पदार्थ यांत्रिकी II: अपरूपण बल व नमन आघूर्ण, नमन व अपरूपण प्रतिबल, अपरूपण केंद्र, विक्षेप, ऐंठन, स्तंभ तथा कैस्टिग्लियानो के प्रमेय
1. अपरूपण बल व नमन आघूर्ण आरेख
वितरित भार w(x) नीचे की ओर वाले बीम हेतु फाँक का साम्य dV/dx = −w व dM/dx = V देता है: अपरूपण-बल आरेख का ढाल (ऋणात्मक) भार तीव्रता है और नमन-आघूर्ण आरेख का ढाल अपरूपण बल है। अतः आघूर्ण वहाँ अधिकतम है जहाँ V शून्य पार करता है, बिंदु भार V को अपने परिमाण से कूदाता है और M के ढाल में परिवर्तन छोड़ता है, और आरोपित युग्म M को कूदाता है। दो अनुभागों के बीच V आरेख के नीचे का क्षेत्रफल M में परिवर्तन है। विपरिवर्तन बिंदु वह है जहाँ M चिह्न बदलता है, और वहाँ बीम की वक्रता उलट जाती है।
| बीम व भार | अधिकतम आघूर्ण | कहाँ |
|---|---|---|
| सरल आलंबित, केंद्रीय बिंदु भार P | PL/4 | मध्य-पाट |
| सरल आलंबित, एकसमान भार w प्रति इकाई लंबाई | wL²/8 | मध्य-पाट |
| कैंटिलीवर, सिरे का भार P | PL | स्थिर सिरा |
| कैंटिलीवर, एकसमान भार w | wL²/2 | स्थिर सिरा |
6 m पाट के सरल आलंबित बीम पर 10 kN/m हो तो प्रत्येक अभिक्रिया 30 kN है, V +30 से −30 kN तक रैखिक रूप से गिरता है, और मध्य-पाट पर M_max = 10 × 6²/8 = 45 kN·m। आरेख बाईं ओर से खींचें, x पर अनुभाग लेकर एक ओर के बलों से V व M लिखें; एकसमान भार हेतु अपरूपण आरेख सीधी रेखा है और आघूर्ण आरेख परवलय।
2. नमन व अपरूपण प्रतिबल तथा अपरूपण केंद्र
शुद्ध नमन में समतल अनुभाग समतल रहते हैं, अतः विकृति गहराई में रैखिक बदलती है और उदासीन अक्ष केंद्रक से गुज़रता है। नमन सूत्र M/I = σ/y = E/R है: σ = My/I, चरम रेशे पर सर्वाधिक, अनुभाग गुणांक Z = I/y_max सहित। आयत हेतु अपने केंद्रकीय अक्ष के सापेक्ष I = bh³/12 व वृत्त हेतु πd⁴/64। 100 mm चौड़े, 200 mm गहरे आयत हेतु I = 6.667 × 10⁷ mm⁴ है, और 20 kN·m का आघूर्ण σ_max = 20 × 10⁶ × 100/(6.667 × 10⁷) = 30 MPa देता है।
स्तर y₁ पर अनुप्रस्थ अपरूपण प्रतिबल τ = V·Aȳ/(I b) है, जहाँ Aȳ स्तर के परे क्षेत्रफल का उदासीन अक्ष के सापेक्ष प्रथम आघूर्ण व b वहाँ की चौड़ाई है। यह ऊपर व नीचे के रेशों पर शून्य व उदासीन अक्ष पर सर्वाधिक है: आयत हेतु τ_max = 1.5 V/A (परवलयिक), ठोस वृत्त हेतु 4V/(3A), और I-अनुभाग हेतु वेब अधिकांश अपरूपण वहन करता है, V/(वेब क्षेत्रफल) के निकट। 100 × 200 mm अनुभाग पर V = 30 kN हेतु τ_max = 1.5 × 30 000/20 000 = 2.25 MPa। नमन प्रतिबल वहाँ अधिकतम है जहाँ अपरूपण शून्य है और उलटा भी।
अपरूपण केंद्र अनुप्रस्थ काट का वह बिंदु है जिससे अनुप्रस्थ भार को गुज़रना चाहिए ताकि बीम बिना ऐंठन के नमन करे। यह किसी भी सममिति अक्ष पर होता है, और I-अनुभाग या आयत जैसे द्विसममित अनुभाग हेतु केंद्रक पर। चैनल जैसे असममित अनुभाग हेतु यह केंद्रक से संपाती नहीं होता: फ्लैंजों व वेब में अपरूपण प्रवाह का परिणामी वेब के बाहर, फ्लैंजों के सिरों से दूर की ओर, दूरी पर कार्य करता है, और केंद्रक से गुज़रता भार चैनल को ऐंठ देता। कोण या टी हेतु यह पैरों के संधि पर है।
3. बीमों का विक्षेप
प्रत्यास्थ वक्र छोटे ढालों हेतु EI d²y/dx² = M(x) का पालन करता है। दो बार समाकलित करें, स्थिरांकों को आलंबों से मिलाते हुए (पिन पर विक्षेप शून्य, अंतःस्थापित सिरे पर ढाल व विक्षेप शून्य); मैकाले विधि बिंदु भारों के पार एक ही व्यंजक लिखती है, और आघूर्ण-क्षेत्रफल, संयुग्मी-बीम व अध्यारोपण वही परिणाम देते हैं। याद रखने योग्य परिणाम: कैंटिलीवर, सिरे का भार P: δ = PL³/(3EI), θ = PL²/(2EI); कैंटिलीवर, एकसमान भार: δ = wL⁴/(8EI); सरल आलंबित, केंद्रीय भार: δ = PL³/(48EI); सरल आलंबित, एकसमान भार: 5wL⁴/(384EI)।
2 m कैंटिलीवर पर 1 kN सिरे के भार, E = 200 GPa व I = 4 × 10⁻⁶ m⁴ हेतु EI = 8 × 10⁵ N·m² व δ = 1000 × 2³/(3 × 8 × 10⁵) = 3.33 × 10⁻³ m = 3.33 mm। क्योंकि विक्षेप L³ (सिरे का भार) या L⁴ (एकसमान भार) के साथ मापित होता है, कैंटिलीवर की लंबाई दुगुनी करने से सिरे का विक्षेप 8 (या 16) गुना हो जाता है; क्योंकि वह 1/I से घटता है और I, h³ से, आयताकार अनुभाग की गहराई दुगुनी करने से वह आठ गुना घटता है। अध्यारोपण रैखिक बीम पर पृथक भारों के विक्षेप जोड़ता है।
4. वृत्ताकार शाफ़्टों की ऐंठन
ऐंठन में वृत्ताकार शाफ़्ट हेतु समतल अनुभाग समतल व त्रिज्याएँ सीधी रहती हैं, अतः अपरूपण विकृति त्रिज्या के साथ रैखिक बढ़ती है और T/J = τ/r = Gθ/L। τ = Tr/J अक्ष पर शून्य व पृष्ठ पर सर्वाधिक है, ध्रुवीय आघूर्ण ठोस शाफ़्ट हेतु J = πd⁴/32 व खोखले हेतु π(D⁴ − d⁴)/32 है, और ऐंठन कोण θ = TL/(GJ) है, अनुपात GJ/L ऐंठन दृढ़ता है। 1 kN·m वहन करने वाले 50 mm व्यास के ठोस शाफ़्ट हेतु τ_max = 16T/(πd³) = 16 × 1000/(π × 0.05³) = 40.7 × 10⁶ Pa = 40.7 MPa।
शक्ति P = Tω = 2πNT/60 है, N rpm में: 1500 rpm पर 200 N·m से 2π × 1500 × 200/60 = 31.4 kW। समान शक्ति हेतु आधी चाल पर वही बलाघूर्ण दुगुनी शाफ़्ट-सामर्थ्य माँगता है। खोखला शाफ़्ट प्रति इकाई द्रव्यमान ठोस से अधिक दक्ष है, क्योंकि अक्ष के निकट का पदार्थ मुश्किल से प्रतिबलित होता है। श्रेणी में शाफ़्ट समान बलाघूर्ण वहन करते हैं और अपनी ऐंठनें जोड़ते हैं; समांतर में शाफ़्ट समान ऐंठन साझा करते हैं और अपनी दृढ़ताएँ जोड़ते हैं, अतः बलाघूर्ण GJ/L के अनुपात में बँटता है।
5. यूलर का स्तंभ सिद्धांत व कैस्टिग्लियानो के प्रमेय
अक्षीय भारित पतला स्तंभ यूलर क्रांतिक भार P_cr = π²EI/L_e² पर बकल होता है, जहाँ प्रभावी लंबाई L_e सिरों पर निर्भर है: पिन–पिन हेतु L, स्थिर–स्थिर हेतु 0.5L, स्थिर–पिन हेतु 0.7L व स्थिर–मुक्त हेतु 2L। बकलन भार L_e² के व्युत्क्रमानुपाती है, अतः स्थिर–स्थिर स्तंभ स्थिर–मुक्त से (2L/0.5L)² = 16 गुना भार वहन करता है। दोनों सिरों पर पिन, E = 200 GPa, I = 2 × 10⁻⁶ m⁴ व L = 4 m हेतु P_cr = π² × 200 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶/16 = 246.7 kN। बकलन न्यूनतम I के अक्ष के सापेक्ष होता है, और कृशता अनुपात L_e/r है, r = √(I/A); यूलर सूत्र बड़े कृशता अनुपातों हेतु मान्य है और छोटे स्तंभों की सामर्थ्य को अधिक आँकता है, जो पहले पराभव से विफल होते हैं।
कैस्टिग्लियानो का प्रथम प्रमेय: भार P की दिशा में बिंदु का विक्षेप उस भार के सापेक्ष विकृति ऊर्जा का आंशिक अवकलज है, δ = ∂U/∂P, U = ∫M²/(2EI)dx + ∫T²/(2GJ)dx + ∫F²/(2AE)dx (नमन, ऐंठन, अक्षीय; अपरूपण प्रायः नगण्य) सहित। सिरे के भार वाले कैंटिलीवर हेतु M = −Px, U = ∫₀ᴸ P²x²/(2EI)dx = P²L³/(6EI), और δ = ∂U/∂P = PL³/(3EI), ज्ञात परिणाम। जहाँ इच्छित बिंदु पर कोई भार नहीं है, वहाँ आभासी भार Q जोड़ें, अवकलन करें और Q = 0 रखें। कैस्टिग्लियानो का द्वितीय प्रमेय (न्यूनतम कार्य): स्थैतिक अनिर्धार्य संरचना हेतु अतिरेक अभिक्रिया R विकृति ऊर्जा को न्यूनतम बनाती है, ∂U/∂R = 0 जब संगत विस्थापन शून्य हो। A पर स्थिर, B पर प्रोप वाले, एकसमान भार w के अंतर्गत लंबाई L के कैंटिलीवर हेतु यह R_B = 3wL/8 देता है, अतः w = 16 kN/m व L = 4 m हेतु 24 kN।
मुख्य बिंदु
- dV/dx = −w, dM/dx = V; M_max वहाँ जहाँ V = 0; एकसमान भार सहित सरल आलंबित: wL²/8; केंद्रीय भार: PL/4।
- σ = My/I; τ_max = 1.5V/A (आयत), 4V/3A (वृत्त); चैनल का अपरूपण केंद्र उसके वेब के बाहर है।
- EI y″ = M; कैंटिलीवर PL³/3EI, सरल आलंबित केंद्रीय PL³/48EI, एकसमान भार 5wL⁴/384EI।
- ऐंठन: T/J = τ/r = Gθ/L; P = 2πNT/60; खोखले शाफ़्ट प्रति इकाई द्रव्यमान अधिक दक्ष हैं।
- यूलर: P_cr = π²EI/L_e², L_e = L, 0.5L, 0.7L, 2L; कैस्टिग्लियानो: δ = ∂U/∂P, और अतिरेक R हेतु ∂U/∂R = 0।
अभ्यास प्रश्न (16)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
वितरित भार w(x) वहन करने वाले बीम में अपरूपण बल V व नमन आघूर्ण M का संबंध है:
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उत्तर: A — dM/dx = V
नमन-आघूर्ण आरेख का ढाल अपरूपण बल है, अतः आघूर्ण वहाँ चरम है जहाँ V = 0, जबकि dV/dx = −w भार देता है। अन्य विकल्प दोनों संबंधों को मिला देते हैं।6 m पाट का सरल आलंबित बीम अपनी पूरी लंबाई पर 10 kN/m का एकसमान वितरित भार वहन करता है। अधिकतम नमन आघूर्ण ____ kN·m है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 45
M_max = wL²/8 = 10 × 36/8 = 45 kN·m मध्य-पाट पर, जहाँ V = 0। wL²/2 = 180 कैंटिलीवर का मान है, और PL/4 का वितरित भार हेतु कोई अर्थ नहीं।बीम में विपरिवर्तन बिंदु वह बिंदु है जहाँ:
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उत्तर: A — नमन आघूर्ण चिह्न बदलता है
विपरिवर्तन बिंदु पर M शून्य से गुज़रता है और वक्रता अवनमन से उन्नमन में उलट जाती है। शून्य अपरूपण M के उच्चिष्ठ या निम्निष्ठ को दर्शाता है, आवश्यक नहीं कि उसके शून्य को।100 mm चौड़े व 200 mm गहरे आयताकार अनुप्रस्थ काट का बीम 20 kN·m का नमन आघूर्ण वहन करता है। अधिकतम नमन प्रतिबल ____ MPa है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 30
I = bh³/12 = 100 × 200³/12 = 6.667 × 10⁷ mm⁴ व y_max = 100 mm, अतः σ = My/I = 20 × 10⁶ × 100/(6.667 × 10⁷) = 30 MPa। b व h को उलटने पर, अर्थात् बीम 200 mm चौड़ा व 100 mm गहरा लेने पर, 60 MPa आता है।100 mm चौड़ाई व 200 mm गहराई का आयताकार बीम 30 kN का अनुप्रस्थ अपरूपण बल वहन करता है। अनुभाग में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल ____ MPa है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 2.25
τ_max = 1.5V/A = 1.5 × 30 000/(100 × 200) = 2.25 MPa, उदासीन अक्ष पर। औसत V/A = 1.5 MPa उसे एक-तिहाई कम आँकता है।चैनल अनुभाग का अपरूपण केंद्र स्थित है:
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उत्तर: A — अनुभाग के बाहर, वेब की उस ओर जो फ्लैंजों से दूर है
दोनों फ्लैंजों में अपरूपण प्रवाह वेब के सापेक्ष युग्म बनाता है, अतः परिणामी अपरूपण बल को वेब से दूर, अनुभाग के बाहर, कार्य करना चाहिए। केंद्रक से गुज़रता भार चैनल को ऐंठ देता। केवल द्विसममित अनुभाग का अपरूपण केंद्र केंद्रक पर होता है।2 m लंबाई का कैंटिलीवर अपने मुक्त सिरे पर 1 kN का बिंदु भार वहन करता है। E = 200 GPa व I = 4 × 10⁻⁶ m⁴ दिए हैं, सिरे का विक्षेप ____ mm है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 3.33
δ = PL³/(3EI) = 1000 × 8/(3 × 200 × 10⁹ × 4 × 10⁻⁶) = 8000/(2.4 × 10⁶) = 3.33 × 10⁻³ m = 3.33 mm। PL³/(48EI) सरल आलंबित बीम का है और 0.21 mm देता।सिरे का भार वहन करने वाले कैंटिलीवर की लंबाई समान अनुभाग व पदार्थ के साथ दुगुनी की जाती है। सिरे का विक्षेप हो जाता है:
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उत्तर: A — 8 गुना
δ = PL³/(3EI) L³ के अनुसार बदलता है, अतः 2³ = 8। सोलह गुना एकसमान वितरित भार का परिणाम होता, जो L⁴ (समान w सहित) के अनुसार बदलता है।50 mm व्यास का ठोस वृत्ताकार शाफ़्ट 1 kN·m का बलाघूर्ण संचारित करता है। उसके पृष्ठ पर अधिकतम अपरूपण प्रतिबल ____ MPa है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 40.7
τ = 16T/(πd³) = 16 × 10⁶ N·mm/(π × 50³ mm³) = 16 × 10⁶/(3.927 × 10⁵) = 40.7 MPa। 32T/(πd³) (नमन-प्रकार का स्थिरांक) लेने पर वह दुगुना हो जाता।एक शाफ़्ट 1500 rpm पर 200 N·m बलाघूर्ण संचारित करता है। संचारित शक्ति, एक दशमलव स्थान तक, ____ kW है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 31.4
P = 2πNT/60 = 2π × 1500 × 200/60 = 31 416 W = 31.4 kW। N को सीधे ω (1500 rad/s) लेने पर 300 kW आता, rpm को rad/s से मिलाकर।दोनों सिरों पर पिन किए गए पतले इस्पात स्तंभ की लंबाई 4 m, E = 200 GPa व क्षेत्रफल का न्यूनतम द्वितीय आघूर्ण I = 2 × 10⁻⁶ m⁴ है। यूलर बकलन भार, निकटतम किलोन्यूटन तक, ____ kN है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 247
P_cr = π²EI/L² = 9.8696 × 200 × 10⁹ × 2 × 10⁻⁶/16 = 9.8696 × 4 × 10⁵/16 = 246.7 × 10³ N, अतः 247 kN। L_e = 2L (स्थिर–मुक्त सिरा शर्त) लेने पर उसका चौथाई, 61.7 kN, आता।दोनों सिरों पर स्थिर स्तंभ के यूलर बकलन भार का, अन्यथा समरूप स्तंभ, जो एक सिरे पर स्थिर व दूसरे पर मुक्त है, के भार से अनुपात ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 16
P_cr ∝ 1/L_e²। स्थिर–स्थिर प्रभावी लंबाई 0.5L व स्थिर–मुक्त की 2L है, अतः अनुपात (2L/0.5L)² = 4² = 16। वर्ग के बिना केवल प्रभावी लंबाइयों की तुलना 4 देती है।A पर स्थिर 4 m लंबाई का कैंटिलीवर 16 kN/m का एकसमान वितरित भार वहन करता है और अपने मुक्त सिरे B पर प्रोप किया गया है। कैस्टिग्लियानो के द्वितीय प्रमेय (B पर शून्य विक्षेप) से प्रोप अभिक्रिया ____ kN है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 24
प्रोप अभिक्रिया R सहित, B से मापित M(x) = Rx − wx²/2, और ∂U/∂R = ∫₀ᴸ M(∂M/∂R)/EI dx = 0 से RL³/3 = wL⁴/8, अतः R = 3wL/8 = 3 × 16 × 4/8 = 24 kN। प्रोप को पूरे भार wL/2 = 32 kN के बराबर मानना स्थिर सिरे का अंश उपेक्षित करता है।यूलर के स्तंभ सिद्धांत के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?
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उत्तर: A — क्रांतिक भार EI के अनुक्रमानुपाती व प्रभावी लंबाई के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है; B — स्थिर–मुक्त स्तंभ की प्रभावी लंबाई उसकी वास्तविक लंबाई की दुगुनी है; C — यूलर सूत्र छोटे स्तंभों की भार क्षमता को अधिक आँकता है
(A) P_cr = π²EI/L_e²। (B) स्थिर–मुक्त हेतु L_e = 2L। (C) छोटा स्तंभ यूलर मान से कम भार पर पराभव से विफल होता है, और सूत्र पराभव से ऊपर प्रतिबल देता है। (D) असत्य: प्रत्यास्थ बकलन दृढ़ता EI पर निर्भर है, सामर्थ्य पर नहीं।वृत्ताकार शाफ़्टों की ऐंठन के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?
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उत्तर: A — अपरूपण प्रतिबल त्रिज्या के साथ रैखिक बदलता है, अक्ष पर शून्य होता है; B — समान द्रव्यमान व लंबाई हेतु खोखला शाफ़्ट ठोस से अधिक बलाघूर्ण वहन कर सकता है; C — T/J = τ/r = Gθ/L
(A) γ = rθ/L। (B) बाहर की ओर खिसकाया पदार्थ समान क्षेत्रफल हेतु J बढ़ाता है। (C) ऐंठन समीकरण। (D) असत्य: θ = TL/(GJ) L के अनुपात में बढ़ता है।कैस्टिग्लियानो के प्रथम प्रमेय के अनुसार, भार P के प्रयोग बिंदु का, P की दिशा में, विक्षेप है:
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उत्तर: A — कुल विकृति ऊर्जा का P के सापेक्ष आंशिक अवकलज
δ = ∂U/∂P, U को भारों के पदों में व्यक्त करते हुए। विक्षेप के सापेक्ष अवकलज भार देता है, जो विलोम है (विस्थापन रूप में कैस्टिग्लियानो प्रमेय)। रैखिक निकाय हेतु U = ½Pδ, अतः U/P केवल δ का आधा है।