अभियांत्रिकी यांत्रिकी: साम्यावस्था, घर्षण, पट्टे, कैंचियाँ व समतल गति में दृढ़ पिंड

खंड A.2 मुक्त-पिंड आरेख व साम्यावस्था; घर्षण व उसके अनुप्रयोग — लोटन घर्षण व पट्टा–घिरनी; कैंचियाँ व ढाँचे; तथा समतल गति में दृढ़ पिंडों की शुद्धगतिकी व गतिकी नामित करता है। मैनिपुलेटर दृढ़ पिंडों की शृंखला है जो घर्षण संपर्कों व पट्टा चालनों से भार वहन करती है, अतः यह वह स्थैतिकी व गतिकी है जिसे रोबोट अभिकल्पक कुछ भी चलने से पहले जाँचता है। प्रत्येक विषय उसी रूप में हल है जिसमें GATE इसे रखता है: गति आसन्न करने हेतु बल, पट्टे की शक्ति, अवयव बल, त्वरण।

1. मुक्त-पिंड आरेख व साम्यावस्था

मुक्त-पिंड आरेख एक पिंड को पृथक् करता है और उस पर प्रत्येक बाह्य बल खींचता है: प्रयुक्त भार, भार (वज़न), और जो कुछ काटकर हटाया गया उसकी प्रतिक्रियाएँ — रोलर अपने पृष्ठ के अभिलंब एक बल देता है, पिन दो घटक, स्थिर आधार दो घटक व एक आघूर्ण। समतल में साम्यावस्था ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0 है: तीन समीकरण, अतः तीन अज्ञात प्रतिक्रियाओं वाला पिंड स्थैतिकतः निर्धार्य है। साम्यावस्था में द्वि-बल अवयव अपने दो पिनों को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश समान, विपरीत, संरेख बल वहन करता है; त्रि-बल पिंड के तीनों बल संगामी (या समांतर) होते हैं।

हल: μ_s = 0.3 वाले फ़र्श पर 100 N का खंड रखा है और क्षैतिज से 30° ऊपर बल P से खींचा जाता है। खिंचाव भार का कुछ भाग उठा लेता है, अतः N = 100 − P sin 30° और गति तब आसन्न है जब P cos 30° = 0.3(100 − 0.5P): P = 30/(0.866 + 0.15) ≈ 29.5 N, जो क्षैतिज खिंचाव हेतु आवश्यक 30 N से कम है।

2. घर्षण: सर्पी, लोटन, और घिरनी पर पट्टा

कूलॉम घर्षण फिसलन से पहले μ_s N तक और फिसलन के दौरान μ_k N (μ_k < μ_s) बल से आपेक्षिक सर्पण का प्रतिरोध करता है; घर्षण कोण φ हेतु tan φ = μ, और नत तल पर खंड तब फिसलने लगता है जब tan θ = μ_s। पहला प्रश्न सदा यह है कि पिंड गतिमान है या नहीं: साम्यावस्था हेतु आवश्यक घर्षण निकालें और μ_s N से तुलना करें। लोटन प्रतिरोध इसलिए होता है कि भारित पहिया व उसका पृष्ठ विरूपित होते हैं, जिससे अभिलंब प्रतिक्रिया केंद्र से दूरी a आगे खिसकती है, लोटन प्रतिरोध गुणांक, जिसकी इकाई लंबाई है; पहिये को लुढ़कते रखने हेतु बल लगभग F = W a/r है — भार के अनुपाती व पहिया-त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती, और सामान्यतः सर्पी घर्षण से कहीं कम।

घिरनी पर फिसलने की कगार पर समतल पट्टे हेतु T₁/T₂ = eμθ, θ रेडियन में लपेट कोण, T₁ तना-पक्ष तनाव; खाँचा कोण 2β वाले V-पट्टे हेतु eμθ/sin β। पट्टा गति v पर संचरित शक्ति P = (T₁ − T₂)v है। μ = 0.3 व θ = π सहित T₁/T₂ = e0.942 ≈ 2.566; 200 N का ढीला पक्ष T₁ ≈ 513 N देता है, और 10 m/s पर पट्टा लगभग 3.13 kW संचरित करता है। उच्च गति पर अपकेंद्री तनाव mv² दोनों पक्षों में जुड़ता है और शुद्ध पकड़ घटाता है।

⚠️ घातांक में डिग्री
eμθ में लपेट कोण रेडियन में होना चाहिए: 180° = π। घातांक में 180 रखने पर e54 आता है, ऐसा तनाव-अनुपात जो किसी पट्टे का कभी नहीं रहा।

3. कैंचियाँ व ढाँचे

कैंची (ट्रस) सीधे द्वि-बल अवयवों से बनी है जो सिरों पर पिनित हैं और केवल संधियों पर भारित हैं, अतः प्रत्येक अवयव शुद्ध तनन या संपीडन में है। j संधियों व m अवयवों वाली समतल कैंची स्थैतिकतः निर्धार्य व ठीक दृढ़ है जब m = 2j − 3 — 6 संधियों हेतु 9 अवयव; कम हों तो क्रियाविधि, अधिक हों तो अतिरिक्त। संधि विधि प्रत्येक पिन पर ΣF_x = ΣF_y = 0 लगाती है, वहाँ से आरंभ करके जहाँ केवल दो अवयव अज्ञात हों; खंड विधि अधिकतम तीन अवयवों के आर-पार काटती है और उनमें से दो के प्रतिच्छेद के परितः आघूर्ण लेकर तीसरा सीधे निकालती है। भार-रहित संधि पर जहाँ दो असंरेख अवयव मिलें, दोनों शून्य-बल अवयव हैं; तीन अवयवों वाली भार-रहित संधि पर, दो संरेख हों तो तीसरा शून्य-बल है।

हल: दो समान अवयव शीर्ष पर मिलते हैं जो 10 kN नीचे की ओर वहन करता है, प्रत्येक क्षैतिज से 60° पर झुका और आधार पर पिनित। सममिति से प्रत्येक F वहन करता है, और शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर साम्यावस्था 2F sin 60° = 10 देती है, अतः F = 10/√3 ≈ 5.77 kN, संपीडक। अवयवों को 30° तक चपटा करें तो बल 10 kN हो जाता है: उथली कैंचियाँ बड़े अवयव बल वहन करती हैं। ढाँचा इस अर्थ में भिन्न है कि उसमें कम से कम एक बहु-बल अवयव होता है, जिसका विश्लेषण संधि-दर-संधि नहीं बल्कि अपने मुक्त-पिंड आरेख सहित दृढ़ पिंड के रूप में होता है।

4. समतल गति में दृढ़ पिंडों की शुद्धगतिकी

समतल गति में दृढ़ पिंड का एक कोणीय वेग ω व एक कोणीय त्वरण α होता है। कोई भी दो बिंदु v_B = v_A + ω × r_B/A व a_B = a_A + α × r_B/A − ω² r_B/A से संबंधित हैं। प्रत्येक क्षण एक शून्य वेग का तात्क्षणिक केंद्र होता है जिसके परितः पिंड क्षणभर घूम रहा है: प्रत्येक बिंदु IC तक की अपनी रेखा के लंबवत् ω × (दूरी) गति से चलता है, और शुद्ध स्थानांतरण वाले पिंड का IC अनंत पर है। IC का त्वरण सामान्यतः शून्य नहीं होता, अतः त्वरणों हेतु इसका प्रयोग नहीं हो सकता।

बिना फिसले लुढ़कने वाले त्रिज्या r के पहिये के केंद्र पर v = ωr व a = αr। उसका संपर्क बिंदु IC है: क्षणभर विराम में, यद्यपि ω²r से ऊपर की ओर त्वरित। पहिये का शीर्ष आगे की ओर 2v से चलता है; केंद्र के स्तर का बिंदु 45° पर √2 v से। केंद्र गति 6 m/s वाला 0.3 m का पहिया 20 rad/s पर घूमता है, और उसका शीर्ष 12 m/s से चलता है।

5. समतल गति में दृढ़ पिंडों की गतिकी

समतल गति के समीकरण ΣF = m a_G व ΣM_G = I_G α हैं, या स्थिर अक्ष O के परितः घूर्णन हेतु ΣM_O = I_O α, I_O = I_G + md² (समांतर अक्ष) सहित। एक सिरे पर पिनित व क्षैतिज से छोड़ी गई L लंबाई की एकसमान छड़ हेतु I_O = mL²/3 व गुरुत्व आघूर्ण mgL/2, अतः छोड़ते समय α = 3g/(2L) — L = 1.5 m हेतु 9.81 rad/s² — और सिरा 3g/2 से नीचे चलना आरंभ करता है, मुक्त पतन से तीव्र।

नत तल θ पर बिना फिसले लुढ़कना: a = g sin θ/(1 + k²/r²)
पिंडk²/r²त्वरण
ठोस गोला2/5(5/7) g sin θ
ठोस बेलन या चकती1/2(2/3) g sin θ
पतला वलय या खोखला बेलन1(1/2) g sin θ
घर्षण-रहित फिसलता खंड0g sin θ

पिंड अपना जितना अधिक द्रव्यमान अक्ष से दूर रखता है, उपलब्ध ऊर्जा का उतना अधिक भाग घूर्णन में जाता है और वह उतना धीमा उतरता है: 30° ढलान पर ठोस बेलन (2/3)(9.81)(0.5) ≈ 3.27 m/s² से त्वरित होता है। कार्य–ऊर्जा (T₁ + V₁ + W = T₂ + V₂, T = ½mv_G² + ½I_Gω² सहित) त्वरणों के बिना गतियाँ देता है, और आवेग–संवेग संघट्ट सँभालता है; वह सिद्धांत चुनें जिसकी राशियाँ प्रश्न नामित करे।

मुख्य बिंदु

  • समतल साम्यावस्था तीन समीकरण देती है; द्वि-बल अवयव समान, विपरीत, संरेख बल वहन करता है।
  • μN प्रयोग से पहले जाँचें कि यह गतिमान है या नहीं; लोटन प्रतिरोध ≈ Wa/r; फिसलन की कगार पर पट्टे हेतु T₁/T₂ = eμθ, θ रेडियन में, और P = (T₁ − T₂)v।
  • समतल कैंची निर्धार्य है जब m = 2j − 3; भार-रहित दो-अवयव संधियों पर शून्य-बल अवयव पहचानें।
  • बिना फिसले लुढ़कना: v = ωr, संपर्क बिंदु विराम में, शीर्ष 2v पर; IC का वेग शून्य है, त्वरण नहीं।
  • ΣM_O = I_O α; एक सिरे पर पिनित छड़ α = 3g/(2L) से आरंभ करती है; नत तल पर a = g sin θ/(1 + k²/r²)।

अभ्यास प्रश्न (11)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. दोनों सिरों पर पिनित व केवल पिनों पर भारित अवयव, भार नगण्य मानते हुए, साम्यावस्था में वहन करता है:

    1. पिनों को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश दो समान, विपरीत व संरेख बल
    2. अवयव के लंबवत् दो समान बल
    3. प्रत्येक पिन पर एक बल व एक युग्म
    4. तीन संगामी बल
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — पिनों को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश दो समान, विपरीत व संरेख बल

    केवल दो बलों सहित ΣF = 0 उन्हें समान व विपरीत बनाता है, और ΣM = 0 उन्हें संरेख, अतः दोनों पिनों की रेखा के अनुदिश कार्य करते हैं। पिन कोई युग्म संचरित नहीं करता।

  2. एक समतल कैंची में 6 संधियाँ हैं। इसके स्थैतिकतः निर्धार्य व ठीक दृढ़ होने हेतु अवयवों की संख्या ____ होनी चाहिए।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 9

    m = 2j − 3 = 12 − 3 = 9: प्रति संधि दो साम्य समीकरण 9 अवयव बलों व 3 आधार प्रतिक्रियाओं हेतु 12 समीकरण देते हैं। कम अवयव क्रियाविधि छोड़ते हैं, अधिक उसे अतिरिक्त बनाते हैं।

  3. 100 N भार का खंड स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.3 वाले क्षैतिज फ़र्श पर रखा है। इसे क्षैतिज से 30° ऊपर झुके बल P से खींचा जाता है। P का वह मान जिस पर सर्पण आसन्न है, एक दशमलव स्थान तक, ____ N है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 29.5

    N = 100 − P sin 30° = 100 − 0.5P, और आसन्न गति पर P cos 30° = 0.3N: 0.866P = 30 − 0.15P, अतः P = 30/1.016 ≈ 29.53 N। N = 100 लेना झुके खिंचाव के उत्थापन की उपेक्षा करता है और 34.6 N देता है।

  4. एक समतल पट्टा घर्षण गुणांक 0.3 सहित घिरनी के आधे भाग पर (लपेट कोण 180°) चढ़ा है। ढीले पक्ष का तनाव 200 N और पट्टा गति 10 m/s है। फिसलन की कगार पर संचरित शक्ति, दो दशमलव स्थानों तक, ____ kW है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

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    उत्तर: 3.13

    T₁/T₂ = eμθ = e0.3π = e0.9425 ≈ 2.566, अतः T₁ ≈ 513.3 N और P = (T₁ − T₂)v = 313.3 × 10 ≈ 3133 W = 3.13 kW। T₁ × v लेना 5.13 kW देता है — ढीला पक्ष भी घिरनी के विरुद्ध कार्य करता है।

  5. दो समरूप कैंची अवयव एक शीर्ष पर मिलते हैं जो 10 kN का ऊर्ध्वाधर भार वहन करता है; प्रत्येक अवयव क्षैतिज से 60° पर झुका और अपने आधार पर पिनित है। प्रत्येक अवयव में बल, दो दशमलव स्थानों तक, ____ kN है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 5.77

    शीर्ष पर ऊर्ध्वाधर साम्यावस्था: 2F sin 60° = 10, अतः F = 10/(2 × 0.866) = 5.77 kN, संपीडक; क्षैतिज घटक सममिति से निरस्त। cos 60° लेना 10 kN देता है, जो 30° पर झुके अवयवों का उत्तर है।

  6. समतल कैंची की भार-रहित संधि पर ठीक दो असंरेख अवयव मिलते हैं। इन अवयवों में बल हैं:

    1. दोनों शून्य
    2. समान व विपरीत, पर शून्य नहीं
    3. आधार प्रतिक्रिया के आधे के बराबर
    4. खंड विधि के बिना अनिर्धार्य
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — दोनों शून्य

    एक अवयव के लंबवत् वियोजन करने पर केवल दूसरे का घटक बचता है, जो शून्य होना चाहिए; फिर पहला भी शून्य होना चाहिए। दो असंरेख बल तब तक संतुलित नहीं हो सकते जब तक दोनों शून्य न हों।

  7. 0.3 m त्रिज्या का पहिया बिना फिसले लुढ़कता है, उसका केंद्र 6 m/s से चलता है। पहिये के सर्वोच्च बिंदु की गति ____ m/s है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 12

    संपर्क बिंदु तात्क्षणिक केंद्र है, और शीर्ष उससे 2r पर है: v_top = ω × 2r = 2v = 12 m/s, ω = 6/0.3 = 20 rad/s सहित। v में ωr जोड़ना भी यही 12 देता है, और घटाना संपर्क बिंदु का शून्य।

  8. एक ठोस एकसमान बेलन 30° पर झुके तल पर बिना फिसले लुढ़कता है। g = 9.81 m/s² लेकर उसका त्वरण, दो दशमलव स्थानों तक, ____ m/s² है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3.27

    ठोस बेलन हेतु k²/r² = 1/2 सहित a = g sin θ/(1 + k²/r²): a = (2/3) × 9.81 × 0.5 = 3.27 m/s²। घर्षण-रहित फिसलन 4.905 देगी; वलय 2.45।

  9. 1.5 m लंबी एकसमान छड़ एक सिरे पर पिनित है और क्षैतिज स्थिति में विराम से छोड़ी जाती है। g = 9.81 m/s² लेकर छोड़ने के क्षण उसका कोणीय त्वरण ____ rad/s² है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 9.81

    ΣM_O = I_O α: mg(L/2) = (mL²/3)α, अतः α = 3g/(2L) = 3 × 9.81/3 = 9.81 rad/s²। पिन के परितः mL²/3 के स्थान पर I_G = mL²/12 लेने पर चौगुना आता है।

  10. लोटन प्रतिरोध के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. यह पहिया-त्रिज्या से स्वतंत्र है
    2. आवश्यक बल लगभग भार के अनुपाती व पहिया-त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती है
    3. लोटन प्रतिरोध गुणांक की विमा लंबाई है
    4. समान भार हेतु यह सामान्यतः सर्पी घर्षण से कहीं कम है
    उत्तर देखें

    उत्तर: B — आवश्यक बल लगभग भार के अनुपाती व पहिया-त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती है; C — लोटन प्रतिरोध गुणांक की विमा लंबाई है; D — समान भार हेतु यह सामान्यतः सर्पी घर्षण से कहीं कम है

    (A) असत्य: F ≈ Wa/r त्रिज्या बढ़ने पर घटता है, इसीलिए बड़े पहिये नरम भूमि पर आसानी से लुढ़कते हैं। (B) वही संबंध। (C) a अभिलंब प्रतिक्रिया का आगे का विचलन है, एक लंबाई। (D) a/r सामान्यतः μ का छोटा अंश है, इसीलिए पहियों ने स्लेज का स्थान लिया।

  11. समतल गति में दृढ़ पिंड के शून्य वेग के तात्क्षणिक केंद्र के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. बिना फिसले लुढ़कते पहिये हेतु यह संपर्क बिंदु है
    2. किसी भी बिंदु का वेग उससे उसकी दूरी का ω गुना है, उन्हें मिलाने वाली रेखा के लंबवत्
    3. इसका त्वरण सदा शून्य है
    4. शुद्ध स्थानांतरण वाले पिंड हेतु यह अनंत पर है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — बिना फिसले लुढ़कते पहिये हेतु यह संपर्क बिंदु है; B — किसी भी बिंदु का वेग उससे उसकी दूरी का ω गुना है, उन्हें मिलाने वाली रेखा के लंबवत्; D — शुद्ध स्थानांतरण वाले पिंड हेतु यह अनंत पर है

    (A) फिसलन न होने पर संपर्क बिंदु का वेग शून्य है। (B) उसके परितः क्षणिक घूर्णन का यही अर्थ है। (C) असत्य: लुढ़कते पहिये का संपर्क बिंदु केंद्र की ओर ω²r से त्वरित होता है; IC केवल वेग की रचना है। (D) ω = 0 पर सभी बिंदुओं का एक ही वेग है, और कोई परिमित बिंदु विराम में नहीं।