आकलन I: पर्याप्तता, न्यूनतम पर्याप्तता, पूर्णता, सहायकता व बासु, अनभिनत आकलन, UMVUE व क्रैमर–राव असमिका

GATE सांख्यिकी पेपर का खंड 8 पेपर का सबसे भारी एकल खंड है, और वह दो विषय है, अतः उसके दो अध्याय हैं। यह पहला परिमित प्रतिदर्शों में बिंदु आकलन का सिद्धांत है: पर्याप्तता व गुणनखंडन प्रमेय, न्यूनतम पर्याप्तता, पूर्णता व चरघातांकी कुलों की पूर्णता, सहायक प्रतिदर्शज व बासु प्रमेय उसके अनुप्रयोगों सहित, अनभिनत आकलन, एकसमान न्यूनतम प्रसरण अनभिनत आकलक (UMVUE), राव–ब्लैकवेल व लेहमान–शेफ़े प्रमेय, तथा फ़िशर सूचना सहित क्रैमर–राव असमिका। दूसरा अध्याय संगतता, आघूर्ण विधि, अधिकतम संभाविता व अंतराल आकलन समेटता है — रचनात्मक व बृहत्-प्रतिदर्श आधा भाग।

1. पर्याप्तता व गुणनखंडन प्रमेय

प्रतिदर्शज T(X), θ हेतु पर्याप्त है यदि T दिए होने पर प्रतिदर्श का सप्रतिबंध बंटन θ पर निर्भर न हो: T ज्ञात होने पर शेष आँकड़े θ के विषय में कोई सूचना नहीं रखते। नेमन–फ़िशर गुणनखंडन प्रमेय: T पर्याप्त है यदि और केवल यदि f(x; θ) = g(T(x); θ) h(x), जहाँ h, θ से मुक्त हो। पर्याप्त प्रतिदर्शज का कोई भी एकैकी फलन पर्याप्त है।

मानक मॉडलों हेतु पर्याप्त प्रतिदर्शज (n आकार का प्रतिदर्श)
मॉडलपर्याप्त प्रतिदर्शज
बर्नूली(p), प्वासों(λ), Exp(λ)ΣXᵢ
N(μ, σ²), σ ज्ञातΣXᵢ
N(μ, σ²), दोनों अज्ञात(ΣXᵢ, ΣXᵢ²), equivalently (X̄, S²)
U(0, θ)X₍ₙ₎
U(θ, θ + 1)(X₍₁₎, X₍ₙ₎)
Gamma(α, β), दोनों अज्ञात(ΣXᵢ, ∏Xᵢ)

U(0, θ) हेतु: f(x; θ) = θ⁻ⁿ 1{x₍ₙ₎ ≤ θ} 1{x₍₁₎ ≥ 0} — प्राचल-आश्रित आधार का सूचक g में जाना चाहिए, इसीलिए माध्य नहीं, अधिकतम पर्याप्त है।

2. न्यूनतम पर्याप्तता

पर्याप्त प्रतिदर्शज न्यूनतम है यदि वह प्रत्येक अन्य पर्याप्त प्रतिदर्शज का फलन हो — आँकड़ों का वह सबसे बड़ा संक्षेपण जो कुछ न खोए। लेहमान–शेफ़े कसौटी: T न्यूनतम पर्याप्त है यदि सभी x व y हेतु f(x; θ)/f(y; θ), θ से मुक्त हो ठीक तब जब T(x) = T(y)। N(μ, σ²) हेतु अनुपात Σxᵢ − Σyᵢ व Σxᵢ² − Σyᵢ² के रैखिक संयोजन का exp है, जो (μ, σ²) से मुक्त है यदि और केवल यदि दोनों अंतर शून्य हों: (ΣX, ΣX²) न्यूनतम है।

कसौटी यह भी दर्शाती है कि कुछ मॉडल कितना कम संक्षिप्त होते हैं। कौशी स्थान कुल, और लाप्लास स्थान कुल, हेतु न्यूनतम पर्याप्त प्रतिदर्शज क्रम प्रतिदर्शजों का पूरा समुच्चय है — कोई एक- या द्वि-विमीय सारांश पर्याप्त नहीं। U(θ, θ + 1) हेतु यह युग्म (X₍₁₎, X₍ₙ₎) है: एक प्राचल हेतु दो संख्याएँ।

3. पूर्णता, चरघातांकी कुल, सहायक प्रतिदर्शज व बासु प्रमेय

T पूर्ण है यदि प्रत्येक θ हेतु E_θ[g(T)] = 0 होने से प्रायिकता 1 से g(T) = 0 बाध्य हो: T का कोई अतुच्छ फलन सभी θ हेतु शून्य माध्य वाला नहीं, अतः T का फलन होने वाला अनभिनत आकलक अद्वितीय है। U(0, θ) हेतु X₍ₙ₎ पूर्ण है; U(θ, θ + 1) हेतु (X₍₁₎, X₍ₙ₎) पूर्ण नहीं — परिसर X₍ₙ₎ − X₍₁₎ का माध्य θ-मुक्त है, अतः g = परिसर − (n − 1)/(n + 1) शून्य हुए बिना प्रत्येक θ हेतु शून्य माध्य वाला है।

k-प्राचल चरघातांकी कुल f(x; θ) = h(x) c(θ) exp(Σⱼ wⱼ(θ)Tⱼ(x)) में (ΣTⱼ(Xᵢ))ⱼ पर्याप्त है, और पूर्ण है जब (w₁(θ), …, w_k(θ)) के परिसर में ℝᵏ का कोई विवृत समुच्चय हो (पूर्ण कोटि)। द्विपद, प्वासों, चरघातांकी, गामा, एक या दोनों प्राचल अज्ञात वाला प्रसामान्य: सभी पूर्ण। N(θ, θ²) वक्रित है — दो प्रतिदर्शज, एक प्राचल — और पूर्ण नहीं।

प्रतिदर्शज सहायक (ancillary) है यदि उसका बंटन θ पर निर्भर न हो: N(μ, σ² ज्ञात) में S², स्थान कुल में X₍ₙ₎ − X₍₁₎, मापक कुल में X₍₁₎/X₍ₙ₎। बासु प्रमेय: पूर्ण पर्याप्त प्रतिदर्शज प्रत्येक सहायक प्रतिदर्शज से स्वतंत्र है। अनुप्रयोग: प्रसामान्य प्रतिदर्श में X̄ व S² स्वतंत्र हैं (σ स्थिर रखने पर X̄, μ हेतु पूर्ण पर्याप्त, S², μ हेतु सहायक); U(0, θ) में X₍ₙ₎, X₍₁₎/X₍ₙ₎ से स्वतंत्र है; i.i.d. चरघातांकियों हेतु ΣXᵢ, X₁/ΣXᵢ से स्वतंत्र है, जिससे E[X₁/ΣXᵢ] = E X₁/E ΣXᵢ = 1/n।

⚠️ बासु के विलोम पर निर्भर न हों
बासु को पूर्णता चाहिए: केवल पर्याप्तता सहित यह विफल है (पूरा प्रतिदर्श पर्याप्त है और किसी अतुच्छ वस्तु से स्वतंत्र नहीं)। और "सहायक ⇒ प्रत्येक पर्याप्त प्रतिदर्शज से स्वतंत्र" इसी कारण असत्य है। प्रमेय लगाने से पहले जाँचें कि पर्याप्त प्रतिदर्शज पूर्ण है।

4. अनभिनतता, UMVUE, राव–ब्लैकवेल व लेहमान–शेफ़े

T, τ(θ) हेतु अनभिनत है यदि प्रत्येक θ हेतु E_θ T = τ(θ); उसका MSE, Var T + अभिनति² है, अतः अभिनत आकलक अनभिनत से श्रेष्ठ हो सकता है। UMVUE का प्रसरण अनभिनत आकलकों में, θ में एकसमान रूप से, न्यूनतम है। राव–ब्लैकवेल: यदि δ अनभिनत व T पर्याप्त हो, तो φ(T) = E[δ | T] एक प्रतिदर्शज है (पर्याप्तता उसे θ से मुक्त करती है), अनभिनत है, और Var φ ≤ Var δ। लेहमान–शेफ़े: जो अनभिनत आकलक किसी पूर्ण पर्याप्त प्रतिदर्शज का फलन हो, वह अद्वितीय UMVUE है।

ज्ञात होने योग्य UMVUE
मॉडल व लक्ष्यUMVUE
प्वासों(λ), λX̄
प्वासों(λ), e−λ = P(X = 0)(1 − 1/n)T, T = ΣXᵢ
बर्नूली(p), p(1 − p)T(n − T)/[n(n − 1)]
U(0, θ), θ(n + 1)X₍ₙ₎/n
N(μ, σ²), σ²S² = Σ(Xᵢ − X̄)²/(n − 1)
Exp(माध्य θ), θX̄

प्वासों पंक्ति कार्यरत राव–ब्लैकवेल है: 1{X₁ = 0}, e−λ हेतु अनभिनत है, और T = t दिए होने पर X₁ ~ Bin(t, 1/n), अतः E[1{X₁ = 0} | T] = (1 − 1/n)^T। n = 5 व T = 10 सहित UMVUE 0.8¹⁰ = 0.107 है; MLE e−X̄ = e−2 = 0.135 अभिनत है।

5. फ़िशर सूचना व क्रैमर–राव असमिका

नियमितता प्रतिबंधों (θ से मुक्त आधार, समाकल के भीतर अवकलन) के अंतर्गत प्रति प्रेक्षण फ़िशर सूचना I(θ) = E[(∂ ln f/∂θ)²] = −E[∂² ln f/∂θ²] है, और n का प्रतिदर्श nI(θ) वहन करता है। क्रैमर–राव असमिका: τ(θ) हेतु किसी भी अनभिनत T का Var T ≥ [τ′(θ)]²/(nI(θ))। समता तभी जब स्कोर ∂ ln L/∂θ, T का रैखिक फलन हो, जो ठीक एक-प्राचल चरघातांकी कुल में उसके प्राकृतिक प्रतिदर्शज T (रैखिक रूपांतरण तक) हेतु होता है।

प्रति प्रेक्षण फ़िशर सूचना
मॉडलI(θ)θ के अनभिनत आकलकों हेतु CR परिबंध
बर्नूली(p)1/[p(1 − p)]p(1 − p)/n
प्वासों(λ)1/λλ/n
N(μ, σ²), μ, σ ज्ञात1/σ²σ²/n
N(0, σ²), प्राचल σ²1/(2σ⁴)2σ⁴/n
Exp(माध्य θ)1/θ²θ²/n
⚠️ जहाँ क्रैमर–राव लागू नहीं
U(0, θ) हेतु आधार θ पर निर्भर है, नियमितता प्रतिबंध विफल हैं, और UMVUE (n + 1)X₍ₙ₎/n का प्रसरण θ²/[n(n + 2)] है — 1/n² कोटि का, 1/n परिबंध जो अनुमति देता उससे बहुत नीचे। "क्रैमर–राव परिबंध से नीचे" प्रसरण इस बात का संकेत है कि परिबंध कभी मान्य था ही नहीं, विरोधाभास नहीं।

मुख्य बिंदु

  • गुणनखंडन: f = g(T; θ)h(x)। प्राचल-आश्रित आधार T में एक क्रम प्रतिदर्शज लाता है (U(0, θ) हेतु X₍ₙ₎)।
  • न्यूनतम पर्याप्तता: f(x)/f(y), θ से मुक्त ⇔ T(x) = T(y)। कौशी व लाप्लास स्थान कुलों को सभी क्रम प्रतिदर्शज चाहिए।
  • पूर्ण-कोटि चरघातांकी कुल पूर्ण पर्याप्त प्रतिदर्शज देते हैं; U(θ, θ + 1) मानक न्यूनतम-पर-अपूर्ण स्थिति है।
  • बासु: पूर्ण पर्याप्त ⊥ सहायक — प्रसामान्य में X̄ ⊥ S², U(0, θ) में X₍ₙ₎ ⊥ X₍₁₎/X₍ₙ₎।
  • राव–ब्लैकवेल सुधारता है; लेहमान–शेफ़े प्रमाणित करता है: अनभिनत + पूर्ण पर्याप्त का फलन = UMVUE। प्वासों e−λ: (1 − 1/n)ΣX।
  • Var T ≥ [τ′(θ)]²/(nI(θ)); I = 1/[p(1 − p)], 1/λ, 1/σ², 1/(2σ⁴); परिबंध को θ-मुक्त आधार चाहिए।

अभ्यास प्रश्न (14)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. X₁, …, Xₙ i.i.d. U(0, θ) हैं। θ हेतु एक पर्याप्त प्रतिदर्शज है:

    1. X₍ₙ₎ = max Xᵢ
    2. X̄
    3. X₍₁₎ = min Xᵢ
    4. ΣXᵢ²
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — X₍ₙ₎ = max Xᵢ

    L(θ) = θ⁻ⁿ 1{X₍ₙ₎ ≤ θ} आँकड़ों पर केवल X₍ₙ₎ के माध्यम से निर्भर है, अतः गुणनखंडन से वह पर्याप्त है। X̄ नहीं: समान माध्य पर भिन्न अधिकतम वाले दो प्रतिदर्श भिन्न संभाविताएँ देते हैं (एक शून्य भी हो सकती है)।

  2. X₁, …, Xₙ (n ≥ 2) i.i.d. U(θ, θ + 1) हैं। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. (X₍₁₎, X₍ₙ₎), θ हेतु न्यूनतम पर्याप्त है
    2. (X₍₁₎, X₍ₙ₎) पूर्ण है
    3. X₍ₙ₎ − X₍₁₎ एक सहायक प्रतिदर्शज है
    4. X̄, θ हेतु पर्याप्त है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (X₍₁₎, X₍ₙ₎), θ हेतु न्यूनतम पर्याप्त है; C — X₍ₙ₎ − X₍₁₎ एक सहायक प्रतिदर्शज है

    (A) L(θ) = 1{X₍ₙ₎ − 1 ≤ θ ≤ X₍₁₎}; दो प्रतिदर्शों हेतु अनुपात θ-मुक्त है यदि और केवल यदि दोनों चरम मेल खाएँ। (C) Xᵢ − θ ~ U(0, 1), अतः परिसर का बंटन θ-मुक्त है। (B) असत्य: प्रत्येक θ हेतु E[परिसर] = (n − 1)/(n + 1), अतः परिसर − (n − 1)/(n + 1) शून्य माध्य वाला अशून्य फलन है। (D) असत्य: संभाविता चरमों पर निर्भर है, माध्य पर नहीं।

  3. X₁, …, X₁₀ i.i.d. प्वासों(λ) हैं। λ = 2 पर पूरे प्रतिदर्श में निहित λ के विषय में फ़िशर सूचना ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5

    ln f = x ln λ − λ − ln x!, ∂² ln f/∂λ² = −x/λ², अतः प्रति प्रेक्षण I(λ) = E X/λ² = 1/λ व nI = 10/2 = 5। प्रति-प्रेक्षण मान 0.5 बताना प्रतिदर्श आमाप भूलता है; 0.2 क्रैमर–राव परिबंध λ/n है, उसका व्युत्क्रम।

  4. X₁, …, X₂₅ i.i.d. बर्नूली(p) हैं। p = 0.2 पर p के अनभिनत आकलकों के प्रसरण हेतु क्रैमर–राव निम्न परिबंध, चार दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.0064

    I(p) = 1/[p(1 − p)], अतः परिबंध p(1 − p)/n = 0.16/25 = 0.0064 है, X̄ द्वारा प्राप्त। n भूलना 0.16 देता है, एकल प्रेक्षण का प्रसरण।

  5. X₁, …, X₅ i.i.d. प्वासों(λ) हैं और प्रेक्षित योग ΣXᵢ = 10 है। e−λ का UMVUE, इन आँकड़ों पर, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 0.107

    1{X₁ = 0}, e−λ हेतु अनभिनत है; T = 10 दिए होने पर X₁ ~ Bin(10, 1/5), अतः E[1{X₁ = 0} | T] = (4/5)¹⁰ = 0.1074 → 0.107। T पूर्ण पर्याप्त है, अतः लेहमान–शेफ़े इसे UMVUE बनाता है। प्रतिस्थापन e−X̄ = e−2 = 0.135, MLE है, जो अभिनत है।

  6. X₁, …, X₄ i.i.d. U(0, θ) हैं और सबसे बड़ा प्रेक्षण 6 है। θ का UMVUE, इन आँकड़ों पर, एक दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 7.5

    E X₍ₙ₎ = nθ/(n + 1), अतः (n + 1)X₍ₙ₎/n = (5/4) × 6 = 7.5 अनभिनत है और पूर्ण पर्याप्त X₍ₙ₎ का फलन है। 6, MLE, उत्तर नीचे की ओर अभिनत है — प्रतिदर्श का अधिकतम सदा θ से कम पड़ता है।

  7. X₁, …, X₁₀ i.i.d. बर्नूली(p) हैं, ΣXᵢ = 4 सहित। p(1 − p) का UMVUE, इन आँकड़ों पर, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.267

    T = ΣXᵢ पूर्ण पर्याप्त है, और E[T(n − T)] = n(n − 1)p(1 − p), अतः T(n − T)/[n(n − 1)] = 4 × 6/90 = 0.2667 → 0.267 UMVUE है। प्रतिस्थापन X̄(1 − X̄) = 0.24 अभिनत है: उसका माध्य (n − 1)/n × p(1 − p) है।

  8. बासु प्रमेय व उसके अनुप्रयोगों के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. σ² ज्ञात वाले N(μ, σ²) प्रतिदर्श में बासु प्रमेय से X̄ व S² स्वतंत्र हैं
    2. U(0, θ) प्रतिदर्श में X₍ₙ₎ व X₍₁₎/X₍ₙ₎ स्वतंत्र हैं
    3. बासु प्रमेय को पर्याप्त प्रतिदर्शज का पूर्ण होना आवश्यक है
    4. प्रत्येक सहायक प्रतिदर्शज प्रत्येक पर्याप्त प्रतिदर्शज से स्वतंत्र है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — σ² ज्ञात वाले N(μ, σ²) प्रतिदर्श में बासु प्रमेय से X̄ व S² स्वतंत्र हैं; B — U(0, θ) प्रतिदर्श में X₍ₙ₎ व X₍₁₎/X₍ₙ₎ स्वतंत्र हैं; C — बासु प्रमेय को पर्याप्त प्रतिदर्शज का पूर्ण होना आवश्यक है

    (A) X̄, μ हेतु पूर्ण पर्याप्त है, और S² = Σ(Xᵢ − X̄)²/(n − 1) स्थान-निश्चर है, अतः सहायक। (B) X₍ₙ₎, θ हेतु पूर्ण पर्याप्त है, और X₍₁₎/X₍ₙ₎ मापक-निश्चर है, अतः सहायक। (C) पूर्णता ही वह परिकल्पना है जो इसे चलाती है। (D) असत्य: पूरा प्रतिदर्श पर्याप्त है, और वह, उदाहरणार्थ, परिसर से स्वतंत्र नहीं।

  9. X₁, …, Xₙ i.i.d. N(μ, σ²) हैं, दोनों प्राचल अज्ञात। (μ, σ²) हेतु एक पूर्ण पर्याप्त प्रतिदर्शज है:

    1. (ΣXᵢ, ΣXᵢ²)
    2. केवल ΣXᵢ
    3. (X₍₁₎, X₍ₙ₎)
    4. प्रतिदर्श माध्यिका
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (ΣXᵢ, ΣXᵢ²)

    प्रसामान्य द्वि-प्राचल चरघातांकी कुल है, प्राकृतिक प्राचल (μ/σ², −1/(2σ²)) सहित, जिनका परिसर एक विवृत अर्ध-तल है, अतः (ΣX, ΣX²) पूर्ण व पर्याप्त है। केवल ΣXᵢ तभी पर्याप्त है जब σ² ज्ञात हो; चरम मान व माध्यिका पर्याप्त ही नहीं।

  10. X ~ N(0, σ²)। एक प्रेक्षण में प्राचल σ² के विषय में फ़िशर सूचना, σ² = 2 पर, तीन दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.125

    v = σ² सहित: ln f = −½ ln(2πv) − x²/(2v), ∂²/∂v² = 1/(2v²) − x²/v³, तथा −E[·] = −1/(2v²) + v/v³ = 1/(2v²) = 1/8 = 0.125। स्वयं σ के विषय में सूचना 2/σ² = 1 है; दोनों भिन्न हैं क्योंकि प्राचलीकरण स्कोर का मापक बदल देता है।

  11. X₁, …, Xₙ माध्य θ वाले i.i.d. चरघातांकी हैं। कौन-सा अनभिनत आकलक क्रैमर–राव निम्न परिबंध प्राप्त करता है?

    1. θ के आकलक के रूप में X̄
    2. 1/θ के आकलक के रूप में (n − 1)/ΣXᵢ
    3. θ के आकलक के रूप में nX₍₁₎
    4. θ के आकलक के रूप में X₁
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — θ के आकलक के रूप में X̄

    स्कोर n(X̄ − θ)/θ² है, X̄ में रैखिक, अतः X̄, θ हेतु परिबंध θ²/n प्राप्त करता है। (n − 1)/ΣX, 1/θ का UMVUE है, पर उसका प्रसरण परिबंध से अधिक है क्योंकि वह X̄ में रैखिक नहीं। nX₍₁₎ अनभिनत है (न्यूनतम माध्य θ/n वाला Exp है), प्रसरण θ² सहित — परिबंध का n गुना; X₁ का भी प्रसरण θ² है।

  12. X₁, …, X₂₅ i.i.d. N(μ, 25) हैं। μ हेतु आकलक T = X̄ + 1 प्रयुक्त है। T की माध्य वर्ग त्रुटि ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    MSE = Var T + अभिनति² = 25/25 + 1² = 2। 1 उत्तर केवल प्रसरण बताता है और अभिनति की उपेक्षा करता है; 26 एकल प्रेक्षण का प्रसरण लेता है।

  13. δ, τ(θ) का अनभिनत आकलक है और T पर्याप्त प्रतिदर्शज है। मान लें φ(T) = E[δ | T]। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. φ(T), τ(θ) हेतु अनभिनत है
    2. प्रत्येक θ हेतु Var φ(T) ≤ Var δ
    3. φ(T), θ पर निर्भर नहीं, क्योंकि T पर्याप्त है
    4. φ(T) सदा τ(θ) का UMVUE है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — φ(T), τ(θ) हेतु अनभिनत है; B — प्रत्येक θ हेतु Var φ(T) ≤ Var δ; C — φ(T), θ पर निर्भर नहीं, क्योंकि T पर्याप्त है

    (A) टावर गुण: E φ(T) = E δ = τ(θ)। (B) Var δ = Var φ + E[Var(δ | T)] ≥ Var φ। (C) पर्याप्तता T दिए होने पर आँकड़ों के सप्रतिबंध बंटन को, और अतः E[δ | T] को, θ से मुक्त करती है — उसके बिना φ प्रतिदर्शज ही न होता। (D) असत्य: उसके लिए T का पूर्ण होना भी आवश्यक है (लेहमान–शेफ़े)।

  14. X₁, …, Xₙ (n ≥ 3) घनत्व 1/(π[1 + (x − θ)²]) वाले कौशी स्थान कुल से i.i.d. हैं। θ हेतु एक न्यूनतम पर्याप्त प्रतिदर्शज है:

    1. क्रम प्रतिदर्शजों का सदिश (X₍₁₎, …, X₍ₙ₎)
    2. X̄
    3. प्रतिदर्श माध्यिका
    4. (X₍₁₎, X₍ₙ₎)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — क्रम प्रतिदर्शजों का सदिश (X₍₁₎, …, X₍ₙ₎)

    f(x; θ)/f(y; θ) = ∏[1 + (yᵢ − θ)²]/∏[1 + (xᵢ − θ)²], θ में बहुपदों का अनुपात जो अचर है यदि और केवल यदि मूलों के दोनों समुच्चय {xᵢ ± i} व {yᵢ ± i} संपाती हों, अर्थात् यदि प्रतिदर्श परस्पर क्रमचय हों। अतः क्रम प्रतिदर्शजों से स्थूल कुछ भी पर्याप्त नहीं; माध्यिका अच्छा आकलक है पर सूचना त्याग देती है।