संयुक्त बंटन I: संयुक्त, उपांत व सप्रतिबंध बंटन, सप्रतिबंध प्रत्याशा, सहसंबंध, बहुपद व द्विचर प्रसामान्य

GATE सांख्यिकी पेपर का खंड 5 उसके प्रायिकता-अर्ध का सबसे लंबा खंड है, और वह दो प्रकार का कार्य है, अतः उसके दो अध्याय हैं। यह अध्याय एक साथ अनेक यादृच्छिक चरों के वर्णन के विषय में है: संयुक्त रूप से बंटित यादृच्छिक चर व उनके बंटन, द्रव्यमान व घनत्व फलन; उपांत व सप्रतिबंध बंटन; सप्रतिबंध प्रत्याशा व आघूर्ण, टावर गुण व सम्पूर्ण प्रसरण नियम सहित; गुणनफल आघूर्ण, सहप्रसरण व सरल सहसंबंध गुणांक; संयुक्त आघूर्ण जनक फलन व स्वतंत्रता; तथा दो नामित संयुक्त बंटन, बहुपद व द्विचर प्रसामान्य। दूसरा अध्याय यादृच्छिक सदिशों के फलनों, क्रम प्रतिदर्शजों व प्रतिचयन बंटनों की ओर मुड़ता है।

1. संयुक्त बंटन, द्रव्यमान व घनत्व फलन, तथा उपांत

संयुक्त बंटन फलन F(x, y) = P(X ≤ x, Y ≤ y) प्रत्येक तर्क में अह्रासमान व दक्षिण-संतत है, किसी भी तर्क के −∞ जाने पर 0 व दोनों के ∞ जाने पर 1 की ओर जाता है, और उसे आयत असमिका संतुष्ट करनी चाहिए: P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d) = F(b, d) − F(a, d) − F(b, c) + F(a, c) ≥ 0। उपांत दूसरे तर्क को ∞ तक ले जाकर मिलते हैं: F_X(x) = F(x, ∞)। घनत्वों हेतु f_X(x) = ∫ f(x, y) dy, उस x हेतु अनुमत y के परिसर पर समाकलन — अधिकतर त्रुटियाँ आधार (support) पर होती हैं, पूरी रेखा पर नहीं।

उदाहरण: 0 < x < y < 1 पर f(x, y) = 2। तब f_X(x) = ∫ₓ¹ 2 dy = 2(1 − x) तथा f_Y(y) = ∫₀^y 2 dx = 2y। उपांतों का गुणनफल 4y(1 − x) ≠ 2 है, और वैसे भी त्रिभुजाकार आधार कभी गुणनखंडित नहीं हो सकता: जो आधार गुणनफल-समुच्चय नहीं, वह स्वतंत्रता को तत्काल नकारता है।

2. सप्रतिबंध बंटन व सप्रतिबंध प्रत्याशा

जहाँ f_X(x) > 0, f(y | x) = f(x, y)/f_X(x), तथा E[Y | X = x] = ∫ y f(y | x) dy। त्रिभुज उदाहरण में Y | X = x, (x, 1) पर एकसमान है और X | Y = y, (0, y) पर, अतः E[X | Y = y] = y/2 व E[Y | X = x] = (1 + x)/2। E[Y | X] एक यादृच्छिक चर है, X का फलन, और यह मानता है:

  • टावर गुण: E[E[Y | X]] = E Y।
  • सम्पूर्ण प्रसरण नियम: Var Y = E[Var(Y | X)] + Var(E[Y | X])। यदि N ~ प्वासों(4) व X | N ~ Bin(N, 1/2), तो Var X = E[N/4] + Var(N/2) = 1 + 1 = 2 — और वास्तव में X ~ प्वासों(2)।
  • ज्ञात को बाहर निकालना: E[g(X)Y | X] = g(X)E[Y | X]; यदि X व Y स्वतंत्र हों, E[Y | X] = E Y।
  • सर्वोत्तम पूर्वानुमापक: सभी फलनों g पर E[(Y − g(X))²] को E[Y | X] न्यूनतम करता है; सर्वोत्तम रैखिक पूर्वानुमापक उसका रैखिक-समाश्रयण सन्निकटन है, और द्विचर प्रसामान्य हेतु दोनों संपाती हैं।

3. गुणनफल आघूर्ण, सहसंबंध, संयुक्त आघूर्ण जनक फलन व स्वतंत्रता

Cov(X, Y) = E[XY] − E X E Y, तथा कौशी–श्वार्ज़ से ρ = Cov/(σ_Xσ_Y) ∈ [−1, 1], |ρ| = 1 यदि और केवल यदि Y लगभग निश्चित रूप से X का रैखिक फलन हो। Var(aX + bY) = a²Var X + b²Var Y + 2ab Cov(X, Y): Var X = 4, Var Y = 1, Cov = 1 सहित Var(2X − 3Y) = 16 + 9 − 12 = 13। त्रिभुज उदाहरण में E X = 1/3, E Y = 2/3, E XY = ∫₀¹∫₀^y 2xy dx dy = 1/4, अतः Cov = 1/4 − 2/9 = 1/36; दोनों प्रसरण 1/18 हैं, और ρ = 1/2।

संयुक्त आघूर्ण जनक फलन M(s, t) = E[esX + tY], (0, 0) पर ∂j+kM/∂sʲ∂tᵏ के रूप में E[XʲYᵏ] देता है, तथा X, Y स्वतंत्र हैं यदि और केवल यदि M(s, t) = M_X(s)M_Y(t) (समतुल्यतः यदि संयुक्त घनत्व या CDF गुणनखंडित हो)। स्वतंत्रता शून्य सहसंबंध का निहितार्थ है; विलोम विफल है।

⚠️ असहसंबद्ध स्वतंत्र नहीं है
X ~ U(−1, 1) व Y = X²: सममिति से Cov(X, Y) = E X³ − E X E X² = 0, फिर भी Y, X का फलन है — X जानना Y तय करता है। सहसंबंध केवल रैखिक आश्रितता मापता है। यहाँ E[Y | X] = X², जबकि E[X | Y] = 0 क्योंकि Y = y दिए होने पर X समान प्रायिकता से ±√y है।

4. बहुपद बंटन

n स्वतंत्र प्रयास, प्रत्येक k वर्गों में से किसी एक में p₁, …, p_k प्रायिकताओं से: गणनाएँ P(X₁ = x₁, …, X_k = x_k) = n!/(x₁!…x_k!) p₁x₁…p_kx_k, Σxᵢ = n सहित। प्रत्येक उपांत द्विपद है, Xᵢ ~ Bin(n, pᵢ); Cov(Xᵢ, Xⱼ) = −npᵢpⱼ, ऋणात्मक क्योंकि गणनाएँ एक ही n हेतु प्रतिस्पर्धा करती हैं; सहसंबंध −√(pᵢpⱼ/((1 − pᵢ)(1 − pⱼ))) है। Xₖ = m दिए होने पर शेष गणनाएँ n − m प्रयासों व 1 तक पुनर्मापित प्रायिकताओं वाला बहुपद हैं।

5. द्विचर प्रसामान्य बंटन

(X, Y) द्विचर प्रसामान्य है, माध्य μ₁, μ₂, मानक विचलन σ₁, σ₂ व सहसंबंध ρ (|ρ| < 1) सहित, यदि उसका घनत्व exp(−Q/2)/(2πσ₁σ₂√(1 − ρ²)) हो, जहाँ Q = [z₁² − 2ρz₁z₂ + z₂²]/(1 − ρ²) व zᵢ मानकीकृत मान। उसका आघूर्ण जनक फलन exp(μ₁s + μ₂t + ½(σ₁²s² + 2ρσ₁σ₂st + σ₂²t²)) है, अतः M(s, t) = exp(s² + st + t²) द्विचर प्रसामान्य है, σ₁² = σ₂² = 2, सहप्रसरण 1 व ρ = 1/2 सहित।

द्विचर प्रसामान्य क्या देता है
राशिपरिणाम
उपांतX ~ N(μ₁, σ₁²), Y ~ N(μ₂, σ₂²)
सप्रतिबंध माध्यE[Y | X = x] = μ₂ + ρ(σ₂/σ₁)(x − μ₁)
सप्रतिबंध प्रसरणVar(Y | X = x) = σ₂²(1 − ρ²), प्रत्येक x हेतु समान
रैखिक संयोजनaX + bY प्रसामान्य है
स्वतंत्रताρ = 0 ⇔ X व Y स्वतंत्र

μ = (10, 20), σ₁ = 2, σ₂ = 3 व ρ = 0.6 सहित: E[Y | X = 12] = 20 + 0.6 × 1.5 × 2 = 21.8 तथा Var(Y | X) = 9 × 0.64 = 5.76। सप्रतिबंध प्रसरण प्रेक्षित x पर निर्भर नहीं करता, जो वही समविचलनता है जो समाश्रयण मॉडल मानता है।

⚠️ प्रसामान्य उपांत द्विचर प्रसामान्य नहीं बनाते
मान लें X ~ N(0, 1) तथा Y = SX, जहाँ S = ±1, X से स्वतंत्र, प्रत्येक 1/2 प्रायिकता से। Y, N(0, 1) है व Cov(X, Y) = E[S]E[X²] = 0, फिर भी |Y| = |X|, अतः वे आश्रित हैं, और X + Y प्रायिकता 1/2 से 0 के बराबर है, अतः प्रसामान्य नहीं। "ρ = 0 स्वतंत्रता का निहितार्थ है" द्विचर प्रसामान्य का प्रमेय है, प्रसामान्य उपांतों का नहीं।

मुख्य बिंदु

  • उपांत दूसरे चर को उसके अनुमत परिसर पर समाकलित करते हैं; जो आधार आयत नहीं, वह स्वतंत्रता पहले ही नकार देता है।
  • E[E[Y | X]] = E Y तथा Var Y = E Var(Y | X) + Var E(Y | X); माध्य-वर्ग में X से Y का सर्वोत्तम पूर्वानुमापक E[Y | X] है।
  • Var(aX + bY) = a²σ_X² + b²σ_Y² + 2ab Cov; स्वतंत्रता ⇔ संयुक्त आघूर्ण जनक फलन गुणनखंडित; शून्य सहसंबंध दुर्बल है (X व X²)।
  • बहुपद: द्विपद उपांत, Cov(Xᵢ, Xⱼ) = −npᵢpⱼ।
  • द्विचर प्रसामान्य: E[Y | x] = μ₂ + ρ(σ₂/σ₁)(x − μ₁), Var(Y | x) = σ₂²(1 − ρ²); ρ = 0 ⇔ स्वतंत्रता — पर केवल संयुक्ततः प्रसामान्य युग्मों हेतु।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. (X, Y) का संयुक्त घनत्व 0 < x < y < 1 पर f(x, y) = 2 है। E[X | Y = 0.8] का मान, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.4

    f_Y(y) = ∫₀^y 2 dx = 2y, अतः (0, y) पर f(x | y) = 2/(2y) = 1/y: X | Y = y, (0, y) पर एकसमान है और E[X | Y = 0.8] = 0.4। असप्रतिबंध माध्य E X = 1/3 लेना Y में निहित सूचना की उपेक्षा है।

  2. उसी घनत्व f(x, y) = 2, 0 < x < y < 1 हेतु X व Y का सहसंबंध गुणांक, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.5

    E X = ∫2x(1 − x) dx = 1/3, E Y = ∫2y² dy = 2/3, E XY = ∫₀¹∫₀^y 2xy dx dy = ∫y³ dy = 1/4, Cov = 1/4 − 2/9 = 1/36। E X² = 1/6 व E Y² = 1/2, अतः दोनों प्रसरण 1/18 हैं। ρ = (1/36)/(1/18) = 0.5। सहप्रसरण 0.028 पर रुकना भिन्न प्रश्न का उत्तर है।

  3. X व Y मान 0 व 1 लेते हैं, P(0, 0) = 0.1, P(0, 1) = 0.2, P(1, 0) = 0.3 तथा P(1, 1) = 0.4 सहित। Cov(X, Y), दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: -0.02

    E X = P(X = 1) = 0.7, E Y = P(Y = 1) = 0.6, E XY = P(1, 1) = 0.4। Cov = 0.4 − 0.42 = −0.02। थोड़ा ऋणात्मक सहप्रसरण उलटा घटाकर 0.02 बता देना आसान है; चिह्न महत्त्वपूर्ण है। उत्तर -0.02 के रूप में टाइप करें।

  4. N ~ प्वासों(4), तथा N = n दिए होने पर X ~ Bin(n, 1/2)। X का प्रसरण ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2

    Var X = E[Var(X | N)] + Var(E[X | N]) = E[N/4] + Var(N/2) = 1 + 4/4 = 2। वास्तव में X विरलित प्वासों है, X ~ प्वासों(2)। केवल E[Var(X | N)] = 1 रखना प्रयासों की संख्या की परिवर्तिता भूलता है।

  5. X ~ U(−1, 1) तथा Y = X²। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. Cov(X, Y) = 0
    2. X व Y स्वतंत्र हैं
    3. E[Y | X] = X²
    4. E[X | Y] = 0
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    उत्तर: A — Cov(X, Y) = 0; C — E[Y | X] = X²; D — E[X | Y] = 0

    (A) Cov = E X³ − E X E X² = 0 − 0 = 0। (B) असत्य: P(X > 1/2, Y < 1/4) = 0 पर P(X > 1/2)P(Y < 1/4) = (1/4)(1/2) > 0। (C) Y, X का फलन है। (D) Y = y दिए होने पर X = ±√y समान संभाव्य, अतः सप्रतिबंध माध्य 0। शून्य सहसंबंध पूर्ण आश्रितता के साथ विद्यमान रह सकता है।

  6. (X₁, X₂, X₃) बहुपद है, n = 10 व प्रायिकताएँ (0.2, 0.3, 0.5) सहित। Cov(X₁, X₂), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: -0.6

    Cov(Xᵢ, Xⱼ) = −npᵢpⱼ = −10 × 0.2 × 0.3 = −0.6। चिह्न ऋणात्मक है क्योंकि जो प्रयास वर्ग 1 में जाए वह वर्ग 2 में नहीं जा सकता; धनात्मक 0.6 इस बाध्यता को चूकता है। उत्तर -0.6 के रूप में टाइप करें।

  7. (X, Y) द्विचर प्रसामान्य है, E X = 10, E Y = 20, σ_X = 2, σ_Y = 3 व ρ = 0.6 सहित। E[Y | X = 12], एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 21.8

    E[Y | X = x] = μ_Y + ρ(σ_Y/σ_X)(x − μ_X) = 20 + 0.6 × 1.5 × 2 = 21.8। ढाल ρσ_X/σ_Y = 0.4 (Y पर X का समाश्रयण) लेना 20.8 देता है।

  8. कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. यदि (X, Y) द्विचर प्रसामान्य है, तो X व Y के उपांत बंटन प्रसामान्य हैं
    2. यदि (X, Y), ρ = 0 सहित द्विचर प्रसामान्य है, तो X व Y स्वतंत्र हैं
    3. यदि X व Y प्रत्येक प्रसामान्य बंटित हैं, तो (X, Y) द्विचर प्रसामान्य है
    4. यदि (X, Y) द्विचर प्रसामान्य है, तो X + Y प्रसामान्य है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यदि (X, Y) द्विचर प्रसामान्य है, तो X व Y के उपांत बंटन प्रसामान्य हैं; B — यदि (X, Y), ρ = 0 सहित द्विचर प्रसामान्य है, तो X व Y स्वतंत्र हैं; D — यदि (X, Y) द्विचर प्रसामान्य है, तो X + Y प्रसामान्य है

    (A) संयुक्त आघूर्ण जनक फलन में t = 0 रखें। (B) ρ = 0 पर घनत्व दोनों उपांतों में गुणनखंडित होता है। (C) असत्य: X ~ N(0, 1) व स्वतंत्र यादृच्छिक चिह्न S सहित Y = SX के उपांत प्रसामान्य हैं, पर X + Y का 0 पर परमाणु है। (D) X + Y का आघूर्ण जनक फलन M(t, t) है, एक प्रसामान्य आघूर्ण जनक फलन।

  9. Var X = 4, Var Y = 1 तथा Cov(X, Y) = 1। Var(2X − 3Y) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 13

    Var(2X − 3Y) = 4 × 4 + 9 × 1 + 2 × 2 × (−3) × 1 = 16 + 9 − 12 = 13। सहप्रसरण पद घटाने के स्थान पर जोड़ना 37 देता है; उसकी उपेक्षा 25।

  10. (X, Y) का संयुक्त आघूर्ण जनक फलन M(s, t) = exp(s² + st + t²) है। X व Y का सहसंबंध गुणांक, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.50

    exp(½(σ₁²s² + 2σ₁₂st + σ₂²t²)) से मिलाएँ: σ₁² = 2, σ₂² = 2 तथा 2σ₁₂/2 = 1, अतः σ₁₂ = 1। ρ = 1/√(2 × 2) = 0.5। st के गुणांक को सीधे सहप्रसरण पढ़कर प्रसरण 1 से भाग देना 1 देता है, घातांक का गुणक ½ भूलते हुए।

  11. संयुक्त बंटन फलन F हेतु P(a < X ≤ b, c < Y ≤ d) बराबर है:

    1. F(b, d) − F(a, d) − F(b, c) + F(a, c)
    2. F(b, d) − F(a, c)
    3. [F(b) − F(a)][F(d) − F(c)]
    4. F(b, d) + F(a, c) − 1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — F(b, d) − F(a, d) − F(b, c) + F(a, c)

    चतुर्थांशों पर समावेश–अपवर्जन: {X ≤ b, Y ≤ d} में से पट्टियाँ {X ≤ a} व {Y ≤ c} हटाएँ, फिर उनका प्रतिच्छेद पुनः जोड़ें, जो दो बार हटा था। F(b, d) − F(a, c) केवल एक कोना घटाता है; गुणनफल रूप स्वतंत्रता मान लेता है।

  12. (X, Y) का संयुक्त घनत्व x, y > 0 हेतु f(x, y) = 6e−2x−3y है। P(X < Y), एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.4

    घनत्व गुणनखंडित होता है: X ~ Exp(दर 2) व Y ~ Exp(दर 3), स्वतंत्र। P(X < Y) = ∫₀^∞ 2e−2xe−3x dx = 2/5 = 0.4। 3/5 उत्तर दरें अदल-बदल देता है: बड़ी दर वाला चर प्रायः छोटा होता है।

  13. सभी फलनों g में से E[(Y − g(X))²] को न्यूनतम करने वाला है:

    1. g(X) = E[Y | X]
    2. g(X) = E[Y]
    3. X पर Y की न्यूनतम-वर्ग रेखा
    4. g(X) = X दिए होने पर Y की सप्रतिबंध माध्यिका
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — g(X) = E[Y | X]

    E[(Y − g)²] = E[(Y − E[Y | X])²] + E[(E[Y | X] − g)²], क्योंकि टावर गुण से मिश्र पद लुप्त होता है; दूसरा पद ठीक g = E[Y | X] हेतु शून्य है। न्यूनतम-वर्ग रेखा केवल रैखिक फलनों में सर्वोत्तम है; सप्रतिबंध माध्यिका निरपेक्ष त्रुटि न्यूनतम करती है, वर्गित त्रुटि नहीं।