आकलन II: संगतता, आघूर्ण विधि, अधिकतम संभाविता व उसके गुण, तथा कीलक राशियों से विश्वास्यता अंतराल

GATE सांख्यिकी पेपर के खंड 8 का दूसरा अध्याय: संगत आकलक, आघूर्ण विधि आकलक, तथा अधिकतम संभाविता आकलक व उनके गुण — निश्चरता, पर्याप्त प्रतिदर्शजों पर निर्भरता, संगतता, अनंतस्पर्शी प्रसामान्यता व दक्षता; फिर अंतराल आकलन — कीलक राशियाँ, उनसे बने विश्वास्यता अंतराल, तथा आवरण प्रायिकता। आंकिक प्रश्न दिए आँकड़ों से निकाला MLE या आघूर्ण आकल होते हैं, या प्रश्न में बताए सारणी मान से निकाली विश्वास्यता सीमा।

1. संगत आकलक

Tₙ, θ हेतु संगत है यदि प्रत्येक θ हेतु Tₙ → θ प्रायिकता में। एक सुविधाजनक पर्याप्त प्रतिबंध: अभिनति → 0 व प्रसरण → 0 (तब MSE → 0, और चेबिशेव संगतता देता है)। दुर्बल नियम से X̄ माध्य हेतु संगत है; S², σ² हेतु संगत है; U(0, θ) में X₍ₙ₎, θ हेतु संगत है, क्योंकि P(X₍ₙ₎ < θ − ε) = (1 − ε/θ)ⁿ → 0। यदि Tₙ, θ हेतु संगत हो और g संतत, तो g(Tₙ), g(θ) हेतु संगत है।

⚠️ अनभिनत व संगत स्वतंत्र गुण हैं
अकेला X₁, μ हेतु अनभिनत है पर संगत नहीं — उसका बंटन कभी सिकुड़ता नहीं। U(0, θ) में X₍ₙ₎, θ हेतु अभिनत है पर संगत। X̄ + 1/n प्रत्येक n हेतु अभिनत है और संगत। कोई गुण दूसरे का निहितार्थ नहीं।

2. आघूर्ण विधि

प्रथम k प्रतिदर्श आघूर्ण mⱼ = (1/n)ΣXᵢʲ को समष्टि आघूर्णों के बराबर रखें और k प्राचलों हेतु हल करें। U(0, θ): E X = θ/2, अतः θ̂ = 2X̄। Gamma(α, दर λ): E X = α/λ व Var X = α/λ², अतः α̂ = X̄²/σ̂² व λ̂ = X̄/σ̂², जहाँ σ̂² भाजक n वाला प्रसरण है — माध्य 6 व प्रसरण 12 वाला प्रतिदर्श α̂ = 3, λ̂ = 0.5 देता है। आघूर्ण आकलक संगत हैं (संगत प्रतिदर्श आघूर्णों के संतत फलन) और प्रायः सरल, पर उनका पर्याप्त प्रतिदर्शजों का फलन होना आवश्यक नहीं, वे प्राचल समष्टि के बाहर जा सकते हैं (2X̄ सबसे बड़े प्रेक्षण से छोटा हो सकता है), और जहाँ आघूर्ण विद्यमान न हों वहाँ विफल हैं (कौशी)।

3. अधिकतम संभाविता आकलन व उसके गुण

MLE θ̂, L(θ) = ∏f(xᵢ; θ) को अधिकतम करता है, प्रायः स्कोर समीकरण ∂ ln L/∂θ = 0 द्वारा — पर केवल तब जब अधिकतम आंतरिक व निष्कोण हो। जहाँ आधार θ पर निर्भर हो, सीधे अधिकतम करें: U(0, θ) हेतु θ ≥ X₍ₙ₎ पर L = θ⁻ⁿ व अन्यथा 0, अपने परिसर पर ह्रासमान फलन, अतः θ̂ = X₍ₙ₎। U(θ − ½, θ + ½) हेतु पूरे अंतराल [X₍ₙ₎ − ½, X₍₁₎ + ½] पर L = 1, और उसका प्रत्येक बिंदु MLE है — MLE का अद्वितीय होना आवश्यक नहीं।

मानक MLE
मॉडलMLEअनभिनत?
बर्नूली(p), प्वासों(λ)X̄हाँ
Exp(दर λ)1/X̄नहीं: E = nλ/(n − 1)
N(μ, σ²)X̄, (1/n)Σ(Xᵢ − X̄)²μ̂ हाँ, σ̂² नहीं
U(0, θ)X₍ₙ₎नहीं: E = nθ/(n + 1)
लाप्लास स्थान, घनत्व ½e−|x − θ|प्रतिदर्श माध्यिकाहाँ, सममिति से (विषम n)
  • निश्चरता: g(θ) का MLE g(θ̂) है — X̄ = 2 वाले प्वासों आँकड़ों हेतु P(X = 0) = e−λ का MLE e−2 = 0.135 है।
  • पर्याप्तता: अद्वितीय MLE प्रत्येक पर्याप्त प्रतिदर्शज का फलन है, क्योंकि L आँकड़ों पर केवल उसके माध्यम से निर्भर है।
  • बृहत्-प्रतिदर्श: नियमितता के अंतर्गत θ̂ संगत है और √n(θ̂ − θ) → N(0, 1/I(θ)) — अनंतस्पर्शी रूप से अनभिनत व क्रैमर–राव परिबंध प्राप्त करता, अर्थात् अनंतस्पर्शी रूप से दक्ष।

4. अंतराल आकलन: कीलक राशियाँ व आवरण

कीलक राशि Q(X, θ) आँकड़ों व θ का ऐसा फलन है जिसका बंटन θ पर निर्भर न हो। यदि P(a ≤ Q ≤ b) = 1 − α, तो a ≤ Q ≤ b को θ हेतु हल करने पर ऐसा समुच्चय मिलता है जिसकी आवरण प्रायिकता प्रत्येक θ हेतु P_θ(θ ∈ C(X)) = 1 − α है; θ पर आवरण का निम्नक विश्वास्यता गुणांक है। प्रायिकता कथन आँकड़े देखने से पहले के यादृच्छिक अंतराल के विषय में है — निकाला गया अंतराल θ को या तो समाविष्ट करता है या नहीं।

कीलक राशियाँ व उनसे मिलने वाले अंतराल (स्तर 1 − α)
स्थितिकीलक राशिअंतराल
प्रसामान्य माध्य, σ ज्ञात√n(X̄ − μ)/σ ~ N(0, 1)X̄ ± zα/2 σ/√n
प्रसामान्य माध्य, σ अज्ञात√n(X̄ − μ)/S ~ tn−1X̄ ± tn−1, α/2 S/√n
प्रसामान्य प्रसरण(n − 1)S²/σ² ~ χ²n−1[(n − 1)S²/χ²upper, (n − 1)S²/χ²lower]
चरघातांकी दर λ2λΣXᵢ ~ χ²2n[χ²2n, lower/(2ΣX), χ²2n, upper/(2ΣX)]
U(0, θ)X₍ₙ₎/θ, CDF uⁿ on (0, 1)[X₍ₙ₎, X₍ₙ₎/α1/n]

उदाहरण: σ = 10, n = 25 व z = 1.96 से 95% अंतराल की लंबाई 2 × 1.96 × 2 = 7.84। σ अज्ञात, n = 16, X̄ = 50, S = 8 व t₁₅,₀.₀₂₅ = 2.131 सहित अंतराल 50 ± 4.262 है, उपरि सीमा 54.26। n = 3 सहित U(0, θ) हेतु अंतराल [X₍₃₎, X₍₃₎/c] का आवरण 1 − c³ है, अतः आवरण 0.875 हेतु c = 0.5: X₍₃₎ = 4 सहित अंतराल [4, 8] है।

मुख्य बिंदु

  • अभिनति → 0 व प्रसरण → 0 संगतता देते हैं; अनभिनतता व संगतता पृथक गुण हैं (X₁ बनाम X₍ₙ₎)।
  • आघूर्ण विधि: U(0, θ), 2X̄ देता है; गामा α̂ = X̄²/σ̂²। सरल व संगत, सदा विवेकपूर्ण नहीं।
  • MLE: U(0, θ) हेतु X₍ₙ₎ (स्कोर से नहीं), σ² हेतु (1/n)Σ(X − X̄)², लाप्लास स्थान हेतु माध्यिका; U(θ ± ½) के MLE एक पूरा अंतराल हैं।
  • MLE निश्चर हैं, आँकड़ों पर पर्याप्त प्रतिदर्शजों के माध्यम से निर्भर हैं, और अनंतस्पर्शी रूप से N(θ, 1/(nI(θ))) हैं।
  • कीलक राशियाँ: √n(X̄ − μ)/σ, √n(X̄ − μ)/S, (n − 1)S²/σ², 2λΣX, X₍ₙ₎/θ। आवरण प्रक्रिया का गुण है, एक निकाले गए अंतराल का नहीं।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. एक प्वासों(λ) प्रतिदर्श 2, 0, 3, 1, 4 है। λ का अधिकतम संभाविता आकल ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 2

    ln L = Σxᵢ ln λ − nλ + अचर; स्कोर Σxᵢ/λ − n = 0 से λ̂ = X̄ = 10/5 = 2। प्रतिदर्श प्रसरण 2.5, λ का एक अन्य आकल है (प्वासों में माध्य = प्रसरण) पर MLE नहीं।

  2. प्वासों प्रतिदर्श 2, 0, 3, 1, 4 हेतु P(X = 0) का अधिकतम संभाविता आकल, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.135

    निश्चरता से e−λ का MLE e−λ̂ = e−2 = 0.1353 → 0.135 है। शून्यों का प्रेक्षित अनुपात 1/5 = 0.2 एक भिन्न (अनभिनत पर कम दक्ष) आकल है, और UMVUE (1 − 1/5)¹⁰ = 0.107 तीसरा।

  3. एक U(0, θ) प्रतिदर्श 1.2, 3.4, 2.0, 0.8, 2.6 है। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. θ का आघूर्ण विधि आकल 4 है
    2. θ का अधिकतम संभाविता आकल 3.4 है
    3. θ का अधिकतम संभाविता आकलक अनभिनत है
    4. θ का आघूर्ण विधि आकलक अनभिनत है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — θ का आघूर्ण विधि आकल 4 है; B — θ का अधिकतम संभाविता आकल 3.4 है; D — θ का आघूर्ण विधि आकलक अनभिनत है

    (A) X̄ = 10/5 = 2 व θ̂ = 2X̄ = 4। (B) θ ≥ 3.4 हेतु L = θ⁻⁵, ह्रासमान, अतः θ̂ = X₍₅₎ = 3.4। (C) असत्य: E X₍ₙ₎ = nθ/(n + 1) = 5θ/6। (D) E[2X̄] = 2 × θ/2 = θ। यहाँ दोनों आकलक 0.6 से असहमत हैं, और MLE वह है जो सबसे बड़े प्रेक्षण से कभी नीचे नहीं जा सकता।

  4. एक N(μ, σ²) प्रतिदर्श 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 है। σ² का अधिकतम संभाविता आकल ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 4

    X̄ = 40/8 = 5, Σ(xᵢ − 5)² = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32, σ̂² = 32/8 = 4। n − 1 से भाग देना S² = 4.571 देता है, अनभिनत आकल, जो MLE नहीं।

  5. Gamma(α, λ) बंटन (दर λ) से एक प्रतिदर्श का माध्य 6 व प्रसरण 12 (भाजक n से निकाला) है। α का आघूर्ण विधि आकल ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 3

    α/λ = 6 व α/λ² = 12 से λ = 6/12 = 0.5 व α = 6 × 0.5 = 3; समतुल्यतः α̂ = X̄²/σ̂² = 36/12 = 3। 0.5 उत्तर दर देता है, आकृति नहीं।

  6. प्रसामान्य समष्टि से 16 के यादृच्छिक प्रतिदर्श में X̄ = 50 व S = 8 है। t₁₅,₀.₀₂₅ = 2.131 प्रयोग करते हुए μ हेतु 95% विश्वास्यता अंतराल की उपरि सीमा, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 54.26

    X̄ + t S/√n = 50 + 2.131 × 8/4 = 50 + 4.262 = 54.262 → 54.26। z = 1.96 लेना 53.92 देता है, जो भूलता है कि σ आकलित था; √16 के स्थान पर 16 से भाग देना 51.07 देता है।

  7. σ = 10 वाली प्रसामान्य समष्टि से 25 आकार का प्रतिदर्श लिया जाता है। z₀.₀₂₅ = 1.96 प्रयोग करते हुए μ हेतु 95% विश्वास्यता अंतराल की लंबाई, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 7.84

    लंबाई = 2 z σ/√n = 2 × 1.96 × 10/5 = 7.84, X̄ जो भी निकले। अर्ध-चौड़ाई 3.92 भिन्न प्रश्न का उत्तर है।

  8. X₁, X₂, X₃ i.i.d. U(0, θ) हैं। अंतराल [X₍₃₎, X₍₃₎/c] की आवरण प्रायिकता 0.875 होनी है। यदि X₍₃₎ = 4, तो अंतराल का उपरि अंत्य बिंदु ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 8

    कीलक राशि X₍₃₎/θ का CDF (0, 1) पर u³ है। θ ∈ [X₍₃₎, X₍₃₎/c] यदि और केवल यदि c ≤ X₍₃₎/θ ≤ 1, प्रायिकता 1 − c³ = 0.875 सहित, अतः c³ = 0.125, c = 0.5 और उपरि अंत्य बिंदु 4/0.5 = 8। c = 0.875 लेना आवरण को ही कट-ऑफ़ मान लेता है।

  9. अधिकतम संभाविता आकलकों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं (जहाँ आवश्यक हो, सामान्य नियमितता प्रतिबंध मानते हुए)?

    1. यदि θ̂, θ का MLE है, तो g(θ̂), g(θ) का MLE है
    2. MLE सदा अनभिनत होता है
    3. अद्वितीय MLE किसी भी पर्याप्त प्रतिदर्शज का फलन है
    4. √n(θ̂ − θ) बंटन में N(0, 1/I(θ)) की ओर अभिसारी है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — यदि θ̂, θ का MLE है, तो g(θ̂), g(θ) का MLE है; C — अद्वितीय MLE किसी भी पर्याप्त प्रतिदर्शज का फलन है; D — √n(θ̂ − θ) बंटन में N(0, 1/I(θ)) की ओर अभिसारी है

    (A) निश्चरता। (B) असत्य: प्रसामान्य-प्रसरण MLE का माध्य (n − 1)σ²/n व U(0, θ) MLE का माध्य nθ/(n + 1) है। (C) गुणनखंडन से L(θ) = g(T; θ)h(x), अतः L अधिकतम करना g(T; θ) अधिकतम करना है। (D) MLE की अनंतस्पर्शी प्रसामान्यता व दक्षता, I प्रति-प्रेक्षण फ़िशर सूचना सहित।

  10. X₁, …, Xₙ i.i.d. U(θ − 1/2, θ + 1/2) हैं। θ का अधिकतम संभाविता आकलक है:

    1. [X₍ₙ₎ − 1/2, X₍₁₎ + 1/2] में कोई भी मान
    2. अद्वितीय रूप से X̄
    3. अद्वितीय रूप से X₍ₙ₎ − 1/2
    4. अद्वितीय रूप से प्रतिदर्श माध्यिका
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — [X₍ₙ₎ − 1/2, X₍₁₎ + 1/2] में कोई भी मान

    L(θ) = 1 जब प्रत्येक Xᵢ ∈ [θ − 1/2, θ + 1/2], अर्थात् X₍ₙ₎ − 1/2 ≤ θ ≤ X₍₁₎ + 1/2, और अन्यथा 0। उस अंतराल पर L समतल है, अतः उसका प्रत्येक बिंदु अधिकतम करता है — MLE अद्वितीय नहीं। मध्य-परिसर (X₍₁₎ + X₍ₙ₎)/2 उसमें से एक स्वाभाविक चयन है; X̄ का उसमें होना भी आवश्यक नहीं।

  11. एक प्रतिदर्श से निकाला μ हेतु 95% विश्वास्यता अंतराल (48.1, 53.9) है। सही व्याख्या है:

    1. इसे उत्पन्न करने वाली प्रक्रिया पुनरावृत्त प्रतिदर्शों में से 95% में μ को आवृत करती है
    2. P(48.1 < μ < 53.9) = 0.95
    3. 95% प्रेक्षण (48.1, 53.9) में हैं
    4. X̄ प्रायिकता 0.95 से (48.1, 53.9) में है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — इसे उत्पन्न करने वाली प्रक्रिया पुनरावृत्त प्रतिदर्शों में से 95% में μ को आवृत करती है

    μ एक स्थिर अचर है, अतः अंत्य बिंदु संख्याएँ बनते ही अंतराल उसे या तो समाविष्ट करता है या नहीं; 95% आँकड़े देखने से पहले के यादृच्छिक अंतराल की आवरण प्रायिकता है। अंतराल μ के विषय में है, व्यक्तिगत प्रेक्षणों के नहीं, और X̄ उसका केंद्र है, निश्चितता से समाविष्ट।

  12. संगतता के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. U(0, θ) प्रतिदर्श हेतु X₍ₙ₎, θ का संगत आकलक है
    2. X₁ समष्टि माध्य का संगत आकलक है
    3. चतुर्थ आघूर्ण परिमित होने पर S², σ² का संगत आकलक है
    4. जिस आकलक की अभिनति व प्रसरण दोनों 0 की ओर जाएँ वह संगत है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — U(0, θ) प्रतिदर्श हेतु X₍ₙ₎, θ का संगत आकलक है; C — चतुर्थ आघूर्ण परिमित होने पर S², σ² का संगत आकलक है; D — जिस आकलक की अभिनति व प्रसरण दोनों 0 की ओर जाएँ वह संगत है

    (A) P(|X₍ₙ₎ − θ| > ε) = (1 − ε/θ)ⁿ → 0। (B) असत्य: X₁ अनभिनत है पर उसका बंटन n पर निर्भर नहीं, अतः वह कभी केंद्रित नहीं होता। (C) S² = n/(n − 1) × [X² का माध्य − X̄²], संगत प्रतिदर्श आघूर्णों में संतत (परिमित चतुर्थ आघूर्ण Var S² → 0 भी देता है)। (D) MSE → 0, फिर चेबिशेव।

  13. X₁, …, X₅ दर λ वाले i.i.d. चरघातांकी हैं और ΣXᵢ = 10। कीलक राशि 2λΣXᵢ ~ χ²₁₀ व निम्न 2.5% बिंदु χ²₁₀,₀.₉₇₅ = 3.247 प्रयोग करते हुए λ हेतु समान-पुच्छ 95% विश्वास्यता अंतराल की निम्न सीमा, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.162

    P(3.247 ≤ 2λΣX ≤ χ²_upper) = 0.95, अतः λ ≥ 3.247/(2 × 10) = 0.16235 → 0.162। कीलक राशि की 2n = 10 स्वातंत्र्य-कोटियाँ हैं क्योंकि प्रत्येक 2λXᵢ, χ²₂ है; n = 5 कोटियाँ लेना सामान्य चूक है।

  14. X₁, …, X₅ घनत्व ½e−|x − θ| सहित i.i.d. हैं। प्रेक्षण 3, 9, 1, 7, 4 हैं। θ का अधिकतम संभाविता आकल ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4

    L अधिकतम करने का अर्थ Σ|xᵢ − θ| न्यूनतम करना है, जो प्रतिदर्श माध्यिका करती है: क्रमित आँकड़े 1, 3, 4, 7, 9 से θ̂ = 4। माध्य 4.8, Σ(xᵢ − θ)² न्यूनतम करता है, जो प्रसामान्य संभाविता है, यह नहीं।