्रभाव डालता है, उसकी स्वातंत्र्य-कोटियों पर नहीं।