यथातथ व बर्नूली समीकरण, फुरिये श्रेणी, प्रायिकता व परिकल्पना परीक्षण, पुनरावृत्त विधियाँ व परिमित अंतर

खंड A.1 जो नामित करता है और साझा अध्याय नहीं पढ़ाते, उसका दूसरा आधा भाग। अवकल समीकरण "प्रथम-कोटि समीकरण (रैखिक व अरैखिक)" से आरंभ होता है: रैखिक रूप व समाकलन गुणक उधार लिए प्रथम-कोटि अध्याय में हैं, और यथातथ व बर्नूली समीकरण यहाँ। यह शीर्षक फुरिये श्रेणी तथा ऊष्मा, तरंग व लाप्लास समीकरणों के हल भी नामित करता है, जिन तक साझा अवकल-समीकरण अध्याय केवल चर-पृथक्करण तक पहुँचता है। प्रायिकता व सांख्यिकी अभिगृहीत, PDF व CDF तथा परिकल्पना परीक्षण नामित करता है; आंकिक विधियाँ रैखिक बीजीय समीकरणों का हल नामित करती हैं, जो यहाँ जैकोबी व गाउस–सीडल पुनरावृत्तियों से पढ़ाया गया है, और परिमित अंतर, ऊष्मा समीकरण के स्पष्ट चरण की स्थिरता-सीमा सहित।

1. यथातथ व बर्नूली समीकरण

M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 यथातथ है जब यह किसी φ(x, y) का अवकल हो, और परीक्षण ∂M/∂y = ∂N/∂x है। तब φ, M को x के सापेक्ष समाकलित करके, और N के वे पद जोड़कर जिनमें केवल y हो, प्राप्त होता है, और हल φ = C है। (2xy + 3) dx + (x² − 1) dy = 0 हेतु: M_y = 2x = N_x, अतः यह यथातथ है; ∫M dx = x²y + 3x, और N अतिरिक्त −y देता है, जिससे x²y + 3x − y = C। (2, 3) से होकर C = 12 + 6 − 3 = 15, और x = 3 पर वक्र में 8y + 9 = 15, y = 0.75।

बर्नूली समीकरण y′ + P(x)y = Q(x)yⁿ, n ≠ 0, 1, अरैखिक है, और प्रतिस्थापन v = y¹⁻ⁿ इसे रैखिक बनाता है: v′ + (1 − n)Pv = (1 − n)Q। y′ + y = y² (n = 2) हेतु v = 1/y से v′ − v = −1, अतः v = 1 + Ceˣ व y = 1/(1 + Ceˣ); y(0) = 1/2 सहित C = 1 और y = 1/(1 + eˣ)। यदि समीकरण यथातथ नहीं है, तो कोई समाकलन गुणक उसे यथातथ बना सकता है — जैसे 1/x², या केवल x का फलन जब (M_y − N_x)/N केवल x पर निर्भर हो।

⚠️ समाकलन से पहले परीक्षण
M dx + N dy को पद-दर-पद समाकलित कर परिणाम जोड़ना केवल यथातथ समीकरण हल करता है। y dx − x dy = 0 पर, जो यथातथ नहीं है (M_y = 1, N_x = −1), यह अर्थहीन xy − xy = C देता है; पहले x² से भाग देने पर यह −d(y/x) = 0 बनता है, जिसका हल y = Cx है।

2. फुरिये श्रेणी, तथा ऊष्मा, तरंग व लाप्लास समीकरण

2π-आवर्ती f हेतु f(x) = a₀/2 + Σ (aₙ cos nx + bₙ sin nx), जहाँ aₙ = (1/π)∫−ππ f cos nx dx व bₙ = (1/π)∫−ππ f sin nx dx। सममिति आधा काम करती है: सम f में केवल कोज्या पद (bₙ = 0), विषम f में केवल ज्या पद (aₙ = 0)। उछाल पर श्रेणी बाएँ व दाएँ सीमाओं के औसत पर अभिसरित होती है (डिरिक्ले शर्तें)। वर्ग तरंग f = (−π, 0) पर −1 व (0, π) पर +1 हेतु f विषम है और विषम n पर bₙ = 4/(nπ), सम n पर 0: f = (4/π)(sin x + sin 3x/3 + sin 5x/5 + …), और x = 0 पर श्रेणी 0 देती है, −1 व +1 का औसत।

f(x) = x² हेतु (−π, π) पर, जो सम है: a₀/2 = π²/3 व aₙ = 4(−1)ⁿ/n², अतः a₁ = −4, a₂ = 1, a₃ = −4/9। अर्ध-परास (0, L) पर फलन को विषम रूप में बढ़ाकर ज्या श्रेणी bₙ = (2/L)∫₀ᴸ f sin(nπx/L) dx, या सम रूप में बढ़ाकर कोज्या श्रेणी मिलती है; सीमा-शर्तें तय करती हैं कि कौन चाहिए।

चर-पृथक्करण, फुरिये श्रेणी से पूर्ण (सिरे शून्य पर, 0 < x < L)
समीकरणहलप्रत्येक विधा क्या करती है
ऊष्मा, u_t = k u_xxu = Σ bₙ sin(nπx/L) e−k(nπ/L)²tक्षीण होती है; उच्च विधाएँ n² के अनुपात में तेज़ी से मरती हैं।
तरंग, u_tt = c² u_xx, विराम से छोड़ी गईu = Σ bₙ sin(nπx/L) cos(nπc·t/L)आवृत्ति nc/(2L) पर सदा दोलन करती है।
लाप्लास, आयत पर u_xx + u_yy = 0u = Σ cₙ sin(nπx/L) sinh(nπy/L)स्थायी अवस्था; समय है ही नहीं।

गुणांक bₙ प्रारंभिक (या सीमा) आँकड़ों के फुरिये ज्या गुणांक हैं। (0, π) पर k = 1 व u(x, 0) = 2 sin x + sin 2x सहित हल u = 2 sin x e−t + sin 2x e−4t है; x = π/2 पर दूसरी विधा शून्य है (sin π = 0), अतः u(π/2, ln 2) = 2e−ln 2 = 1।

3. अभिगृहीत, PDF व CDF

प्रायिकता घटनाओं पर परिभाषित एक फलन है जो तीन अभिगृहीत संतुष्ट करता है: P(A) ≥ 0; P(S) = 1; तथा परस्पर अपवर्जी A₁, A₂, … हेतु P(∪Aᵢ) = ΣP(Aᵢ)। शेष सब व्युत्पन्न है: P(Aᶜ) = 1 − P(A), P(∅) = 0, और P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)। P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 व P(A ∩ B) = 0.2 सहित P(A ∪ B) = 0.7। सप्रतिबंध प्रायिकता P(B) > 0 हेतु P(A | B) = P(A ∩ B)/P(B) है, और A व B स्वतंत्र हैं जब P(A ∩ B) = P(A)P(B) — यहाँ 0.2 = 0.5 × 0.4, अतः वे स्वतंत्र हैं।

संचयी बंटन फलन F(x) = P(X ≤ x) प्रत्येक यादृच्छिक चर हेतु विद्यमान है। यह अह्रासी है, दाएँ से संतत है, −∞ पर 0 व +∞ पर 1 की ओर जाता है, और P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)। संतत X हेतु प्रायिकता घनत्व फलन f = dF/dx है जहाँ अवकलज विद्यमान हो; f ≥ 0, ∫f = 1, और f स्वयं 1 से अधिक हो सकता है क्योंकि यह घनत्व है, प्रायिकता नहीं। [0, 1] पर f(x) = 2x हेतु: F(x) = x², अतः P(X > 0.5) = 1 − 0.25 = 0.75, और माध्यिका, जहाँ F = 1/2, 1/√2 ≈ 0.707 है, जबकि माध्य ∫x·2x dx = 2/3 है।

4. परिकल्पना परीक्षण

परीक्षण एक शून्य परिकल्पना H₀ (जैसे μ = μ₀) को एक वैकल्पिक H₁ (μ ≠ μ₀, द्वि-पुच्छीय; या μ > μ₀, एक-पुच्छीय) के विरुद्ध रखता है, प्रतिदर्श से परीक्षण प्रतिदर्शज निकालता है, और यदि प्रतिदर्शज सार्थकता स्तर α से तय क्रांतिक क्षेत्र में पड़े तो H₀ अस्वीकार करता है। सत्य H₀ को अस्वीकार करना प्रथम प्रकार की त्रुटि (प्रायिकता α) है; असत्य H₀ को अस्वीकार न करना द्वितीय प्रकार की त्रुटि (प्रायिकता β, और 1 − β शक्ति है)। p-मान H₀ के अंतर्गत प्रेक्षित जितने या उससे अधिक चरम प्रतिदर्शज की प्रायिकता है; स्तर α पर H₀ ठीक तब अस्वीकार होता है जब p < α।

ज्ञात σ वाले माध्य हेतु H₀ के अंतर्गत z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) मानक प्रसामान्य है; द्वि-पुच्छीय क्रांतिक मान 5% पर ±1.96 व 1% पर ±2.576 हैं, और एक-पुच्छीय 5% मान 1.645 है। σ अज्ञात व छोटे प्रतिदर्श पर t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) का बंटन n − 1 स्वातंत्र्य-कोटियों वाला t बंटन है। हल: n = 36, x̄ = 52, μ₀ = 50, σ = 6 से z = 2/(6/6) = 2। चूँकि 1.96 < 2 < 2.576, H₀ 5% पर अस्वीकार होता है पर 1% पर नहीं; द्वि-पुच्छीय p-मान लगभग 0.046 है।

⚠️ "अस्वीकृत नहीं" का अर्थ "सत्य मान लिया" नहीं
परीक्षण प्रथम प्रकार की त्रुटि-दर नियंत्रित करता है, H₀ के सत्य होने की प्रायिकता नहीं। अस्वीकार न कर पाना बताता है कि आँकड़े उस स्तर पर H₀ से संगत हैं, और छोटा प्रतिदर्श लगभग किसी भी बात को अस्वीकार करने में विफल हो सकता है।

5. पुनरावृत्त विधियाँ व परिमित अंतर

Ax = b का प्रत्यक्ष मार्ग गाउस विलोपन है (साझा रैखिक बीजगणित अध्याय में)। पुनरावृत्त मार्ग प्रत्येक समीकरण को उसके विकर्ण अज्ञात हेतु पुनः लिखता है। जैकोबी प्रत्येक नया मान पुराने मानों से निकालता है; गाउस–सीडल प्रत्येक नया मान बनते ही प्रयोग करता है, और प्रायः लगभग दोगुनी गति से अभिसरित होता है। दोनों अभिसरित होते हैं जब A दृढ़तः विकर्ण-प्रधान हो (प्रत्येक |aᵢᵢ| अपनी पंक्ति के अन्य |aᵢⱼ| के योग से अधिक)। 4x + y = 9, x + 3y = 7 हेतु (0, 0) से: जैकोबी x₁ = 9/4 = 2.25, y₁ = 7/3 ≈ 2.333 देता है; गाउस–सीडल x₁ = 2.25, फिर y₁ = (7 − 2.25)/3 ≈ 1.583। यथार्थ हल x = 20/11 ≈ 1.818, y = 19/11 ≈ 1.727 है।

परिमित-अंतर सन्निकटन, चरण h
राशिसूत्रत्रुटि
f′(x), अग्र[f(x + h) − f(x)]/hO(h)
f′(x), पश्च[f(x) − f(x − h)]/hO(h)
f′(x), केंद्रीय[f(x + h) − f(x − h)]/(2h)O(h²)
f″(x), केंद्रीय[f(x + h) − 2f(x) + f(x − h)]/h²O(h²)

x = 1 पर f = x³ हेतु h = 0.1 सहित: अग्र (1.331 − 1)/0.1 = 3.31 देता है, केंद्रीय (1.331 − 0.729)/0.2 = 3.01, यथार्थ 3 के सापेक्ष — यहाँ केंद्रीय त्रुटि अग्र त्रुटि का सौवाँ भाग है, जैसा O(h) के सापेक्ष O(h²) बताता है। अंतर सारणी में घात-n बहुपद के n-वें अंतर अचर होते हैं, जिससे सारणीबद्ध आँकड़े अपनी घात प्रकट करते हैं। ऊष्मा समीकरण u_t = k u_xx का स्पष्ट परिमित-अंतर चरण, uᵢⁿ⁺¹ = uᵢⁿ + r(uᵢ₊₁ⁿ − 2uᵢⁿ + uᵢ₋₁ⁿ), r = kΔt/Δx² सहित, केवल r ≤ 1/2 पर स्थिर है; k = 1 व Δx = 0.1 पर सबसे बड़ा स्थिर Δt 0.005 है।

मुख्य बिंदु

  • M dx + N dy = 0 यथातथ है यदि और केवल यदि M_y = N_x; बर्नूली समीकरण v = y¹⁻ⁿ से रैखिक हो जाता है।
  • सम फलनों की कोज्या श्रेणी, विषम फलनों की ज्या श्रेणी; उछाल पर श्रेणी दोनों सीमाओं का औसत देती है।
  • ऊष्मा विधाएँ e−k(nπ/L)²t से क्षीण होती हैं, तरंग विधाएँ दोलन करती हैं, लाप्लास हल स्थायी हैं; गुणांक आँकड़ों के फुरिये गुणांक हैं।
  • P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a); घनत्व 1 से अधिक हो सकता है। p < α पर H₀ अस्वीकार करें; 1.96 व 2.576 द्वि-पुच्छीय 5% व 1% z बिंदु हैं।
  • गाउस–सीडल नए मान तुरंत प्रयोग करता है; विकर्ण-प्रधानता अभिसरण सुनिश्चित करती है। केंद्रीय अंतर O(h²) हैं; स्पष्ट ऊष्मा चरण को r = kΔt/Δx² ≤ 1/2 चाहिए।

अभ्यास प्रश्न (17)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. समीकरण M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 यथातथ है यदि और केवल यदि:

    1. ∂M/∂y = ∂N/∂x
    2. ∂M/∂x = ∂N/∂y
    3. M = N
    4. ∂M/∂x + ∂N/∂y = 0
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ∂M/∂y = ∂N/∂x

    यदि किसी φ हेतु M = φₓ व N = φ_y, तो M_y = φₓ_y = φ_yₓ = N_x; सरलतः संबद्ध क्षेत्र पर विलोम भी सत्य है। अन्य शर्तें गलत अवकलजों की तुलना करती हैं — M_x = N_y यथातथता से निहित नहीं।

  2. (2xy + 3) dx + (x² − 1) dy = 0 का वह हल-वक्र जो (2, 3) से होकर जाता है, x = 3 पर y = ____ रखता है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.75

    M_y = 2x = N_x, अतः समीकरण यथातथ है और हल x²y + 3x − y = C है। (2, 3) पर: 12 + 6 − 3 = 15। x = 3 पर: 9y + 9 − y = 15, अतः 8y = 6 व y = 0.75। N का −y पद छोड़ने पर 9y + 9 = 15, y ≈ 0.667 आता है।

  3. बर्नूली समीकरण y′ + y = y² का y(0) = 1/2 सहित हल है:

    1. y = 1/(1 + eˣ)
    2. y = 1/(1 + e−x)
    3. y = eˣ/2
    4. y = 1/(2 − x)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — y = 1/(1 + eˣ)

    v = 1/y सहित v′ = −y′/y² = −(y² − y)/y² = v − 1, अतः v′ − v = −1 व v = 1 + Ceˣ। y(0) = 1/2 से v(0) = 2, C = 1, और y = 1/(1 + eˣ)। जाँच: y′ = −eˣ/(1 + eˣ)² व y² − y = [1 − (1 + eˣ)]/(1 + eˣ)² = −eˣ/(1 + eˣ)², समान। e−x वाले रूप में भी y(0) = 1/2 है पर वह y′ = y − y² हल करता है।

  4. (−π, π) पर विषम फलन की फुरिये श्रेणी में होते हैं:

    1. केवल ज्या पद
    2. केवल कोज्या पद व अचर
    3. केवल अचर पद
    4. सामान्यतः ज्या व कोज्या दोनों पद
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — केवल ज्या पद

    f विषम होने पर f cos nx विषम है, अतः प्रत्येक aₙ (व a₀) सममित अंतराल पर शून्य समाकलित होता है; केवल bₙ बचते हैं। कोज्या व अचर वाली स्थिति सम फलनों की है।

  5. (−π, 0) पर −1 व (0, π) पर +1 वाली वर्ग तरंग f(x), आवर्त 2π से विस्तारित, हेतु फुरिये गुणांक b₁, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.27

    b₁ = (1/π)∫−ππ f sin x dx = (2/π)∫₀^π sin x dx = (2/π) × 2 = 4/π ≈ 1.2732, अतः 1.27। केवल (0, π) पर समाकलित कर दूसरे आधे का गुणक भूलने पर 2/π ≈ 0.64 आता है।

  6. वर्ग तरंग, जो (−π, 0) पर −1 व (0, π) पर +1 है और आवर्त 2π से विस्तारित है, की फुरिये श्रेणी बनाई गई है। x = 0 पर श्रेणी अभिसरित होती है:

    1. 0
    2. 1
    3. −1
    4. 4/π
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0

    उछाल-असांतत्य पर श्रेणी बाएँ व दाएँ सीमाओं के औसत, (−1 + 1)/2 = 0, पर अभिसरित होती है — जो सीधे दिखता है, क्योंकि x = 0 पर प्रत्येक sin(nx) शून्य है। उछाल पर ही श्रेणी कभी 1 मान नहीं लेती।

  7. (−π, π) पर f(x) = x², आवर्त 2π से विस्तारित, हेतु फुरिये गुणांक a₂ ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1

    दो बार खंडशः समाकलन से aₙ = (1/π)∫−ππ x² cos nx dx = 4(−1)ⁿ/n²। n = 2 हेतु a₂ = 4/4 = 1। चिह्न एकांतर है: a₁ = −4, a₃ = −4/9।

  8. u(x, t), 0 < x < π पर u_t = u_xx को संतुष्ट करता है, u(0, t) = u(π, t) = 0 व u(x, 0) = 2 sin x + sin 2x सहित। u(π/2, ln 2) का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1

    प्रत्येक विधा sin nx, e−n²t से क्षीण होती है, अतः u = 2 sin x e−t + sin 2x e−4t। x = π/2 पर sin 2x = sin π = 0, शेष 2 × 1 × e−ln 2 = 2 × 1/2 = 1। दोनों विधाओं को समान दर से क्षीण करना, या यह भूलना कि दूसरी π/2 पर शून्य है, गलत मान देता है।

  9. P(A) = 0.5, P(B) = 0.4 व P(A ∩ B) = 0.2। तब P(A ∪ B) है:

    1. 0.7
    2. 0.9
    3. 0.2
    4. 1.1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.7

    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 0.5 + 0.4 − 0.2 = 0.7। सर्वनिष्ठ घटाए बिना जोड़ना उसे दो बार गिनता है (0.9); 1.1, P ≤ 1 का उल्लंघन करेगा, जो अभिगृहीतों से आता है।

  10. संतत यादृच्छिक चर X का घनत्व 0 ≤ x ≤ 1 हेतु f(x) = 2x और अन्यत्र 0 है। P(X > 0.5) ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.75

    F(x) = ∫₀ˣ 2t dt = x², अतः P(X > 0.5) = 1 − F(0.5) = 1 − 0.25 = 0.75। f(0.5) = 1 को प्रायिकता पढ़ना घनत्व को बंटन फलन से भ्रमित करना है।

  11. यादृच्छिक चर X के संचयी बंटन फलन F के विषय में कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. F अह्रासी है
    2. किसी x हेतु F(x), 1 से अधिक हो सकता है
    3. P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a)
    4. संतत X हेतु घनत्व dF/dx है जहाँ अवकलज विद्यमान हो
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — F अह्रासी है; C — P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a); D — संतत X हेतु घनत्व dF/dx है जहाँ अवकलज विद्यमान हो

    (A) F(x) = P(X ≤ x) और घटना x के साथ बढ़ती है। (B) असत्य: F प्रायिकता है, अतः 0 ≤ F ≤ 1 — 1 से अधिक घनत्व हो सकता है। (C) {X ≤ b}, {X ≤ a} व {a < X ≤ b} का असंयुक्त सम्मिलन है। (D) घनत्व CDF का अवकलज है।

  12. n = 36 के प्रतिदर्श का माध्य 52 है। समष्टि मानक विचलन 6 ज्ञात है। H₀: μ = 50 के परीक्षण हेतु z प्रतिदर्शज का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) = (52 − 50)/(6/√36) = 2/1 = 2। मानक त्रुटि σ/√n के स्थान पर σ से भाग देने पर 1/3 आता है और कभी कुछ अस्वीकार नहीं होगा।

  13. H₀: μ = 50 का H₁: μ ≠ 50 के विरुद्ध द्वि-पुच्छीय z-परीक्षण z = 2 देता है (σ ज्ञात)। कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. H₀ 5% स्तर पर अस्वीकार होता है
    2. H₀ 1% स्तर पर अस्वीकार होता है
    3. द्वि-पुच्छीय p-मान 0.05 से कम है
    4. प्रथम प्रकार की त्रुटि का अर्थ सत्य H₀ को अस्वीकार करना है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — H₀ 5% स्तर पर अस्वीकार होता है; C — द्वि-पुच्छीय p-मान 0.05 से कम है; D — प्रथम प्रकार की त्रुटि का अर्थ सत्य H₀ को अस्वीकार करना है

    (A) |z| = 2 > 1.96। (B) असत्य: 2 < 2.576, 1% द्वि-पुच्छीय बिंदु। (C) p = 2P(Z > 2) ≈ 2 × 0.0228 = 0.0455 < 0.05, (A) वाला ही निर्णय। (D) प्रथम प्रकार की त्रुटि की परिभाषा।

  14. द्वितीय प्रकार की त्रुटि है:

    1. H₀ असत्य होने पर उसे अस्वीकार न करना
    2. H₀ सत्य होने पर उसे अस्वीकार करना
    3. बहुत छोटा सार्थकता स्तर चुनना
    4. जहाँ द्वि-पुच्छीय चाहिए वहाँ एक-पुच्छीय परीक्षण लेना
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — H₀ असत्य होने पर उसे अस्वीकार न करना

    द्वितीय प्रकार की त्रुटि असत्य शून्य परिकल्पना को बनाए रखती है; इसकी प्रायिकता β है और 1 − β शक्ति है। सत्य H₀ को अस्वीकार करना प्रथम प्रकार की त्रुटि है, जिसकी प्रायिकता सार्थकता स्तर α है।

  15. निकाय 4x + y = 9, x + 3y = 7 को x = 0, y = 0 से आरंभ कर, पहले x अद्यतन करते हुए, गाउस–सीडल विधि से हल किया जाता है। एक पुनरावृत्ति के बाद y, दो दशमलव स्थानों तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1.58

    x₁ = (9 − y₀)/4 = 9/4 = 2.25, और गाउस–सीडल इसे तुरंत प्रयोग करता है: y₁ = (7 − x₁)/3 = 4.75/3 ≈ 1.583, अतः 1.58। जैकोबी x₀ = 0 प्रयोग कर y₁ = 7/3 ≈ 2.33 देगा। आव्यूह दृढ़तः विकर्ण-प्रधान है, अतः पुनरावृत्ति अभिसरित होती है।

  16. चरण h = 0.1 सहित f(x) = x³ हेतु f′(1) का केंद्रीय-अंतर आकलन ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3.01

    [f(1.1) − f(0.9)]/(2 × 0.1) = (1.331 − 0.729)/0.2 = 0.602/0.2 = 3.01। त्रुटि, 0.01, ठीक h² है: घन हेतु केंद्रीय अंतर h² f‴/6 = 0.01 × 6/6 की त्रुटि करता है। अग्र अंतर 3.31 देता है।

  17. ऊष्मा समीकरण u_t = u_xx को Δx = 0.1 सहित स्पष्ट अग्र-काल, केंद्रीय-स्थान योजना से हल किया जाता है। वह सबसे बड़ा काल-चरण जिस पर योजना स्थिर है:

    1. 0.005
    2. 0.01
    3. 0.05
    4. 0.0025
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 0.005

    स्थिरता हेतु r = kΔt/Δx² ≤ 1/2, अतः Δt ≤ 0.5 × 0.01/1 = 0.005। Δt = 0.01 पर r = 1 और हल बढ़ते आयाम से दोलन करता है; 0.0025 स्थिर है पर सबसे बड़ा नहीं।