नियंत्रण निकाय II: स्थायित्व, मूल बिंदुपथ, बोडे व नाइक्विस्ट, लैग–लीड क्षतिपूर्ति तथा P, PI व PID नियंत्रक
1. स्थायित्व व राउथ–हर्विट्ज़ कसौटी
रैखिक निकाय ठीक तब BIBO स्थायी है जब उसके स्थानांतरण फलन का प्रत्येक ध्रुव s-तल के खुले बाएँ अर्ध भाग में हो; काल्पनिक अक्ष पर (सरल) ध्रुव सीमांत स्थायित्व व निरंतर दोलन देते हैं। राउथ–हर्विट्ज़ कसौटी दाएँ अर्ध-तल में संवृत-पाश ध्रुवों को खोजे बिना गिनती है। aₙsⁿ + … + a₀ = 0 हेतु आवश्यक शर्त यह है कि प्रत्येक गुणांक उपस्थित हो और एक ही चिह्न का हो; तब राउथ सारणी बनाएँ, दो पंक्तियाँ गुणांकों से और प्रत्येक आगे की पंक्ति ऊपर की दो से, और प्रथम स्तंभ में चिह्न-परिवर्तनों की संख्या दाएँ-अर्ध-तल के मूलों की संख्या के बराबर है।
| पंक्ति | प्रथम स्तंभ | द्वितीय स्तंभ |
|---|---|---|
| s³ | 1 | 3 |
| s² | 2 | 10 |
| s¹ | (2·3 − 1·10)/2 = −2 | 0 |
| s⁰ | 10 | — |
प्रथम स्तंभ 1, 2, −2, 10 दो बार चिह्न बदलता है, अतः बहुपद के दो मूल दाएँ अर्ध-तल में हैं। लाभ प्राचल सहित वही सारणी स्थायित्व की परास देती है। पाश K/[(s + 1)(s + 2)(s + 3)] हेतु अभिलक्षणिक समीकरण s³ + 6s² + 11s + (6 + K) = 0 है: s¹ प्रविष्टि (66 − 6 − K)/6 = (60 − K)/6 है, जो K < 60 हेतु धनात्मक रहती है, और s⁰ प्रविष्टि 6 + K को K > −6 चाहिए। K = 60 पर s¹ पंक्ति शून्य है और ऊपर की पंक्ति सहायक समीकरण 6s² + 66 = 0 देती है, अतः पाश ω = √11 ≈ 3.32 rad/s पर दोलन करता है।
- प्रथम स्तंभ में शून्य, जिसके बाद अशून्य प्रविष्टियाँ हों: शून्य को छोटे ε से बदलें, सारणी पूर्ण करें और चिह्न-परिवर्तन गिनने हेतु सीमा ε → 0⁺ लें।
- पूरी पंक्ति शून्य: ऊपर की पंक्ति सहायक बहुपद देती है जिसके मूल, मूल बिंदु के सापेक्ष सममित, मूल बहुपद के मूल हैं; आगे बढ़ने हेतु उसका अवकलन करें। काल्पनिक अक्ष पर मूल सीमांत स्थायित्व दर्शाते हैं।
2. मूल बिंदुपथ
मूल बिंदुपथ संवृत-पाश ध्रुवों का, 1 + KG(s)H(s) = 0 के मूलों का, समुच्चय है, जब K, 0 से ∞ तक जाता है। इसके नियम कोण व परिमाण प्रतिबंधों से निकलते हैं: शाखाएँ विवृत-पाश ध्रुवों (K = 0) से आरंभ होती हैं और विवृत-पाश शून्यकों पर या अनंत पर (K → ∞) समाप्त; शाखाओं की संख्या ध्रुवों की संख्या के बराबर है; वास्तविक अक्ष का बिंदु बिंदुपथ पर है यदि उसके दाईं ओर वास्तविक ध्रुवों व शून्यकों की गिनती विषम हो; अनंत को जाने वाली P − Z शाखाएँ (2q + 1)·180°/(P − Z) कोणों की अनंतस्पर्शियों का अनुसरण करती हैं जो केंद्रक σ = (Σ ध्रुव − Σ शून्यक)/(P − Z) पर मिलती हैं; विच्छेद व अंतर्विच्छेद बिंदु dK/ds = 0 को संतुष्ट करते हैं; और बिंदुपथ काल्पनिक अक्ष को उस लाभ व आवृत्ति पर पार करता है जो राउथ का सहायक समीकरण देता है।
हल: G(s) = K/[s(s + 2)(s + 4)], तीन ध्रुव, कोई शून्यक नहीं। वास्तविक-अक्ष बिंदुपथ [−2, 0] व (−∞, −4] है। 60°, 180° व 300° पर तीन अनंतस्पर्शियाँ हैं, जो σ = (0 − 2 − 4)/3 = −2 पर मिलती हैं। विच्छेद बिंदु K = −s(s + 2)(s + 4) = −(s³ + 6s² + 8s) हेतु dK/ds = 0 हल करता है: 3s² + 12s + 8 = 0, s = −0.845 (मूल −3.155 बिंदुपथ से बाहर है)। काल्पनिक-अक्ष पारण s³ + 6s² + 8s + K से आता है: s¹ प्रविष्टि (48 − K)/6 K = 48 पर शून्य है, और 6s² + 48 = 0 से ω = √8 = 2.83 rad/s। K = 48 से आगे दो शाखाएँ दाएँ अर्ध-तल में हैं।
- विवृत-पाश में ध्रुव जोड़ना बिंदुपथ को दाएँ, अस्थायित्व की ओर, धकेलता है; शून्यक जोड़ना उसे बाएँ, स्थायित्व की ओर, खींचता है। यही लीड क्षतिपूरक का पूरा विचार है।
- अवमंदन अनुपात ζ वाला संवृत-पाश ध्रुव ऋणात्मक वास्तविक अक्ष से कोण cos⁻¹ζ की रेखा पर स्थित है, अतः अपेक्षित अतिक्रमण बिंदुपथ आलेख पर एक फाँक है।
3. आवृत्ति अनुक्रिया, बोडे आलेख व स्थायित्व सीमांत
स्थिर G(s) की ज्यावक्रीय स्थायी-अवस्था G(jω) है: प्रत्येक आवृत्ति पर परिमाण व कला। बोडे आलेख log ω के सापेक्ष dB में 20 log₁₀|G(jω)| व ∠G(jω) खींचता है, और गुणनखंडों का गुणनफल सीधी-रेखा अनंतस्पर्शियों का योग बन जाता है। स्थिरांक K 20 log K पर क्षैतिज रेखा है; समाकलक 1/s −20 dB/दशक पर गिरता है, कला −90° सहित, और ω = 1 पर 0 dB से गुज़रता है; सरल ध्रुव 1/(1 + s/ω_c) कोने ω_c के नीचे समतल है और उसके ऊपर −20 dB/दशक पर गिरता है, उसकी कला 0° से −90° तक कोने पर −45° से गुज़रती है; शून्यक विपरीत करता है, +20 dB/दशक पर और +90° तक। 10 का DC लाभ 20 dB है; 100 का लाभ 40 dB।
लाभ संक्रमण ω_gc वहाँ है जहाँ |G| = 1 (0 dB) और कला संक्रमण ω_pc जहाँ ∠G = −180°। कला सीमांत PM = 180° + ∠G(jω_gc) है, और लाभ सीमांत GM = −20 log|G(jω_pc)| dB में: पाश बिंदु −1 तक पहुँचने से पहले कितना और कला-पश्चता, या लाभ, सह सकता है। स्थिर पाश में दोनों धनात्मक होते हैं। हल: G = 10/[s(1 + 0.1s)] हेतु |G| = 1 से ω²(1 + 0.01ω²) = 100, अतः ω_gc = 7.86 rad/s, ∠G = −90° − tan⁻¹(0.786) = −128.2°, और PM = 51.8°। G = K/[s(s + 1)(s + 2)], K = 2, हेतु ω_pc = √2 व वहाँ |G| = K/6 = 1/3, अतः GM = 20 log 3 = 9.54 dB।
4. नाइक्विस्ट कसौटी
नाइक्विस्ट कसौटी विवृत-पाश आवृत्ति अनुक्रिया से संवृत-पाश स्थायित्व तय करती है। ω हेतु −∞ से ∞ तक G(jω)H(jω) आलेखित करें, अनंत पर बंद ताकि वह पूरे दाएँ अर्ध-तल को घेरे, और N को क्रांतिक बिंदु −1 + j0 के दक्षिणावर्त परिवेष्टनों की संख्या व P को दाएँ अर्ध-तल में विवृत-पाश ध्रुवों की संख्या मानें। दाएँ अर्ध-तल में संवृत-पाश ध्रुवों की संख्या Z = N + P है, और संवृत-पाश ठीक तब स्थिर है जब Z = 0। विवृत-पाश स्थिर निकाय (P = 0) हेतु आलेख −1 को नहीं घेरना चाहिए; P > 0 हेतु उसे −1 को वामावर्त P बार घेरना चाहिए।
सीमांत उसी आलेख से पढ़े जाते हैं: कला सीमांत उस बिंदु पर जहाँ बिंदुपथ इकाई वृत्त को पार करता है, और लाभ सीमांत उस बिंदु पर जहाँ वह ऋणात्मक वास्तविक अक्ष को −1/GM पर पार करता है। हल: K/[s(s + 1)(s + 2)] हेतु आलेख ऋणात्मक वास्तविक अक्ष को ω = √2 पर K/6 परिमाण से पार करता है, अतः वह K = 6 पर −1 तक पहुँचता है, जो राउथ से सहमत है: पाश 0 < K < 6 हेतु स्थिर है। मूल बिंदु पर ध्रुव आलेख को अनंत से आरंभ कराता है, अतः पथ उसके चारों ओर इंडेंटित होता है, जो अनंत पर बड़ा चाप जोड़ता है जिसकी दिशा गिनती का भाग है।
5. लैग, लीड व लीड–लैग क्षतिपूरक तथा P, PI व PID नियंत्रण
लीड क्षतिपूरक C(s) = (1 + aTs)/(1 + Ts), a > 1, अपना शून्यक −1/(aT) पर, अपने ध्रुव −1/T की तुलना में मूल बिंदु के निकट, रखता है। यह कला अग्रता देता है, जो ω_m = 1/(T√a) पर अधिकतम है जहाँ φ_m = sin⁻¹[(a − 1)/(a + 1)], कला सीमांत बढ़ाता है, बैंड-चौड़ाई बढ़ाता है और अनुक्रिया तेज़ करता है, पर उच्च-आवृत्ति लाभ को a से बढ़ाता है और इसलिए शोर प्रवर्धित करता है। φ_m की अग्रता हेतु: a = (1 + sin φ_m)/(1 − sin φ_m), अतः 30° हेतु a = 3 चाहिए, और a = 10 से 54.9° मिलता है। एक चरण प्रायः लगभग 60° से अधिक नहीं देता।
लैग क्षतिपूरक C(s) = (s + z)/(s + p), z > p, दोनों मूल बिंदु के निकट, z/p का DC लाभ देता है और उच्च आवृत्ति पर लगभग कोई परिवर्तन नहीं, अतः वह K_v (या K_p) को z/p से बढ़ाता है, स्थायी-अवस्था यथार्थता सुधारता है, प्रमुख ध्रुवों के निकट बिंदुपथ को खिसकाए बिना। इसकी कीमत कला-पश्चता है, इसी कारण युग्म को लाभ संक्रमण से काफ़ी नीचे रखा जाता है, और कम बैंड-चौड़ाई व मंद अनुक्रिया। लीड–लैग क्षतिपूरक दोनों को मिलाता है, उस पाश हेतु जिसे यथार्थता व गति साथ चाहिए।
| विशेषता | लीड | लैग |
|---|---|---|
| मुख्य उद्देश्य | अस्थायी अनुक्रिया व कला सीमांत | स्थायी-अवस्था यथार्थता |
| ध्रुव व शून्यक | शून्यक ध्रुव से मूल बिंदु के निकट | ध्रुव शून्यक से मूल बिंदु के निकट |
| कला योगदान | धनात्मक (अग्रता) | ऋणात्मक (पश्चता) |
| बैंड-चौड़ाई | बढ़ती है | घटती है |
| समान नियंत्रक | PD | PI |
PID नियंत्रक त्रुटि e पर कार्य करता है: u = K_p e + K_i ∫e dt + K_d de/dt, C(s) = K_p + K_i/s + K_d s। P त्रुटि के अनुपाती क्रिया देता है, और प्रकार-0 संयंत्र हेतु स्थायी-अवस्था त्रुटि छोड़ देता है। I त्रुटि को समाकलित करके स्थायी-अवस्था त्रुटि हटाता है, मूल बिंदु पर ध्रुव व कम स्थायित्व की कीमत पर। D परिवर्तन दर पर प्रतिक्रिया करता है, अवमंदन जोड़ता है और पूर्वानुमान करता है, और उच्च-आवृत्ति शोर को प्रवर्धित करता है, अतः वास्तविक अवकलक छाना जाता है। PI लैग-प्रकार की क्रिया है और PD लीड-प्रकार की। प्रथम-कोटि संयंत्र पर PI नियंत्रक पाश को प्रकार 1 बना देता है, अतः वह सोपान का शून्य त्रुटि से अनुसरण करता है; समाकल पद अभिलक्षणिक समीकरण बदलने के अतिरिक्त अस्थायी पर कोई प्रभाव नहीं डालता।
| पद | पाश पर प्रभाव |
|---|---|
| K_p | तेज़ अनुक्रिया, कम त्रुटि, कम अवमंदन |
| K_i | सोपान की शून्य स्थायी-अवस्था त्रुटि; अस्थायी कर सकता है |
| K_d | अधिक अवमंदन, कम अतिक्रमण; शोर प्रवर्धित |
मुख्य बिंदु
- राउथ: प्रथम स्तंभ में चिह्न-परिवर्तन दाएँ-अर्ध-तल के मूल गिनते हैं; शून्य पंक्ति सहायक समीकरण व सीमांत आवृत्ति देती है।
- मूल बिंदुपथ: ध्रुवों से आरंभ, शून्यकों या अनंत पर अंत; अनंतस्पर्शी केंद्रक (Σp − Σz)/(P − Z); काल्पनिक-अक्ष पारण राउथ से।
- बोडे: प्रति ध्रुव −20 dB/दशक व कोने पर −45°; PM = लाभ संक्रमण पर 180° + ∠G; GM = कला संक्रमण पर −20 log|G|।
- नाइक्विस्ट: Z = N + P; स्थिर यदि और केवल यदि Z = 0, अर्थात् −1 के P वामावर्त परिवेष्टन।
- लीड: 1/(T√a) पर φ_m = sin⁻¹[(a − 1)/(a + 1)], बेहतर अस्थायी; लैग K_v को z/p से बढ़ाता है; PID: I त्रुटि हटाता है, D अवमंदन जोड़ता है।
अभ्यास प्रश्न (18)
उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।
रैखिक काल-अपरिवर्ती निकाय BIBO स्थायी है यदि और केवल यदि उसके स्थानांतरण फलन के सभी ध्रुव स्थित हों:
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उत्तर: A — s-तल के खुले बाएँ अर्ध भाग में
प्रत्येक ध्रुव ept पद देता है, जो केवल Re p < 0 पर क्षीण होता है। काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव उपयुक्त परिबद्ध निवेश हेतु सीमांत, परिबद्ध-निर्गम नहीं, अनुक्रिया देते हैं। बाएँ अर्ध-तल में सम्मिश्र ध्रुव भी स्थिर हैं, अतः केवल ऋणात्मक वास्तविक अक्ष बहुत संकीर्ण है।एक पुनर्निवेश निकाय का अभिलक्षणिक समीकरण s³ + 2s² + 3s + 10 = 0 है। s-तल के दाएँ अर्ध भाग में मूलों की संख्या ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 2
राउथ का प्रथम स्तंभ 1, 2, (2·3 − 10)/2 = −2, 10 है, जो दो बार चिह्न बदलता है (2 से −2, और −2 से 10), अतः दाएँ-अर्ध-तल के दो मूल हैं। केवल ऋणात्मक प्रविष्टि गिनने पर एक आता।इकाई-पुनर्निवेश पाश का G(s) = K/[(s + 1)(s + 2)(s + 3)] है। K का वह अधिकतम मान जिस पर संवृत-पाश स्थिर है, ____ है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 60
अभिलक्षणिक समीकरण s³ + 6s² + 11s + 6 + K = 0 है। s¹ प्रविष्टि (6·11 − (6 + K))/6 = (60 − K)/6 है, जो K < 60 हेतु धनात्मक है, और s⁰ प्रविष्टि 6 + K, K > −6 हेतु धनात्मक। अतः K = 60 सीमांत है, जहाँ 6s² + 66 = 0 से ω = √11 ≈ 3.32 rad/s मिलता है।विवृत-पाश स्थानांतरण फलन G(s)H(s) = K/[s(s + 2)(s + 4)] हेतु मूल बिंदुपथ की अनंतस्पर्शियों का केंद्रक s = ____ पर स्थित है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: -2
σ = (Σ ध्रुव − Σ शून्यक)/(P − Z) = (0 − 2 − 4 − 0)/3 = −2, 60°, 180° व 300° पर तीन अनंतस्पर्शियों सहित। P − Z = 3 के स्थान पर 2 (मूल बिंदु के अतिरिक्त परिमित ध्रुवों की संख्या) से भाग देने पर −3 आता है।इकाई ऋणात्मक पुनर्निवेश में पाश K/[s(s + 2)(s + 4)] हेतु, मूल बिंदुपथ की शाखाएँ काल्पनिक अक्ष को तब पार करती हैं जब K बराबर हो ____ के।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 48
अभिलक्षणिक समीकरण s³ + 6s² + 8s + K = 0 है। s¹ राउथ प्रविष्टि (6·8 − K)/6 है, K = 48 पर शून्य, और सहायक समीकरण 6s² + 48 = 0 से s = ±j√8 = ±j2.83 मिलता है। K > 48 हेतु दो मूल दाएँ अर्ध-तल में हैं।ऋणात्मक-पुनर्निवेश निकाय के मूल बिंदुपथ पर वास्तविक अक्ष का कोई बिंदु तब स्थित होता है जब उसके दाईं ओर वास्तविक विवृत-पाश ध्रुवों व शून्यकों की संख्या हो:
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उत्तर: A — विषम
कोण प्रतिबंध हेतु ∠G = ±180° (विषम गुणज) चाहिए, और परीक्षण बिंदु के दाईं ओर प्रत्येक वास्तविक ध्रुव या शून्यक 180° का योगदान देता है, अतः विषम संख्या कुल 180° बनाती है। सम गिनती पूरक (ऋणात्मक-K) बिंदुपथ का नियम है।शुद्ध समाकलक 1/s के बोडे परिमाण आलेख का ढाल है:
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उत्तर: A — −20 dB/दशक, −90° की स्थिर कला सहित
|1/(jω)| = 1/ω प्रति दशक 10 के गुणक से, अर्थात् 20 dB, गिरता है, और ∠(1/jω) = −90° प्रत्येक आवृत्ति पर है। +20 dB/दशक, +90° का युग्म अवकलक है।बोडे आलेख पर G(s) = 100/(s + 10) का निम्न-आवृत्ति परिमाण, डेसिबल में, ____ dB है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 20
निम्न आवृत्ति पर G(0) = 100/10 = 10, और 20 log₁₀ 10 = 20 dB। कोना 10 rad/s पर है, और उसके ऊपर परिमाण −20 dB/दशक पर गिरता है। 10 log (शक्ति) लेने पर 10 dB आता है, जो आयाम अनुपात हेतु गलत dB परिपाटी है।इकाई-पुनर्निवेश पाश का G(s) = 10/[s(1 + 0.1s)] है। उसका कला सीमांत, एक दशमलव स्थान तक, ____ अंश है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 51.8
|G(jω)| = 10/[ω√(1 + 0.01ω²)] = 1 से 0.01ω⁴ + ω² − 100 = 0, अतः ω² = 61.8 व ω_gc = 7.86 rad/s। ∠G = −90° − tan⁻¹(0.1 × 7.86) = −90° − 38.2° = −128.2°, और PM = 180° − 128.2° = 51.8°।इकाई-पुनर्निवेश पाश का G(s) = 2/[s(s + 1)(s + 2)] है। उसका लाभ सीमांत, दो दशमलव स्थान तक, ____ dB है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 9.54
कला ω_pc = √2 rad/s पर −180° है, जहाँ |G| = 2/[√2 × √3 × √6] = 2/6 = 1/3। अतः GM = −20 log(1/3) = 20 log 3 = 9.54 dB; समतुल्य रूप से, राउथ K = 6 पर सीमांत स्थायित्व देता है, K = 2 से 3 के गुणक ऊपर।नाइक्विस्ट कसौटी के अनुसार, दाएँ अर्ध-तल में P विवृत-पाश ध्रुवों व विवृत-पाश आवृत्ति अनुक्रिया द्वारा बिंदु −1 के N दक्षिणावर्त परिवेष्टनों सहित, दाएँ अर्ध-तल में संवृत-पाश ध्रुवों की संख्या है:
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उत्तर: A — Z = N + P
संवृत-पाश ध्रुव 1 + GH के शून्यक हैं, और कोणांक सिद्धांत 1 + GH द्वारा मूल बिंदु के, अर्थात् GH द्वारा −1 के, दक्षिणावर्त परिवेष्टनों हेतु N = Z − P देता है: Z = N + P। P = 1 वाला पाश जो −1 को एक बार वामावर्त (N = −1) घेरता है, Z = 0 रखता है और स्थिर है।एक कला-अग्रता क्षतिपूरक को अधिकतम 30° कला अग्रता देनी है। C(s) = (1 + aTs)/(1 + Ts) में उसके शून्यक-से-ध्रुव काल-स्थिरांकों का अनुपात a ____ होना चाहिए।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 3
a = (1 + sin φ_m)/(1 − sin φ_m) = (1 + 0.5)/(1 − 0.5) = 3; जाँच: sin⁻¹(2/4) = 30°। a = 1 + 2 sin φ_m = 2 लेना सूत्र को संतुष्ट नहीं करता।एक लीड क्षतिपूरक में a = 10 है। उसकी अधिकतम कला अग्रता, एक दशमलव स्थान तक, ____ अंश है।
संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।
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उत्तर: 54.9
φ_m = sin⁻¹[(a − 1)/(a + 1)] = sin⁻¹(9/11) = sin⁻¹(0.8182) = 54.9°। अग्रता केवल a का फलन है; जिस आवृत्ति पर वह होती है वह 1/(T√10) है।लैग क्षतिपूरक का मुख्य उपयोग है:
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उत्तर: A — अस्थायी अनुक्रिया को लगभग अपरिवर्तित छोड़ते हुए स्थायी-अवस्था यथार्थता सुधारना
मूल बिंदु के निकट ध्रुव–शून्यक युग्म, ध्रुव अधिक निकट, निम्न-आवृत्ति लाभ को z/p से बढ़ाता है और इसलिए K_v को, जबकि संक्रमण के निकट पाश को लगभग नहीं छूता। तेज़ अनुक्रिया व अवमंदन लीड क्षतिपूरक के हैं।क्षतिपूरकों व PID नियंत्रण के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?
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उत्तर: A — लीड क्षतिपूरक कला सीमांत व बैंड-चौड़ाई बढ़ाता है; B — लैग क्षतिपूरक निम्न-आवृत्ति पाश-लाभ बढ़ाता है; C — समाकल क्रिया प्रकार-0 संयंत्र हेतु सोपान की स्थायी-अवस्था त्रुटि हटाती है
(A) लीड संक्रमण के निकट कला जोड़ता है और संक्रमण को ऊपर खिसकाता है। (B) युग्म z > p DC लाभ z/p देता है। (C) समाकलक पाश को प्रकार 1 बनाता है। (D) असत्य: अवकलन शोर को प्रवर्धित करता है, इसी कारण व्यावहारिक अवकल पद छाना जाता है।PID नियंत्रक में समाकल पद मुख्यतः किसके लिए उत्तरदायी है:
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उत्तर: A — नियत संदर्भ की स्थायी-अवस्था त्रुटि समाप्त करने के लिए
समाकलक तब तक बढ़ता रहता है जब तक कोई त्रुटि शेष है, अतः पाश केवल वहीं स्थिर हो सकता है जहाँ त्रुटि शून्य हो; कीमत मूल बिंदु पर अतिरिक्त ध्रुव व कम कला सीमांत है। पूर्वानुमान अवकल पद है, और कोई पद शोर नहीं छानता।स्थायित्व व मूल बिंदुपथों के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?
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उत्तर: A — जिस बहुपद में उच्चतम व निम्नतम के बीच s की कोई घात लुप्त हो, उसके सभी मूल बाएँ अर्ध-तल में नहीं हो सकते; B — राउथ सारणी में शून्य पंक्ति मूल बिंदु के सापेक्ष सममित रूप से स्थित मूलों का संकेत देती है; C — विवृत-पाश में बाएँ अर्ध-तल का शून्यक जोड़ना मूल बिंदुपथ को बाईं ओर खींचता है
(A) आवश्यक शर्त: सभी गुणांक उपस्थित और एक ही चिह्न के। (B) सहायक बहुपद s में सम है, अतः उसके मूल ± युग्मों में आते हैं। (C) शून्यक शाखाओं को आकर्षित करता है। (D) असत्य: स्थिर पाश के दोनों सीमांत धनात्मक होते हैं; ऋणात्मक कला सीमांत का अर्थ पाश अस्थायी है।पाश G(s)H(s) = K/[s(s + 1)(s + 2)] हेतु नाइक्विस्ट आलेख ऋणात्मक वास्तविक अक्ष को −K/6 पर पार करता है। संवृत-पाश स्थिर है:
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उत्तर: A — 0 < K < 6
पाश में दाएँ-अर्ध-तल के ध्रुव नहीं हैं (P = 0), अतः आलेख −1 को नहीं घेरना चाहिए, जिसके लिए पारण −K/6 को −1 के दाईं ओर होना चाहिए, अर्थात् K < 6। K = 6 पर वह −1 से गुज़रता है और पाश सीमांत है, जो राउथ सीमा से सहमत है।