परिकल्पना परीक्षण I: आमाप, शक्ति व p-मान, नेमन–पियर्सन प्रमेयिका, एकदिष्ट संभाविता अनुपात व एकसमान सर्वाधिक शक्तिशाली परीक्षण

GATE सांख्यिकी पेपर का खंड 9 परीक्षणों का इष्टतमता सिद्धांत है, और वह स्वाभाविक रूप से दो भागों में बँटता है, अतः उसके दो अध्याय हैं। यह पहला परिभाषाओं से आरंभ करता है — परिकल्पनाएँ, क्रांतिक क्षेत्र, दो त्रुटियाँ, आमाप, स्तर, शक्ति व p-मान, तथा असतत आँकड़ों हेतु यादृच्छिकीकृत परीक्षण — और नेमन–पियर्सन प्रमेयिका व सर्वाधिक शक्तिशाली परीक्षणों, एकदिष्ट संभाविता अनुपात (MLR) गुण, तथा MLR वाले कुलों हेतु एकसमान सर्वाधिक शक्तिशाली (UMP) परीक्षणों तक जाता है। दूसरा अध्याय वे स्थितियाँ लेता है जहाँ कोई UMP परीक्षण विद्यमान नहीं: UMP अनभिनत परीक्षण, संभाविता अनुपात परीक्षण व बृहत्-प्रतिदर्श परीक्षण। यहाँ प्रत्येक p-मान उस सारणी मान से निकाला गया है जो प्रश्न स्वयं बताता है।

1. परिकल्पनाएँ, त्रुटियाँ, आमाप, शक्ति व p-मान

परिकल्पना सरल है यदि वह बंटन पूर्णतः निर्दिष्ट करे (θ = θ₀) और अन्यथा संयुक्त (θ ≤ θ₀)। परीक्षण एक क्रांतिक क्षेत्र C है, या व्यापकतः एक परीक्षण फलन φ(x) ∈ [0, 1], x पर H₀ अस्वीकार करने की प्रायिकता। सत्य H₀ को अस्वीकार करना प्रकार I त्रुटि है, असत्य को स्वीकार करना प्रकार II त्रुटि। शक्ति फलन β(θ) = E_θφ(X) = P_θ(H₀ अस्वीकार) है; आमाप supθ∈Θ₀ β(θ) है, और परीक्षण स्तर α का है यदि उसका आमाप अधिक से अधिक α हो। θ ∈ Θ₁ पर शक्ति, 1 − P(प्रकार II त्रुटि) है।

p-मान वह न्यूनतम स्तर है जिस पर प्रेक्षित आँकड़े अस्वीकार करते: दक्षिण-पुच्छ Z-परीक्षण हेतु p = 1 − Φ(z_obs); द्वि-पक्षीय हेतु p = 2[1 − Φ(|z_obs|)]। z = 2.33 व Φ(2.33) = 0.9901 सहित एक-पक्षीय p-मान 0.0099 व द्वि-पक्षीय 0.0198 है। p-मान H₀ को सत्य मानकर निकाला जाता है; वह H₀ के सत्य होने की प्रायिकता नहीं।

असतत प्रतिदर्शज प्रत्येक आमाप ठीक-ठीक प्राप्त नहीं कर सकते, अतः यादृच्छिकीकृत परीक्षण सीमा के भाग पर सीधे अस्वीकार करता है और सीमा-बिंदु पर प्रायिकता γ से। X ~ Bin(5, p), H₀: p = 1/2 बनाम p > 1/2, आमाप 0.05: P(X = 5) = 1/32 = 0.03125 व P(X = 4) = 5/32, अतः X = 5 पर अस्वीकार करें और X = 4 पर प्रायिकता γ = (0.05 − 0.03125)/0.15625 = 0.12 से।

2. नेमन–पियर्सन प्रमेयिका व सर्वाधिक शक्तिशाली परीक्षण

सरल बनाम सरल, H₀: f = f₀ बनाम H₁: f = f₁ हेतु नेमन–पियर्सन प्रमेयिका कहती है कि जो परीक्षण f₁(x)/f₀(x) > k होने पर अस्वीकार करे, < k पर स्वीकार करे और समता पर यादृच्छिकीकरण करे, k (व γ) आमाप α देने हेतु चुने हुए, वह स्तर α का सर्वाधिक शक्तिशाली है; और प्रत्येक सर्वाधिक शक्तिशाली परीक्षण (लगभग सर्वत्र) इसी रूप का है। कार्य सदा एक ही है: संभाविता अनुपात लिखें, दिखाएँ कि वह किसी प्रतिदर्शज T में एकदिष्ट है, "अनुपात > k" को "T > c" में बदलें, और T के शून्य बंटन से c चुनें।

  • प्रसामान्य माध्य: σ ज्ञात सहित N(μ, σ²), H₀: μ = μ₀ बनाम μ = μ₁ > μ₀। अनुपात X̄ में वर्धमान है, अतः MP परीक्षण X̄ > μ₀ + z_α σ/√n होने पर अस्वीकार करता है। μ₀ = 10, μ₁ = 12, σ/√n = 1 व α = 0.05 सहित c = 11.645 और शक्ति P(Z > −0.355) = Φ(0.355) = 0.6387।
  • एकल प्रेक्षण: H₀: X ~ U(0, 1) बनाम H₁: f₁(x) = 2x। अनुपात 2x वर्धमान है, अतः X > c पर अस्वीकार करें; आमाप 0.05 से c = 0.95 व शक्ति ∫0.95^1 2x dx = 1 − 0.95² = 0.0975।
  • द्विपद: Bin(10, p), H₀: p = 0.5 बनाम p = 0.8, X ≥ 9 हेतु अस्वीकार: आमाप = (10 + 1)/1024 = 0.0107, शक्ति = 10(0.8)⁹(0.2) + 0.8¹⁰ = 0.376।
🎯 सर्वाधिक शक्तिशाली परीक्षण अपने आमाप से नीचे क्यों नहीं जाता
तुच्छ परीक्षण φ ≡ α का आमाप α व शक्ति α है। सर्वाधिक शक्तिशाली परीक्षण को कम से कम उतना अच्छा करना चाहिए, अतः उसकी शक्ति कम से कम α है — MP परीक्षण स्वतः अनभिनत है। यही तुलना प्रमेयिका के प्रमाण का प्रथम चरण है।

3. एकदिष्ट संभाविता अनुपात गुण

कुल {f(x; θ)} में T(x) में MLR है यदि प्रत्येक θ₁ < θ₂ हेतु अनुपात f(x; θ₂)/f(x; θ₁), T(x) का अह्रासमान फलन हो। एक-प्राचल चरघातांकी कुल f = h(x)c(θ)ew(θ)T(x) में, w वर्धमान होने पर, T में MLR है। अतः द्विपद (ΣX में), प्वासों (ΣX), σ ज्ञात वाला प्रसामान्य माध्य (X̄), μ ज्ञात वाला प्रसामान्य प्रसरण (Σ(X − μ)²), तथा माध्य θ वाला चरघातांकी (ΣX), सभी में MLR है। U(0, θ) चरघातांकी कुल नहीं पर उसमें X₍ₙ₎ में MLR है: X₍ₙ₎ ≤ θ₁ हेतु अनुपात (θ₁/θ₂)ⁿ व θ₁ < X₍ₙ₎ ≤ θ₂ हेतु ∞ है। कौशी स्थान कुल में MLR नहीं है: उसका अनुपात बढ़ता है और फिर x → ±∞ पर वापस 1 की ओर गिरता है।

4. एकसमान सर्वाधिक शक्तिशाली परीक्षण

स्तर-α परीक्षण संयुक्त H₁ के विरुद्ध UMP है यदि वह एक साथ प्रत्येक θ ∈ Θ₁ के विरुद्ध सर्वाधिक शक्तिशाली हो। कार्लिन–रुबिन: यदि कुल में T में MLR हो, तो जो परीक्षण T > c पर अस्वीकार करे (T = c पर यादृच्छिकीकरण), Pθ₀(अस्वीकार) = α सहित, वह H₀: θ ≤ θ₀ बनाम H₁: θ > θ₀ हेतु स्तर α का UMP है, और उसका शक्ति फलन अह्रासमान है। कारण: θ₀ बनाम किसी भी θ₁ > θ₀ का NP परीक्षण उसी c सहित "T > c" है, अतः एक परीक्षण सभी के विरुद्ध सर्वोत्तम है, और शक्ति की एकदिष्टता θ₀ पर आमाप बनाए रखती है।

  • U(0, θ): H₀: θ ≤ 1 बनाम θ > 1, X₍ₙ₎ > c पर अस्वीकार, cⁿ = 1 − α सहित। n = 5 व α = 0.05 हेतु θ = 2 पर शक्ति 1 − (c/2)⁵ = 1 − 0.95/32 = 0.970।
  • प्वासों: X ~ प्वासों(λ), H₀: λ ≤ 1 बनाम λ > 1, X ≥ 3 हेतु अस्वीकार: आमाप = 1 − e−1(1 + 1 + 1/2) = 0.080।
  • माध्य θ वाला चरघातांकी: H₀: θ ≤ θ₀ बनाम θ > θ₀, ΣXᵢ > c पर अस्वीकार, 2ΣXᵢ/θ₀ ~ χ²2n से c।
⚠️ द्वि-पक्षीय विकल्प के विरुद्ध कोई UMP परीक्षण नहीं
N(μ, 1), H₀: μ = 0 बनाम H₁: μ ≠ 0 हेतु μ > 0 के विरुद्ध MP परीक्षण बड़े X̄ पर और μ < 0 के विरुद्ध MP परीक्षण छोटे X̄ पर अस्वीकार करता है। कोई एक परीक्षण दोनों ओर सर्वोत्तम नहीं, अतः कोई UMP परीक्षण विद्यमान नहीं। मानक उपाय वर्ग को सीमित करना है — अनभिनत परीक्षणों तक — जहाँ से अगला अध्याय आरंभ होता है।

मुख्य बिंदु

  • आमाप = H₀ पर शक्ति का sup; H₁ पर शक्ति = 1 − P(प्रकार II); p-मान H₀ मानता है और P(H₀ सत्य) नहीं है।
  • असतत आँकड़ों को सीमा पर यादृच्छिकीकरण चाहिए: γ = (α − P(आगे))/P(सीमा)।
  • नेमन–पियर्सन: f₁/f₀ > k पर अस्वीकार। अनुपात को एक प्रतिदर्शज व उसके शून्य बंटन से कट-ऑफ़ में बदलें।
  • MLR: वर्धमान w(θ) वाले चरघातांकी कुल, और X₍ₙ₎ में U(0, θ); कौशी स्थान कुल में नहीं।
  • कार्लिन–रुबिन: T में MLR ⇒ "T > c पर अस्वीकार" एक-पक्षीय परिकल्पनाओं हेतु UMP; द्वि-पक्षीय विकल्पों हेतु कोई UMP परीक्षण नहीं।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. X̄, N(μ, 25) से 25 प्रेक्षणों का माध्य है। H₀: μ = 10 बनाम H₁: μ = 12 के परीक्षण हेतु परीक्षण X̄ > 11.645 पर H₀ अस्वीकार करता है (आमाप 0.05)। Φ(0.355) = 0.6387 प्रयोग करते हुए परीक्षण की शक्ति, चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.6387

    μ = 12 के अंतर्गत X̄ ~ N(12, 1), अतः शक्ति = P(X̄ > 11.645) = P(Z > −0.355) = Φ(0.355) = 0.6387। 1 − 0.6387 = 0.3613 उत्तर इसके स्थान पर प्रकार II त्रुटि की प्रायिकता देता है।

  2. X ~ Bin(10, p)। H₀: p = 0.5 का परीक्षण X ≥ 9 पर H₀ अस्वीकार करता है। उसका आमाप, चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.0107

    P(X ≥ 9 | p = 0.5) = [C(10, 9) + C(10, 10)]/2¹⁰ = 11/1024 = 0.01074 → 0.0107। केवल X = 10 गिनना 1/1024 = 0.001 देता है।

  3. X ~ Bin(10, p) सहित X ≥ 9 पर H₀: p = 0.5 अस्वीकार करने वाले परीक्षण की p = 0.8 पर शक्ति, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.376

    P(X ≥ 9 | p = 0.8) = 10(0.8)⁹(0.2) + (0.8)¹⁰ = 0.8⁹(2 + 0.8) = 0.13422 × 2.8 = 0.3758 → 0.376। 0.8¹⁰ = 0.107 पर रुकना परिणाम X = 9 छोड़ देता है।

  4. एक द्वि-पक्षीय Z-परीक्षण प्रेक्षित प्रतिदर्शज z = 2.33 देता है। Φ(2.33) = 0.9901 प्रयोग करते हुए p-मान, चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.0198

    p = 2[1 − Φ(2.33)] = 2 × 0.0099 = 0.0198। एक-पक्षीय मान 0.0099 उसका आधा है, और 0.9901 प्रेक्षित मान से नीचे की प्रायिकता है, उसके आगे की नहीं।

  5. X₁, …, X₅ i.i.d. U(0, θ) हैं। H₀: θ ≤ 1 बनाम H₁: θ > 1 का UMP आमाप-0.05 परीक्षण X₍₅₎ > c पर H₀ अस्वीकार करता है। θ = 2 पर इस परीक्षण की शक्ति, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.970

    आमाप: Pθ=1(X₍₅₎ > c) = 1 − c⁵ = 0.05, अतः c⁵ = 0.95। θ = 2 पर शक्ति: 1 − (c/2)⁵ = 1 − 0.95/32 = 0.9703 → 0.970। स्वयं c निकालना आवश्यक नहीं; पंचम घात से पहले (c/2) को 0.95/2 मानना बचने योग्य चूक है।

  6. किन कुलों में दिए प्रतिदर्शज में एकदिष्ट संभाविता अनुपात गुण है?

    1. प्वासों(λ), ΣXᵢ में
    2. U(0, θ), X₍ₙ₎ में
    3. कौशी स्थान कुल, एकल प्रेक्षण X में
    4. N(0, σ²), ΣXᵢ² में
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्वासों(λ), ΣXᵢ में; B — U(0, θ), X₍ₙ₎ में; D — N(0, σ²), ΣXᵢ² में

    (A) अनुपात (λ₂/λ₁)ΣX e−n(λ₂−λ₁) है, λ₂ > λ₁ हेतु ΣX में वर्धमान। (B) X₍ₙ₎ ≤ θ₁ तक (θ₁/θ₂)ⁿ, फिर ∞ — अह्रासमान। (C) असत्य: [1 + (x − θ₁)²]/[1 + (x − θ₂)²] दोनों सिरों पर 1 की ओर जाता है और बीच में शिखर बनाता है। (D) अचर तक exp[(1/(2σ₁²) − 1/(2σ₂²))ΣX²], σ₂ > σ₁ हेतु ΣX² में वर्धमान।

  7. X₁, …, Xₙ i.i.d. N(μ, 1) हैं। स्तर α पर H₀: μ = 0 बनाम H₁: μ ≠ 0 हेतु:

    1. कोई UMP परीक्षण विद्यमान नहीं
    2. X̄ > z_α/√n पर अस्वीकार करने वाला परीक्षण UMP है
    3. |X̄| > zα/2/√n पर अस्वीकार करने वाला परीक्षण UMP है
    4. प्रत्येक स्तर-α परीक्षण की शक्ति समान है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — कोई UMP परीक्षण विद्यमान नहीं

    μ > 0 के विरुद्ध अद्वितीय MP परीक्षण बड़े X̄ पर, μ < 0 के विरुद्ध छोटे X̄ पर अस्वीकार करता है; कोई परीक्षण दोनों से संपाती नहीं हो सकता। एक-पक्षीय परीक्षण की शक्ति μ < 0 हेतु α से कम है। द्वि-पक्षीय परीक्षण केवल अनभिनत परीक्षणों में UMP (UMPU) है, सभी स्तर-α परीक्षणों में नहीं।

  8. एकल प्रेक्षण X से H₀: X ~ U(0, 1) बनाम H₁: X का घनत्व (0, 1) पर 2x है, का परीक्षण किया जाता है। आमाप 0.05 वाले सर्वाधिक शक्तिशाली परीक्षण की शक्ति, चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.0975

    f₁/f₀ = 2x वर्धमान है, अतः MP परीक्षण X > c पर अस्वीकार करता है; P₀(X > c) = 1 − c = 0.05 से c = 0.95। शक्ति = P₁(X > 0.95) = 1 − 0.95² = 0.0975 — आमाप से बमुश्किल अधिक, क्योंकि एक प्रेक्षण कम सूचना वहन करता है। छोटे X पर अस्वीकार करना शक्ति 0.0025 देता है, α से बहुत कम।

  9. परीक्षणों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. परीक्षण का आमाप शून्य प्राचल समुच्चय पर उसके शक्ति फलन का उच्चक है
    2. p-मान H₀ के सत्य होने की प्रायिकता है
    3. विकल्प में θ पर शक्ति = 1 − P(प्रकार II त्रुटि)
    4. स्तर α के परीक्षण का आमाप अधिक से अधिक α है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — परीक्षण का आमाप शून्य प्राचल समुच्चय पर उसके शक्ति फलन का उच्चक है; C — विकल्प में θ पर शक्ति = 1 − P(प्रकार II त्रुटि); D — स्तर α के परीक्षण का आमाप अधिक से अधिक α है

    (A), (C), (D) परिभाषाएँ हैं। (B) असत्य: p-मान P(प्रेक्षित जितने या अधिक चरम आँकड़े | H₀) है, H₀ के अंतर्गत निकाली प्रायिकता, H₀ की प्रायिकता नहीं — बारंबारतावादी ढाँचे में H₀ यादृच्छिक है ही नहीं।

  10. X ~ Bin(5, p)। H₀: p = 1/2 बनाम H₁: p > 1/2 का एक यादृच्छिकीकृत परीक्षण X = 5 पर अस्वीकार करता है और X = 4 पर प्रायिकता γ से। γ का वह मान जो आमाप ठीक 0.05 बनाए, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.12

    P(X = 5) + γP(X = 4) = 1/32 + γ(5/32) = 0.05 से γ = (0.05 − 0.03125)/0.15625 = 0.12। X ≥ 4 पर सीधे अस्वीकार करना आमाप 6/32 = 0.1875 देता, बहुत बड़ा; केवल 5 पर अस्वीकार करना 0.03125, बहुत छोटा।

  11. X₁, …, Xₙ माध्य θ वाले i.i.d. चरघातांकी हैं। H₀: θ ≤ θ₀ बनाम H₁: θ > θ₀ का UMP स्तर-α परीक्षण H₀ अस्वीकार करता है जब:

    1. ΣXᵢ > c
    2. ΣXᵢ < c
    3. X₍₁₎ > c
    4. |ΣXᵢ − nθ₀| > c
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ΣXᵢ > c

    f = θ⁻ⁿ e−ΣX/θ: w(θ) = −1/θ वर्धमान है, अतः कुल में ΣX में MLR है और कार्लिन–रुबिन "बड़े ΣX पर अस्वीकार" देता है, c सहित 2ΣX/θ₀ ~ χ²2n से। बड़ा माध्य बड़े प्रेक्षणों को अधिक संभाव्य बनाता है, अतः छोटे ΣX पर अस्वीकार करना उलटी दिशा है; न्यूनतम पर्याप्त नहीं।

  12. X ~ प्वासों(λ)। X ≥ 3 पर अस्वीकार करने वाले H₀: λ = 1 के परीक्षण का आमाप, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.080

    P(X ≥ 3) = 1 − e−1(1 + 1 + 1/2) = 1 − 2.5 × 0.36788 = 0.0803 → 0.080। x = 2 पद 1/2! छोड़ना 1 − 2e−1 = 0.264 देता है, "X ≥ 2 पर अस्वीकार" का आमाप।

  13. प्रकार I त्रुटि है:

    1. H₀ सत्य होने पर उसे अस्वीकार करना
    2. H₀ असत्य होने पर उसे स्वीकार करना
    3. H₁ सत्य होने पर H₀ अस्वीकार करना
    4. H₁ सत्य होने पर H₁ स्वीकार करना
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — H₀ सत्य होने पर उसे अस्वीकार करना

    प्रकार I त्रुटि मिथ्या अस्वीकृति है; H₀ पर अधिकतम की गई उसकी प्रायिकता आमाप है। असत्य H₀ स्वीकार करना प्रकार II त्रुटि है; H₁ सत्य होने पर H₀ अस्वीकार करना सही निर्णय है जिसकी प्रायिकता शक्ति है।