आव्यूह, टेलर श्रेणी, अनुचित समाकल व सदिश सर्वसमिकाएँ: भाग A.1 के वे विषय जो साझा अध्याय छोड़ देते हैं

GATE रोबोटिकी व स्वचालन पेपर का खंड A.1 उसका अभियांत्रिकी गणित है, और उसका अधिकांश भाग साझा अध्यायों में पढ़ाया गया है: कोटि, रैखिक निकाय व आइगेन-मान; सीमा, अवकलज व निश्चित समाकल; आंशिक अवकलज, उच्चिष्ठ-निम्निष्ठ व बहु-समाकल। यह अध्याय A.1 के वे उप-विषय पढ़ाता है जो वे अध्याय नहीं पढ़ाते: परिवर्त, सारणिक, सहखंडज व ट्रेस के नियम, जिन पर घूर्णन-आव्यूह का प्रत्येक प्रश्न टिका है; एक व दो चरों में टेलर श्रेणी; अनुचित समाकल; सदिश सर्वसमिकाएँ, उन दो से आगे जिन्हें साझा सदिश कलन अध्याय सिद्ध करता है (अपसरण का गुणन नियम, कर्ल का कर्ल, स्थिति सदिश), प्रवणता, अपसरण व कर्ल को हल किए गए उदाहरणों हेतु पुनः लिखते हुए; और सदिश फलन का सम्पूर्ण अवकलज, दो-कड़ी भुजा के अग्र शुद्धगतिकी प्रतिचित्रण पर हल किया गया, जिसका सारणिक वह संख्या है जो मैनिपुलेटर प्रश्न प्रायः माँगता है।

1. परिवर्त, सारणिक, सहखंडज, प्रतिलोम व ट्रेस

परिवर्त गुणनफल का क्रम उलट देता है: (AB)ᵀ = BᵀAᵀ, तथा (A⁻¹)ᵀ = (Aᵀ)⁻¹। Aᵀ = A वाला आव्यूह सममित है; Aᵀ = −A वाला विषम-सममित, और तब उसका विकर्ण शून्य होता है। सारणिक परिवर्त से अपरिवर्तित रहता है, |Aᵀ| = |A|, गुणनफल पर गुणित होता है, |AB| = |A||B|, और कोटि के साथ बढ़ता है: n × n आव्यूह हेतु |kA| = kⁿ|A|, k|A| नहीं, क्योंकि n में से प्रत्येक पंक्ति k से गुणित होती है।

A का सहखंडज (adjugate) उसके सहगुणनखंड आव्यूह का परिवर्त है, और यह A · adj A = adj A · A = |A| I को संतुष्ट करता है। अतः |A| ≠ 0 होने पर A⁻¹ = adj A / |A|। इस सर्वसमिका के सारणिक लेने पर |adj A| = |A|ⁿ⁻¹ मिलता है और, दो बार लगाने पर, adj(adj A) = |A|ⁿ⁻² A। A = [[2, 1], [1, 3]] हेतु: |A| = 5, adj A = [[3, −1], [−1, 2]] (विकर्ण अदला-बदली करें, विकर्णेतर का चिह्न बदलें — 2 × 2 का शॉर्टकट), अतः A⁻¹ = (1/5)[[3, −1], [−1, 2]]।

नियम, सारणिक 4 वाले 3 × 3 आव्यूह पर
राशिनियममान
|2A|2³|A|32
|A⁻¹|1/|A|1/4
|adj A||A|³⁻¹16
|Aᵀ A||A|²16

ट्रेस विकर्ण प्रविष्टियों का योग है। यह रैखिक है, tr(A + B) = tr A + tr B, गुणनफल के क्रम की उपेक्षा करता है, tr(AB) = tr(BA), और आइगेन-मानों के योग के बराबर है, जैसे सारणिक उनके गुणनफल के बराबर है। घूर्णन आव्यूह वह स्थिति है जिसकी इस पेपर को सर्वाधिक चिंता है: यह लांबिक है, Rᵀ R = I, अतः R⁻¹ = Rᵀ बिना किसी गणना के, और |R| = +1। 2D घूर्णन [[cos θ, −sin θ], [sin θ, cos θ]] का ट्रेस 2 cos θ है, जिससे दिए गए आव्यूह से कोण वापस पढ़ा जाता है।

⚠️ |kA|, k|A| नहीं है
3 × 3 आव्यूह को 2 से गुणा करने पर उसका सारणिक 8 गुना होता है। यही चूक सहखंडज प्रश्नों में भी आती है: adj(kA) = kⁿ⁻¹ adj A, अतः |A| = 4 वाले 3 × 3 A हेतु |adj(2A)| = |2A|² = 32² = 1024, न कि 2 × 16।

2. एक व दो चरों में टेलर श्रेणी

x = a के परितः f(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n! + …; a = 0 के परितः यह मैक्लॉरिन श्रेणी है। जो सीधे याद होनी चाहिए: eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + …; sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …; cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …; −1 < x ≤ 1 हेतु ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …। गुणांक का प्रश्न अवकलज का प्रश्न है: (x − a)ⁿ का गुणांक f⁽ⁿ⁾(a)/n! है। x = 1 के परितः ln x हेतु f″(x) = −1/x², अतः (x − 1)² का गुणांक −1/2 है।

दो चरों में, h = x − a व k = y − b लेकर: f(x, y) = f + (h fₓ + k f_y) + (1/2!)(h² fₓₓ + 2hk fₓ_y + k² f_yy) + …, प्रत्येक अवकलज (a, b) पर। (0, 0) के परितः f = eˣ sin y हेतु: f = 0, fₓ = 0, f_y = 1, fₓₓ = 0, fₓ_y = 1, f_yy = 0, अतः द्वितीय कोटि तक f ≈ y + xy। प्रथम-कोटि भाग रैखिकीकरण, अर्थात् स्पर्श-तल, है, और "लघु-कोण" तर्क यही है: sin θ ≈ θ व cos θ ≈ 1 − θ²/2 श्रेणी के प्रथम पद हैं।

🧠 2hk पद
मिश्र पद में 2 आता है क्योंकि fₓ_y व f_yₓ समान हैं और दोनों आते हैं। इसे छोड़ना द्वि-चर प्रसारों की सबसे आम भूल है; द्विघात भाग को हेसियन H सहित ½[h k] H [h k]ᵀ लिखने से यह स्वतः बना रहता है।

3. अनुचित समाकल

समाकल अनुचित है जब कोई सीमा अनंत हो या समाकल्य अंतराल के भीतर अपरिबद्ध हो, और इसे सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है: ∫ₐ^∞ f dx = limR→∞ ∫ₐᴿ f dx। सीमा परिमित हो तो यह अभिसारी है। दो p-परीक्षण अधिकांश प्रश्न तय करते हैं: ∫₁^∞ dx/xᵖ अभिसारी है यदि और केवल यदि p > 1, मान 1/(p − 1); ∫₀¹ dx/xᵖ अभिसारी है यदि और केवल यदि p < 1, मान 1/(1 − p)। अतः ∫₁^∞ dx/x³ = 1/2, जबकि ∫₁^∞ dx/x व ∫₀¹ dx/x दोनों अपसारी हैं।

  • a > 0 हेतु ∫₀^∞ e−ax dx = 1/a, तथा ∫₀^∞ x e−x dx = 1 (खंडशः समाकलन; यह Γ(2) = 1! है)।
  • ∫−∞∞ dx/(1 + x²) = π, क्योंकि tan⁻¹ x, −π/2 से π/2 तक जाता है।
  • तुलना: यदि 0 ≤ f ≤ g और ∫g अभिसारी है, तो ∫f भी; यदि ∫f अपसारी है, तो ∫g भी। x ≥ 1 हेतु e−x² ≤ e−x, अतः ∫₁^∞ e−x² dx बिना मान निकाले अभिसारी है।
⚠️ छिपी विचित्रता
∫−11 dx/x² सामान्य निश्चित समाकल लगता है, और प्रतिअवकलज −1/x से −2 मिलता है — धनात्मक समाकल्य हेतु ऋणात्मक संख्या, यही चेतावनी है। समाकल्य x = 0 पर अपरिबद्ध है, और ∫₀¹ dx/x² अपसारी है (p = 2 ≥ 1), अतः सम्पूर्ण समाकल अपसारी है।

4. प्रवणता, अपसरण, कर्ल व सदिश सर्वसमिकाएँ

∇ = î ∂/∂x + ĵ ∂/∂y + k̂ ∂/∂z सहित: अदिश f की प्रवणता सदिश ∇f = (fₓ, f_y, f_z) है, जो स्तर-पृष्ठ f = c के अभिलंब है और तीव्रतम वृद्धि की दिशा में इंगित करती है, परिमाण उस दर के बराबर; एकक सदिश û की दिशा में दर ∇f · û है। F = (P, Q, R) का अपसरण अदिश ∇ · F = Pₓ + Q_y + R_z है, प्रति एकक आयतन शुद्ध बहिर्वाह। कर्ल सदिश ∇ × F = (R_y − Q_z, P_z − Rₓ, Qₓ − P_y) है, स्थानीय घूर्णन। F परिनालिकीय है यदि ∇ · F = 0 और अघूर्णी है यदि ∇ × F = 0।

हल: F = (x²y, yz, xz)। ∇ · F = 2xy + z + x, जो (1, 1, 1) पर 4 है। ∇ × F = (∂(xz)/∂y − ∂(yz)/∂z, ∂(x²y)/∂z − ∂(xz)/∂x, ∂(yz)/∂x − ∂(x²y)/∂y) = (−y, −z, −x²)। f = x² + y² + z² हेतु ∇f = (2x, 2y, 2z), अतः (1, 2, 2) पर |∇f| = 2 × 3 = 6।

सर्वसमिकाएँ, सुचारु f व F हेतु
सर्वसमिकायह क्या कहती है
∇ × (∇f) = 0प्रवणता क्षेत्र अघूर्णी है।
∇ · (∇ × F) = 0कर्ल क्षेत्र परिनालिकीय है।
∇ · (∇f) = ∇²fप्रवणता का अपसरण लाप्लासियन है, सामान्यतः शून्य नहीं।
∇ · (fF) = f ∇ · F + F · ∇fअपसरण हेतु गुणन नियम।
∇ × (∇ × F) = ∇(∇ · F) − ∇²Fकर्ल का कर्ल।
r = (x, y, z): ∇ · r = 3, ∇ × r = 0, ∇|r| = r/|r|स्थिति सदिश: अपसरण 3, 1 नहीं।

5. सदिश फलन का सम्पूर्ण अवकलज: दो-कड़ी भुजा

(θ₁, θ₂) से (x, y) तक के प्रतिचित्रण का सम्पूर्ण अवकलज आंशिक अवकलजों का जैकोबियन आव्यूह है, और निवेशों में छोटा परिवर्तन प्रथम कोटि तक [dx, dy]ᵀ = J [dθ₁, dθ₂]ᵀ देता है। खंड A.3 की समतलीय दो-कड़ी भुजा हेतु x = l₁ cos θ₁ + l₂ cos(θ₁ + θ₂) व y = l₁ sin θ₁ + l₂ sin(θ₁ + θ₂), अतः J = [[−l₁ sin θ₁ − l₂ sin(θ₁ + θ₂), −l₂ sin(θ₁ + θ₂)], [l₁ cos θ₁ + l₂ cos(θ₁ + θ₂), l₂ cos(θ₁ + θ₂)]]।

सारणिक प्रसारित करने पर θ₁ के सभी पद कट जाते हैं और det J = l₁ l₂ sin θ₂। यह केवल कोहनी-कोण पर निर्भर है: l₁ = 1 m, l₂ = 0.5 m व θ₂ = 30° हेतु det J = 0.5 × 0.5 = 0.25 m²। यह θ₂ = 0° व 180° पर शून्य होता है — भुजा पूर्णतः फैली या पूर्णतः मुड़ी — जहाँ J के दोनों स्तंभ समांतर हैं और सिरे को भुजा की दिशा में नहीं खिसकाया जा सकता, संधियाँ चाहे जैसे घूमें। ये विन्यास कार्यक्षेत्र की सीमा पर हैं, और यहीं कलन व अगले खंड की ज्यामिति मिलते हैं।

ℹ️ यह गणित में क्यों है
खंड A.3 अग्र शुद्धगतिकी नामित करता है, वेग शुद्धगतिकी नहीं; A.1 आंशिक अवकलज व सम्पूर्ण अवकलज नामित करता है। यहाँ जैकोबियन वही कलन है जो अग्र शुद्धगतिकी प्रतिचित्रण पर लगाया गया, और उसका सारणिक एक सामान्य 2 × 2 सारणिक है।

मुख्य बिंदु

  • |kA| = kⁿ|A|, A · adj A = |A| I, A⁻¹ = adj A/|A| व |adj A| = |A|ⁿ⁻¹; tr(AB) = tr(BA)।
  • घूर्णन आव्यूह सारणिक +1 वाला लांबिक आव्यूह है, अतः उसका प्रतिलोम उसका परिवर्त है।
  • टेलर श्रेणी में (x − a)ⁿ का गुणांक f⁽ⁿ⁾(a)/n! है; द्वि-चर द्वितीय-कोटि पद में 2hk fₓ_y आता है।
  • ∫₁^∞ dx/xᵖ केवल p > 1 पर व ∫₀¹ dx/xᵖ केवल p < 1 पर अभिसारी है; समाकलन से पहले अंतराल के भीतर विचित्रता जाँचें।
  • curl grad = 0 व div curl = 0; div grad लाप्लासियन है; ∇ · r = 3। दो-कड़ी भुजा हेतु det J = l₁ l₂ sin θ₂।

अभ्यास प्रश्न (13)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. अनुरूप आव्यूहों A व B हेतु (AB)ᵀ बराबर है:

    1. BᵀAᵀ
    2. AᵀBᵀ
    3. BA
    4. (BA)⁻¹
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — BᵀAᵀ

    परिवर्त गुणनफल का क्रम उलट देता है: (AB)ᵀ की (i, j) प्रविष्टि A की पंक्ति j गुणा B का स्तंभ i है, जो Bᵀ की पंक्ति i गुणा Aᵀ का स्तंभ j है। A व B वर्ग न हों तो AᵀBᵀ सामान्यतः अनुरूप भी नहीं होता।

  2. A एक 3 × 3 आव्यूह है जिसका |A| = 4। |adj A| का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 16

    A · adj A = |A| I से |A| |adj A| = |A|³, अतः |adj A| = |A|² = 16। 4 उत्तर देना सहखंडज को A का सारणिक मान लेता है; 1/4 उसे प्रतिलोम से भ्रमित करता है।

  3. A एक 3 × 3 आव्यूह है जिसका |A| = 4। |adj(2A)| का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 1024

    |2A| = 2³ × 4 = 32, और किसी भी 3 × 3 आव्यूह M हेतु |adj M| = |M|², अतः |adj(2A)| = 32² = 1024। समतुल्य रूप से adj(2A) = 2² adj A, जिसका सारणिक (2²)³ × 16 = 1024 है। |2A| = 8 (अर्थात् 2|A|) लेने पर 64 आता है।

  4. A = [[2, 1], [1, 3]] का प्रतिलोम है:

    1. (1/5)[[3, −1], [−1, 2]]
    2. (1/5)[[2, −1], [−1, 3]]
    3. (1/7)[[3, −1], [−1, 2]]
    4. (1/5)[[3, 1], [1, 2]]
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — (1/5)[[3, −1], [−1, 2]]

    |A| = 6 − 1 = 5। 2 × 2 आव्यूह हेतु सहखंडज विकर्ण प्रविष्टियाँ अदल-बदल देता है और विकर्णेतर के चिह्न बदल देता है: adj A = [[3, −1], [−1, 2]]। जाँच: A × adj A = [[5, 0], [0, 5]] = 5I। विकर्ण यथास्थान या चिह्न धनात्मक रखने पर यह जाँच विफल होती है; 7 तो 6 + 1 का योग है।

  5. n × n वास्तविक आव्यूहों A व B हेतु कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. tr(AB) = tr(BA)
    2. |A + B| = |A| + |B|
    3. A · adj A = |A| I
    4. घूर्णन आव्यूह R, R⁻¹ = Rᵀ को संतुष्ट करता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — tr(AB) = tr(BA); C — A · adj A = |A| I; D — घूर्णन आव्यूह R, R⁻¹ = Rᵀ को संतुष्ट करता है

    (A) दोनों ट्रेस Σᵢ Σⱼ aᵢⱼ bⱼᵢ के बराबर हैं। (B) असत्य: I + I का सारणिक 2ⁿ है, 2 नहीं। (C) सहखंडज का परिभाषिक गुण। (D) घूर्णन आव्यूह लांबिक है, RᵀR = I।

  6. x = 1 के परितः ln x की टेलर श्रेणी में (x − 1)² का गुणांक ____ है (ऋणात्मक मान ऋण चिह्न सहित लिखें)।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: -0.5

    f′(x) = 1/x व f″(x) = −1/x², अतः f″(1) = −1 और गुणांक f″(1)/2! = −0.5 है। श्रेणी (x − 1) − (x − 1)²/2 + (x − 1)³/3 − … है, u = x − 1 सहित ln(1 + u) की श्रेणी। 2! भूलने पर −1 आता है।

  7. (0, 0) के परितः f(x, y) = eˣ sin y का टेलर प्रसार, द्वितीय-कोटि पदों सहित, है:

    1. y + xy
    2. x + y + xy
    3. y + xy − y²/2
    4. 1 + x + y
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — y + xy

    (0, 0) पर: f = 0, fₓ = eˣ sin y = 0, f_y = eˣ cos y = 1, fₓₓ = 0, fₓ_y = eˣ cos y = 1, f_yy = −eˣ sin y = 0। अतः f ≈ 0 + (0·x + 1·y) + ½(0 + 2·1·xy + 0) = y + xy। −y²/2 पद हेतु f_yy = −1 चाहिए, जो कोज्या का व्यवहार है, ज्या का नहीं; अचर 1 हेतु f(0, 0) = 1 चाहिए।

  8. ∫₁^∞ dx/x³ का मान ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.5

    p = 3 > 1, अतः यह 1/(p − 1) = 1/2 पर अभिसरित होता है: प्रतिअवकलज −1/(2x²) अनंत पर 0 व x = 1 पर −1/2 है, और 0 − (−1/2) = 0.5।

  9. समाकल ∫−11 dx/x²:

    1. अपसारी है
    2. −2 के बराबर है
    3. 2 के बराबर है
    4. 0 के बराबर है, क्योंकि समाकल्य सम है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अपसारी है

    समाकल्य x = 0 पर, अंतराल के भीतर, अपरिबद्ध है, अतः समाकल अनुचित है और 0 पर विभाजित होता है; ∫₀¹ dx/x² में p = 2 ≥ 1 है और यह अपसारी है, अतः सम्पूर्ण समाकल अपसारी है। −2 विचित्रता के आर-पार −1/x लगाने से आता है। सम समाकल्य अर्ध-अंतराल समाकल को दोगुना करता है; शून्य नहीं करता।

  10. f(x, y, z) = x² + y² + z² हेतु बिंदु (1, 2, 2) पर ∇f का परिमाण ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 6

    (1, 2, 2) पर ∇f = (2x, 2y, 2z) = (2, 4, 4), और |∇f| = √(4 + 16 + 16) = √36 = 6। f(1, 2, 2) = 9 बताना फलन का मान है, उसकी प्रवणता का नहीं।

  11. F = (x²y, yz, xz) हेतु बिंदु (1, 1, 1) पर अपसरण ∇ · F ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 4

    ∇ · F = ∂(x²y)/∂x + ∂(yz)/∂y + ∂(xz)/∂z = 2xy + z + x = (1, 1, 1) पर 2 + 1 + 1 = 4। प्रत्येक घटक को गलत चर से अवकलित करना — जैसे x²y को y से — सामान्य चूक है।

  12. सुचारु अदिश f व सदिश F हेतु इनमें से कौन-सी सर्वसमिकाएँ हैं?

    1. ∇ × (∇f) = 0
    2. ∇ · (∇ × F) = 0
    3. प्रत्येक f हेतु ∇ · (∇f) = 0
    4. r = (x, y, z) हेतु ∇ · r = 1
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — ∇ × (∇f) = 0; B — ∇ · (∇ × F) = 0

    (A) व (B) मिश्र आंशिक अवकलजों की समता से आते हैं। (C) ∇ · ∇f = ∇²f, केवल प्रसंवादी f हेतु शून्य — f = x² हेतु यह 2 है। (D) ∇ · r = 1 + 1 + 1 = 3।

  13. एक समतलीय दो-कड़ी भुजा की कड़ी-लंबाइयाँ l₁ = 1 m व l₂ = 0.5 m हैं, सिरे की स्थिति x = l₁ cos θ₁ + l₂ cos(θ₁ + θ₂), y = l₁ sin θ₁ + l₂ sin(θ₁ + θ₂)। θ₁ = 45°, θ₂ = 30° पर जैकोबियन ∂(x, y)/∂(θ₁, θ₂) का सारणिक ____ m² है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.25

    आंशिकों के 2 × 2 सारणिक को प्रसारित करने पर θ₁ के पद कट जाते हैं और det J = l₁ l₂ sin θ₂ = 1 × 0.5 × sin 30° = 0.25। θ₁ का मान भ्रामक है: पूरी भुजा को आधार के परितः घुमाने से यह नहीं बदलता कि कोहनी संधि-गति को सिरे की गति में कैसे बदलती है।