पदार्थ यांत्रिकी I: प्रतिबल, विकृति, प्रत्यास्थता स्थिरांक, मोर वृत्त, पतले बेलन, ऊष्मीय प्रतिबल, विकृति रोज़ेट तथा पदार्थ परीक्षण
1. प्रतिबल, विकृति, प्रत्यास्थता स्थिरांक व प्वासों अनुपात
अभिलंब प्रतिबल प्रति इकाई क्षेत्रफल बल है, σ = P/A, और अभिलंब विकृति लंबाई में भिन्नात्मक परिवर्तन, ε = δ/L। प्रत्यास्थ सीमा में हुक का नियम σ = Eε देता है, अतः अक्षीय भारित छड़ δ = PL/(AE) से बढ़ती है। 200 mm² व E = 200 GPa की 1.5 m छड़ पर 20 kN का खिंचाव उसे 20 000 × 1.5/(200 × 10⁻⁶ × 200 × 10⁹) = 7.5 × 10⁻⁴ m = 0.75 mm बढ़ाता है। सोपानी छड़ अपने खंडों के प्रसार जोड़ती है, और एक ही विस्थापन साझा करने वाली छड़ें भार को AE के अनुपात में बाँटती हैं। अपरूपण प्रतिबल τ = V/A अपरूपण विकृति γ उत्पन्न करता है, और τ = Gγ। संचित विकृति ऊर्जा अक्षीय भार हेतु U = σ²V/(2E) = P²L/(2AE) है।
समदैशिक पदार्थ के दो स्वतंत्र प्रत्यास्थता स्थिरांक होते हैं, और यंग गुणांक E, अपरूपण गुणांक G, आयतन गुणांक K तथा प्वासों अनुपात ν (पार्श्विक व अक्षीय विकृति का अनुपात, धनात्मक लिया जाता है) E = 2G(1 + ν) = 3K(1 − 2ν) से बँधे हैं। E = 200 GPa व ν = 0.25 हेतु G = 200/(2 × 1.25) = 80 GPa। स्थिर समदैशिक ठोस हेतु ν −1 व 0.5 के बीच होता है, 0.5 असंपीड्य, और लगभग 0.3 धातुओं का प्रारूपिक। ε से खिंची छड़ की आयतनिक विकृति ε_v = ε(1 − 2ν) होती है, इसी कारण ν = 0.5 वाले पदार्थ का आयतन नहीं बदलता, और K केवल ν < 0.5 हेतु परिमित है।
| स्थिरांक | परिभाषा | E व ν के पदों में |
|---|---|---|
| यंग गुणांक E | σ/ε | E |
| अपरूपण गुणांक G | τ/γ | E/[2(1 + ν)] |
| आयतन गुणांक K | p/ε_v (द्रवस्थैतिक) | E/[3(1 − 2ν)] |
| प्वासों अनुपात ν | −ε_पार्श्विक/ε_अक्षीय | ν |
2. समतल प्रतिबल व समतल विकृति हेतु मोर वृत्त
समतल प्रतिबल (σ_x, σ_y, τ_xy) में बिंदु पर उस तल के प्रतिबल जिसका अभिलंब x-अक्ष से θ पर है, σ_n = (σ_x + σ_y)/2 + (σ_x − σ_y)/2 · cos 2θ + τ_xy sin 2θ व τ = −(σ_x − σ_y)/2 · sin 2θ + τ_xy cos 2θ हैं। σ आड़े व τ ऊपर आलेखित करने पर वे वृत्त बनाते हैं, मोर वृत्त, जिसका केंद्र (σ_x + σ_y)/2 व त्रिज्या R = √[((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²] है। मुख्य प्रतिबल, जहाँ τ = 0, σ₁,₂ = केंद्र ± R हैं, पिंड में 90° के अंतर वाले तलों (वृत्त पर 180°) पर, tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)। अधिकतम तल-अंतर्गत अपरूपण प्रतिबल R है, मुख्य तलों से 45° पर तलों पर।
हल: σ_x = 80, σ_y = 20, τ_xy = 40 MPa। केंद्र 50 है, R = √(30² + 40²) = 50, अतः σ₁ = 100 MPa, σ₂ = 0 और तल-अंतर्गत अधिकतम अपरूपण 50 MPa। निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल में तीसरा मुख्य प्रतिबल, समतल प्रतिबल में शून्य, सम्मिलित होना चाहिए: वह (σ₁ − σ₂)/2, σ₁/2 व σ₂/2 में से, शून्य सहित लिए गए, सबसे बड़ा है। σ_x = 100, σ_y = 60, τ_xy = 30 MPa हेतु: केंद्र 80, R = √(20² + 30²) = 36.06, σ₁ = 116.06, σ₂ = 43.94, दोनों धनात्मक, अतः निरपेक्ष अधिकतम (116.06 − 0)/2 = 58.0 MPa है, तल-अंतर्गत 36.06 नहीं।
समतल विकृति की ज्यामिति ठीक वही है, विकृतियों सहित: σ अक्ष पर ε_x व ε_y तथा ऊर्ध्वाधर अक्ष पर अभियांत्रिक अपरूपण विकृति का आधा, γ/2, केंद्र (ε_x + ε_y)/2 व त्रिज्या √[((ε_x − ε_y)/2)² + (γ_xy/2)²]। दोनों अवस्थाएँ इसमें भिन्न हैं कि क्या शून्य है: समतल प्रतिबल में σ_z = 0 व ε_z = −ν(σ_x + σ_y)/E, और समतल विकृति में ε_z = 0 व σ_z = ν(σ_x + σ_y)। अपने तल में भारित पतली पट्टिका समतल प्रतिबल में है; लंबा बाँध या मोटा पाइप-खंड जो सिरों से दूर हो समतल विकृति में है।
3. पतले बेलन व गोले
बेलन पतला तब है जब t, d की तुलना में छोटा हो (t < d/20), अतः प्रतिबल दीवार में एकसमान है। पात्र को व्यास के अनुदिश काटने पर कुंडलिक (परिधीय) प्रतिबल σ_h = pd/(2t) मिलता है, और अनुप्रस्थ काटने पर अनुदैर्घ्य प्रतिबल σ_l = pd/(4t), ठीक आधा। पतले गोले में प्रत्येक दिशा में σ = pd/(4t) है। d = 1 m, t = 10 mm व p = 2 MPa हेतु: σ_h = 2 × 10⁶ × 1/(0.02) = 100 MPa व σ_l = 50 MPa। कुंडलिक प्रतिबल का अनुदैर्घ्य से दुगुना होना ही कारण है कि बॉयलर या सॉसेज अपनी लंबाई के अनुदिश फटता है।
विकृतियाँ द्विविमीय हुक नियम से निकलती हैं, अरीय प्रतिबल नगण्य: ε_h = (σ_h − νσ_l)/E = (pd/4tE)(2 − ν) व ε_l = (σ_l − νσ_h)/E = (pd/4tE)(1 − 2ν)। आयतनिक विकृति ε_v = 2ε_h + ε_l = (pd/4tE)(5 − 4ν) है: ऊपर की संख्याओं, E = 200 GPa व ν = 0.3, सहित (50/200 000)(5 − 1.2) = 2.5 × 10⁻⁴ × 3.8 = 9.5 × 10⁻⁴। दीवार के तल में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल (σ_h − σ_l)/2 = pd/(8t) है; अरीय प्रतिबल, जो भीतर −p व बाहर 0 है, सम्मिलित करने से पतली दीवार हेतु थोड़ा ही अंतर पड़ता है।
4. ऊष्मीय प्रतिबल व संयुक्त छड़ें
ΔT से गर्म की गई मुक्त छड़ δ = αLΔT से बढ़ती है और कोई प्रतिबल नहीं ढोती। यदि सिरे पूर्णतः अवरुद्ध हों, तो ऊष्मीय विकृति αΔT बराबर व विपरीत प्रत्यास्थ विकृति से निरस्त होती है, अतः σ = −EαΔT, गर्म करने पर संपीडक, और लंबाई व क्षेत्रफल से स्वतंत्र। E = 200 GPa व α = 12 × 10⁻⁶ प्रति °C का इस्पात, दृढ़ दीवारों के बीच 50 °C गर्म होने पर 200 × 10³ × 12 × 10⁻⁶ × 50 = 120 MPa विकसित करता है। अंतराल g हो तो छड़ पहले g तक मुक्त प्रसार करती है, और प्रतिबल शेष से उत्पन्न होता है, E(αΔT − g/L)।
दो पदार्थों की संयुक्त छड़ में, जो जुड़ी होकर साथ गर्म हो, छड़ समग्र रूप से मुक्त है, पर प्रत्येक पदार्थ अपने α से प्रसार करना चाहता है, अतः वे एक-दूसरे को धकेलते हैं: बल बराबर व विपरीत, P_1 = P_2, और विकृतियाँ संगत, अतः कुल प्रसार उभयनिष्ठ है। बड़े α वाला पदार्थ गर्म करने पर संपीडन में और दूसरा तनाव में आता है। किसी भी ऊष्मीय-प्रतिबल समस्या की उपयोगी जाँच यह है कि प्रसार हेतु मुक्त पिंड में एकसमान ताप परिवर्तन पर कोई प्रतिबल नहीं होता।
5. विकृति-मापी व रोज़ेट तथा पदार्थों का परीक्षण
विकृति-मापी केवल एक दिशा में विकृति मापता है, अतः मुक्त पृष्ठ पर बिंदु की विकृति की अवस्था, जिसके तीन अज्ञात (ε_x, ε_y, γ_xy) हैं, को तीन मापी चाहिए: रोज़ेट। ε_a, ε_b व ε_c पढ़ने वाले आयताकार (0°/45°/90°) रोज़ेट हेतु मुख्य विकृतियाँ ε₁,₂ = (ε_a + ε_c)/2 ± (1/√2)√[(ε_a − ε_b)² + (ε_b − ε_c)²] हैं, और अपरूपण विकृति γ_xy = 2ε_b − ε_a − ε_c। 800, 400 व 200 सूक्ष्म-विकृति हेतु केंद्र 500 व त्रिज्या √100 000 = 316.2 है, अतः ε₁ = 816 με व ε₂ = 184 με। मुख्य प्रतिबल द्विविमीय हुक नियम से निकलते हैं: σ₁ = E(ε₁ + νε₂)/(1 − ν²)। डेल्टा (0°/60°/120°) रोज़ेट वही कार्य भिन्न सूत्रों से करता है।
सार्वत्रिक परीक्षण मशीन पर तनन परीक्षण अभियांत्रिक प्रतिबल–विकृति वक्र खींचता है: सीधी प्रत्यास्थ रेखा जिसका ढाल E है, आनुपातिक व प्रत्यास्थ सीमाएँ, पराभव बिंदु (तीक्ष्ण पराभव रहित पदार्थ हेतु 0.2% ऑफ़सेट पर प्रतिबल), शिखर भार पर चरम तनन सामर्थ्य, ग्रीवा-निर्माण, और भंजन। तन्यता प्रतिशत दीर्घन व प्रतिशत क्षेत्रफल-ह्रास है; दृढ़ता (टफ़नेस) वक्र के नीचे का क्षेत्र; प्रत्यास्थ ऊर्जा-क्षमता प्रत्यास्थ सीमा तक का क्षेत्र। वास्तविक प्रतिबल, भार को वर्तमान क्षेत्रफल से भाग, अभियांत्रिक वक्र के विपरीत ग्रीवा-निर्माण में भी बढ़ता रहता है। संपीडन परीक्षण ढलवाँ लोहे व कंक्रीट जैसे भंगुर पदार्थों हेतु उपयुक्त है।
| परीक्षण | सिद्धांत |
|---|---|
| ब्रिनेल | कठोरित इस्पात या कार्बाइड गेंद दबाई जाती है; कठोरता भार को छाप के व्यास से निकले वक्र क्षेत्रफल से भाग है। |
| विकर्स | 136° का वर्ग-आधार हीरक पिरामिड; छाप के विकर्ण d से HV = 1.854 P/d²। |
| रॉकवेल | संख्या लघु भार के बाद प्रमुख भार में भेदन की गहराई से पढ़ी जाती है; मृदु व कठोर धातुओं हेतु भिन्न स्केल (B, C)। |
| चार्पी व इज़ोड आघात | खाँचेदार छड़ झूलते हथौड़े से तोड़ी जाती है; अवशोषित ऊर्जा दृढ़ता मापती है। चार्पी: सरल आलंबित; इज़ोड: कैंटिलीवर। |
P = 20 kgf व d = 0.25 mm के विकर्स परीक्षण हेतु HV = 1.854 × 20/0.0625 = 593। इस्पातों हेतु MPa में चरम सामर्थ्य लगभग ब्रिनेल संख्या का 3.4–3.5 गुना है, इसी प्रकार कठोरता तनन परीक्षण का स्थान लेती है। काय-केंद्रित-घनीय इस्पात ताप घटने पर तन्य-से-भंगुर संक्रमण दिखाते हैं: आघात ऊर्जा संकीर्ण परास में गिरती है, जिसे चार्पी परीक्षण उजागर करता है और स्थैतिक तनन परीक्षण नहीं।
मुख्य बिंदु
- δ = PL/(AE); E = 2G(1 + ν) = 3K(1 − 2ν); एकअक्षीय विकृति ε पर आयतनिक विकृति ε(1 − 2ν)।
- मोर वृत्त: केंद्र (σ_x + σ_y)/2, त्रिज्या √[((σ_x − σ_y)/2)² + τ²]; निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण हेतु शून्य तीसरा मुख्य प्रतिबल सम्मिलित करें।
- पतला बेलन: σ_h = pd/2t, σ_l = pd/4t; गोला pd/4t; ε_v = (pd/4tE)(5 − 4ν)।
- पूर्णतः अवरुद्ध ऊष्मीय प्रतिबल σ = EαΔT, लंबाई से स्वतंत्र; एकसमान गर्म होने पर मुक्त पिंड में कोई नहीं।
- रोज़ेट तीन विकृतियाँ देता है, अतः पूर्ण विकृति अवस्था; 0.2% ऑफ़सेट पराभव परिभाषित करता है; रॉकवेल गहराई पढ़ता है, ब्रिनेल व विकर्स छाप।
अभ्यास प्रश्न (16)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
समदैशिक प्रत्यास्थ पदार्थ हेतु यंग गुणांक E, अपरूपण गुणांक G व प्वासों अनुपात ν संबंधित हैं:
उत्तर देखें
उत्तर: A — E = 2G(1 + ν)
E = 2G(1 + ν) शुद्ध अपरूपण अवस्था को उसकी मुख्य दिशाओं में देखने से निकलता है। E = 3K(1 − 2ν) आयतन गुणांक वाला संबंध है, जो विकल्प C का स्रोत है।1.5 m लंबाई व 200 mm² अनुप्रस्थ क्षेत्रफल की इस्पात छड़ 20 kN का अक्षीय तनन भार वहन करती है। E = 200 GPa लेने पर उसका प्रसार ____ mm है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.75
δ = PL/(AE) = 20 000 × 1.5/(200 × 10⁻⁶ × 200 × 10⁹) = 30 000/(4 × 10⁷) = 7.5 × 10⁻⁴ m = 0.75 mm। क्षेत्रफल को mm² से m² में बदलना भूलना सामान्य चूक है।एक पदार्थ का E = 200 GPa व प्वासों अनुपात 0.25 है। उसका अपरूपण गुणांक ____ GPa है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 80
G = E/[2(1 + ν)] = 200/(2 × 1.25) = 80 GPa। E/(2ν) या E/(1 + ν) = 160 लेने पर गुणक 2 की उपेक्षा होती है।स्थिर समदैशिक प्रत्यास्थ ठोस के प्वासों अनुपात की सैद्धांतिक परास है:
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उत्तर: A — −1 से 0.5
धनात्मक G व K हेतु −1 < ν < 0.5 चाहिए: 0.5 K को अनंत (असंपीड्य) बनाता है और −1 से नीचे G ऋणात्मक हो जाता। अधिकांश अभियांत्रिक धातुएँ 0.3 के निकट हैं, और कॉर्क हेतु 0 व ऑक्सेटिक झागों हेतु ऋणात्मक मान दिखाते हैं कि परास वास्तविक है।समतल प्रतिबल में पिंड के एक बिंदु पर σ_x = 80 MPa, σ_y = 20 MPa व τ_xy = 40 MPa हैं। अधिकतम मुख्य प्रतिबल ____ MPa है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 100
मोर वृत्त का केंद्र (80 + 20)/2 = 50 व त्रिज्या √(30² + 40²) = 50 है, अतः σ₁ = 50 + 50 = 100 MPa व σ₂ = 0। σ_x + τ = 120 लेना उन राशियों को जोड़ना है जो रैखिक रूप से नहीं मिलतीं।समतल प्रतिबल में एक बिंदु पर σ_x = 100 MPa, σ_y = 60 MPa व τ_xy = 30 MPa हैं, σ_z = 0 सहित। बिंदु पर निरपेक्ष अधिकतम अपरूपण प्रतिबल, एक दशमलव स्थान तक, ____ MPa है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 58.0
केंद्र 80 व R = √(20² + 30²) = 36.06 है, अतः σ₁ = 116.06 व σ₂ = 43.94, दोनों धनात्मक। σ₃ = 0 सहित तीनों वृत्तों में सबसे बड़ा (σ₁ − σ₃)/2 = 58.03 MPa है। तल-अंतर्गत मान R = 36.06 केवल मध्य वृत्त है।प्रतिबल हेतु मोर वृत्त में अधिकतम अपरूपण प्रतिबल के तल मुख्य तलों से किस कोण पर झुके होते हैं:
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उत्तर: A — पिंड में 45°, वृत्त पर 90°
वृत्त पर कोण पिंड के कोणों के दुगुने होते हैं। वृत्त का शीर्ष, जहाँ τ अधिकतम है, σ-अक्ष अंतःखंडों, मुख्य प्रतिबलों, से 90° पर है, अतः भौतिक तलों में 45° का अंतर है। मुख्य तलों पर अपरूपण प्रतिबल शून्य है।आंतरिक व्यास 1 m व दीवार मोटाई 10 mm का पतला बेलनाकार खोल 2 MPa का आंतरिक दाब वहन करता है। कुंडलिक प्रतिबल ____ MPa है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 100
σ_h = pd/(2t) = 2 × 1000/(2 × 10) = 100 MPa (p MPa में व d, t mm में)। अनुदैर्घ्य प्रतिबल उसका आधा, 50 MPa, है; pd/4t = 50 MPa गोले हेतु उत्तर है।आंतरिक व्यास 1 m व दीवार मोटाई 10 mm का पतला बेलनाकार खोल 2 MPa का आंतरिक दाब वहन करता है। वह E = 200 GPa व ν = 0.3 वाले पदार्थ का बना है। उसकी आयतनिक विकृति ____ × 10⁻⁴ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 9.5
ε_v = (pd/4tE)(5 − 4ν) = (2 × 1000/(4 × 10 × 200 000))(5 − 1.2) = 2.5 × 10⁻⁴ × 3.8 = 9.5 × 10⁻⁴। समतुल्य रूप से 2ε_h + ε_l, ε_h = 2.5 × 10⁻⁴ × 1.7 व ε_l = 2.5 × 10⁻⁴ × 0.4 सहित।पतली दीवार के बेलनाकार दाब पात्र में कुंडलिक प्रतिबल व अनुदैर्घ्य प्रतिबल का अनुपात है:
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उत्तर: A — 2
σ_h = pd/2t व σ_l = pd/4t, अतः कुंडलिक प्रतिबल अनुदैर्घ्य का दुगुना है; इसी कारण बेलन जनक के अनुदिश फटता है। अनुपात 1 गोले का है।E = 200 GPa व α = 12 × 10⁻⁶ प्रति °C की इस्पात छड़ दो दृढ़ दीवारों के बीच रखी है और 50 °C गर्म की जाती है। छड़ में संपीडक प्रतिबल ____ MPa है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 120
σ = EαΔT = 200 000 MPa × 12 × 10⁻⁶ × 50 = 120 MPa। लंबाई व क्षेत्रफल प्रवेश नहीं करते। मुक्त छड़ में कोई प्रतिबल नहीं विकसित होता।आयताकार विकृति रोज़ेट (0°/45°/90°) ε_a = 800, ε_b = 400 व ε_c = 200 सूक्ष्म-विकृति पढ़ता है। अधिकतम मुख्य विकृति, निकटतम सूक्ष्म-विकृति तक, ____ με है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 816
ε₁ = (ε_a + ε_c)/2 + (1/√2)√[(ε_a − ε_b)² + (ε_b − ε_c)²] = 500 + √(400² + 200²)/√2 = 500 + 316.2 = 816.2, अतः 816। केवल औसत, 500, लेना उस अपरूपण की उपेक्षा है जिसे 45° मापी प्रकट करता है।विकर्स कठोरता परीक्षण में 20 kgf भार लगता है और छाप का माध्य विकर्ण 0.25 mm है। HV = 1.854 P/d² लेने पर विकर्स कठोरता संख्या ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 593
HV = 1.854 × 20/0.25² = 37.08/0.0625 = 593.3, अतः 593। विकर्ण का वर्ग होता है: केवल d लेने पर 148 आता है, और इकाइयाँ kgf व mm हैं।स्पष्ट पराभव बिंदु रहित धातु हेतु पराभव सामर्थ्य परंपरा से उस प्रतिबल को लिया जाता है जिस पर:
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उत्तर: A — प्रत्यास्थ ढाल के समांतर, 0.2% प्लास्टिक विकृति से विस्थापित रेखा वक्र से मिलती है
0.2% ऑफ़सेट विधि ε = 0.002 से ढाल E की रेखा खींचती है और पढ़ती है कि वह वक्र से कहाँ मिलती है। शिखर भार चरम सामर्थ्य परिभाषित करता है और वक्र का अंत भंजन है।पदार्थ परीक्षण के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?
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उत्तर: A — चार्पी नमूना दोनों सिरों पर आलंबित व बीच में आहत होता है, जबकि इज़ोड नमूना कैंटिलीवर की भाँति पकड़ा जाता है; B — काय-केंद्रित-घनीय इस्पात ठंडा होने पर तन्य-से-भंगुर संक्रमण दिखाते हैं; C — विकर्स परीक्षण वर्ग-आधार हीरक पिरामिड अंतर्वेधक का उपयोग करता है
(A) दो आघात ज्यामितियाँ। (B) आघात ऊर्जा ताप परास में तेज़ी से गिरती है। (C) 136° का पिरामिड विकर्स पैमाना देता है। (D) असत्य: रॉकवेल भेदन की गहराई सीधे डायल से पढ़ता है; छाप का व्यास ब्रिनेल का माप है।समदैशिक पदार्थ की छड़ एकअक्षीय विकृति ε = 0.001 से खींची जाती है, पार्श्विक प्रतिबल शून्य। यदि ν = 0.3 है, तो उसके आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन है:
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उत्तर: A — 0.0004
ε_v = ε(1 − 2ν) = 0.001 × 0.4 = 0.0004, क्योंकि दोनों पार्श्विक विकृतियों में प्रत्येक −νε = −0.0003 है। आयतन फिर भी बढ़ता है: वह केवल ν = 0.5 हेतु स्थिर रहता।