संयुक्त बंटन II: यादृच्छिक सदिशों के फलन, क्रम प्रतिदर्शज, तथा काई-वर्ग, t व F प्रतिचयन बंटन

GATE सांख्यिकी पेपर के खंड 5 का दूसरा अध्याय, उस पर जो खंड द्विचर प्रसामान्य के बाद नामित करता है: यादृच्छिक सदिश के फलन व उनके बंटन, जैकोबियन, संवलन व आघूर्ण जनक फलन विधियों से; क्रम प्रतिदर्शजों के बंटन, एक-एक व संयुक्त रूप से; तथा प्रतिचयन बंटन — केंद्रीय काई-वर्ग, केंद्रीय t व केंद्रीय F — प्रसामान्य प्रतिदर्श के उन तथ्यों सहित जिन पर आकलन व परीक्षण टिके हैं: X̄ व S² की स्वतंत्रता, तथा (n − 1)S²/σ² का काई-वर्ग नियम। खंड 5 के दो-अंक आंकिक प्रश्न प्रायः जैकोबियन, क्रम-प्रतिदर्शज व प्रतिचयन-बंटन गणनाओं से ही आते हैं।

1. यादृच्छिक सदिश के फलन

जैकोबियन विधि: यदि (U, V) = g(X, Y) एकैकी हो, प्रतिलोम (x(u, v), y(u, v)) सहित, तो आधार की छवि पर fU,V(u, v) = fX,Y(x(u, v), y(u, v)) |∂(x, y)/∂(u, v)|। एक फलन U का बंटन पाने हेतु एक सुविधाजनक सहचर V लाएँ, रूपांतरित करें, और V को समाकलित कर हटा दें।

उदाहरण: X, Y स्वतंत्र Exp(1); U = X + Y, V = X/(X + Y)। तब x = uv, y = u(1 − v), |J| = u, तथा u > 0, 0 < v < 1 पर fU,V = e−u · u। यह गुणनखंडित होता है: U ~ Gamma(2, 1) व V ~ U(0, 1), स्वतंत्र। अतः P(V ≤ 0.3, U ≤ 1) = 0.3 × (1 − 2e−1) = 0.079। Gamma(a) व Gamma(b) हेतु यही गणना β₁(a, b) अनुपात से स्वतंत्र Gamma(a + b) योग देती है।

  • संवलन: स्वतंत्र X, Y हेतु fX+Y(z) = ∫ f_X(x) f_Y(z − x) dx। दो U(0, 1), (0, 2) पर त्रिभुज min(z, 2 − z) देते हैं, z = 1.5 पर मान 0.5 सहित।
  • आघूर्ण जनक फलन विधि: स्वतंत्र X, Y हेतु MX+Y = M_X M_Y, फिर गुणनफल पहचानें: n स्वतंत्र Exp(λ), (1 − t/λ)−n, Gamma(n, λ) का आघूर्ण जनक फलन देते हैं।
  • प्रसामान्यों के अनुपात: स्वतंत्र N(0, 1) हेतु X/Y मानक कौशी है; स्वतंत्र V ~ χ²_k सहित Z/√(V/k), t_k है।

2. क्रम प्रतिदर्शज

घनत्व f वाले संतत F से i.i.d. प्रतिदर्श हेतु क्रमित मान X₍₁₎ < … < X₍ₙ₎ के

क्रम प्रतिदर्शजों के बंटन
प्रतिदर्शजघनत्व या CDF
अधिकतम X₍ₙ₎F₍ₙ₎(x) = F(x)ⁿ
न्यूनतम X₍₁₎F₍₁₎(x) = 1 − [1 − F(x)]ⁿ
r-वाँ, X₍ᵣ₎n!/[(r − 1)!(n − r)!] Fr−1(1 − F)n−r f
संयुक्त (X₍ᵣ₎, X₍ₛ₎), r < s, x < yn!/[(r−1)!(s−r−1)!(n−s)!] F(x)r−1[F(y) − F(x)]s−r−1[1 − F(y)]n−s f(x)f(y)
सभी n संयुक्तn! f(x₁)…f(xₙ) on x₁ < … < xₙ
  • एकसमान प्रतिदर्श: X₍ᵣ₎ ~ β₁(r, n − r + 1), अतः E X₍ᵣ₎ = r/(n + 1); 4 के अधिकतम का माध्य 4/5, 3 का मध्य β₁(2, 2) है प्रसरण 1/20 सहित। (X₍₁₎, X₍ₙ₎) का संयुक्त घनत्व 0 < x < y < 1 पर n(n − 1)(y − x)n−2 है, और परिसर का माध्य (n − 1)/(n + 1)।
  • चरघातांकी प्रतिदर्श: X₍₁₎ ~ Exp(nλ), तथा अंतराल X₍ᵢ₎ − X₍ᵢ₋₁₎ स्वतंत्र Exp((n − i + 1)λ) हैं। अतः E X₍ₙ₎ = (1/λ)(1 + 1/2 + … + 1/n): तीन Exp(1) हेतु 11/6।
🧠 क्रम-प्रतिदर्शज घनत्व को गणना की तरह पढ़ें
x पर X₍ᵣ₎ का घनत्व कहता है: r − 1 प्रेक्षण x से नीचे (Fr−1), एक x पर (f), और n − r ऊपर (1 − F)n−r, बहुपद गुणांक तरीकों को गिनता है। इस तरह लिखने पर सारणी का प्रत्येक सूत्र याद करने के स्थान पर क्षणों में पुनर्निर्मित हो जाता है।

3. केंद्रीय काई-वर्ग, t व F बंटन

प्रतिचयन बंटन
बंटननिर्माणमाध्यप्रसरण
χ²_kZ₁² + … + Z_k², Zᵢ i.i.d. N(0, 1) = Gamma(k/2, दर 1/2)k2k
t_kZ/√(V/k), V ~ χ²_k, Z से स्वतंत्र0 (k > 1)k/(k − 2) (k > 2)
F(m, n)(U/m)/(V/n), U ~ χ²_m, V ~ χ²_n स्वतंत्रn/(n − 2) (n > 2)2n²(m + n − 2)/[m(n − 2)²(n − 4)] (n > 4)
  • स्वतंत्र योज्यों हेतु χ²_m + χ²_n = χ²m+n; χ²₂ माध्य 2 वाला चरघातांकी है, अतः P(χ²₂ > 4) = e−2 = 0.135।
  • k → ∞ पर t_k → N(0, 1); t₁ मानक कौशी है; T ~ t_k ⇒ T² ~ F(1, k)।
  • F ~ F(m, n) ⇒ 1/F ~ F(n, m), अतः निम्न F क्वांटाइल उपरि से मिलते हैं: F1−α(m, n) = 1/F_α(n, m)।

4. प्रसामान्य समष्टि से प्रतिचयन

X₁, …, Xₙ i.i.d. N(μ, σ²) हेतु: X̄ ~ N(μ, σ²/n); X̄ व S² स्वतंत्र हैं; (n − 1)S²/σ² ~ χ²n−1; √n(X̄ − μ)/S ~ tn−1। अतः Var(S²) = 2σ⁴/(n − 1)। दो स्वतंत्र प्रसामान्य प्रतिदर्शों हेतु (S₁²/σ₁²)/(S₂²/σ₂²) ~ F(n₁ − 1, n₂ − 1)। X̄ व S² की स्वतंत्रता प्रसामान्य को अभिलक्षित करती है: यह किसी अन्य बंटन हेतु सत्य नहीं।

⚠️ n − 1, n नहीं
स्वातंत्र्य-कोटियाँ n − 1 हैं क्योंकि एक रैखिक प्रतिबंध, Σ(Xᵢ − X̄) = 0, μ के आकलन में व्यय होता है। n = 10 सहित √n(X̄ − μ)/S, t₉ है, और 9S²/σ², χ²₉। μ ज्ञात होने पर Σ(Xᵢ − μ)²/σ², χ²_n है — एकमात्र स्थान जहाँ स्वयं n आता है।

मुख्य बिंदु

  • fU,V = fX,Y · |∂(x, y)/∂(u, v)|; समान दर वाले गामा हेतु योग अनुपात से स्वतंत्र होता है, जो बीटा है।
  • X₍ₙ₎ का CDF Fⁿ, X₍₁₎ का 1 − (1 − F)ⁿ; X₍ᵣ₎ घनत्व = नीचे की गणना × घनत्व × ऊपर की गणना।
  • एकसमान: X₍ᵣ₎ ~ β₁(r, n − r + 1), माध्य r/(n + 1)। चरघातांकी: न्यूनतम Exp(nλ); E अधिकतम = (1/λ)Σ1/i।
  • χ²_k: माध्य k, प्रसरण 2k; t_k प्रसरण k/(k − 2); F(m, n) माध्य n/(n − 2); t² ~ F(1, k); t₁ कौशी है।
  • प्रसामान्य प्रतिदर्श: X̄ ⊥ S², (n − 1)S²/σ² ~ χ²n−1, √n(X̄ − μ)/S ~ tn−1।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. X व Y स्वतंत्र U(0, 1) हैं। बिंदु 1.5 पर X + Y का घनत्व, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.5

    fX+Y(z) = ∫ 1{0 < x < 1} 1{0 < z − x < 1} dx = 1 < z < 2 हेतु (z − 1, 1) की लंबाई = 2 − z, अतः z = 1.5 पर 0.5। योग को U(0, 2) मानना सर्वत्र समतल 0.5 देता है — यहाँ संयोग से सही, z = 1 पर गलत, जहाँ घनत्व 1 है।

  2. X₁, …, X₄ i.i.d. U(0, 1) हैं। max(X₁, …, X₄) का प्रत्याशित मान, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.8

    F₍₄₎(x) = x⁴, घनत्व 4x³, माध्य ∫4x⁴ dx = 4/5 = 0.8 — r = n = 4 सहित व्यापक r/(n + 1)। 1, अधिकतम संभव मान, उत्तर प्रत्याशित अधिकतम को उच्चक से भ्रमित करता है।

  3. X₁, X₂, X₃ i.i.d. U(0, 1) हैं। प्रतिदर्श माध्यिका X₍₂₎ का प्रसरण, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.05

    X₍₂₎ का घनत्व 3!/(1!1!) x(1 − x) = 6x(1 − x), अर्थात् β₁(2, 2), प्रसरण ab/[(a + b)²(a + b + 1)] = 4/(16 × 5) = 0.05 सहित। एकल एकसमान का प्रसरण 1/12 = 0.083 बताना भूलता है कि तीन की माध्यिका 1/2 के निकट केंद्रित है।

  4. X₁, X₂, X₃ दर 2 वाले i.i.d. चरघातांकी हैं। min(X₁, X₂, X₃) का प्रत्याशित मान, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.167

    P(min > x) = (e−2x)³ = e−6x, अतः न्यूनतम Exp(6) है, माध्य 1/6 = 0.1667 → 0.167 सहित। माध्य 1/2 को 3 से भाग देना यहाँ वही संख्या देता है, पर कारण यह है कि दरें जुड़ती हैं — अ-चरघातांकी बंटन हेतु यह लघु मार्ग विफल है।

  5. X₁, …, X₄ i.i.d. U(0, 1) हैं। प्रतिदर्श परिसर X₍₄₎ − X₍₁₎ का प्रत्याशित मान, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.6

    E X₍₄₎ = 4/5 व E X₍₁₎ = 1/5, अतः E(परिसर) = 3/5 = 0.6 = (n − 1)/(n + 1)। प्रत्याशा की रैखिकता काम करती है; अधिकतम व न्यूनतम के बीच की आश्रितता माध्य हेतु महत्त्व नहीं रखती।

  6. X₁, X₂, X₃ माध्य 1 वाले i.i.d. चरघातांकी हैं। max(X₁, X₂, X₃) का प्रत्याशित मान, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.83

    अंतराल: 3 में पहली विफलता Exp(3) (माध्य 1/3) लेती है, फिर 2 में Exp(2) (1/2), फिर Exp(1) (1)। E अधिकतम = 1/3 + 1/2 + 1 = 11/6 = 1.833 → 1.83। 3 उत्तर तीन माध्य 1 जोड़ता है मानो चरों की एक के बाद एक प्रतीक्षा हो।

  7. X₁, …, X₁₀ i.i.d. N(μ, σ²) हैं, प्रतिदर्श माध्य X̄ व प्रतिदर्श प्रसरण S² (भाजक n − 1) सहित। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. X̄ व S² स्वतंत्र हैं
    2. 9S²/σ² का बंटन χ²₉ है
    3. √10 (X̄ − μ)/S का बंटन t₁₀ है
    4. Var(S²) = 2σ⁴/9
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    उत्तर: A — X̄ व S² स्वतंत्र हैं; B — 9S²/σ² का बंटन χ²₉ है; D — Var(S²) = 2σ⁴/9

    (A) व (B) प्रसामान्य-प्रतिदर्श प्रमेय हैं, n − 1 = 9 सहित। (C) असत्य: प्रतिदर्शज n − 1 = 9 स्वातंत्र्य-कोटियों वाला t है, 10 नहीं। (D) S² = σ²χ²₉/9, अतः Var S² = σ⁴ × 2 × 9/81 = 2σ⁴/9।

  8. t, F व काई-वर्ग बंटनों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. यदि T ~ t_k, तो T² ~ F(1, k)
    2. यदि F ~ F(m, n), तो 1/F ~ F(n, m)
    3. n > 2 हेतु F(m, n) का माध्य n/(n − 2) है
    4. प्रत्येक k ≥ 1 हेतु t_k का प्रसरण k/(k − 2) है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यदि T ~ t_k, तो T² ~ F(1, k); B — यदि F ~ F(m, n), तो 1/F ~ F(n, m); C — n > 2 हेतु F(m, n) का माध्य n/(n − 2) है

    (A) T² = Z²/(V/k) = (χ²₁/1)/(χ²_k/k)। (B) दो मापित काई-वर्गों का अनुपात उलट दें। (C) स्वतंत्रता से E[U/m] = 1 व E[n/V] = n/(n − 2)। (D) असत्य: प्रसरण केवल k > 2 हेतु परिमित है — t₁ (कौशी) का माध्य नहीं, और t₂ का प्रसरण अनंत है।

  9. T का बंटन 6 स्वातंत्र्य-कोटियों वाला t है। Var(T), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.5

    Var(t_k) = k/(k − 2) = 6/4 = 1.5 — प्रसामान्य के 1 से बड़ा क्योंकि S स्वयं यादृच्छिक है। 1 उत्तर t₆ को पहले से मानक प्रसामान्य मान लेता है।

  10. F(4, 10) बंटन का माध्य, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 1.25

    E F(m, n) = n/(n − 2) = 10/8 = 1.25, केवल हर की स्वातंत्र्य-कोटियों पर निर्भर। m/(m − 2) = 2 लेना गलत कोटि लेता है।

  11. X व Y स्वतंत्र Exp(1) हैं। मान लें U = X + Y व V = X/(X + Y)। P(V ≤ 0.3, U ≤ 1), तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.079

    x = uv, y = u(1 − v), |J| = u तथा u > 0, 0 < v < 1 पर fU,V = u e−u सहित: U ~ Gamma(2, 1) व V ~ U(0, 1) स्वतंत्र हैं। P(U ≤ 1) = 1 − e−1(1 + 1) = 0.2642, अतः उत्तर 0.3 × 0.2642 = 0.0793 → 0.079। U को Exp(1) मानकर P(U ≤ 1) = 1 − e−1 लेना 0.190 देता है।

  12. X₁, …, Xₙ दर λ वाले i.i.d. चरघातांकी हैं। X₁ + … + Xₙ का बंटन है:

    1. आकृति n व दर λ वाला गामा
    2. दर nλ वाला चरघातांकी
    3. दर λ/n वाला चरघातांकी
    4. आकृति λ व दर n वाला गामा
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    उत्तर: A — आकृति n व दर λ वाला गामा

    योग का आघूर्ण जनक फलन [λ/(λ − t)]ⁿ = (1 − t/λ)−n है, Gamma(n, λ) का आघूर्ण जनक फलन। दर nλ वाला चरघातांकी न्यूनतम का बंटन है, योग का नहीं; योग का माध्य n/λ है, जिससे सूचीबद्ध दरों वाला कोई चरघातांकी मेल नहीं खाता।

  13. X का बंटन 2 स्वातंत्र्य-कोटियों वाला काई-वर्ग है। P(X > 4), तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.135

    χ²₂ = Gamma(1, दर 1/2) माध्य 2 वाला चरघातांकी है, अतः P(X > 4) = e−4/2 = e−2 = 0.1353 → 0.135। माध्य 1 (दर 1) लेना e−4 = 0.018 देता है।

  14. U(0, 1) से n ≥ 2 आकार के i.i.d. प्रतिदर्श हेतु 0 < x < y < 1 पर (X₍₁₎, X₍ₙ₎) का संयुक्त घनत्व है:

    1. n(n − 1)(y − x)n−2
    2. n²xⁿ⁻¹(1 − y)ⁿ⁻¹
    3. n(y − x)n−1
    4. n! (y − x)n−2
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — n(n − 1)(y − x)^{n−2}

    एक प्रेक्षण x पर, एक y पर और शेष n − 2 बीच में: n!/(0! (n − 2)! 0!) (y − x)n−2 = n(n − 1)(y − x)n−2। त्रिभुज पर इसका समाकल 1 है। दोनों उपांत घनत्वों का गुणनफल गलत है क्योंकि न्यूनतम व अधिकतम आश्रित हैं; n! बीच के n − 2 की व्यवस्थाएँ अधिक गिनता है।