नियंत्रण निकाय I: निरूपण, स्थानांतरण फलन, पुनर्निवेश, ब्लॉक आरेख, संकेत प्रवाह आलेख तथा अस्थायी व स्थायी-अवस्था अनुक्रिया

रोबोटिकी व स्वचालन पेपर का खंड B1.3 वह नियंत्रण सिद्धांत है जो भाग B1 को पूर्ण करता है, और वह दो अध्यायों में एक खंड है। यह पहला अध्याय अनुच्छेद का पूर्वार्ध लेता है: निकायों का गणितीय निरूपण व प्रस्तुति, पुनर्निवेश सिद्धांत, स्थानांतरण फलन, ब्लॉक आरेख व संकेत प्रवाह आलेख, तथा रैखिक काल-अपरिवर्ती निकायों का अस्थायी व स्थायी-अवस्था विश्लेषण। दूसरा अध्याय राउथ–हर्विट्ज़ व नाइक्विस्ट कसौटियों से स्थायित्व, बोडे आलेख, मूल बिंदुपथ, लैग, लीड व लीड–लैग क्षतिपूरक, तथा P, PI व PID नियंत्रक लेता है। दोनों को इसलिए अलग किया गया है कि पहला पूछता है कि पाश क्या करता है और दूसरा पूछता है कि उसे अच्छा कार्य कराना संभव है या नहीं, और कैसे।

1. गणितीय निरूपण व स्थानांतरण फलन

निरूपण वह अवकल समीकरण है जो निर्गम को निवेश से जोड़ता है, और स्थानांतरण फलन वह है जो शून्य आरंभिक प्रतिबंधों सहित लाप्लास रूपांतरण के अंतर्गत वह बन जाता है: G(s) = Y(s)/U(s)। स्प्रिंग k व अवमंदक c पर द्रव्यमान m, बल F से चालित, m ẍ + c ẋ + kx = F का पालन करता है, अतः X(s)/F(s) = 1/(ms² + cs + k): प्राकृतिक आवृत्ति ω_n = √(k/m) व अवमंदन अनुपात ζ = c/(2√(km))। संधारित्र के आर-पार निर्गम सहित श्रेणी RLC परिपथ 1/(LCs² + RCs + 1) देता है, वही रूप विद्युत समतुल्यों सहित, और आर्मेचर-नियंत्रित DC मोटर वोल्टता से गति तक द्वितीय-कोटि का पश्चता देती है। हर के मूल ध्रुव हैं, अंश के मूल शून्यक, और हर को शून्य रखना अभिलक्षणिक समीकरण है; उसकी घात निकाय की कोटि है।

यांत्रिक व विद्युत निकायों के बीच सादृश्य (बल–वोल्टता)
यांत्रिकविद्युत
बल Fवोल्टता v
द्रव्यमान mप्रेरकत्व L
अवमंदक cप्रतिरोध R
स्प्रिंग दृढ़ता kव्युत्क्रम धारिता 1/C
वेग ẋधारा i

स्थानांतरण फलन केवल रैखिक, काल-अपरिवर्ती भाग का, शून्य आरंभिक प्रतिबंधों सहित, वर्णन करता है, और वह उन आंतरिक अवस्थाओं को छिपाता है जो निर्गम तक नहीं पहुँचतीं। निकाय को विवृत-पाश स्थानांतरण फलन में मूल बिंदु पर ध्रुवों की संख्या N से प्रकार N कहा जाता है, जो नीचे स्थायी-अवस्था विश्लेषण में केंद्रीय बन जाता है।

2. पुनर्निवेश सिद्धांत

पुनर्निवेश पाश निर्गम मापता है, उसकी तुलना संदर्भ से करता है, और अंतर से संयंत्र को चलाता है। अग्र पथ G व पुनर्निवेश पथ H सहित ऋणात्मक पुनर्निवेश संवृत-पाश स्थानांतरण फलन T = G/(1 + GH) देता है, और 1 + GH = 0 संवृत-पाश अभिलक्षणिक समीकरण है। G में परिवर्तन के प्रति T की संवेदनशीलता S = 1/(1 + GH) है: बड़ा पाश-लाभ GH संवृत-पाश लाभ को H पर, जो स्थिर व यथार्थ घटक है, निर्भर बनाता है, G पर नहीं, जो विचलित होने वाली मोटर या प्रवर्धक है। G = 50 व H = 0.1 हेतु संवृत-पाश लाभ 50/(1 + 5) = 8.33 है, और बड़े G हेतु वह 1/H = 10 के निकट है।

  • लाभ। संयंत्र-प्राचल परिवर्तनों के प्रति कम संवेदनशीलता, विक्षोभों का अस्वीकरण, बेहतर स्थायी-अवस्था यथार्थता, और तेज़ अनुक्रिया हेतु अधिक बैंड-चौड़ाई।
  • मूल्य। कुल लाभ में गुणक 1 + GH से कमी, पाश के दोलन करने या अस्थायी होने का जोखिम, अधिक घटक तथा पाश में प्रवेश करता मापन-शोर।
  • धनात्मक पुनर्निवेश, हर में 1 − GH, लाभ बढ़ाता है और पाश को अस्थायित्व की ओर ले जाता है; इसका जानबूझकर उपयोग दोलित्रों व श्मिट ट्रिगरों में होता है।

3. ब्लॉक आरेख व संकेत प्रवाह आलेख

ब्लॉक आरेख तीन नियमों से समानीत होता है। श्रेणी में ब्लॉक गुणा होते हैं, G₁G₂; समांतर ब्लॉक, संगम पर योजित, जुड़ते हैं, G₁ ± G₂; और पुनर्निवेश पाश G/(1 ± GH) में सिमट जाता है (ऋणात्मक पुनर्निवेश हेतु ऋण, अतः पाश का चिह्न हर के चिह्न का विपरीत है)। योजक बिंदु या निष्कर्षण बिंदु को ब्लॉक के पार खिसकाने हेतु प्रत्येक पथ का लाभ अपरिवर्तित रखें: निष्कर्षण बिंदु को G के आगे खिसकाने का अर्थ है कि जिस शाखा को वह पोषित करता है उसे G से गुणा करना होगा, और पीछे खिसकाने पर G से भाग। G(s) = 10/(s + 2) के चारों ओर इकाई ऋणात्मक पुनर्निवेश पाश हेतु T = 10/(s + 2 + 10) = 10/(s + 12)।

संकेत प्रवाह आलेख उन्हीं समीकरणों को लाभ सहित निर्देशित शाखाओं से जुड़े नोडों के रूप में खींचता है, और मेसन लाभ सूत्र समानयन के बिना कुल लाभ पढ़ता है: T = Σ P_k Δ_k / Δ। P_k k-वें अग्र पथ का लाभ है; Δ = 1 − (सभी व्यष्टि पाश लाभों का योग) + (अस्पर्शी पाशों के प्रत्येक युग्म के लाभों के गुणनफलों का योग) − (अस्पर्शी पाशों के त्रिकों के गुणनफल) + …; और Δ_k वह Δ है जिसमें k-वें अग्र पथ को स्पर्श करने वाला प्रत्येक पाश हटा दिया गया हो। हल: दो अग्र पथ, P₁ = 6, जो दोनों पाशों को स्पर्श करता है, और P₂ = 2, जो किसी को स्पर्श नहीं करता; लाभ −1 वाले दो अस्पर्शी पाश। Δ = 1 − (−1 − 1) + (−1)(−1) = 4; Δ₁ = 1 (दोनों पाश P₁ को स्पर्श करते हैं); Δ₂ = Δ = 4। अतः T = (6 × 1 + 2 × 4)/4 = 3.5।

⚠️ Δ_k केवल स्पर्शी पाश हटाता है
दो पाश तब स्पर्श करते हैं जब वे कोई नोड साझा करें, और पाश अग्र पथ को तब स्पर्श करता है जब वह उसके साथ कोई नोड साझा करे। प्रत्येक पाश को स्पर्श करने वाले पथ हेतु Δ₁ = 1 है, पर किसी को स्पर्श न करने वाले हेतु वह पूर्ण Δ है। दूसरी स्थिति भूलना, या पाश को पथ स्पर्श करने पर भी उसका लाभ Δ_k में सम्मिलित करना, मेसन सूत्र की दो सबसे सामान्य चूकें हैं।

4. प्रथम व द्वितीय कोटि निकायों की अस्थायी अनुक्रिया

प्रथम-कोटि निकाय G = 1/(τs + 1) की सोपान अनुक्रिया 1 − e−t/τ है: t = τ पर 63.2%, और काल स्थिरांक τ = 1/(ध्रुव की मूल बिंदु से दूरी) है। 2% स्थिरण काल लगभग 4τ व 5% स्थिरण काल लगभग 3τ है; 10–90% उत्थान काल 2.2τ। जितना बाईं ओर का ध्रुव, उतना तेज़ रीति।

मानक द्वितीय-कोटि निकाय ω_n²/(s² + 2ζω_n s + ω_n²) है, जिसके ध्रुव −ζω_n ± jω_n√(1 − ζ²) पर हैं। यह ζ = 0 हेतु अनवमंदित, 0 < ζ < 1 हेतु अल्पावमंदित, ζ = 1 पर क्रांतिक अवमंदित व ζ > 1 हेतु अतिअवमंदित है। अल्पावमंदित सोपान अनुक्रिया हेतु, अवमंदित आवृत्ति ω_d = ω_n√(1 − ζ²) सहित:

द्वितीय-कोटि सोपान अनुक्रिया माप (अल्पावमंदित)
मापसूत्र
शिखर कालt_p = π/ω_d
प्रतिशत अतिक्रमण%M_p = 100 exp(−πζ/√(1 − ζ²))
स्थिरण काल (2%)t_s ≈ 4/(ζω_n)
उत्थान कालt_r ≈ (π − cos⁻¹ζ)/ω_d, ζ ≈ 0.5 हेतु लगभग 1.8/ω_n
दोलन आवृत्तिω_d

अतिक्रमण केवल ζ पर निर्भर है: ζ = 0.5 हेतु exp(−π × 0.5/0.866) = 0.163, अर्थात् 16.3%, ω_n जो भी हो। स्थिर ζ पर ω_n बढ़ाने से अनुक्रिया उसी आकार में तेज़ हो जाती है। ω_n = 10 व ζ = 0.4 (निकाय 100/(s² + 8s + 100)) हेतु ω_d = 10√0.84 = 9.165 rad/s व t_p = π/9.165 = 0.343 s; ζ = 0.5 व ω_n = 10 हेतु t_s = 4/5 = 0.8 s। ध्रुवों को ऊर्ध्वाधर खिसकाना ω_d बदलता है, अरीय खिसकाना ω_n बदलता है, और मूल बिंदु से रेखा के अनुदिश खिसकाना ζ = cos θ स्थिर रखता है।

5. स्थायी-अवस्था त्रुटि व निकाय का प्रकार

स्थिर इकाई-पुनर्निवेश पाश हेतु, विवृत-पाश स्थानांतरण फलन G(s) सहित, मानक निवेश की स्थायी-अवस्था त्रुटि त्रुटि स्थिरांकों से निकलती है: स्थिति K_p = lims→0 G(s), वेग K_v = lims→0 sG(s) तथा त्वरण K_a = lims→0 s²G(s)। प्रकार G में समाकलकों (s = 0 के ध्रुवों) की संख्या है।

इकाई-पुनर्निवेश पाश की स्थायी-अवस्था त्रुटि
निकाय का प्रकारइकाई सोपानइकाई आनतिइकाई परवलय
प्रकार 01/(1 + K_p)∞∞
प्रकार 101/K_v∞
प्रकार 2001/K_a

हल। G(s) = 10/[s(s + 2)] प्रकार 1 है, K_v = lim sG = 10/2 = 5 सहित, अतः इकाई आनति की त्रुटि 1/5 = 0.2 व सोपान की शून्य है। G(s) = 20/[(s + 1)(s + 4)] प्रकार 0 है, K_p = 20/4 = 5 सहित, अतः इकाई सोपान की त्रुटि 1/(1 + 5) = 0.167 है, और आनति की अपरिबद्ध। प्रथम निकाय में ढाल 3 की आनति 3 × 0.2 = 0.6 देती है; त्रुटियाँ निवेश के आकार के साथ मापित होती हैं।

यह समझौता पाश अभिकल्प का हृदय है। G = K/[s(s + a)] हेतु संवृत-पाश अभिलक्षणिक समीकरण s² + as + K है, अतः ω_n = √K व ζ = a/(2√K): K बढ़ाने से आनति त्रुटि घटती है (K_v = K/a) पर ζ घटता है और अतिक्रमण बढ़ता है। समाकलक यथार्थता सुधारता है और स्थायित्व की कीमत लेता है, जिसे अगले अध्याय के क्षतिपूरक पुनः संतुलित करते हैं। त्रुटि सूत्र केवल स्थिर संवृत-पाश हेतु मान्य हैं, अतः स्थायित्व पहले जाँचा जाता है।

⚠️ त्रुटि स्थिरांकों से पहले स्थायित्व जाँचें
G = 5/[s(s − 1)] हेतु K_v = −5 एक संख्या तो है, पर पाश s² − s + 5 अस्थायी है, और त्रुटि सूत्र का कोई अर्थ नहीं। सीमा प्रमेय हेतु प्रत्येक संवृत-पाश ध्रुव बाएँ अर्ध-तल में चाहिए; अस्थायी पाश से परिमित K_p या K_v फँसाने वाला उत्तर है।

मुख्य बिंदु

  • G(s) = Y/U शून्य आरंभिक प्रतिबंधों सहित; ध्रुव अभिलक्षणिक समीकरण के मूल हैं; द्रव्यमान–स्प्रिंग–अवमंदक में ω_n = √(k/m), ζ = c/(2√(km))।
  • ऋणात्मक पुनर्निवेश: T = G/(1 + GH) व S = 1/(1 + GH); वह लाभ के बदले असंवेदनशीलता व यथार्थता देता है, अस्थायित्व के जोखिम पर।
  • मेसन: T = ΣP_kΔ_k/Δ, Δ_k वह Δ जो पथ k को स्पर्श करने वाले प्रत्येक पाश को छोड़ देता है।
  • प्रथम कोटि: t_s ≈ 4τ। द्वितीय कोटि: %M_p = 100 exp(−πζ/√(1 − ζ²)) केवल ζ पर निर्भर; t_p = π/ω_d; t_s ≈ 4/(ζω_n)।
  • प्रकार = समाकलकों की संख्या; K_p, K_v, K_a सोपान, आनति, परवलय हेतु त्रुटियाँ 1/(1 + K_p), 1/K_v, 1/K_a देते हैं, केवल स्थिर पाश हेतु मान्य।

अभ्यास प्रश्न (15)

उत्तर खोलने से पहले प्रत्येक प्रश्न हल करें। हर व्याख्या सही विकल्प के साथ लुभावना गलत विकल्प भी बताती है, क्योंकि अंक वहीं जाते हैं।

  1. रैखिक काल-अपरिवर्ती निकाय का स्थानांतरण फलन निर्गम व निवेश के लाप्लास रूपांतरणों का अनुपात परिभाषित है:

    1. सभी आरंभिक प्रतिबंध शून्य सहित
    2. केवल निर्गम के आरंभिक प्रतिबंधों सहित
    3. केवल इकाई सोपान निवेश हेतु
    4. केवल ज्यावक्रीय निवेश हेतु
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — सभी आरंभिक प्रतिबंध शून्य सहित

    परिभाषा शून्य-अवस्था अनुक्रिया हेतु है, अतः आरंभिक प्रतिबंध शून्य रखे जाते हैं; परिणाम तब केवल निकाय का गुण है और किसी भी निवेश हेतु मान्य है। वह सोपान या ज्या तक सीमित नहीं है।

  2. 2 kg का द्रव्यमान 50 N/m दृढ़ता के स्प्रिंग व 8 N·s/m के श्यान अवमंदक से जुड़ा है। निकाय का अवमंदन अनुपात ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.4

    ζ = c/(2√(km)) = 8/(2√(50 × 2)) = 8/(2 × 10) = 0.4, ω_n = √(50/2) = 5 rad/s सहित। c/(2m) = 2 (क्षय दर σ = ζω_n) लेना भिन्न राशि है, ध्रुव का वास्तविक भाग।

  3. 50 लाभ के अग्र पथ का ऋणात्मक पुनर्निवेश पथ 0.1 लाभ का है। कुल संवृत-पाश लाभ, दो दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 8.33

    T = G/(1 + GH) = 50/(1 + 50 × 0.1) = 50/6 = 8.33। सन्निकटन 1/H = 10 में 20% का अंतर है क्योंकि पाश-लाभ GH = 5 बहुत बड़ा नहीं है।

  4. अग्र पथ लाभ G में परिवर्तनों के प्रति संवृत-पाश लाभ की संवेदनशीलता पर ऋणात्मक पुनर्निवेश का मुख्य प्रभाव यह है कि वह:

    1. उसे गुणक 1 + GH से घटाता है
    2. उसे गुणक 1 + GH से बढ़ाता है
    3. उसे अपरिवर्तित रखता है
    4. उसे ठीक शून्य बनाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — उसे गुणक 1 + GH से घटाता है

    S = (dT/T)/(dG/G) = 1/(1 + GH), अतः 100 का पाश-लाभ संवृत-पाश लाभ को लगभग सौ गुना कम संवेदनशील बनाता है। परिमित पाश-लाभ हेतु वह कभी ठीक शून्य नहीं होती।

  5. एक संकेत प्रवाह आलेख में अग्र पथों के लाभ 6 व 2 हैं। दो अस्पर्शी पाशों में प्रत्येक का लाभ −1 है; दोनों पाश पहले अग्र पथ को स्पर्श करते हैं, और कोई भी दूसरे को नहीं। मेसन सूत्र से कुल स्थानांतरण फलन ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 3.5

    Δ = 1 − (−1 − 1) + (−1)(−1) = 1 + 2 + 1 = 4। Δ₁ = 1 क्योंकि दोनों पाश पथ 1 को स्पर्श करते हैं; Δ₂ = Δ = 4 क्योंकि कोई पथ 2 को स्पर्श नहीं करता। T = (6 × 1 + 2 × 4)/4 = 14/4 = 3.5। Δ₂ = 1 लेने पर 2 आता है और यह भूल है कि पथ 2 को कोई पाश स्पर्श नहीं करता।

  6. इकाई ऋणात्मक पुनर्निवेश पाश का अग्र-पथ स्थानांतरण फलन G(s) = 10/(s + 2) है। संवृत-पाश स्थानांतरण फलन है:

    1. 10/(s + 12)
    2. 10/(s − 8)
    3. 10/(s + 2)
    4. 1/(s + 12)
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — 10/(s + 12)

    T = G/(1 + G) = [10/(s + 2)]/[1 + 10/(s + 2)] = 10/(s + 2 + 10) = 10/(s + 12)। ध्रुव −2 से −12 पर चला जाता है, अतः पाश तेज़ है। 10/(s − 8) धनात्मक पुनर्निवेश चिह्न की त्रुटि से आता है।

  7. प्रथम-कोटि निकाय का स्थानांतरण फलन 1/(0.5s + 1) है। उसकी सोपान अनुक्रिया को अंतिम मान के 2% के भीतर स्थिर होने में t_s = 4τ लेते हुए ____ s लगते हैं।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 2

    τ = 0.5 s, अतः t_s = 4 × 0.5 = 2 s; तब तक अनुक्रिया 1 − e−4 = 98.2% पर है। ध्रुव −2 पर है, और 4/2 = 2 सीधे वही मान देता है।

  8. अवमंदन अनुपात 0.5 वाले मानक द्वितीय-कोटि निकाय को इकाई सोपान निवेश दिया जाता है। प्रतिशत शिखर अतिक्रमण, एक दशमलव स्थान तक, ____ % है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 16.3

    %M_p = 100 exp(−πζ/√(1 − ζ²)) = 100 exp(−π × 0.5/0.866) = 100 exp(−1.814) = 16.3%। यह केवल ζ पर निर्भर है। वर्गमूल के बिना exp(−πζ) 20.8% देता है।

  9. निकाय का संवृत-पाश स्थानांतरण फलन 100/(s² + 8s + 100) है। उसकी इकाई-सोपान अनुक्रिया का शिखर काल, दो दशमलव स्थान तक, ____ s है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.34

    ω_n = 10 व 2ζω_n = 8, अतः ζ = 0.4। ω_d = 10√(1 − 0.16) = 9.165 rad/s, और t_p = π/ω_d = 0.3428 ≈ 0.34 s। ω_n लेकर t = π/10 = 0.31 s निकालना भूलता है कि दोलन अवमंदित आवृत्ति पर है।

  10. स्थिर द्वितीय-कोटि निकाय के ध्रुव ऋणात्मक वास्तविक भाग सहित सम्मिश्र हैं। उसकी इकाई-सोपान अनुक्रिया है:

    1. अंतिम मान पर स्थिर होता अल्पावमंदित दोलन
    2. अतिक्रमण रहित एकदिष्ट वृद्धि
    3. स्थिर आयाम का निरंतर दोलन
    4. चरघातांकी रूप से बढ़ता दोलन
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — अंतिम मान पर स्थिर होता अल्पावमंदित दोलन

    सम्मिश्र संयुग्मी ध्रुव ω_d पर दोलन देते हैं, और ऋणात्मक वास्तविक भाग −ζω_n उसे क्षीण चरघातांकी से गुणा करता है, अतः वह स्थिर हो जाता है। निरंतर दोलन हेतु काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव चाहिए और बढ़ते दोलन हेतु दायाँ अर्ध-तल; वास्तविक ध्रुव एकदिष्ट वृद्धि देते हैं।

  11. इकाई-पुनर्निवेश निकाय का विवृत-पाश स्थानांतरण फलन G(s) = 10/[s(s + 2)] है। इकाई आनति निवेश की स्थायी-अवस्था त्रुटि ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.2

    निकाय प्रकार 1 है, K_v = lims→0 sG(s) = 10/2 = 5 सहित, अतः e_ss = 1/K_v = 0.2। संवृत-पाश, s² + 2s + 10, स्थिर है, अतः परिणाम वैध है। 1/10 K_v को अंश के लाभ से भ्रमित करता है।

  12. इकाई-पुनर्निवेश निकाय का G(s) = 20/[(s + 1)(s + 4)] है। इकाई सोपान निवेश की स्थायी-अवस्था त्रुटि, दो दशमलव स्थान तक, ____ है।

    संख्यात्मक उत्तर — मान टाइप करें।

    उत्तर देखें

    उत्तर: 0.17

    निकाय प्रकार 0 है, K_p = G(0) = 20/4 = 5, और e_ss = 1/(1 + K_p) = 1/6 = 0.167 ≈ 0.17। संवृत-पाश s² + 5s + 24 स्थिर है। 1/K_p = 0.2 लेना 1 + K_p का 1 भूलना है।

  13. मानक अल्पावमंदित द्वितीय-कोटि निकाय के बारे में निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?

    1. प्रतिशत अतिक्रमण केवल अवमंदन अनुपात पर निर्भर है
    2. स्थिर प्राकृतिक आवृत्ति पर अवमंदन अनुपात बढ़ाने से अतिक्रमण घटता है
    3. 2% स्थिरण काल लगभग 4/(ζω_n) है
    4. स्थिर अवमंदन अनुपात पर प्राकृतिक आवृत्ति दुगुनी करने से अतिक्रमण दुगुना हो जाता है
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — प्रतिशत अतिक्रमण केवल अवमंदन अनुपात पर निर्भर है; B — स्थिर प्राकृतिक आवृत्ति पर अवमंदन अनुपात बढ़ाने से अतिक्रमण घटता है; C — 2% स्थिरण काल लगभग 4/(ζω_n) है

    (A) %M_p = 100 exp(−πζ/√(1 − ζ²))। (B) घातांक का परिमाण ζ के साथ बढ़ता है, अतः अतिक्रमण घटता है। (C) आवरण e−ζω_n t t = 4/(ζω_n) पर 2% तक पहुँचता है। (D) असत्य: स्थिर ζ पर ω_n दुगुना करने से शिखर व स्थिरण काल आधे हो जाते हैं, अतिक्रमण वही रहता है।

  14. इकाई-पुनर्निवेश पाश का G(s) = K/[s(s + 4)] है। यदि K को 4 से बढ़ाकर 16 किया जाए, तो:

    1. आनति त्रुटि 4 के गुणक से घटती है और अवमंदन अनुपात 1 से घटकर 0.5 हो जाता है
    2. आनति त्रुटि अपरिवर्तित रहती है और अवमंदन अनुपात 1 से घटकर 0.5 हो जाता है
    3. आनति त्रुटि 4 के गुणक से घटती है और अवमंदन अनुपात बढ़ता है
    4. आनति त्रुटि व अवमंदन अनुपात दोनों अपरिवर्तित रहते हैं
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — आनति त्रुटि 4 के गुणक से घटती है और अवमंदन अनुपात 1 से घटकर 0.5 हो जाता है

    K_v = K/4, 1 से 4 हो जाता है, अतः आनति त्रुटि 1/K_v, 1 से 1/4 हो जाती है। अभिलक्षणिक समीकरण s² + 4s + K में ω_n = √K व ζ = 4/(2√K) = 2/√K है: K = 4 पर 1 और K = 16 पर 0.5। अधिक लाभ यथार्थता देता है, अधिक चंचल, कम अवमंदित अनुक्रिया की कीमत पर।

  15. नियंत्रण निकाय का प्रकार निर्धारित होता है:

    1. विवृत-पाश स्थानांतरण फलन के मूल बिंदु पर ध्रुवों की संख्या से
    2. संवृत-पाश स्थानांतरण फलन के कुल ध्रुवों की संख्या से
    3. विवृत-पाश स्थानांतरण फलन के शून्यकों की संख्या से
    4. प्रमुख ध्रुवों के अवमंदन अनुपात से
    उत्तर देखें

    उत्तर: A — विवृत-पाश स्थानांतरण फलन के मूल बिंदु पर ध्रुवों की संख्या से

    प्रकार पाश में समाकलकों की संख्या है, अर्थात् s = 0 पर विवृत-पाश ध्रुवों की; कोटि ध्रुवों की कुल संख्या है। प्रकार तय करता है कि कौन-से निवेश (सोपान, आनति, परवलय) शून्य त्रुटि से अनुसरित होते हैं।