शुद्धगतिकी व गतिकी II: जायरोस्कोप, मुक्त व प्रणोदित कंपन, अवमंदन, विलगन, अनुनाद तथा शाफ़्टों की क्रांतिक चालें
1. जायरोस्कोप व जायरोस्कोपी युग्म
जड़त्व आघूर्ण I का रोटर, ω से घूमता, अपने अक्ष के अनुदिश कोणीय संवेग H = Iω रखता है। उस अक्ष को लंबवत अक्ष के सापेक्ष कोणीय वेग ω_p (पुरस्सरण) से घुमाने हेतु ऐसा बलाघूर्ण चाहिए जो H की दिशा बदले, अतः C = I ω ω_p, उस अक्ष के सापेक्ष कार्य करता हुआ जो चक्रण व पुरस्सरण दोनों अक्षों के लंबवत है। I = 0.5 kg·m² की डिस्क, 3000 rpm (314.16 rad/s) पर घूमती व 0.2 rad/s से पुरस्सरित, को अतः C = 0.5 × 314.16 × 0.2 = 31.4 N·m चाहिए। रोटर की आलंबों पर प्रतिक्रिया बराबर व विपरीत है, और यही प्रतिक्रिया-युग्म जहाज़ या वायुयान पर टरबाइन के बेयरिंगों को भारित करता है।
- रोटर का चक्रण अक्ष आरोपित बलाघूर्ण के अक्ष की ओर मुड़ने की प्रवृत्ति रखता है: चक्रण सदिश बलाघूर्ण सदिश की ओर चलता है, इसी से प्रतिक्रिया-युग्म की दिशा निकलती है।
- मोड़ लेता वाहन, हिचकोले खाता, लुढ़कता या मुड़ता जहाज़, और घूमते इंजन के साथ मुड़ता वायुयान सभी घूमते भागों पर पुरस्सरण आरोपित करते हैं, और जायरोस्कोपी युग्म तब वाहन के एक पक्ष को नीचे दबाता व दूसरे को हल्का करता है।
2. अनवमंदित एकल-स्वातंत्र्य-कोटि निकाय का मुक्त कंपन
स्प्रिंग दृढ़ता k पर द्रव्यमान m समीकरण m ẍ + kx = 0 का पालन करता है, अतः वह प्राकृतिक आवृत्ति ω_n = √(k/m) rad/s, f = ω_n/2π हर्ट्ज़ व आवर्तकाल T = 1/f पर, आयाम जो भी हो, सरल आवर्त दोलन करता है। m = 10 kg व k = 4000 N/m हेतु ω_n = 20 rad/s व f = 3.18 Hz। स्थैतिक विक्षेप δ_st = mg/k के पदों में आवृत्ति ω_n = √(g/δ_st) है: अपने भार के अंतर्गत 25 mm संपीडित स्प्रिंग का ω_n = √(9.81/0.025) = 19.8 rad/s है, और δ मीटर में हो तो f_n ≈ 0.5/√δ_st हर्ट्ज़ उपयोगी नियम है।
समांतर स्प्रिंग अपनी दृढ़ताएँ जोड़ते हैं, k = k₁ + k₂; श्रेणी स्प्रिंग अपनी नम्यताएँ जोड़ते हैं, 1/k = 1/k₁ + 1/k₂। ऐंठन कंपन हेतु J θ̈ + k_t θ = 0 से ω_n = √(k_t/J), और सरल लोलक का ω_n = √(g/L) है। ऊर्जा विधि अधिकतम गतिज ऊर्जा को अधिकतम स्थितिज ऊर्जा के बराबर रखती है, ½ m ẋ²_max = ½ k x²_max, और गति का समीकरण लिखने से बचाती है; रैले विधि उसे कल्पित आकृति सहित उपयोग करती है। प्राकृतिक आवृत्ति निकाय पर निर्भर है, इस पर कभी नहीं कि उसे कैसे आरंभ किया गया।
3. अवमंदन व मुक्त अवमंदित कंपन
श्यान अवमंदक c सहित m ẍ + c ẋ + kx = 0। क्रांतिक अवमंदन c_c = 2√(km) = 2mω_n है और अवमंदन अनुपात ζ = c/c_c। ζ < 1 हेतु गति अल्पावमंदित दोलन x = Xe−ζω_n t sin(ω_d t + φ) है अवमंदित आवृत्ति ω_d = ω_n√(1 − ζ²) पर, ω_n से थोड़ी कम, अतः अवमंदित आवर्तकाल अधिक है; ζ = 1 हेतु द्रव्यमान बिना दोलन के सबसे शीघ्र लौटता है; ζ > 1 हेतु वह बिना दोलन के, अधिक धीरे, रेंगकर लौटता है। ζ के बड़ा होने तक अवमंदन प्राकृतिक आवृत्ति को विशेष नहीं बदलता: ζ = 0.1 पर ω_d, 0.995 ω_n है।
अवमंदन मुक्त दोलन के क्षय से मापा जाता है। लघुगणकीय ह्रास δ = ln(x₁/x₂) = 2πζ/√(1 − ζ²) ≈ 2πζ है, क्रमागत शिखरों के अनुपात का प्राकृतिक लघुगणक, और n चक्रों पर (1/n) ln(x₀/xₙ) वही मान देता है। यदि प्रत्येक शिखर पिछले का आधा हो, तो δ = ln 2 = 0.693, और ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.693/6.321 = 0.11। सन्निकटन 2πζ 0.110 देता, यहाँ निकट क्योंकि ζ छोटा है। गुणवत्ता गुणक Q = 1/(2ζ) अनुनादी प्रवर्धन के समान सूचना है।
4. प्रणोदित कंपन, अनुनाद व कंपन विलगन
आवर्त बल F₀ sin ωt के अंतर्गत स्थायी-अवस्था आयाम X = (F₀/k) · M है, आवर्धन गुणांक M = 1/√[(1 − r²)² + (2ζr)²] व आवृत्ति अनुपात r = ω/ω_n सहित। अनुक्रिया बल से φ = tan⁻¹[2ζr/(1 − r²)] पश्च है: निम्न आवृत्ति पर 0°, r = 1 पर 90°, अनुनाद से ऊपर 180° की ओर। अनुनाद पर, r ≈ 1, प्रवर्धन 1/(2ζ) है, केवल अवमंदन से सीमित: ζ = 0.05 हेतु M = 10। आयाम r = √(1 − 2ζ²) पर शिखर बनाता है, 1 से ठीक नीचे। अनुनाद से काफ़ी नीचे M ≈ 1 (दृढ़ता-नियंत्रित), काफ़ी ऊपर M, 1/r² से गिरता है (द्रव्यमान-नियंत्रित), और उसके निकट अकेला अवमंदक तय करता है (अवमंदन-नियंत्रित)।
कंपन विलगन मशीन द्वारा अपनी नींव को संचारित बल, या नींव द्वारा किसी उपकरण को संचारित गति, घटाता है। संचरणशीलता TR = √[1 + (2ζr)²]/√[(1 − r²)² + (2ζr)²] है। यह r = √2 तक 1 से अधिक है, r = √2 पर 1 के बराबर, और r = √2 से आगे ही विलगक विलगन करता है; वहाँ कम अवमंदन कम संचरण देता है, अतः कोमल आधार चुना जाता है और अनुनाद से गुज़रने हेतु केवल पर्याप्त अवमंदन। अनवमंदित आधार हेतु TR = 1/(r² − 1)। 1800 rpm (30 Hz) की मशीन को TR = 0.1 तक विलगित करने हेतु r² = 11 चाहिए, अतः आधार की प्राकृतिक आवृत्ति 30/√11 = 9.05 Hz है (लगभग 3 mm का स्थैतिक विक्षेप)।
5. शाफ़्टों की क्रांतिक चालें
लचीले शाफ़्ट पर रोटर, कितना भी अच्छा संतुलित हो, में थोड़ी उत्केन्द्रता होती है, और एक चाल पर उसका अपकेंद्री बल शाफ़्ट के अपने अनुप्रस्थ कंपन को उत्तेजित करता है: शाफ़्ट घूर्णन-भ्रमण करता है और प्रचंड रूप से विक्षेपित होता है। वह चाल क्रांतिक चाल है, अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर, ω_c = √(k/m) = √(g/δ_st), δ_st रोटर के भार के अंतर्गत शाफ़्ट का स्थैतिक विक्षेप। δ_st = 1 mm हेतु ω_c = √(9.81/0.001) = 99.05 rad/s, अर्थात् N_c = 60 × 99.05/2π = 946 rpm। अधिक दृढ़ या हल्का भारित शाफ़्ट ऊँची क्रांतिक चाल रखता है; शाफ़्ट उससे काफ़ी दूर चलाया जाता है, नीचे (दृढ़-शाफ़्ट अभिकल्प) या, शीघ्र गुज़रकर, ऊपर (लचीला-शाफ़्ट अभिकल्प)।
ω_c से ऊपर रोटर का द्रव्यमान-केंद्र भ्रमण के भीतर की ओर चला जाता है, और रोटर स्व-केंद्रित हो जाता है, बेयरिंगों पर थोड़े भार सहित अपने द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष घूमते हुए। अनेक रोटरों वाले शाफ़्ट हेतु डंकरले सूत्र प्रत्येक भाग की अकेले क्रिया वाली क्रांतिक चालों से निम्नतम क्रांतिक चाल आँकता है: 1/N_c² = 1/N₁² + 1/N₂² + … अकेले 1000 व 1500 rpm देने वाले रोटरों हेतु 1/N² = 10⁻⁶ + 4.44 × 10⁻⁷, अतः N = 832 rpm, दोनों से नीचे। डंकरले का मान वास्तविक मूल का निम्न-सीमा है।
मुख्य बिंदु
- जायरोस्कोपी युग्म C = I ω ω_p, चक्रण व पुरस्सरण के लंबवत अक्ष के सापेक्ष।
- ω_n = √(k/m) = √(g/δ_st); समांतर स्प्रिंग दृढ़ता जोड़ते हैं, श्रेणी स्प्रिंग नम्यता।
- ζ = c/2√(km); ω_d = ω_n√(1 − ζ²); δ = ln(x₁/x₂) = 2πζ/√(1 − ζ²)।
- अनुनादी प्रवर्धन 1/(2ζ) है, 90° पश्चता सहित; विलगन r > √2 से आरंभ, जहाँ TR = 1, और अवमंदन तब हानिकर है।
- क्रांतिक चाल N_c = (60/2π)√(g/δ_st) rpm; डंकरले: 1/N² = Σ 1/N_i²; ω_c से ऊपर रोटर स्व-केंद्रित होता है।
अभ्यास प्रश्न (16)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
जड़त्व आघूर्ण I का रोटर कोणीय वेग ω से घूमता है और उसका अक्ष चक्रण अक्ष के लंबवत ω_p से पुरस्सरित होता है। जायरोस्कोपी युग्म का परिमाण है:
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उत्तर: A — I ω ω_p
C = dH/dt = ω_p × H, जिसका परिमाण अक्षों के लंबवत होने पर Iωω_p है। यह चक्रण व पुरस्सरण दोनों के साथ बढ़ता है, और दोनों में से किसी के शून्य होने या दोनों अक्षों के समांतर होने पर लुप्त हो जाता है।0.5 kg·m² जड़त्व आघूर्ण की डिस्क 3000 rpm से घूमती है और उसका चक्रण अक्ष लंबवत अक्ष के सापेक्ष 0.2 rad/s से पुरस्सरित कराया जाता है। जायरोस्कोपी युग्म, एक दशमलव स्थान तक, ____ N·m है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 31.4
ω = 2π × 3000/60 = 314.16 rad/s, अतः C = Iωω_p = 0.5 × 314.16 × 0.2 = 31.4 N·m। 3000 को सीधे ω लेने पर 300 N·m आता।पुरस्सरित हो रहे घूमते रोटर पर कार्य करते जायरोस्कोपी युग्म का अक्ष है:
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उत्तर: A — चक्रण अक्ष व पुरस्सरण अक्ष दोनों के लंबवत
युग्म सदिश गुणनफल ω_p × H है, जो दोनों गुणकों के लंबवत है। इसी कारण घूमता लट्टू केवल गिरता नहीं: गुरुत्व का बलाघूर्ण क्षैतिज है और अक्ष बगल में सरकता है।10 kg का द्रव्यमान 4000 N/m दृढ़ता के स्प्रिंग से जुड़ा है और अवमंदन रहित मुक्त कंपन में डाला जाता है। उसकी प्राकृतिक आवृत्ति, दो दशमलव स्थान तक, ____ Hz है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 3.18
ω_n = √(k/m) = √(4000/10) = 20 rad/s, और f = ω_n/2π = 3.183 Hz। 20 बताना कोणीय आवृत्ति rad/s में देना है, हर्ट्ज़ में नहीं।स्प्रिंग पर टिका द्रव्यमान स्प्रिंग को स्थैतिक रूप से 25 mm विक्षेपित करता है। g = 9.81 m/s² लेने पर निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति, एक दशमलव स्थान तक, ____ rad/s है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 19.8
ω_n = √(g/δ_st) = √(9.81/0.025) = √392.4 = 19.81 rad/s; द्रव्यमान की स्वयं आवश्यकता नहीं। δ को मिलीमीटर में लेने पर 0.63 आता।द्रव्यमान m व दृढ़ता k के निकाय का क्रांतिक अवमंदन गुणांक है:
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उत्तर: A — 2√(km)
c_c = 2√(km) = 2mω_n वह अवमंदन है जिस पर अभिलक्षणिक मूल बराबर व वास्तविक हो जाते हैं, ζ = 1। इसके नीचे गति दोलन करती है; ऊपर अनुक्रिया अतिअवमंदित है।मुक्त अवमंदित दोलन में प्रत्येक शिखर पूर्ववर्ती शिखर के आयाम का आधा है। निकाय का अवमंदन अनुपात, दो दशमलव स्थान तक, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 0.11
लघुगणकीय ह्रास δ = ln 2 = 0.693 है, और ζ = δ/√(4π² + δ²) = 0.693/√(39.478 + 0.480) = 0.693/6.321 = 0.1097 ≈ 0.11। ζ = δ/π = 0.22 लेना 2πζ का 2 भूलना है।अवमंदित एकल-स्वातंत्र्य-कोटि निकाय को ठीक उसकी प्राकृतिक आवृत्ति पर आवर्त रूप से चलाया जाता है। चालक बल की तुलना में स्थायी-अवस्था विस्थापन:
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उत्तर: A — 90° पश्च है और उसका आयाम केवल अवमंदन से सीमित है
r = 1 पर स्प्रिंग व जड़त्व बल निरस्त हो जाते हैं, अतः अकेला अवमंदन बल उत्तेजन को संतुलित करता है: X = F₀/(cω_n) = (F₀/k)/(2ζ), φ = 90° सहित। समान कला निम्न-आवृत्ति का व्यवहार है और 180° उच्च-आवृत्ति का।अवमंदन अनुपात 0.05 वाला हल्के अवमंदित निकाय अनुनाद पर चलाया जाता है। आवर्धन गुणांक, गतिक आयाम का स्थैतिक विक्षेप F₀/k से अनुपात, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 10
r = 1 पर आवर्धन गुणांक 1/(2ζ) = 1/0.1 = 10 है। अनवमंदित में वह अनंत होता; वक्र का शिखर r = √(1 − 2ζ²) = 0.9975 पर है, 10 से थोड़ा ही ऊपर मान सहित।कंपन विलगक नींव को संचारित बल तभी घटाता है जब आवृत्ति अनुपात ω/ω_n इससे अधिक हो:
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उत्तर: A — √2
संचरणशीलता प्रत्येक अवमंदन अनुपात हेतु r = √2 पर 1 के बराबर है और उससे आगे ही 1 से कम है। r = 1, अनुनाद, पर संचारित बल प्रवर्धित होता है।एक मशीन 1800 rpm पर चलती है और उसके विलगन आधार, अनवमंदित माना गया, को विक्षोभक बल का केवल 10% संचारित करना है। आधार पर चढ़ी प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्ति ____ Hz, दो दशमलव स्थान तक, होनी चाहिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 9
TR = 1/(r² − 1) = 0.1 से r² = 11, r = 3.317। प्रणोदन आवृत्ति 1800/60 = 30 Hz है, अतः f_n = 30/3.317 = 9.05 Hz। TR = 1/r² लेने पर r² = 10 व 9.49 Hz आता।शाफ़्ट पर रोटर अपने भार से शाफ़्ट को स्थैतिक रूप से 1 mm विक्षेपित करता है। g = 9.81 m/s² लेने पर शाफ़्ट की क्रांतिक चाल ____ rpm, निकटतम पूर्ण संख्या तक, है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 946
ω_c = √(g/δ_st) = √(9.81/0.001) = 99.05 rad/s, अतः N_c = 60ω_c/2π = 945.8, अर्थात् 946 rpm। 99 बताना क्रांतिक चाल rad/s में देना है, rpm में नहीं।एक शाफ़्ट दो रोटर वहन करता है। अकेले क्रिया करते हुए पहला 1000 rpm व दूसरा 1500 rpm की क्रांतिक चाल देता, शाफ़्ट का स्वयं का द्रव्यमान उपेक्षित। डंकरले सूत्र से दोनों रोटरों सहित शाफ़्ट की निम्नतम क्रांतिक चाल ____ rpm, निकटतम पूर्ण संख्या तक, है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 832
1/N² = 1/1000² + 1/1500² = 1 × 10⁻⁶ + 4.444 × 10⁻⁷ = 1.4444 × 10⁻⁶, अतः N = 832.05, अर्थात् 832 rpm। यह दोनों एकल-रोटर मानों से नीचे है, जैसा होना चाहिए, क्योंकि द्रव्यमान जोड़ने से प्राकृतिक आवृत्ति घटती है।कंपायमान निकायों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?
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उत्तर: A — रैखिक अनवमंदित निकाय की प्राकृतिक आवृत्ति कंपन के आयाम पर निर्भर नहीं करती; B — अल्पावमंदित निकाय का अवमंदित आवर्तकाल उसके अनवमंदित आवर्तकाल से अधिक है; C — अवमंदन अनुपात 1 से अधिक वाला निकाय विस्थापित कर छोड़ने पर दोलन नहीं करता
(A) ω_n = √(k/m) में आयाम नहीं है। (B) ω_d = ω_n√(1 − ζ²) < ω_n। (C) मूल वास्तविक व ऋणात्मक हैं। (D) असत्य: r = √2 पर ठीक TR = 1।शाफ़्ट की क्रांतिक चाल के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?
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उत्तर: A — क्रांतिक चाल पर शाफ़्ट बड़े विक्षेपों सहित घूर्णन-भ्रमण करता है; B — क्रांतिक चाल से ऊपर रोटर अपने द्रव्यमान-केंद्र के सापेक्ष घूमने की प्रवृत्ति रखता है (स्व-केंद्रण); C — क्रांतिक चाल शाफ़्ट–रोटर निकाय के अनुप्रस्थ कंपन की प्राकृतिक आवृत्ति के बराबर है
(A) घूर्णन चाल व अनुप्रस्थ प्राकृतिक आवृत्ति के बीच अनुनाद। (B) उससे आगे भ्रमण त्रिज्या −e की ओर जाती है। (C) परिभाषा। (D) असत्य: ω_c = √(k/m) k के साथ बढ़ता है।लगभग 4 के आवृत्ति अनुपात पर संचालित सुअभिकल्पित कंपन विलगक में श्यान अवमंदक जोड़ा जाता है। संचालन चाल पर संचरणशीलता:
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उत्तर: A — बढ़ेगी, यद्यपि आरंभ में अनुनादी शिखर घटेगा
r > √2 हेतु अंश √(1 + (2ζr)²) हर से तेज़ बढ़ता है, अतः TR, ζ के साथ बढ़ती है; r = 4 पर ζ = 0 हेतु वह 1/15 = 0.067 है, और ζ = 0.2 हेतु लगभग 0.125। अवमंदन अपना स्थान केवल उस अनुनाद हेतु पाता है जिससे मशीन गुज़रती है।